文档内容
重难点突破 03 直线与圆的综合应用
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：距离的创新定义....................................................................................................................2
题型二：切比雪夫距离........................................................................................................................3
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题............................................................................4
题型四：闵氏距离问题........................................................................................................................5
题型五：圆的包络线问题....................................................................................................................6
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题....................................................7
题型七：圆中的垂直问题....................................................................................................................8
题型八：圆的存在性问题....................................................................................................................9
03 过关测试...........................................................................................................................................9直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。
题型一：距离的创新定义
【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化
为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之
间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离.若二维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，
余弦相似度为： ，余弦距离为 .
若 ， ，则A，B之间的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
，
【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，
费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知 ， ， ， 为 内一点，记 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】以三角形边 ， ， 为边向形外作正三角形 ， ， ，则 ， ，
三线共点，该点称为 的正等角中心．当 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下
性质：
（1） ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即
费马点）．由以上性质得 的最小值为
【变式1-3】已知平面上的线段 及点 ，任取 上一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，
记作 .请你写出到两条线段 ， 距离相等的点的集合 ， ， ，其中 ，
， ， ， ， 是下列两组点中的一组．对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3
分；② 5分．① ， ， ， ；② ， ， ， ．你选择
第 种情形，到两条线段 ， 距离相等的点的集合 .
题型二：切比雪夫距离
【典例2-1】在平面直角坐标系中,定义 为两点 的“切比
雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ,称 的最小值为点 到直线 的“切比雪夫距离”记作
给出下列四个命题:
①对任意三点 ，都有
②已知点 和直线 则
③到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义 为两点 、 的“切比雪
夫距离”，又设点 及直线 上任意一点 ，称 的最小值为点 到直线 的“切比雪夫距离”，记作
，给出下列三个命题：
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
②已知点 和直线 ，则 ；③定义 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】（2024·上海·二模）在平面直角坐标系中，定义 为两点 、
的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ，称 的最小值为点 到
直线 的“切比雪夫距离”，记作 ，给出下列三个命题：
① 对任意三点 、 、 ，都有 ；
② 已知点 和直线 ，则 ；
③ 定点 、 ，动点 满足 （ ），
则点 的轨迹与直线 （ 为常数）有且仅有2个公共点；
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（2024·高三·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系中，定义 为
两点 、 的“切比雪夫距离”，又设点 及 上任意一点 ，称 的最小值为点 到
直线 的“切比雪夫距离”，记作 ，给出四个命题，正确的是 .
①对任意三点 、 、 ，都有 ；
② 到原点的“切比雪夫距离”等于 的点的轨迹是正方形；
③ 已知点 和直线 ，则 ；
④ 定点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹与直线
（ 为常数）有且仅有 个公共点.
题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题
【典例3-1】（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标
准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离
，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是3D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
【典例3-2】（2024·高三·江苏无锡·开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定
义如下：设 ， ，则 ， 两点间的曼哈顿距离 已知 ，
点 在圆 上运动，若点 满足 ，则 的最大值为 ．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折
线距离”，则圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是 .
【变式3-2】（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系 中，定义 为 ，
两点之间的“折线距离”.已知点 ，动点P满足 ，点M是曲线 上任意一
点，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ， 的最小值为
题型四：闵氏距离问题
【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）闵氏距离（ ）是衡量数值点之间距离的一种非常
常见的方法，设点 、 坐标分别为 ， ，则闵氏距离
.若点 、 分别在 和 的图像上，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·高三·安徽阜阳·期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设
两组数据分别为 和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为
，其中q表示阶数.现有下列四个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系 中，已知点 ， ，记，其中 为正整数，称 为点 ， 间的 距离．下列说法正确的
是（ ）．
A．若 ，则点 的轨迹是正方形
B．若 ，则 与 重合
C．
D．
【变式4-2】（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为
和 ，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中q表示
阶数．下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，其中a， ，则
C．若 ， ，其中a，b，c， ，则
D．若 ， ，其中a， ，则 的最小值为
题型五：圆的包络线问题
【典例5-1】（多选题）设有一组圆 ： （ ）.下列四个命题中真命题的
是
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【典例5-2】（多选题）设有一组圆 .下列四个命题正确的是
A．存在 ，使圆与 轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
【变式5-1】（多选题）已知圆M: ，直线l： ，下面五个命
题，其中正确的是（ ）A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
【变式5-2】（多选题）已知圆 ： ，直线 ： ，下面命题中正
确的是（ ）
A．对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点；
B．对任意实数 与 ，直线 与圆 都相离；
C．存在实数 与 ，直线 和圆 相交；
D．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 与圆 相切.
题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题
【变式5-3】（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学
三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的轨迹是圆，
此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹
为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的方程为
B．点 都在曲线 内部
C．当 三点不共线时，则
D．若 ，则 的最小值为
【变式5-4】圆的反演点：已知圆 的半径是 ，从圆心 出发任作一条射线，在射线上任取两点 ，
若 ，则 互为关于圆 的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点 在圆
外，过 作圆的两条切线，两切点的连线与 的交点就是点 的反演点；若点 在圆 内，则连接
，过点 作 的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为 的反演点.已知圆 ，
点 ，则 的反演点的坐标为 .
【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，
他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ ，且 ），那么点 的轨迹为圆，
这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆 ： ，点 ，平面内一定点 （异于点 ），对于
圆上任意动点 ，都有比值 为定值，则定点 的坐标为 .【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发
现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ， ，点P是满足 的阿氏圆上的
任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线 上的动点，Q在y轴上的射影为M，则
的最小值为 .
【变式5-7】如图，已知平面 ， ， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且
， ， ， ， ． 是平面 上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角
相等，则二面角 的余弦值的最小值是 .
【变式5-8】如图，在正方体 中， ，点 在线段 上，且 ，
点 是正方体表面上的一动点，点 是空间两动点，若 且 ，则 的最小
值为 .
题型七：圆中的垂直问题
【变式5-9】（2024·海南·模拟预测）已知直线ME= 1 AD，直线 过点 且与直线 相互垂直，圆
2
，若直线 与圆C交于M，N两点，则 ．
【变式5-10】（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为
，则 的最大值为 ．
【变式5-11】（2024·高三·北京·期中）已知 为圆 的两条相互垂直的弦，垂足为
则四边形 的面积的最大值为【变式5-12】过定点 作两条相互垂直的直线 、 ，设原点到直线 、 的距离分别为 、 ，则
的最大值是 ．
【变式5-13】（2024·江苏·二模）在平面直角坐标系 中，圆 .已知过原点
且相互垂直的两条直线 和 ，其中 与圆 相交于 ， 两点， 与圆 相切于点 .若 ，则直
线 的斜率为 .
题型八：圆的存在性问题
【典例6-1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知圆 ，点 在直线 上．若存
在过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，且 ， ，则 的取值范围是 .
【典例6-2】（2024·黑龙江·三模）已知圆C： ， ，若C上存
在点P，使得 ，则r的取值范围为 .
【变式6-1】已知圆 和两点 ， ．若圆 上存在点 ，使得
，则 的最大值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知圆 及圆 ，若圆 上任意一点
，圆 上均存在一点 使得 ，则实数 的取值范围是 .
【变式6-3】（2024·广东韶关·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，过F且斜率为 的直线l交
抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为 ；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：
上存在一点M，使得 ，则实数a的取值范围为 .
1．定义平面内任意两点 之间的距离 ，称为 之间的曼哈顿距离．
若点 在直线 上，点 为抛物线 上一点，则 之间的曼哈顿距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．2．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离为： .已知点 在圆 上，点 在直
线 上，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点
的曼哈顿距离 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则
B．若点 ，则在 轴上存在点 ，使得
C．若点 ，点 在直线 上，则 的最小值是5
D．若点 在圆 上，点 在直线 上，则 的值可能是4
4．（2024·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．
在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．
设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ，其中
（O为坐标原点）．已知 ， ，则 的最大值近似等于
（ ）
（参考数据： ， ．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 ，
的曼哈顿距离为 .我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫
“好点”，已知三角形 的三个顶点坐标为 ， ， ，则 的“好点”的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，设点 ，定义 ，其中 为坐标原点.对于下列结论：
（1）符合 的点 的轨迹围成的图形的面积为 ；
（2）设点 是直线： 上任意一点，则 ；
（3）设点 是直线： 上任意一点，则“使得 最小的点 有无数个”的充要条件是“
”；（4）设点 是椭圆 上任意一点，则 .
其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）､（2）､（3） B．（1）､（3）､（4）
C．（2）､（3）､（4） D．（1）､（2）､（4）
7．设 ， 为平面直角坐标系上的两点，其中 ， ， ， 均为整数.若
，则称点 为点 的“相关点”.已知点 是坐标原点 的“相关点”，点 是点 的
“相关点”，点 是点 的“相关点”，……，依此类推，点 是点 的“相关点”.注：点 ，
间的距离 则点 与点 间的距离最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．定义：平面直角坐标系中，点 的横坐标 的绝对值表示为 ，纵坐标 的绝对值表示为 ，我
们把点 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 的折线距离，记为 （其中的“+”
是四则运算中的加法）.若拋物线 与直线 只有一个交点 ，已知点 在第一象限，且
，令 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·浙江·模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵
可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若
， ，则 ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，下列直角梯形中的虚线可以作
为 ， 两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·安徽合肥·模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很
多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程
的解是（ ）
A． B． C． D．
11．设直线系M： ，则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 ，存在正n
边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024·高三·上海浦东新·期中）设直线系 （ ），则下列命题中是
真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交；
②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切；
④ 中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点 不在 中的任一条直线上；
⑥对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
⑦ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3 B．4 C．5 D．6
13．设直线系 ， ，对于下列四个命题：
（1） 中所有直线均经过一个定点；
（2）存在定点 不在 中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数 ， ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上；
（4） 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3） （4） D．（1）（2）
14．设直线系 ，对于下列四个结论：
（1）当直线垂直于x轴时， 或 ；
（2）当 时，直线倾斜角为 ；
（3） 中所有直线均经过一个定点；
（4）存在定点 不在 中任意一条直线上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
15．设有一组圆 ： ．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．③④
16．已知直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
17．已知直线l： 与圆 相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
18．（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时
期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 到两个定点的距离之比为常数 （ 且 ），那么点
的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 到 ， 的距离比为 ，则点 到直线 ：
的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·云南昆明·一模）在棱长均为 的四面体 中，点 为 的中点，点 为 的中点.若
点 ， 是平面 内的两动点，且 ， ，则 的面积为
A． B．3
C． D．2
20．（多选题）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 .若直线 上存在一点 ，
使过 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 的取可以是
A． B． C． D．
21．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点 和 之间的“t距离”为
，其中 表示p，q中的较大者，则点 与点 之
间的“t距离”为 ；若平面内点 和点 之间的“t距离”为 ，则A点的轨迹围成的封
闭图形的面积为 .
22．平面中两条直线 、 相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线 和 的距离，
则称有序非负实数对 是点M的“距离坐标”．已知常数 ， ，给出下列命题：
（1）若 ，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
（2）若 ， ，则“距离坐标”为 的点有且仅有2个；（3）若 ，则“距离坐标”为 的点有且仅有4个．
以上命题中，正确的命题是 ．
23．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 的“切比雪夫
距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d
（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有 ；②已知点P
（3，1）和直线 ，则 ；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．
其中正确的序号为 ．
24．（2024·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有
好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即
.切比雪夫距离是 与 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝
对值中的最大值，即 .已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为
坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 .
25．（2024·四川凉山·三模）点 是 内部或边界上的点，若 到 三个顶点距离之和最小，
则称点 是 的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若 ， ，
时，点 是 的费马点，且已知 在 轴上，则 的大小等于 .
