文档内容
班级 姓名 学号 分数
第一次月考模拟卷（三角形的证明、一元一次不等式与一元一次不等式
组）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1. （2021春•灞桥区校级月考） 是等边三角形， ， ， 为各边中点，则图中共有正三角形
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据等边三角形的判定方法，可知三边，三内角相等的三角形为等边三角形，由 ，
且 ， ， 为各边中点，可知： ．所以图中三角形均为
等边三角形．
【解答】因为 为等边三角形，所以 ，
又因为 ， ， 为各边中点，所以 ；
又因为 ， ， 分别为中位线，所以 ， ， ，
即 ．所以 ．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择5个，
故选： ．
2. （2022春•吴江区期中）在数轴上表示不等式 的解集正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．【解答】解： 不等式 中包含等于号，
必须用实心圆点，
可排除 、 ，
不等式 中是大于等于，
折线应向右折，
可排除 ．
故选： ．
3. （2022春•枣庄期末）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一
是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用 （万亿斤）表示我国今年粮食产量，则 满足的关系为
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【解答】解：根据题意得：
．
故选： ．
4. （2022春•济阳区月考）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，
其中不等式有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“ ”或“ ”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“ ”
号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：① ，属于不等式；
② ，属于不等式；
③ ，属于不等式；
④ 属于代数式，不合题意；
⑤ 属于方程，不合题意；
⑥ ，属于不等式．
故选： ．5. （2023•南岸区校级开学）下列判断不正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解： ．若 ，则 ，判断正确，故本选项不合题意；
．若 ，则 ，判断正确，故本选项不合题意；
．若 ，则 ，判断正确，故本选项不合题意；
．当 时， ，原判断错误，故本选项符合题意．
故选： ．
6. （2022春•芗城区校级期中）若不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式解集判断口诀同大取大可知： ．
【解答】解：因为两不等式的解集均为大于号，根据同大取大可知 ．
故选： ．
7. （2022•南京模拟）下列式子① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中是一元一
次不等式的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有： ， ，共有2个．
故选： ．
8. （2022秋•辉县市校级期末）如图，在 中， ，以 的三边为边向外做正方形 ，
正方形 ，正方形 ，连结 ， ，作 交 于点 ，记正方形 和正方形
的面积分别为 ， ，若 ， ，则 等于A． B． C． D．
【分析】过点 作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交 的延长线于点 ．根据 平
分 ，即可得出 ．再根据正方形 和正方形 的面积之比为 ，即可得到
，进而利用三角形面积公式得到 的值．
【解答】解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交 的延长线于点
，
由题可得， ， ，
，
又 ，
，即 平分 ，
又 ， ，
，
正方形 和正方形 的面积分别为 ， ，且 ， ，
正方形 的面积 ，
正方形 和正方形 的面积之比为 ，
，
，
即 等于 ．故选： ．
9. （2022秋•易县期末）如图， 是等边三角形， 是 边上一点， 于点 ．若 ，则
的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据 是等边三角形得出 ，由 得出 ，从而可以求出
，根据含 角的直角三角形的性质求出 即可．
【解答】解： 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．10. （2022秋•沈阳月考）如图，在 中， ， ， 为线段 边上的动点，以
为边向上作等边 ，连接 、 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【分析】如图1，连接 ，根据等边三角形的性质可得 ， ，证明 是 的垂直平
分线，则 ，根据垂直线最短可得：当 ， ， 共线时， 的值最小，最小值是
，从而可以得 和 的长即可解答．
【解答】解：如图1，连接 ，
是等边三角形，
， ，
当 在线段 边上运动时，点 在射线 上运动，且 ，
， ，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
当 ， ， 共线时， 的值最小，最小值是 ，如图2，， ，
，
中， ，
， ，
中， ，
，
的最小值 ．
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. （2022秋•邹城市期中）如图，在 中， ， ，以 为圆心， 的长为半径画弧，
交 于点 ，连接 ．下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ ．
其中正确的是 （填写序号）．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理判断即可．
【解答】解： ， ，，
、 是以点 为圆心， 长为半径圆弧的半径，
，
，
，故①正确；
，
，
， 平分 ，故②③正确；
，
，故④错误，
故正确的序号是①②③．
故答案为：①②③．
12. （2022•常州一模）如图，在 中， ，点 、 分别是边 、 上一点，且 ．
若 ，则 ．
【分析】利用三角形外角与内角的关系、三角形内角和为 解决就行．
【解答】解： ，
是等腰三角形，
，
是 的一个外角， ，，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
13. （2022春•衡阳县期中）已知不等式 ， 的最小值是 ； ， 的最大值是 ，则 ．
【分析】解答此题要理解“ ”“ ”的意义，判断出 和 的最值即可解答．
【解答】解：因为 的最小值是 ， ；
的最大值是 ，则 ；
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
14. （2022春•渠县期末）若不等式组 无解，则 的取值范围是 ．
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解： 不等式组 无解，
，
解得 ．
故答案为： ．
15. （2022秋•浑南区校级月考）在一次考试中有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣2分，不做得0
分，小雨没有漏做，假设她做对了 道题，且得分不低于70分，那么 的取值范围是 ．
【分析】根据题意可得： ，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，的取值范围是 且 为整数，
故答案为： 且 为整数．
16. 如图， 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ，
，则 ．
【分析】如图，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，设 ， ，由
，可得出： ，即 ，可得： ， ，根据
，可推出 ，即 为 的角平分线，得出 ，再根据四边形
为 矩 形 ， 得 出 ， 进 而 得 出 ： ， ，
， ，再由 ，得出 ，建立方程求解即
可得出 ，再结合 ，可求得： ， ，运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，作 于点 ， 于点 ， 于点 ，
设 ， ，
，
，
，
， ，
，
，，即 ，
， ，
，
，且四边形 为矩形，
， ，
又 ，
，即 为 的角平分线，
，
，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，将 代入，得： ，解得： ， ，
，即 ，
， ，
， ，
在 中， ．
故答案为：6．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. （2021春•丹江口市期中）运用不等式的性质，将下列不等式化为 或 的形式．
（1） ．
（2） ．
【分析】（1）根据不等式的性质1，不等式的性质2，可得答案；
（2）根据不等式的性质1，不等式的性质3，可得答案．
【解答】解：（1） ，
不等式的两边都加上1，得 ，
不等式的两边都乘2，得 ；
（2） ，
不等式的两边都减去 ，得 ，
不等式的两边除以2，得 ．
18. 填空：（1）不等式组 的解集是 ；
（2）不等式组 的解集是 ；
（3）不等式组 的解集是 ；
（4）不等式组 的解集是 ．
【分析】根据不等式的解集确定方法：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了，即
可解答．
【解答】解：（1）不等式组 的解集是 ；
（2）不等式组 的解集是 ；
（3）不等式组 的解集是 ；
（4）不等式组 的解集是 ．
19. （2022秋•海淀区校级期末）解下列方程或不等式（组
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【分析】根据解一元一次方程、解不等式（组 的方法步骤解答即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
当 时，
；
（2） ，
，
当 时，
；
（3） ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
原不等式的解为 或 ；
（4）
解不等式①得 ，
，
解不等式②得 ，
原不等式组的解为 ．四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20. （2022秋•青秀区校级期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以
帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和
解释．
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图2，在 中， ， ， ， ，以 的三边长向外作正方
形的面积分别为 ， ， ，试猜想 ， ， 之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以 的三边长 ， ， 为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请
说明理由．
（4）如图4，在 中， ，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，
求图4中阴影部分的面积．
【分析】（1）通过整体和部分求和两种方法对该正方形面积求解可得此题结果；
（2）先分别列式表示出 ， ， ，再运用勾股定理可得 ；
（3）先分别列式表示出 ， ， ，再运用勾股定理可得 ；
（4）先分别求得三个半圆和 的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，
再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和 的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可．
【解答】解：（1） ；（2） ；
（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为 ， ，斜边为 ．
， ， ，
，
；
（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积．
阴影部分的面积 直角三角形面积
阴影部分的面积 ．
21. （2022秋•南昌期中）用一条长为 细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为 的等腰三角形吗？为什么？
（3）若等腰三角形的腰长为 ，求 的取值范围？
【分析】（1）设底边长为 ，则腰长为 ，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边
的长；
（2）题中没有指明 所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
（3）根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设底边长为 ，
腰长是底边的2倍，
腰长为 ，
，解得， ，
，
各边长为： ， ， ．
（2）①当 为底时，腰长 ；
②当 为腰时，底边 ，
，
不能构成三角形，故舍去；能构成有一边长为 的等腰三角形，另两边长为 ， ．
（3）由题意得： ，
解得： ．
五、解答题：（本题12分）
22. （2021秋•合阳县期末）数学理解
（1）如图 1，在等边 内，作 ，且 ， 是 内一点，且 ，
，求 的度数；
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）如图2，在 中， ， ， 是 内一点，且 ， ，
连接 ，求 的度数．
【分析】（1）连接 ，依据直线 是线段 的垂直平分线，即可得到 平分 ，进而得出
的度数；再判定 ，即可得到 ；
（2）作等边三角形 ，连接 ，判定 ，即可得到 ，进而得出
，再根据 进行计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接 ，
， ，
直线 是线段 的垂直平分线，
平分 ，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又 ， ，
，
；
（2）如图2，作等边三角形 ，连接 ，
由（1）解答知， ， ，
，
，
，
，
．
六、解答题：（本题12分）
23. 如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动（与 、 不重合）， 是延长线上一点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动 不与 重合），过 作
于 ，连接 交 于 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）当运动过程中线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果变化请说明理由．
【分析】（1）由 是边长为6的等边三角形，可知 ，再由 可知 ，
设 ，则 ， ，在 中， ， ，即 ，求出
的值即可；
（2）解法一：过 作 ，通过判定 ，利用全等三角形的性质分析求证；
解法二：作 ，交直线 于点 ，连接 ， ，由点 、 做匀速运动且速度相同，可知
，再根据全等三角形的判定定理得出 ，再由 ， 且 ，可
知四边形 是平行四边形，进而可得出 ， ，由等边 的边长
为6可得出 ，故当点 、 运动时，线段 的长度不会改变．
【解答】解：（1） 是边长为6的等边三角形，
，
，
，设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，即 ，解得 ，
；
（2）解法一：当点 、 同时运动且速度相同时，线段 的长度不会改变．理由如下：
过 作 ，
是等边三角形，
、 同时出发、速度相同，即 ，
，
，
，
而 是等边三角形， ，
，
又 ，
，即 为定值，
即 的长不变．
解法二：当点 、 同时运动且速度相同时，线段 的长度不会改变．理由如下：作 ，交直线 于点 ，连接 ， ，
又 于 ，
，
点 、 速度相同，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
， 且 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 等边 的边长为6，
，点 、 同时运动且速度相同时，线段 的长度不会改变．
七、解答题：(本题12分)
24. 如图1，已知线段 的长为 ，点 是 上的动点 不与 ， 重合），分别以 、 为边向线
段 的同一侧作正 和正 ．
（1）当 与 的面积之和取最小值时， ；（直接写结果）
（2）连接 、 ，相交于点 ，设 ，那么 的大小是否会随点 的移动而变化？请说明理
由；
（3）如图2，若点 固定，将 绕点 按顺时针方向旋转（旋转角小于 ，此时 的大小是否发
生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
【分析】（1）设 的长是 ，然后利用 表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得
的值；
（2）首先证得 ，然后根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化．
【解答】解：（1）设 的长是 ，则 ，，
当 时 与 的面积之和取最小值，
故答案为： ；
（2） 的大小不会随点 的移动而变化，
理由： 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）此时 的大小不会发生改变，始终等于 ．
理由： 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，，
．
