文档内容
（北师大版）2024-2025 学年七年级上学期数学
第一次月考模拟测试卷
（测试范围：第 1,2 章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一、选择题（共10题，每小题3分，共30分）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“向东走50米”记作“+50
米”，那么“向西走80米”记作（ ）
A．﹣80米 B．+80米 C．+30米 D．﹣30米
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果将“向东走50米”记作“+50米”，那
么“向西走80米”记作﹣80米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明
确什么是一对具有相反意义的量．
2．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言
处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学
记数法表示为（ ）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的
值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方体搭成，你认为从左面看到的几何体的形
状应该为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图．
4．4路公交到A站下了15人上了17人，到了B站又下了13人，车上还有21人．4路公交
车上原有（ ）人．
A．21 B．11 C．32 D．22
【分析】利用有理数的混合运算计算．
【解答】解：21+13﹣17+15＝32（人）．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，利用有理数的混合运
算列式计算．
5．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【分析】从正面看得到的平面图形是从上到下为长方形，等腰三角形．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一
周可得圆柱，
那么所求的图形是上面是圆柱，下面是圆锥的组合图形．
故选：D．
【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得
到几何体的主视图的被纵向分成的一半．
6．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．32与﹣23 B．﹣（﹣2）与|﹣2|
12 1 2
C．（﹣2）2与﹣22 D．− 与( )
3 3
【分析】先根据有理数的乘方、绝对值将各数化简，再根据相反数的定义：只有符号不
同的两个数互为相反数，逐项判断即可．
【解答】解：A、32＝9，﹣23＝﹣8，不满足相反数的定义，不符合题意；
B、﹣（﹣2）＝2，|﹣2|＝2，不满足相反数的定义，不符合题意；
C、（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，满足相反数的定义，符合题意；
12 1 1 2 1
D、− =− ，( ) = ，不满足相反数的定义，不符合题意；
3 3 3 9
故选：C．
【点评】本题考查了乘方、绝对值、相反数的定义，熟练掌握只有符号不同的两个数互
为相反数是解题的关键．
7．已知a、b是有理数，若a＞0且a+b＜0，以下结论错误的是（ ）
b
A．ab＜0 B．a﹣b＞a+b C．|﹣a|＜|﹣b| D． ＞−1
a
【分析】根据有理数的乘法法则判断 A选项；根据b＜0判断B选项；根据绝对值判断
C选项；根据特殊值法判断D选项．
【解答】解：∵a＞0且a+b＜0，
∴b＜0，|a|＜|b|，
A选项，∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵b＜0，
∴﹣b＞b，
∴a﹣b＞a+b，故该选项不符合题意；
学科网（北京）股份有限公司C选项，∵|a|＜|b|，
∴|﹣a|＜|﹣b|，故该选项不符合题意；
b
D选项，当a＝1，b＝﹣2时， =−2＜﹣1，故该选项符合题意；
a
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，绝对值，掌握绝对值不等的异号两
数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值是解题的关键．
8．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数 a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝
1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（ ）
A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
﹣4※2
＝﹣4×2+22
＝﹣8+4
＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则
输出的结果为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．﹣5
【分析】把x＝﹣1代入数值转换机中计算即可求出所求．
【解答】解：当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10，
当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10，
当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运
算法则，根据数值转换机列出对应算式．
学科网（北京）股份有限公司|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
10．已知abc＜0，a+b+c＝0，若x= + − ，则x的最大值与最
a b c
小值的乘积为（ ）
A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24
【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当
a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的
值，即可得出答案．
【解答】解：∵abc＜0，
∴a、b、c中一负两正或三负，
∵a+b+c＝0，
∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，
∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
当a、b为正，c为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
a 2b −3c
= + −
a b c
＝1+2+3
＝6；
当a、c为正，b为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
a −2b 3c
= + −
a b c
＝1﹣2﹣3
＝﹣4；
当b、c为正，a为负时，
|b+c| 2|a+c| 3|a+b|
x= + −
a b c
学科网（北京）股份有限公司|−a| 2|−b| 3|−c|
= + −
a b c
−a 2b 3c
= + −
a b c
＝﹣1+2﹣3
＝﹣2；
则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，注意分类讨论思想的应用．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
3 4
11．在+8，0，− ，+ ，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 个．
7 5
【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示（单位：cm），则其从上面看到
的形状图的面积是 ．
【分析】先根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得，从正面看到的形状图是
长为4宽为3的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据从左面、从上面看到的形状图的相关数据可得：
从正面看到的形状图是长为4宽为3的长方形，
则从正面看到的形状图的面积是4×3＝12cm2；
故答案为：12cm2．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，关键是根据从左面、从上面看到的形状图的
相关数据得出从正面看到的形状图是长为4宽为3的长方形．
13．已知点A在数轴（向右为正方向）上表示的数是1，将点A向左移动3个单位长度到
点B，则点B对应的数是 ．
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用数轴知识解答．
【解答】解：B点表示的数为：1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
14．一个长方体长20cm，宽和高都是4cm，从它上面截下一个最大的正方体，这个正方体
的体积是原长方体体积的 ．
【分析】把这个长方体切成正方体，以4厘米为正方体的棱长切，正方体体积＝棱长×
棱长×棱长，据此计算即可．
【解答】解：依题意把这个长方体切成正方体，以4cm为正方体的棱长切即可，
∴4×4×4＝64（cm2），
而长方体长20cm，宽和高都是4cm，
∴长方体的体积为 20×4×4＝320cm2，
1
∴64÷320= ，
5
1
∴这个正方体的体积是原长方体体积的 ．
5
1
故答案为： ．
5
【点评】此题主要考查正方体体积和长方体体积的计算，解题的关键是熟练利用这些体
积公式．
15．已知m是绝对值最小的数，n是最大的负整数，a，b互为相反数，x，y互为倒数，则
m2+n3+a+b﹣xy的值是 ．
【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b＝0，xy＝1的值，代入原式计算即可得到结
果．
【解答】解：∵m是绝对值最小的数，n是最大的负整数，a和b互为相反数，x和y互
为倒数，
∴m＝0，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1，
∴m2+n3+a+b﹣xy＝m2+n3﹣xy+a+b＝02+（﹣1）3﹣1+0＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
16．已知|m+1|＝4，n2＝9，且|m+n|＝|m|+|n|，则m﹣n＝ ．
【分析】由题中条件求出m、n值，再由|m+n|＝|m|+|n|确定m、n符号，代值求解即可得
学科网（北京）股份有限公司到答案．
【解答】解：∵|m+1|＝4，
∴m+1＝±4，即m＝3或m＝﹣5，
∵n2＝9，
∴n＝±3，
∵|m+n|＝|m|+|n|，
∴m与n同号，则可取m＝3、n＝3或m＝﹣5、n＝﹣3，
∴m﹣n＝3﹣3＝0或m﹣n＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2，
故答案为：0或﹣2．
【点评】本题考查代数式求值，涉及绝对值方程、平方根、绝对值意义等知识，掌握平
方根、绝对值意义是关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）
17．（每小题3分，共12分）计算：
（1）﹣16+25+（﹣14）﹣（﹣4）；
4 1
（2）0.2÷(−1 )×(−2 )；
5 6
2 4 5 1
（3）( − + )÷(− )；
3 7 6 42
1 1
（4）−22+8÷(−2) 3−2×( − )．
8 2
【分析】（1）根据有理数的加减计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可；
（3）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律求解即可；
（4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺
序求解即可．
【解答】解：（1）﹣16+25+（﹣14）﹣（﹣4）
＝﹣16+25﹣14+4
＝﹣1；
4 1
（2）0.2÷(−1 )×(−2 )
5 6
1 5 13
= ×(− )×(− )
5 9 6
学科网（北京）股份有限公司13
= ；
54
2 4 5 1
（3）( − + )÷(− )
3 7 6 42
2 4 5
=( − + )×(−42)
3 7 6
2 4 5
= ×(−42)− ×(−42)+ ×(−42)
3 7 6
＝﹣28+24﹣35
＝﹣39；
1 1
（4）−22+8÷(−2) 3−2×( − )
8 2
1 1
=−4+8÷(−8)−2× +2×
8 2
1
=−4−1− +1
4
17
=− ．
4
【点评】本题主要考查了有理数的混合计算，正确记忆运算法则是解题关键．
18．（6分）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起
来．
1 3 1
0，1 ，﹣3，﹣（﹣5），−|− |，+(−4 )，
2 2 2
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的
数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对
值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出
结论即可．
1 3 3 3
【 解 答 】 解 ： ∵ 1 = =1.5 ， ﹣ （ ﹣ 5 ） ＝ 5 ， −|− |=− =−1.5 ，
2 2 2 2
1 9
+(−4 )=− =−4.5，
2 2
|﹣3|＝3，|﹣1.5|＝1.5，|﹣4.5|＝4.5，
学科网（北京）股份有限公司1.5＜3＜4.5，
在数轴上表示为：
1 3 1
∴−(−5)＞1 ＞0＞−|− |＞−3＞+(−4 )．
2 2 2
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于
负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小
是本题的关键．
19．（8分）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼
成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若
还缺少，则直接在原图中补全；
（2）长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的
平面图形，需要剪开 条棱；
（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．
【分析】（1）、（2）由平面图形的折叠及长方体的展开图解题，（3）按平面折叠成
几何体后求得体积．
【解答】解：（1）有多余块，
学科网（北京）股份有限公司；
（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图
形，需要剪开7条棱；
（3）底面正方形边长：12÷4＝3（cm），
长方体高：17﹣3×3＝8（cm），
长方体体积为：3×3×8＝72（cm3），
答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为72cm3．
【点评】本题考查了对于长方体展开图的掌握与立体图形体积的计算，较简单．
20．（8分）某快递员骑电动车送快递，某天在一条东西方向的路上行驶，从 A地出发，
约定向东走为正，当天的行走记录如下（单位/千米）：
+5，﹣2，+7，﹣3，+8，﹣3，﹣1，+11，+4，﹣6，﹣2，+5，﹣3．
（1）收工时，快递员在A地的哪个方向？求此时快递员与A地的距离；
（2）若电动车每千米耗电0.02度，求该天共耗电多少度．
【分析】（1）求出他行驶路程的代数和即可；
（2）先求得各数的绝对值的和，再乘以0.02即可．
【解答】解：（1）5﹣2+7﹣3+8﹣3﹣1+11+4﹣6﹣2+5﹣3＝20（千米），
答：收工时，快递员在A地的东边，距离A地20千米；
（ 2 ） |5|+|﹣ 2|+|7|+|﹣ 3|+|8|+|﹣ 3|+|﹣ 1|+|11|+|4|+|﹣ 6|+|﹣ 2|+|5|+|﹣ 3| ＝
5+2+7+3+8+3+1+11+4+6+2+5+3＝60（千米），
60×0.02＝1.2（度），
答：该天共耗电1.2度．
【点评】本题主要考查正负数的意义和有理数的加减法，需要注意的是行走的路程是各
数的绝对值之和．
21．（9分）[新定义运算]：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对
数，记作log N＝b，例如：因为53＝125，所以log 125＝3；因为112＝121，所以log 121
a 5 11
学科网（北京）股份有限公司＝2．
1
（1）填空：log 3＝ ，log = ；
3 0.516
（2）如果log |m﹣4|＝2，求m的值；
5
（3）若log 27+log x＝log 32，求2（x﹣1）的值．
3 4 2
【分析】（1）根据“如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则log N＝b”进行解答即可；
a
（2）根据新定义的运算，得出|m﹣4|＝25，再根据绝对值的定义求出答案即可；
（3）根据新定义的运算求出log 27＝3，log 32＝5，进而得到log x＝2，再根据新定义
3 2 4
运算求出结果即可．
【解答】解：（1）∵31＝3，
∴log 3＝1，
3
1 1 1
又∵0.5= ，而（ ）4= ，
2 2 16
1
∴log =4，
0.516
故答案为：1，4；
（2）∵log |m﹣4|＝2，
5
∴|m﹣4|＝25，
解得m＝29或m＝﹣21，
答：m的值为29或﹣21；
（3）∵33＝27，25＝32
∴log 27＝3，log 32＝5，
3 2
∵log 27+log x＝log 32，即3+log x＝5，
3 4 2 4
∴x＝16，
当x＝16时，2（x﹣1）＝2×（16﹣1）＝30．
【点评】本题考查绝对值，有理数的乘方，掌握有理数乘方的计算方法以及绝对值的定
义是正确解答的关键．
22．（9分）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准，
超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如下表所示，
统计员小虎不小心将六班的数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废
纸最多和最少的班级的质量差为4kg．
班级 一 二 三 四 五 六
学科网（北京）股份有限公司超过（不 +1 +2 ﹣1.5 0 ﹣1
足）（kg）
（1）表格中六班的数据为 ．
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号
的三个班级收集废纸的总质量．
（3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg以内的2元/千克，超出
30kg的部分5元/千克，求废纸卖出的总价格．
【分析】（1）根据三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg得
六班收集废纸的质量最多，可得超出标准质量为2.5kg，即可答案；
（2）由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准2.5kg，可得本次活动收集废纸质
量排名前三的班级为一班、二班、六班，即可得获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）先求出废纸的总质量，再根据题意列出算式求解即可．
【解答】解：（1）∵三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg，
∴六班收集废纸的质量最多，六班收集的质量为：4﹣1.5＝2.5（kg），
故答案为：2.5；
（2）由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准2.5kg，
∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，
∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：（5+1）+（5+2）+（5+2.5）＝20.5
（kg）．
答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为20.5kg；
（3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为：
（5+1）+（5+2）+（5﹣1.5）+5+（5﹣1）+（5+2.5）
＝6+7+3.5+5+4+7.5
＝33（kg）
∴废纸卖出的总价格为：30×2+（33﹣30）×2.5＝67.5（元）．
答：废纸卖出的总价格为67.5元．
【点评】本题考查了正负数的意义，有理数加减和乘法运算的应用，解题的关键是理解
题意，正确列出相关的算式．
23．（9分）（1）若（x﹣1）2+|y+2|＝0，求（x+y）2023的值；
（2）已知|a+3|+|b2+2023|＝2023，求b﹣a的值；
（3）已知（a+1）2+|b+5|＝b+5，且|2a﹣b﹣1|＝1，求ab的值．
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出x、y的值，再代入计算可得；
学科网（北京）股份有限公司（2）先由b2+2023≥2023将原等式变形为|a+3|+b2+2023＝2023，据此知|a+3|+b2＝0，继
而得出a、b的值，代入计算可得；
（3）根据偶次方、绝对值的非负性分别求出 a、b的值，根据有理数的乘法法则计算即
可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2+|y+2|＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
则（x+y）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1；
（2）∵b2+2023≥2023，
∴原等式可变形为|a+3|+b2+2023＝2023，
即|a+3|+b2＝0，
则a＝﹣3，b＝0，
∴b﹣a＝3；
（3）∵（a+1）2≥0，|b+5|≥0，
∴b+5≥0，
∴（a+1）2＝0，
解得，a＝﹣1，
则|﹣2﹣b﹣1|＝1，即|﹣b﹣3|＝1，
∴﹣b﹣3＝±1，
解得b＝﹣4或﹣2，
∴ab＝2或4．
【点评】本题考查的是有理数的乘法、非负数的性质，掌握偶次方、绝对值的非负性是
解题的关键．
24．（11分）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应
关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如，|3﹣1|表示3
与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以
转化为|3﹣（﹣1）|，表示3与﹣1的差的绝对值，也可理解为3与﹣1两数在数轴上所
对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）|3﹣（﹣1）|＝ ；
学科网（北京）股份有限公司（2）利用数轴，解决下列问题：
①若|x+1|＝3，则x＝ ；
②若|x﹣3|+|x+2|＝5，请直接写出所有的整数： ；
③是否存在有理数x，使得式子|x+1|﹣|x﹣3|有最大值？如果存在，写出一个符合条件的
x的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题；
（2）①根据绝对值的定义可以解答本题；
②根据绝对值的定义可以解答本题；
③根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝|3+1|＝4，
故答案为：4；
（2）①∵|x+1|＝3，
∴x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
故答案为：2或﹣4；
②|x﹣3|+|x+2|＝5，
当x＞3时，x﹣3+x+2＝5，
解得：x＝3（舍去），
当﹣2≤x≤3时，3﹣x+x+2＝5，
当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝5，
解得x＝﹣2（舍去），
由上可得符合要求的整数x是﹣2，﹣1，0，1，2，3，
故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3．
③存在，
要使|x+1|﹣|x﹣3|有最大值，则可知为﹣1与3之间的距离，
即最大值为3﹣（﹣1）＝4，此时x的值可以是6（大于或等于3的所有值均可）．
【点评】本题考查数轴、绝对值，有理数及有理数的加法，解答本题的关键是明确绝对
值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．
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