第六章几何图形初步易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）（原卷版）_初中数学_七年级数学上册（人教版）_知识点汇总

第六章 几何图形初步易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一 分类讨论思想在线段的计算中的易错................................................................................................1 易错题型二 分类讨论思想在角的计算中的易错....................................................................................................5 易错题型三 分类讨论思想在旋转中求角的多解易错............................................................................................8 压轴题型一 线段上动点定值问题..........................................................................................................................12 压轴题型二 线段上动点求时间问题......................................................................................................................19 压轴题型三 几何图形中动角定值问题..................................................................................................................25 压轴题型四 几何图形中动角数量关系问题..........................................................................................................31 压轴题型五 几何图形中动角求运动时间问题......................................................................................................36 02 易错题型 易错题型一 分类讨论思想在线段的计算中的易错 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知线段 ，点C是 所在的直线上的点， ，则 的长为 ． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知A，B，C是同一直线上的三点，若 ， ，点 M是线段AC的中点，则线段 的长为 ． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段 ， 组成一条折线 ，若该折线 上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线 的“折中点”，已知D是折线 的“折中点”，E为线 的中点， ， ，则线段 的长为 ．3．（23-23七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段 ，在线段AB上有一点 ，且 ，点 是线段 的一个三等分点，点 为线段 的中点，则线段 的长为 ． 易错题型二 分类讨论思想在角的计算中的易错 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，若 ， ，则 的 大小是 ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·安徽淮南·开学考试）已知 ，射线 平分 ，则 ． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 是从 的顶点O引出的一条射线，若 ， ，则 的度数是 °． 3．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知 是 内部的一条射线，图中有三个角： ， 和 ，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线 为 的“巧分线”．如果 ， 是 的“巧分线”，则 度． 易错题型三 分类讨论思想在旋转中求角的多解易错 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线 上，过O作射线 ，三角板 的顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按 的速度沿逆时 针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线 恰好平分锐角 （图②）． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知 ， ， ，若保持三角板 不动，将三角板 绕 点A在平面内旋转．当 时， 的度数为 ． 2．（23-24七年级下·天津和平·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的 几何探究方式．请你利用一副含有 角的直角三角板 和含有 角的直角三角板 尝试完成探究． 试探索；保持三角板 不动，将 角的顶点与三角板 的 角的顶点重合，然后摆动三角板 ， 使得 与 中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的 的度数 ． 03 压轴题型 压轴题型一 线段上动点定值问题 例题：（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段： ， 且m，n满足 ，点M，N分别为 中点． (1)求线段 的长； (2)线段 以每秒4个单位长度向右运动，线段 以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段 的长； (3)若 ，将线段 固定不动，线段 以每秒4个单位速度向右运动，在线段 向右运动的某一 个时间段t内，始终有 为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 巩固训练 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是线段 上一动点，沿 的路线以 的速度往返运动1次， 是线段 的中点， ，设点 的运动时间为 ． (1)当 时，则线段 ________ ，线段 ________ ； (2)当 为何值时， ？ (3)点 从点 出发的同时，点 也从点 出发，以 的速度向点 运动，若当运动时间 满 足 时，线段 的长度始终是一个定值，求这个定值和 的值． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点 表示的数分别 为 ，则 两点之间的距离 ；线段 的中点表示的数为 ． 【知识运用】 （ ）点 表示的数分别为 ，若 与 互为倒数， 与 互为相反数．则 两点之间的距离 为______；线段 的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （ ）在（ ）的条件下，动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，动点 从点 出发以 每秒 个单位的速度沿数轴向左运动，点 是线段 的中点． ①点 表示的数是______（用含 的代数式表示）； ②在运动过程中，点 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间 ； ③线段 的长度随时间 的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使 为 定值？若存在，求常数 及该定值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为 ；②A、B两点间的距离为 ． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足 ， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且 ，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段 上一点（点C不与 A、B重合），当 时，称点C为线段 的左三等分点；当 时，则称点C为线 段 的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段 的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表 示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点 A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段 的左三等分，点Q为 的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m， 使得 的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 压轴题型二 线段上动点求时间问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点 在线段 上，图中共有三 条线段 、 和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 倍，则称点 是线段 的 “巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若 ，点 是线段 的巧点，则 最长为______ ； 【解决问题】 （3）如图②，已知 ，动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速移动；点 从点 出 发，以 的速度沿 向点 匀速移动，点 、 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为 ．当 为何值时， 为 、 的巧点？说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段 上一点， ，C，D两动 点分别从点P，B同时出发沿射线 向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是 ， ①若 ，当动点C，D运动了2s时，求 的长度； ②若经过t秒，点C到达 中点时，点D也刚好到达 的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是 ， ，点C，D在运动时，总有 ，求 的 长度． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线 上有A、B两点， ， 上有两个动点P、Q． 点P从点A出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒 个单位 长度的速度沿直线 向右运动．设运动时间为 （秒）． (1)请用含t的代数式表示线段 的长． (2)当点B是线段 的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段 与线段 的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 3．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段 ，点 、 、 在线段 上，且 ．(1) __________ ， __________ ； (2)已知动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 运动；同时动点 从点 出发，以 的速度沿 向点 运动，当点 到达点 后立即以原速返回，直到点 到达点 ， 运动停止；设运动的时间为 ． ①求 为何值，线段 的长为 ； ②如图2，现将线段 折成一个长方形 （点 、 重合），请问：是否存在某一时刻，以点 、 、 、 为顶点的四边形面积与以点 、 、 、 为顶点的四边形面积相等，若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由． 压轴题型三 几何图形中动角定值问题 例题：（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图 是 的平分线， 是 的平分线， ， (1)求 的度数. (2)当射线 在 的内部线绕点 转动时，射线 、 的位置是否发生变化？说明理由. (3)在（2）的条件下， 的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围. 巩固训练 1．（2022秋·陕西延安·七年级校考期末）已知 ， ， 平分 ， 平分 .（1）如图，当 、 重合时，求 的值； （2）若 从上图所示位置绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒（ ），在旋转过程中 的值是否会因 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由. 2．（2023春·湖北十堰·七年级校考开学考试）如图，过点O在 内部作射线 ． ， 分别平 分 和 ， 与 互补， ． (1)如图1，若 ，则 ______°， ______°， ______°； (2)如图2，若 平分 ．试探索： 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由． 3．（2023秋·江西抚州·七年级统考期末）将一副三角板中含有60°角的三角板的顶点和另一块含有45°角 的三角板的顶点重合于一点 ，绕着点 转动含有60°角的三角板，拼成如图的情况，请回答问题： (1)如图1，当点 在射线 上时，直接写出 的度数是____________度； (2)①如图2，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； ②如图3，当 为 的角平分线时，求出此时 的度数； (3)若 只在 内部旋转，作 平分线 交 于点 ，再作 的平分线 交 于点 ， 在转动过程中 的值是否发生变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．压轴题型四 几何图形中动角数量关系问题 例题：（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB 上方，OD在OE的左侧，AOC 120，DOE80． (1)如图1，当OD平分AOC时，求EOB的度数； (2)点F 在射线OB上，若射线OF 绕点O逆时针旋转n（0n180且n60），FOA3AOD．当 DOE在AOC内部（图2）和DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，FOE和EOC的数量关系 是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 巩固训练 1．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线AB上，COD在直线AB上方，且 COD60，射线OE在COD内部，AOE2DOE． (1)如图1，若OD是BOC的平分线，求COE的度数； (2)如图2，探究发现：当BOD的大小发生变化时，COE与BOD的数量关系保持不变．请你用等式 表示出COE与BOD的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，AOB100，COD40，射线OE平分AOC，射 线OF 平分BOD（本题中的角均为大于0且小于180的角）．(1)如图，当OB，OC重合时，求EOF的度数； 0n40 COD AOEBOF (2)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 的值是否为定值？若是 定值，求出AOEBOF 的值，若不是，请说明理由． 0n220 COD AOE BOF (3)当 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 时， 与 具有怎样的数量关系？ 压轴题型五 几何图形中动角求运动时间问题 例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1， ， ， 三点在一条直线上，且 ， ，射线 ， 分别平分 和 ．如图2，将射线 以每秒 的速度绕点 逆时针 旋转一周，同时将 以每秒 的速度绕点 逆时针旋转，当射线 与射线 重合时， 停止运 动．设射线 的运动时间为 秒． (1)运动开始前，如图1， ______ ， ______ ； (2)旋转过程中，当 为何值时，射线 平分 ? (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如图，O为直线 上一点，过点O作射线 ， ， 将一直角三角板（ ）的直角顶点放在点O处，一边 在射线 上，另一边 与 都在直线 的上方．(1)将图1中的三角板绕点O以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后， 恰好平分 ．求t的值；并判断此时 是否平分 ？说明理由； (2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线 也绕O点以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周， 那么经过多长时间 平分 ？请说明理由． 2．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知， 是 内部的一条射线，且 ． (1)如图1所示，若 ， 平分 ， 平分 ，求 的度数； (2)如图2所示， 是直角，从点O出发在 内引射线 ，满足 ，若 平分 ，求 的度数； (3)如图3所示， ，射线 ，射线 分别从 出发，并分别以每秒 和每秒 的速度绕 着点O逆时针旋转， 和 分别只在 和 内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出 和 的数量关系； ②若 ，当 ，求t的值． 3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）解答下列问题． (1)【探索新知】 如图1，射线 在 的内部，图中共有 个角： ， 和 ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 是 的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若 ，且射线 是 的“巧分线”，则 ．（用含 的代数式表示出所 有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若 ，且射线 绕点 从 位置开始，以每秒 的速度逆时针旋转，当与 与 成 时停止旋转，旋转的时间为 秒． ①当 为何值时，射线 是 的“巧分线”． ②若射线 同时绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，并与 同时停止．请直接写出当射线PQ是 MPN 的“巧分线”时t的值．