北师大版初中数学七年级下册教案
北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§1.1 同底数幂的乘法
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
知识与技能：1. 知识与技能目标：让学生了解整式乘法的意义，理
解同底数幂乘法法则的推导过程，并能应用同底数幂乘法法则进行
运算.
2. 数学思考目标：
（1）在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能
力．
（2）通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解
特殊到一般到特殊的认知规律．
3. 问题解决目标：理解并能应用同底数幂乘法法则进行运算，并能
解决相关实际问题.
4. 情感态度目标：体会数学的思想方法，培养学生的探究精神.
重点难点：
重点：应用同底数幂乘法法则进行运算.
教学难点：正确理解同底数幂的乘法法则.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
复习
1、回顾幂的意义：an中，a、n、an分别表示什么？
2、回顾整式的概念（包括系数、次数的相关概念）.
二、新课教学
（一）问题引入
1、阅读章头图，感受本章知识内容.
2、问题：光在真空中的速度大约是 3 × 108 m/s．太阳系以
外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要
4.22 年．一年以 3 × 107 秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？
让学生思考，列出算式：3 × 108×3 × 107×4.22=37.98×
（108×107）
108×107等于多少呢？（由此引入新课）
（二）做一做
1．计算下列各式：
（1）102 × 103；
（2）105 × 108；
（3）10m × 10n（m，n 都是正整数）．
你发现了什么？
1 1
2．2m × 2n 等于什么？(7 )m × (7 )n 和 ( -3 )m × (
-3 )n 呢？（m，n 都是正整数）
1北师大版初中数学七年级下册教案
要求学生独立完成，再集体交流.在此过程中，注意关注学生对幂的
意义的理解程度.同时，注意引导学生观察计算前后底数和指数的关
系，并用自己的语言进行描述.
（三）议一议
问题：am×an等于什么（m，n都是正整数）？为什么？
1、教师鼓励学生观察、回答并猜测归纳出同底数幂的乘法法则，并
用自己的语言加以描述.
2、得出结论后，要求学生从幂的意义加以说明.
3、教师明晰同底数幂的乘法法则.
（四）例题教学
例1：计算
1 1
（1）( -3 )7 × ( -3 )6； （2）(111 )3 × (111
)；
（3）- x3· x5； （4）b2 m· b2 m + 1．
例2 ：光在真空中的速度约为 3 × 108 m/s，太阳光照射到地球
上大约需要
5 × 102 s．地球距离太阳大约有多远？
例题要求学生独立完成，并让5名学生到黑板上板演.教师巡视，给
予适时指导.待全体学生做完后，再集体订正、讲解，指出解题过程
中应注意的问题.
（五）想一想
a m· a n · a p 等于什么 ？
鼓励学生自主探究，再相互交流不同的算法，同时说明每一步计算的
理由.
三、练一练
教材: 随堂练习1、2、3
四、课堂小结：
1、同底数幂的乘法法则是什么？应用法则时应该注意什么？
2、同底数幂的乘法法则是幂的运算的第一个性质，也是整式乘法运
算的重要依据之一.
五、作业布置
习题1.1
教学反思：
2北师大版初中数学七年级下册教案
§1.2 幂的乘方与积的乘方
课时安排：2 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标：1. 知识与技能目标：经历探索幂的乘方法则的过程；掌 批 注
握幂乘方法则；会运用法则进行有关计算。
2. 数学思考目标：培养学生观察探究能力，合作交流能力，培养语言
表述能力。
3. 问题解决目标：体会具体到抽象再到具体、转化的数学思想。熟练
掌握法则并能运用法则进行计算.
4. 情感态度目标：经历体验认识的过程,积累认识数学的方法,在发展
归纳,推理能力和数学表达能力的同时,建立学习数学的信心,体会学习
数学的兴趣.
重点难点：
教学重点：理解和应用幂的乘方法则。
教学难点：幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质的区分。
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1﹑学生叙述同底数幂的乘法运算法则，并用字母表示。
2﹑am·an=am+ n（m ﹑ n 都是正整数） 用语言叙述为：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
3﹑ 复 习 练 习 ⑴ 210×410____ ⑵ a n+1·a
n-1=_____
⑶2n×2n =____ ⑷x2·x3=_____
二、新课教学：
引入：
问题：地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太
阳的半径分别约是地
球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
4
提示：球的体积公式是V = 3 πr3，其中 V 是体积、r是球
的半径．
学生思考后得出答案分别是103倍和（102）3倍。
教师问：（102）3等于多少呢？由此引入新课。
3北师大版初中数学七年级下册教案
做一做:探索幂的乘方法则
1、计算下列各式，并说明理由．
（1）( 62 )4； （2）( a2 )3； （3）( am )2； （4）( am )
n．
在计算过程中，注意让学生明确每一步的理由。
2、鼓励学生用自己的语言描述第（4）题的结论。
3、教师明晰幂的乘方运算法则：
( a m ) n = a mn （ m，n 都是正整数）．
即：幂的乘方，底数不变 ，指数相乘 ．
（三）例题教学
例1、计算：（1）．( 102 )3； （2）( b5 ) 5；
（3）( an ) 3； （4）－( x2 ) m；
（5）( y2 ) 3 · y； （6）2 ( a2 ) 6 － ( a3 ) 4
三、练一练
教材: 随堂练习
四、课堂小结
1、幂的乘方的运算法则是什么？
2、幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则有什么区别和联
系？
五、作业布置
教材: 习题1.2
教学反思：
4北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§1.2 幂的乘方与积的乘方
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体
会幂的意义；理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
2. 数学思考目标：体会用类比的方法探究数学知识，培养语言表述能
力.
3. 问题解决目标：理解积的乘方的运算法则；了解幂的运算的3个运
算法则的区别,并能熟练运用.
4. 情感态度目标：在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的
同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学
的简洁美．
重点难点：
教学重点：积的乘方运算法则及其应用．
教学难点：幂的运算法则的灵活运用．各种法则的区分.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、同底数幂的乘法法则
2、幂的乘方法则
3、练习：
（1）c2 · c 11； （2）(－b ) 2· (－b )
5；
（3）－y3 ·y2； （4）( x4 ) 2；
（5）( b5 ) 2； （6）( y2 ) 2 n；
二、新课教学：
（一）引入
问题：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为 6 ×
103 km，它的体积大约是多少立方千米？
4 4
V = 3 πr 3 = 3 π × ( 6 × 103 ) 3．那么，( 6 × 103 )
3 = ？
5北师大版初中数学七年级下册教案
（二）做一做
（1） ( 3 × 5 ) 4 = 3 ( )·5 ( )； （2） ( 3 × 5 ) m
= 3 ( )·5 ( )；
（3） ( ab ) n = a ( )·b ( )．
1、引导学生根据幂的意义进行计算.
2、让学生用自己的语言描述第（3）题的结论.
3、教师明晰：积的乘方的运算法则：
( ab ) n = a n b n ( n 是正整数)．
即：积的乘方等于每一个因数乘方的积.
（三）、例题教学
例2、计算：
（1）( 3 x ) 2； （2）( - 2b ) 5；
（3）( - 2 xy ) 4； （4）( 3 a2 ) n．
三、练一练
教材： 随堂练习 1、2
四、小结
1、积的乘方的运算法则是什么？
2、幂的三条运算法则分别是什么？它们有什么区别和联
系？
五、作业布置
教材 ：习题 1.3
教学反思：
6北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§1.3 同底数幂的除法
课时安排：2 课时 课型：新授
第1 课时
三维目标： 批 注
1、知识与技能目标：用类比的方法探索同底数幂相除运算法则，会进
行同底数幂的除法运算；理解同底数幂的除法的算理，发展有条理的思
考及表达能力.
2、 数学思考目标：理解同底数幂的除法的运算算理，发展有条理的
思考及表达能力．
3、问题解决目标：同底数幂的除法的运算法则及其应用．
4、 情感态度目标：在本节同底数幂的除法则和零指数、负指数的规
定中，体会规定是因实际计算的需要而产生的.再次体验认识来源于实
践，并在实践中不断发展.
重点难点：
教学重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算.
教学难点：理解零指数和负指数幂的意义.
教具准备：多媒体
教学方法：探索法
教学环节设计：
一、问题引入
问题：一种液体每升含有 1012 个有害细菌．为了试验某种杀菌剂
的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种
细菌．要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少
滴？你是怎样计算的？
1、让学生独立思考，列出算式：1012÷109
2、1012÷109等于多少？集体交流算法，让学生明白算理.
二、探索同底数幂的除法法则
（一）做一做：
1、计算下列各式，并说明理由 ( m > n )．
（1）10 12÷10 9； （2）10 m÷10 n； （3）( - 3 ) m÷( - 3 )
n．
学生思考、讨论，得出下列结论：
10 12÷10 9 =103 ；10 m÷10 n =10m-n ； ( - 3 ) m÷( - 3 ) n=( - 3 ) m-
n
2、观察上面三个等式，你发现什么规律？你能用等式或语言表示这个
规律吗？
让学生分组讨论，并用自己的语言进行描述.
3、教师明晰：同底数幂的除法法则：
a m÷a n = a m - n ( a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n )．
即：同底数幂相除，底数不变 ，指数相减．
4、引导学生根据幂的意义对法则进行说明.
（二）例题教学
例1、计算：
（1）a7÷a 4； （2）( - x ) 6÷( - x ) 3；
（3）( xy ) 4÷( xy )； （4）b2 m + 2÷b2．
三、探索零指数和负整数指数幂的运算法则
（一）做一做
104 = 10 000， 24 = 16，
10 ( ) = 1 000， 2 ( ) = 8，
7北师大版初中数学七年级下册教案
10 ( ) = 100， 2 ( ) = 4，
10 ( ) = 10． 2 ( ) = 2．
猜一猜下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴
交流．
10 ( ) = 1， 2 ( ) = 1，
1 1
10 ( ) = 10 ， 2 ( ) = 2 ，
1 1
10 ( ) = 100 ， 2 ( ) = 4 ，
1 1
1000 8
10 ( ) = ， 2 ( ) =
1、引导学生根据第一组数据猜测第二组括号内应该填什么数.
2、引导学生观察幂的值是怎样随着指数的变化而变化的.
3、教师指出：我们规定
a 0 = 1 ( a≠0 )；
1
ap
a - p = ( a≠0，p 是正整数 )．
（二）例2、用小数或分数表示下列各数：
（1）10 - 3； （2）7 0 × 8 - 2； （3）1.6 × 10 - 4．
（三）
计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流．
（1）7 - 3÷7 - 5； （2）3 - 1÷36；
1 1
（3）(2 ) -5÷(2 ) 2； （4）( - 8 ) 0÷( - 8 ) - 2．
通过讨论，让学生明确：只要 m，n 都是整数，就有 am÷an= am -
n成立！
四、练一练
教材：随堂练习
五、课堂小结
1、同底数幂的除法运算法则是什么？
2、零指数和负整数指数幂的意义是什么？
3、熟记幂的4种运算法则，同时注意性质成立的条件，性质中字
母的意义以及它们的综合应用.
六、作业布置 教材：习题1.4
教学反思：
课题：§1.3 同底数幂的除法
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：能用科学记数法表示绝对值较小的数.体会科学记
数法中负指数的应用.
2. 数学思考目标：通过举例、分析，加深对较小数的认知，发展数感.
3. 问题解决目标：能用科学记数法表示绝对值较小的数.
8北师大版初中数学七年级下册教案
4. 情感态度目标：通过列举生活中较小的数据，体会数学与生活的紧
密联系，激发学习热情；在用科学记数法表示较小数的同时，感受数学
的简洁美.
重点难点：
教学重点：能用科学记数法表示绝对值较小的数.
教学难点：根据要求，对数据进行处理.
教具准备：
教学方法：
教学环节设计：
一、引入
1、问题情景：你知道一粒花粉的直径是多少吗？一根头发丝的直径又
是多少？
无论是在生活中或学习中，我们都会遇到一些较小的数，例如，
细胞的直径只有 1 微米（μm），即 0.000 001 m；
某种计算机完成一次基本运算的时间约为 1纳秒（ns），即 0.000
000 001 s；
一个氧原子的质量 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 kg．
2、教师指出：用科学记数法可以很方便地表示一些绝对值较大的
数，同样，用科学记数法也可以很方便地表示一些绝对值较小的数，例
如，
1
106
0.000 001 = = 1 × 10 -6，
1
109
0.000 000 001 = = 1 × 10 -9，
1
1026
0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 = 2.657 × = 2.
657 × 10 -26
二、科学记数法
1、复习科学记数法的一般形式：（用于表示绝对值较大的数据）
a × 10n，其中 1 ≤a < 10，n是正整数.
2、讲授用科学记数法表示绝对值较小的数：
一般地，一个小于 1 的正数可以表示为 a × 10
n
，其中1≤ a
< 10，n 是负整数．
3、练习
1、用科学记数法表示下列各数：
0.000 000 000 1， 0.000 000 000 002 9，
0.000 000 001 295．
学生独立完成，再集体交流、订正.
2、这些数在计算器上是怎样表示的，它们相同吗？
要求学生动手操作，进一步验证刚才的结果.
三、议一议
1．人体内一种细胞的直径约为 1.56 μm，相当于多少米？多少个
这样的细
胞首尾连接起来能达到 1 m？
2． 估计 1 张纸的厚度大约是多少厘米．你是怎样做的？
学生思考、讨论，再集体交流，达成共识.
9北师大版初中数学七年级下册教案
四、练一练
教材： 随堂练习 1、2
五、小结
1、什么是科学记数法.
2、用科学记数法表示绝对值较小的数据时应该注意什么？
六、作业布置
教材： 习题1.5
教学反思：
10北师大版初中数学七年级下册教案
课题：单项式的乘法
课时安排：3 课时 课型：新授
第1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解单项式的乘法运算的算理,会进行简单的单项
式的乘法运算.
2. 数学思考目标：经历探索单项式乘以单项式法则的过程，体会乘法
交换律、结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能
力.
3. 问题解决目标：熟练进行单项式的乘法运算.
4. 情感态度目标：培养学生对知识的转化能力和学生对问题中所蕴藏
的数学规律进行探索的兴趣.
重点难点：
教学重点：单项式乘法法则的推导及其应用.
教学难点：理解运算法则及其探索过程.
教具准备：多媒体 、插图
教学方法：探索法
教 学 过 程
一、情景引入
1、问题情景：京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如下
图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的
1
8
上、下方各留有 x m 的空白．
（1）第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？
（2）若把图中的 1.2 x 改为 mx，其他不变，则两幅画的面积又该怎
样表
示呢？
学生思考，用式子表示（1）、（2）的答案，分别为：（1）1.2
3
x·x； 1.2 x· 4 x；
3
（2）x·mx； mx· 4 x
二、探索单项式乘法的运算法则
1、上面（1）、（2）的答案可以写得更简单些吗？说说你的理由.
让学生充分讨论、交流.集体交流时让学生明确算理.
11北师大版初中数学七年级下册教案
2、3 a2b·2 ab3及 xyz·y2z又等于什么？你是怎样计算的？
学生根据上面的算理进行计算.待学生得出正确结论后，教师指出上面
的运算就是单项式与单项式相乘.
3、如何进行单项式乘单项式的运算？
鼓励学生自己总结单项式乘单项式的运算法则，并用自己的语言进行
描述.
4、教师明晰：单项式乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其
余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
三、例题教学
例1、计算：
1
3
（1）2 xy2 · xy； （2）- 2 a2b3 ·( - 3 a)；
（3）7 xy2z·( 2 xyz )2．
要求学生详细写出计算过程，以加强对法则的掌握.
四、练一练
教材: 随堂练习
五、课堂小结
1、单项式乘法法则的内容是什么？
2、在利用单项式乘法法则进行运算时应注意什么？
六、作业布置
教材: 习题1.6
教学反思：
12北师大版初中数学七年级下册教案
课题：多项式与多项式的乘法
课时安排： 3课时 课型：新授
第 3 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解和掌握多项式与多项式乘法法则及其推导过
程．
2. 数学思考目标：在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中，
让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义，这样既便于学生理解记忆
公式，又能让学生在解题过程中准确地使用．
3. 问题解决目标：利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则．
4. 情感态度目标：通过探究面积的不同表示方法的过程，让学生体验
探究的过程，培养学生的创新能力.
重点难点：
教学重点：熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法计算．
教学难点：法则的推导及综合应用.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
复习单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的运算法则.单项式乘
以多项式应注意哪些问题？
二、新课教学
（一）创设情景，探索多项式与多项式乘法法则
问题：图 1-1 是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的
长和宽分别增加 a，b，所得长方形（图 1-2）的面积可以怎样表示？
1、学生充分讨论、交流后，汇总不同的表示方式（4种）：
( m + a ) ( n + b )；n ( m + a ) + b ( m + a )；m ( n + b
) + a ( n + b ) 和 mn + mb +na + ba
由于都表示图 1-2中长方形的面积，从而
( m + a ) ( n + b ) = n ( m + a ) + b ( m + a ) =m ( n + b ) + a
( n + b ) = mn + mb + na + ba．
2、从代数运算的角度探索法则；
引导学生把 ( m + a ) 或 ( n + b ) 看成一个整体， 利用乘法分
配律进行探索.此过程要求学生理解算理.
3、鼓励学生归纳多项式与多项式乘法法则.
4、教师明晰法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
13北师大版初中数学七年级下册教案
（二）、例题教学
例3、计算：
（1）( 1 - x ) ( 0.6 - x )； （2）( 2 x + y ) ( x - y )．
三、练一练
教材： 随堂练习
四、课堂小结
1、多项式与多项式相乘，应充分结合导图中的问题来理解多项式与多
项相乘结果，利用乘法分配律来理解（m＋n）（a＋b）相乘的结果，
导出多项式乘法的法则.
2、在运用法则进行计算时，应该注意确定积的各项的符号，同时防止
漏项.
五、作业布置
教材： 习题1.8
教学反思：
14北师大版初中数学七年级下册教案
课题：单项式与多项式的乘法
课时安排：3 课时 课型：新授
第2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导．
2. 数学思考目标：经历探索单项式乘以多项式法则的过程，体会乘法
交分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力.
3. 问题解决目标：熟练进行单项式与多项式的乘法运算.
4. 情感态度目标：培养灵活运用知识的能力，通过用文字概括法则，
提高学生数学表达能力．
重点难点：
教学重点：单项式与多项式乘法法则及其应用．
教学难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、单项式乘法法则是什么？
2、什么叫多项式？举例说明多项
式的项和各项系数.
二、新课教学
1、情景引入：
宁宁也作了一幅画，所用纸的大
1
8
小如图所示，她在纸的左、右两边各留了 x m 的空白，这幅画的画
面面积是多少？
一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为＿＿
＿ ；
另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面
积为＿＿．
1 1
上面两个结论相等，即：x(mx－ 4 x)=mx2－ 4 x2
2、想一想
（1）ab·( abc + 2 x ) 及 c2·( m + n - p ) 等于什么？你是怎
样计算的？
学生分组讨论、交流，得出正确结论后，教师指出这就是单项式
与多项式乘法运算，
（2）如何进行单项式与多项式相乘的运算？
15北师大版初中数学七年级下册教案
鼓励学生自己总结单项式与多项式相乘的运算法则，并用自己的语
言进行描述.同时让学生明确其中的算理.
（3）教师明晰：单项式与多项式相乘的运算法则：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每
一项，再把所得的积相加．
3、例题教学
例2、计算：
2 1
（1）2 ab ( 5 ab 2 + 3 a 2 b )； （2） (3 ab 2 - 2 ab )· 2
ab；
（3）5 m 2 n ( 2 n + 3 m - n2 )；
（4）2 ( x + y 2 z + xy 2 z 3 ) · xyz．
三、练一练
教材： 随堂练习
四、小结
1、单项式与多项式的乘法法则是什么？
2、利用法则进行单项式与多项式的乘法运算时，应该注意什么问题？
五、作业布置
教材：习题1.7
教学反思：
16北师大版初中数学七年级下册教案
课题：平方差公式
课时安排： 2课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公
式，并能运用公式进行简单的运算．
2. 数学思考目标：经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符
号感和推理能力、归纳能力.
3. 问题解决目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单
的运算.
4. 情感态度目标：通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历
探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强
学生学数学、用数学的兴趣.
重点难点：
教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的
运算.
教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、做一做，探索平方差公式
计算下列各题：
（1）( x + 2 ) ( x - 2 )； （2）( 1 + 3 a ) ( 1 - 3 a )；
（3）( x + 5 y ) ( x - 5 y )； （4）( 2 y + z ) ( 2 y - z
)．
1、学生独立完成，再集体订正答案.
2、观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发
现．
学生思考，小组讨论；鼓励学生归纳发现的规律，用算式表示，
并用自己的语言进行描述.
3、教师明晰平方差公式：
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2．
即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
二、例题教学
例1、利用平方差公式计算：
（1）( 5 + 6 x ) ( 5 - 6 x )； （2）( x - 2 y ) ( x + 2 y )；
（3）( - m + n ) ( - m - n )．
例2、利用平方差公式计算：
1 1
（1） ( - 4 x - y ) ( - 4 x + y )； （2）( ab + 8 ) ( ab -
8 )．
17北师大版初中数学七年级下册教案
例题教学时，注意公式的正确运用.
三、想一想
( a - b ) ( - a - b ) = ？你是怎样做的？
学生讨论、交流，进一步明确公式中的a、b分别表示什么.
四、练一练
教材： 随堂练习
五、课堂小结
1、平方差公式是什么?
2、运用公式进行计算时应该注意:
** 错误的表达式 **公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项
式、多项式；
** 错误的表达式 **要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
六、作业布置
教材： 习题1.9
教学反思：
18北师大版初中数学七年级下册教案
课题：平方差公式
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：会用面积法验证平方差公式，并能运用公式进行
简单的运算及解决相关问题.
2. 数学思考目标：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思
想方法.
3. 问题解决目标：了解平方差公式的几何背景, 能运用公式进行简单的
运算.
4. 情感态度目标：让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功
的喜悦.
重点难点：
教学重点：巩固掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的
运算.
教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平
方差公式进行计算．
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、平方差公式是什么？
2、运用公式时应该注意什么？
二、探索平方差公式的几何背景
如图 1-3，边长为
a 的大正方形中有
一个边长为 b 的
小正方形．
（1）请表示图 1-
3 中阴影部分
的面积．
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图 1-4），这个长方形的
长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
引导学生进行探索，并帮助学生理解公式的几何解释.
三、想一想
（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点．
19北师大版初中数学七年级下册教案
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？
（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
四、例题教学
例3、用平方差公式进行计算：
（1）103 × 97； （2）118 × 122．
例4、计算：
（1）a2 ( a + b) ( a - b ) + a 2 b 2； （2）( 2 x - 5) ( 2 x
+ 5 ) - 2 x ( 2 x - 3 )
例题由学生独立完成，并让四名学生到黑板上板演，再集体订正、讲
解.
五、练一练
教材： 随堂练习
六、课堂小结
1、平方差公式的几何意义.
2、平方差公式的正确运用，在进行混合运算时，注意运算顺序及
各项符号.
七、作业布置
教材： 习题1.10
教学反思：
20北师大版初中数学七年级下册教案
课题：完全平方公式
课时安排： 2课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背
景，会应用公式进行简单的计算.
2. 数学思考目标：渗透化归、数形结合等思想方法，培养学生的
发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力.
3. 问题解决目标：理解公式的推导过程，了解公式的几何背；掌
握平方差公式的结构特征，会运用公式进行简单的运算.
4. 情感态度目标：经历完全平方公式的探索过程，体验数学活动
充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立
学习自信心.
重点难点：
教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公
式进行简单的计算.
教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，明确要计算的代数式
是哪两数的和（差）的平方
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、探索完全平方公式
1、观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
( m + 3 )2 = ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m2 + 3m + 3m + 9= m2 + 2 ×
3m + 9
= m2 + 6m + 9，
( 2 + 3 x )2 = ( 2 + 3 x ) ( 2 + 3 x ) = 22 + 2 × 3 x + 2 × 3 x +
9 x2
= 4 + 2 × 2 × 3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2．
学生仔细观察，交流自己的发现；集体交流，达成共识.
2、再举两例验证你的发现.
学生小组讨论、交流，验证刚才的结论.
3、用式子表示结论
学生类比平方差公式的方法得出：( a
+ b )2 = a2 + 2ab + b2．
帮助学生分析公式的特征，并用文字
语言叙述公式.
二、想一想
你能用图 1 - 5 解释这一公式吗？
引导学生仿照探索平方差几何解释的方
法进行探索.帮助学生进一步理解.
三、议一议
21北师大版初中数学七年级下册教案
1、( a - b )2 =？ 你是怎样做的？
鼓励学生运用所学知识进行计算，集体交流不同的算法，并理解
其算理.
板书：( a - b )2 = a2 - 2ab + b2．让学生用自己的语言叙述
这个公式.
2、你能自己设计一个图形解释这一公式吗？
学生小组讨论、交流，得出结论后再集体交流，注意让学生真正
理解几何解释.
3、教师明晰完全平方公式：( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2．
四、例题教学
例1、利用完全平方公式计算：
（1）( 2 x - 3 )2； （2）( 4 x + 5 y ) 2 ； （3）( mn - a
)2
．
五、练一练
教材： 随堂练习
六、课堂小结
1、完全平方公式：( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2．
说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．
2、两种推导方法：多项式乘法导出；图形面积导出.
七、作业布置
教材： 习题1.11
教学反思：
22北师大版初中数学七年级下册教案
课题：完全平方公式
课时安排： 2课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：会对整式的乘法计算式进行适当的添括号，并会
用乘法公式进行简便运算.
2. 数学思考目标：熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括
号的方法.
3. 问题解决目标：综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运
算.
4. 情感态度目标：在灵活应用乘法公式的过程中培养学习数学的兴
趣，同时培养学生观察、类比、发现的能力和逆向思维能力.
重点难点：
教学重点：进一步理解和应用乘法公式.
教学难点：在多项式与多项式的乘法中适当添加括号达到应用公式的
目的.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、平方差公式的内容是什么？
2、完全平方公式的内容是什么？
3、说一说两个公式各自的特征.
二、情景引入
问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人
都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两
个孩子，老人就给每个孩子两块糖……
（1）第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少
块糖？
（2）第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块
糖？
（3）第三天这 ( a + b ) 个孩子一起去看老人，老人一共给了这
些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数一
样多吗？多多少？为什么？
学生思考，独立解决问题，再集体交流.对于问题（4），一定要让
学生弄清多出的原因.
三、例题教学
例2、利用完全平方公式计算：
（1）1022； （2）1972．
引导学生分析完全平方公式的特征，再根据具体算式作适当变
形，变形时要使计算尽可能简便.
例3、计算：
（1）( x + 3 )2 - x2； （2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；
23北师大版初中数学七年级下册教案
（3）( x + 5 )2 -（x-2）（x-3）．
四、练一练
教材： 随堂练习
五、小结
通过本课的学习，你学会了哪些知识或方法？你还有哪些疑惑？
作业布置
教材： 习题1.12
教学反思：
24北师大版初中数学七年级下册教案
课题：单项式除法
课时安排： 2课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握单项式除以单项式运算法则，通过法则的应
用，训练学生的综合解题能力和计算能力．
2. 数学思考目标：理解单项式除以单项式是在同底数幂的除法基础上
进行的.
3. 问题解决目标：能熟练进行单项式与单项式的除法运算.
4. 情感态度目标：培养学生抽象概括能力、运算能力，发展有条理的
思考及表达能力.
重点难点：
教学重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用.
教学难点：法则的探索过程以及能够灵活地运用法则进行计算和化简.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、同底数幂的除法法则是什么？
2、计算：
（1）a7÷a 4； （2）( - x ) 6÷( - x ) 3；
（3）( xy ) 4÷( xy )； （4）b2 m + 2÷b2．
二、探索单项式的除法法则
1、计算下列各题，并说说你的理由．
（1）x5y÷x2； （2）8 m2n2÷2 m2n 1 ；
（3）a4b2c÷3 a2b．
鼓励学生利用已经学过的知识独立解决这几个题目.然后再集体交
流不同的算法，并让学生理解其中的算理.
2、如何进行单项式除以单项式的运算？
引导学生根据上面的算式，概括出单项式除以单项式运算法则，并
用自己的语言进行描述.
3、教师明晰单项式的除法法则，指出运用法则时应注意的问题.
三、例题教学
例1、计算：
1
3
（1）- x2y3÷3 x2y； （2）10 a4b3c2÷5 a3bc；
（3）( 2 x2y )3 · ( - 7 xy2 )÷14 x4y3；
（4）( 2 a + b )4÷( 2 a + b )2．
四、做一做
如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子
里，三个球的体积占整个盒子容积的几分之几？
学生独立解决问题，再集体交流算法.
25北师大版初中数学七年级下册教案
五、练一练
教材： 随堂练习
六、小结
1、单项式的除法法则是什么？
2、应用单项式除法法则应注意：
①系数先相除,把所得的结果作为商的系数,运算过程中注意单项式的系
数包含它前面的符号.
②把同底数幂相除,所得结果作为商的因式,由于目前只研究整除的情况,
所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数.
③被除式单独有的字母及其指数,作为商的一个因式,不要遗漏.
④要注意运算顺序,有乘方要先做乘方,有括号先算括号里的,同级运算从
左到右的顺序进行.
七、作业布置
教材： 习题1.13
教学反思：
26北师大版初中数学七年级下册教案
课题：多项式除以单项式
课时安排： 2课时 课型：新授
第2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解和掌握多项式除以单项式的运算法则，运用
多项式除以单项式的法则进行熟练、准确的计算；通过总结法则，形成
抽象概括能力.
2. 数学思考目标：充分应用“化规”的数学思想.
3. 问题解决目标：能熟练进行多项式与单项式的除法运算.
4. 情感态度目标：学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和
乐趣，增强学习的兴趣.
重点难点：
教学重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用.
教学难点：理解法则导出的依据.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习
1、单项式除以单项式法则是什么？
2、计算
(1) 8 a4b3c÷2 a2b3
3
2
（2）-6x3y4z÷(- x3y3)
二、探索多项式除以单项式的法则
1、计算下列各题，说说你的理由．
（1）( ad + bd )÷d =＿＿＿＿＿＿ ；
（2）( a2b + 3 ab )÷a =＿＿＿＿＿＿；
（3）( xy3 - 2 xy )÷xy =＿＿＿＿＿＿ ．
鼓励学生运用学过的知识独立进行计算，得出正确答案后，再集体
交流不同的算法，并理解其中的算理.
2、如何进行多项式除以单项式的运算法则？
学生根据上面几个算式，归纳多项式除以单项式的运算法则，并用
自己的语言进行描述.
3、教师明晰多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
三、例题教学
例2、计算：
（1）( 6 ab + 8 b )÷2 b；
（2）( 27 a3 - 15 a2 + 6 a )÷3 a；
（3）( 9 x2y－6 xy2 )÷3 xy；
27北师大版初中数学七年级下册教案
1 1
（4）( 3 x2y－xy2 + 2 xy )÷( － 2 xy )．
四、做一做
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为v ，所用时间为t；
1
第二阶段的平均速度为12v，所用时间为t.
2
下山时，小明的平均速度保持为 4v．已知小明上山的路程和下山
的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？
学生独立完成，再集体交流.
五、练一练
教材： 随堂练习
六、课堂小结
1、多项式除以单项式的法则是什么？
2、运用该法则注意什么？
正确地把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题；
计算不可丢项.
七、作业布置
教材：习题1.14
教学反思：
28北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§2.1 两条直线的位置关系
课时安排：2 课时 课型：新授
第1 课时
三维目标： 批 注
1．知识与技能目标：在具体情境中了解对顶角、补角和余角的概念；通
过观察、推理得到对顶角、余角和补角的性质．
2．数学思考目标：经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空
间观念，推理能力和有条理表达的能力．
3．问题解决目标：学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题．
4．情感态度目标：敢于发表自己的想法，培养合作交流的意识．
重点难点：
教学重点：对顶角、补角和余角的概念与性质．
教学难点：推理能力及有条理表达的能力的发展．
教具准备：直尺、量角器
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一.复习引入
1.平面内直线有哪几种位置关 A
系？ 4 D
2.两直线相交可形成几个角？量 1
一量，它们的大小有何关系，看一 O 2
看，相等的两个角的位置有什么特 C
3
点． B
二.对顶角的和性质
1.概念：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，
它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
2.想一想：两条直线相交可形成几对对顶角？它们分别相等吗？如果
没有量角器，你可以凌判定对顶角相等吗？理由是什么？
给出学生充分的思考和交流的时间，并尝试将语言表达成文字．
∵∠1+∠3=180°（平角的定义）∴∠1=180°-∠3
又∵∠2+∠3=180°（平角的定义）∴∠2=180°-∠3
∴∠1=∠2（等量代换）
3.对顶角的性质：对顶角相等．
4.问题解决：P41随堂练习
三.探究补角和余角
A
1.右图中，∠1 与∠3 有什么数量
关系？还有其他的角也构成这种数量 4 D
关系吗？ 1
2. 概 念 ： 如 果 两 个 角 的 和 是 O 2
C
180°，那么称这两个角互为补角，如 3
B
果两个角的和是 90°，那么称这两个
角 互 为 余 角 . 例 如 ： ∠ 1=60° ，
∠2=30°，∠3=120°，
29北师大版初中数学七年级下册教案
其中∠1+∠2=90°，∠1+∠3=180°则称∠1与∠2互为余角，∠1与∠3
互为补角.
A
3.探究补角和余角的性质
D
O
①如图，∠1与∠2都是∠3的补角，它们
1
有何数量关系？你能说出其中的道理吗？ 2
C
②台球被击打情境：∠DON=∠CON=90°， 3
B
∠1=∠2，思考：①图中哪些角互为 ①
N
补角？哪些角互为余角？
②∠3 与∠4 有何数量关系？为什
A B
么？
③∠AOC 与∠BOD 有何数量关系？为
什么？ 3 4
【此问题串要给学生留出充足的思考
和交流时间，并尝试用文字表达思考 1 2
C D
过程．】 O
④ 归 纳 ： 同 角 或 等 角 的 余 角 ②
__________, 同 角 或 等 角 的 补 角
___________.
四.巩固:
1.如图,∠1=30°,求∠2,∠3,∠4
2.如图,CO⊥AB,点O是垂足,∠COD=∠DOE=∠EOB找出图中互余的角和
互补的角.
C
D
4
E
1
2
O
3 A B
O
第1题
第2题
五.小结与作业
1.通过本节课你学到了哪些知识?你是通过哪些方法学到的?
2. 作业 习题2.2
教学反思：
30北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§2.1 两条直线的位置关系
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：在具体情境中了解平行线、相交线，能用符号表示平行或
垂直的直线；会根据不同的条件作出两条互相垂直的直线，知道“平面内，过一
点有且只有一条直线与已知直线垂直”和“垂线段最短”几何事实．
2. 数学思考目标：经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观
念，推理能力和有条理表达的能力．
3. 问题解决目标：学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，并尝试用
所学知识去解决．
4. 情感态度目标：感受成功的快乐，体验解决问题的过程，提升学习图形的兴
趣．
教学重点：
1.本节出现的几何概念及其性质
2.探究方法：操作、观察、推理
教学难点：
1.探究方法的感受和学习；
2.有条理地表达探究过程和结论．
教具准备：直尺、三角板、圆规、网格纸，具有相交线和平行线情境的图片
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一.观察图片，引入两直线的位置关系
a
1.出示具有相交线和平行线情境的图片，
学生观察后回答：图中的直线有怎样的位置关 O
系？ b
2.明晰概念和表达 直线a、b交于点O
① 若两条直线只有一个公共点，我们称 （点O为直线a、b的交点）
这两条直线为相交线．
a
② 在同一平面内，不相交的两条直线叫
做平行线． b
直线a与直线b平行，记作：a b
二.继续观察图片，探究垂直相交
1.出示具有两直线垂直相交情境的图片，
学生观察后回答：
① 图中有相交线吗？
② 两直线相交成几个角？角度有特殊之处吗？
2.明晰概念和表达
两条直线相交成四个角，如果一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
31北师大版初中数学七年级下册教案
l
A
C O D O m
B
记作：ABCD，点O是垂足 记作：lm，点O是垂足
三.探究垂直线的画法
1.借助三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线（复习小学学习过的画法）
2.借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直的直线，预计多数学生会画出AB和
它的垂线，而直线CD和它的垂线考虑到的学生较少，若没有学生考虑到，老师可
给出CD，请学生思考作法．
A B
D
C
3.能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？（教学回归到生活实际）
四.探究垂线的性质
1.做一做：
①点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在
直线l外呢？
A
l l
A
②点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A、B、C在直线l上，比较
线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
2.想一想：
①平面内，过一点___________________与已知直线垂直(性质1)
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,____________最短.(性质2)
3.点到直线的距离:如图,过点A 作l的垂线,垂足为B,
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离. A
4.解决问题:回忆体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?
l
你能说出其中的道理吗? B
五.巩固新知
1.你能找出实际生活中平行线,相交线或垂直相交的例子吗?
2. 随堂练习
六.小结与作业
1.平面内,直线有哪几种位置关系?(平行,相交)
2.关于垂线,有哪些性质?
3.作业 习题2.1
教学反思：
32北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§2.2探索直线平行的条件
课时安排： 2课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：经历操作观察，直观认识“同位角相等，两直线平
行”的结论；会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，掌握平
行线的性质．
2. 数学思考目标：经历观察、操作、想象、推理、交流等过程，进一步
发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力．
3. 问题解决目标：经历从不同角度解决问题的过程．
4. 情感态度目标：积极参与教学活动，激发学习兴趣，培养合作、交流
意识。
教学重点：
1、同位角相等，两直线平行；
2、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线
的两直线平行．
教学难点：理解用三角尺画平行线的道理，通过操作，观察和思考归纳结
论．
教具准备：小木条、量角器
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一.创设情境，引入新课
装修工人向墙上钉两条平行的木条
1.如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹的角为多少
度时，才能使木条a与b平行？
2.如果木条b与墙壁边缘不垂直时，又该怎样？
【预计有学生会想到木条a与边缘夹角要跟木条b与边缘所夹的角一样
大，就此转化成数学问题】
二.探究木条a与木条b平行的条件
1.将实际问题转化成数学问题，三根木
b
条相交成∠1与∠2，当∠1与∠2满足什么 a
样的数量关系时，直线a与直线b平行．
2.探究活动：①固定木条 b、c，转动
1 2
a，观察木条a、b的位置关系怎样随着∠2 3 c
的大小变化而变化． 1
②固定木条a、c，转动木条b，按上述方式 5
7 a
操作和观察．
4 2
3.思考和归纳：当∠1与∠2满足什么条 b
件时，木条a与木条b平行． 6 8
4.明晰：①如图，像∠1 与∠2 这样的
33北师大版初中数学七年级下册教案
位置关系的角叫同位角，∠3与∠4也是同位角．
②找出其它的同位角．
③两直线平行的条件：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平
行．简称为：同位角相等，两直线平行．
三.解决问题
1.还记得小学学习过的用移动三角尺的方法画
两条平行线吗？
P
试说明其中的道理．（图）
∵∠1和∠2是同位角，且∠1=∠2=45° A B
∴a∥b （同位角相等，两直线平行） ①
2.做一做：借助移动三角尺的办法尝试
①过直线AB外一点P画直线AB的平行线，能画出几条？
②在右图中，分别过点 C、D画直线AB的平行线
C
EF、GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？
A B
3.想一想：
①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平
行． ② D
②平行于同一条直线的两条直线平行． a
几何语言表达为： b
如果b∥a，c∥a，那么b∥c．
c
四.巩固： 随堂练习
1.通过图形特征可知关键角的度数为45°；
2.”对顶角相等”与”同位角相等,两直线平行”的综合应用；
3.学生尝试自行画图解决．
五.小结与作业
1.本节课学到了哪些知识?是通过什么方法学到的?
2.作业 习题2.3
教学反思：
34北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§2.2探索直线平行的条件
课时安排： 2课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：会识别“三线八角”中另两类角：内错角和同旁
内角；会根据内错角和同旁内角之间的数量关系来判断两直线是否平
行．
2. 数学思考目标：经历拼、摆、测量合情推理出内错角、同旁内角满
足什么关系时两直线平行；在合作交流过程中倾听他人的思考，关注同
位角与内错角、同旁内角之间的关系，演绎推理出内错角、同旁内角满
足什么关系时两直线平行．
3. 问题解决目标：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的
过程，体验解决问题方法的多样性．
4. 情感态度目标：在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具
有抽象、严谨和应用广泛的特点．
重点难点：
教学重点：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
教学难点：寻求说理的途径和方法，发展有条理的说理能力．
教具准备：三角尺、量角器
教学方法：
教学环节设计：
A
一.创设情境，引入新课
情境：小明有一块小黑板，他想知道它的上、下边缘
是否平行，他现在身边只有一个量角器，他想应用上
节课学的知识来进行检测，你认为他可以做到吗？如
果不可以，你能帮他想想办法吗？ BA
估计有学生会作直线AB，然后测量∠1与∠2的度数 1
并比较其大小，将此方法交由全班讨论。应该会有同
学想到小黑板上只能作出线段AB，因此∠1是不存 2
在的，因而也无法测量。这时要通过角的数量关系来
B
判断上下边缘是否平行就要另辟蹊径。给出学生充分
的操作和思考交流来探索，还有哪些角可以用来判断
直线是否平等．
二.探索两直线平行的条件
1.内错角和同旁内角
具有∠2与∠5这样位置关系的角称为内错角，具有∠2与∠7这样
位置关系的角称为同旁内角．
2.找出图中其它的内错角和同旁内角．
3. 随堂练习1
4.右图中有内错角和同旁内角吗？当他们分别满足什么关系时，两
直线平行？为什么？
35北师大版初中数学七年级下册教案
为什么？
5、结论：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两
条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么
这两条直线平行．
三.应用新知解决问
题 C D
1.如图：三个相 B
同的三角尺拼成一个
图形，请找出 图中
的一组平行线，并说
E
明你的理由． A
【此图中平行线组较
多，平行的依据可以
从内错角的数量关系考虑，也可以从同位角的数量关系考虑，还可以
从同旁内角的数量关系考虑，给足学生思考和交流时间】
2. 随堂练习2
四.小结
如何判断两直线是否平行？
五.作业习题2.４
教学反思：
36北师大版初中数学七年级下册教案
课题：平行线的性质.
课时安排：2 课时 课型：新授 授课人 董振红
第1 课时
教学目标： 批 注
1．知识与技能目标：经历测量、交流、思考等活动归纳并掌握平行线的性质，并
能解决一些问题.
2．数学思考目标：经历操作、观察、推理和交流等活动，进一步发展空间观念，
推理能力和有条理表达的能力.
3．问题解决目标：积累探究新知的方法.
4．情感态度目标：培养合作交流意识，同时发展独立思考的能力；
教材分析：平行线是最简单、最基本的几何图形,在生活中随处可见,它不仅是研
究其他图形的基础,而且在实际生活中也有着广泛的应用。平行线的性质为三角形
内角和定理的证明中转化的方法提供了支撑，，也为今后学习三角形全等、三角
形相似等知识奠定了理论基础，因此学好这部分内容至关重要。
教学重点：平行线的性质.教学难点：平行线的性质与判定的联系与区别.
学情分析：在七年级上学期，学生对几何知识的学习过程中，已经历了一些探
索、发现的数学活动，并积累了一些直观活动经验，具备了一定的图形的识别能
力和借助图形分析、解决问题的能力，初步感受了推理说明的必要性；同时七年
级学生经过一个学期的合作交流，初步形成了一定的合作学习的经验，具备了一
定的合作与交流的能力。
教具准备：直尺、量角器
教学方法：探究方法
教 学 过 程
教学环节设计：
一.创设情境，引入新课
1、作图：作直线a∥b，作直线c与a、b
相交， c
2、上述作图中共有几个角？它们有怎样
2
的位置关系？ 1
3、这些角有特殊的数量关系吗？你是怎样 3
4 a
知道的？【给出充足的探究时间，允许学生
6 5
通过测量、剪拼、思考等多种方式获得结论】
b
二.平行线的性质
7 8
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相
等．
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
分别简称为：两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
三.应用新知
例 1、 如图，AB∥CD，∠1=65°，求∠2，
∠3，∠4的大小．
2
解：∵AB∥CD（已知） A B
∴∠2=∠1=65°（两直线平行，同位角相等） 3 4
∠3=∠1=65°（两直线平行，内错角相等）
1
【或∠3=∠2=65°（对顶角相等）】 C D
∠ 4=180°-∠ 1=180°-65°=115° （ 两 直 线 例1
37北师大版初中数学七年级下册教案
平行，同旁内角互补）
【或∠4=180°-∠2=180°-65°=115°（平角的定义）】
例2、一束平行光线AB与CD射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=
∠4．
（1）∠1∠3的大小有什么关系？∠2与∠4
A C
呢？ D
（2）反射光线BC与EF平行吗？ F
解：（1）∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知） 1 2 3 4
∴∠2=∠4（等量代换）
B 例2 E
（2）由（1）知∠2=∠4
∴BC∥EF（同位角相等，两直线平行）
例3、 随堂练习
该题答案不惟一，鼓励学生通过交流找到所有答案．
四．小结
平行线的特征有哪些？它与平行线的判定方法有什么关系？
五．作业 习题2.5
教学反思：
38北师大版初中数学七年级下册教案
课题：平行线的性质.
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1．知识与技能目标：熟练运用平行线的判定方法和性质解决问题.
2．数学思考目标：发展空间观念，推理能力和有条理的说理能力.
3．问题解决目标：经历解决问题的过程，积累分析和解决问题的方法.
4．情感态度目标：培养合作交流意识，发展独立思考、倾听反思的能
力．
教学重点：运用所学知识解决问题.
教学难点：分辨清楚何时用平行线的判定条件，何时用平行线的性质.
教具准备：直尺、量角器
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一．复习
平行线有哪些性质？如何判定两直线是否平行？
二．平行线的判定
例1、如图，（1）若∠1=∠2，
A M
可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪
两条直线平行？根据是什么？
B
（3）若∠3+∠2=180°，可以判
定哪两条直线平行？根据是什 2 F
么？ 3
【分析】：（1）尽管此题只是
平行线的判定的专项练习，但 1
C
它的难度在于判断是哪两条直线 例1 D E
平行，而准确判断的前提是能
正确辨认两角之间的位置关系．（2）有条理的进行书面表达是本例题
的第二个目的．
解：（1）∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2，根据“内错角相等，两直
线平行”，可得BF∥CE．
也可表达成：∵∠1=∠2（已知）
∴BF∥CE（内错角相等，两
D C
直线平行）
第（2）、（3）问学生独立完成，全班交 1
F
流． E 2
例2、如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那
么EF与AB平行吗？说说你的理由。 a
【分析】：此题仍是平行线的判定，但它 A B
例1 2 3
不是单一的一步判断，而是两步判断，同
时用了两种不同类型的判断依据。 2 b
在例1的基础上，学生尝试用文字表达
思考过程，全班交流，老师指导。 c 例3 d
39北师大版初中数学七年级下册教案
三.平行线的特征的应用
例3、如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3的度
数．
【分析】：此题是应用平行线的特征求角的大小，需要学生正确辨认两
角之间的位置关系，与例2一样，学生尝试独立完成，然后全班交流．
四.综合应用
例 4、如图，∠1=60°，∠2=120°，
4
1 a
∠3=70°，求∠4的度数．
【分析】①此题先通过∠1 与∠2 判断出
a∥b，然后根据a∥b和∠3=70°求出∠4．
②在通过∠1与∠2判断a∥b时，不同的学 2 3 b
生个体会有不同的依据选择，要鼓励学生思 c 例4 d
考的多样化．
③思考：两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么内错角相等吗？同旁内角互补吗？
例5、 随堂练习
五．小结与作业
1、通过本节课的学习，你在解决与“平行线”有关的问题方面有哪些
收获？
2、作业 习题2.6
教学反思：
40北师大版初中数学七年级下册教案
课题：用尺规作角.
课时安排： 1课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1．知识与技能目标：会用尺规作一个角等于已知角.
2．数学思考目标：会利用测量、比较等方式难新作的角是否等于已知
角.
3．问题解决目标：可以用尺规作角来画已知直线的平行线.
4．情感态度目标：积极参与教学活动，体验克服困难的过程，感受成
功的快乐．
重点难点：
教学重点：用尺规作角.
教学难点：尺规作图的书写要求.
教具准备：直尺、圆规
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一.动手操作，感受成功
1、提出问题：怎样利用尺规，作一个角等于已知角？
2、自学P57做一做
3、按照作图步骤亲自操作，设法验证，感受成功
二.运用新知解决简单问题，激发探索欲
例1、已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB
例2、如图，已知∠ABC和∠DEF，利用尺规作图比较它们的大小。
D
A
B C E F
例2
三.解决实际问题
如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的
一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一 A
条边为AB.
（1）请过点C画出与AB平行的另一边.
（2）如果只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你
能解决这个问题吗？
B C
【分析】：（1）不限制作图工具，不限制作图方
法；
（2）由于学生在小学对平行四边形对边平行且相等有所了解，可以通
过作一条线段等于已知线段来解决，多数学生在当前的学习环境中可
以通过作一个角等于已知角来解决。
四．小结与作业
1、尺规作图的书写要求有哪些？
41北师大版初中数学七年级下册教案
2、怎样用尺规作一个角等于书籍角？
3、作业 习题2.7
教学反思：
42北师大版初中数学七年级下册教案
课题：用表格表示的变量间关系
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
过程与方法：1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反应
变量之间关系的例子
2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并能根
据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测。
知识与技能：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生
体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了
解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。
情感与态度：体会数学的概念来自于实践生活，感受探究变量关系在生活中的应
用，树立积极参与，勇于探索的科学态度。
重点难点：
教学重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量
的变化情况
教学难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。
教具准备：
教学方法：自主探究法
教 学 过 程
创设情境，合理引入
背景一：王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间．他们得
到如下数据：
表 1
支撑物
高 度 / 10 20 30 40 50 60 70 80 90
cm
小车下
滑 时 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
间/s
（1）支撑物高度为 70 cm 时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用 h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间，随着 h 逐渐变大，t 的变化
趋势是什么？（3）h 每增加 10 cm，t 的变化情况相同吗？
（4）估计当 h = 110 时，t 的值是多少．你是怎样估计的？
（5）随着支撑物高度 h 的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
学生分组讨论、交流并回答所提出的问题
议一议
背景二：我国从 1949 年到 2009 年的人口统计数据如下（精确到 0.01 亿） ：
表 2
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009
人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 13.35
（1）如果用 x 表示时间，y 表示我国人口总数，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势
是什么？（2）从 1949 年起，时间每向后推移 10 年，我国人口是怎样变化的？
学生分组讨论、交流并回答所提出的问题
新课讲解
通过学生对背景一和背景二提出的问题归纳总结得出结论：
在表 1 中，支撑物高度 h 和小车下滑时间 t 都在变化，它们都是变量
43北师大版初中数学七年级下册教案
（variable） ．其中 t 随 h 的变化而变化，h 是自变量（independent
variable） ，t 是因变量（dependent variable） ．
在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板长度）一直没有变化．像这种在变化
过程中数值始终不变的量叫做常量（constant） ．
在表 2 中，我国人口总数 y 随时间 x 的变化而变化，x 是自变量，y 是因变
量．
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况．
随堂练习
1．生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流．
2．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关
系：
氮肥施用
量/（千 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
克/公顷）
土豆产量/（吨/ 21.3 25. 32.2 34.0 39. 43.1 43.4
15.18 40.83 30.75
公顷） 6 72 9 3 45 5 6
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当氮
肥的施用量是 101 千克／公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？（3）根据
表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说
一说氮肥的施用量对土豆产量的影响．
课堂小结：今天这节课，你学到了哪些知识？有哪些收获与感受？说出来大家分享．
作业：习题4.1
教学反思：
44北师大版初中数学七年级下册教案
课题：用关系式表示的变量间关系
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1、过程与方法：经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步
体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
2、知识与技能：能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关
系。
3、情感与态度：能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值
对应关系。
重点难点：
教学重点：
1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系
教学难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关
教具准备：
教学方法：探索讨论、归纳总结。
教 学 过 程
复习回顾
1．在《小车下滑的时间》 中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在
变化，它们都是变量。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而
变化，支撑物的高度h是自变量。小车下滑的时间t是因变量。
2．练一练
婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4
倍，6周岁、10周岁时的体重分别大约是1周岁时的2倍、3倍。
（1）上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
发 生 变 化 的 量 是 ： 自 变 量
是： 因变量是：
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情
况填入下表：
根据表中的数据，说一说儿童从出生到 10周岁之间体重是怎样随着年龄
的增长而变化的。
年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁
体重/千克
复习巩固上一节的内容，并通过一个简单的问题暗示了表示变量之间关系
的另一种形式。
探索新知：
如图所示,△ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所
在直线向点C运动时,三角形的面积发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是__________.
(2)：如果三角形的底边长为x (厘米),那么三角形的面积y (厘米2)可表
示为__________。当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从
________厘米2变化到_______厘米2.
y = 3 x表示了图中三角形底边长 x 和面积y之间的关系，它是变量 y
45北师大版初中数学七年级下册教案
随 x 变化的关系式．
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，如 y =
3x，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．
在这里教师重点要引导学生观察变化中面积是怎样随着
高变化而变化的。重点理解上面的题目中第2小问的意思。
做一做：
1、如图所示4—2（见课本），圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由
小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。
（ 1 ） 在 这 个 变 化 过 程 中 ， 自 变 量 是 ____________, 因 变 量 是
______________.
(2) 如果圆锥底面半径为r (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与r 的关
系式是_____________
(3) 当底面半径由1 厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由______厘米3
变化到______厘米3.
2、如图所示,圆锥的底面半径是2 厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆
锥的体积也随之而发生了变化.
(1) 在这个变化过程中，自变量是________,因变量是_________.
(2) 如果圆锥的高为h (厘米),那么圆锥的体积V(厘米3)与h 的关
系式是_____________
(3) 当高由1 厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3
变化到_______厘米3.
两个做一做中，可以先用课件展示这个变化过程给学生看，让他们小组
内交流从而得到答案，再独立完成第2小题。教师在此基础上给予点评。
议一议
你知道什么是“低碳生活”吗？ “低碳生活”是指人们生活中尽量减少
所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW · h）×0.785
开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝油耗升数（L）× 2.7
家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用立方米数（m3）× 0.19
家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用吨数（t）× 0.91
（ 1 ） 家 居 用 电 的 二 氧 化 碳 排 放 量 可 以 用 关 系 式 表 示 为 （
），其中的字母表示（ ）
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1 kW·h，二氧化碳排放量增加（
）
当耗电量从1 kW·h 增加到 100 kW·h 时，二氧化碳排放量从（
）
增加到（ ）
（3）小明家本月用电大约110 kW·h、天然气 20 m3
自来水5 t、油耗 75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放
量．
巩固练习：
1、如图所示,长方形的长为12,宽为x,则
46北师大版初中数学七年级下册教案
(1)若设长方形的面积S,则面积S与宽x之间有什么关系?
(2)若用C表示长方形的周长,则周长C与宽x之间有什么关系?
(3)当x增加一倍时,长方形的面积S 是如何变化的? 周长C又是如
何变化的?说一说你为什么会这样认为?
(4) 当x为何值时,长方形会变成一条线段?
小 结：自变量和因变量之间的关系；根据关系式找出与自变量相应
的因变量的数值。
作 业：习题6.2：
教学反思：
47北师大版初中数学七年级下册教案
课题：用图象表示的变量间关系
课时安排： 2课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1、过程与方法：经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量
之间的关系。
2、知识与技能：能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描
述。
3、情感与态度：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。
重点难点：
教学重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义，并能从图象中获
取变量之间关系的信息。
教学难点：能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。
教具准备：
教学方法：自主探究法
教 学 过 程
复习引入
（一）、预习课本
（二）、思考：用图像表示变量之间的关系时，水平方向的数轴（横
轴）上的点表示什么？，竖直方向的数轴上的点表示什么？
（三）、预习作业：
1、如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像．请回答下列问题：
（1）二月份平均气温是______C，十月份平均气温______C；
（2）这一年中，月平均气温最高的是______月，温度大约是______C；
（3）月平均最高气温与最低气温大约相差______C
（4）月平均最高气温为10C的月份是______月，它可能是______季节；
（5）上述变化中，自变量是______，因变量是______；
（6）估计明年一月份的平均气温会低于0C吗？
学习过程
要点引导
1、图像是表示________之间关系的一种方法，它的特点是更________、更
________地反映了因变量随自变量变化的情况．
2、用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点
表示________，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示________
例题讲解
例1、某山区今年６月中旬的天气情况是：前５天小雨，后５天暴雨，那么
反映该地区某河流水位变化的图像大致是（ ）
A B C D
变式1、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定
的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定的速度注水，等水箱的水满后，
又立即按一定的速度放掉水箱一
48北师大版初中数学七年级下册教案
般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量 v（立方米）与放水或注水时间
t（分钟）之间的关系的是（ ）
A B C D
例2、新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按
规定剂量服用，那么2小时的时候血液中含药量最高，接着逐步衰减，每毫
升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示．当儿童按规
定剂量服药后：
（1）何时血液中含药量最高？是多少微克？（2）A点表示什么意义？
（3）每毫升血液中含药量为2微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这
个有效期是多长？（4）你建议该儿童
首次服药后几小时再服药？为什么？
变式2、 如图，是表示某天小明上学从
家到学校时，离家的距离与时间的关系
的图像。
（1）小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？
（2）中途小明停下来子啊路边的商店买了一些练习本，图中那一段曲线表
示这一过程？
（3）你能想象小明从离家到第4min时的情况吗？
课堂小结：图象是表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。
作业：本节习题
教学反思：
49北师大版初中数学七年级下册教案
课题：用图象表示的变量间关系
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1、知识与技能：从图中分析变量之间关系，发展从图象中获得信息的能力及
有条理地进行语言表达的能力。
2、过程与方法：经历从图中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理
解。
3、情感与态度：通过速度随时间变化的实际情境，进一步体验图象上的点
所表示的意义。
重点难点：
教学重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。
教学难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。
教具准备：
教学方法：自主探究法
教 学 过 程
预习
（一）、预习课本
（二）、思考：每一个图像反映了什么样的变化过程？
（三）、预习作业：
1、如图，是某人骑自行车的行驶路程s（千米）与行
驶时间 t（时）的函数图像，下列说法不正确的是
（ ）
A.从0时到3时，行驶30千米
B.从1时到2时匀速前进
C.从1时到2时原地不动
D.从出发地到1时与从2时到3时的行驶速度相同
学习过程 速
要点指导 度/v b
1、观察右图回答下列问题：
a
（1）a代表物体从____________开始____________运动；
d c
（2）b代表物体________________运动；
（3）c代表物体________________运动；
（4）a表示的速度________d表的速度（填“>”、“=”0或“<”） 时
2、观察右图回答下列问题： 路 间/t
（1）a代表物体____________运动； 程/S
（2）b代表物体____________；
b
（3）c代表物体______运动直至回到______；
例题讲解 a c
例1、汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的。
下面的图像表示一辆汽车的速度随时间变化而变化
的情况。 0 时
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？ 间/t
它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行
驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生
了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车
50北师大版初中数学七年级下册教案
的行驶情况。
变式1（1）一列火车从青岛站出发，加速行驶一段时间开始匀速行驶。过了
一段时间，火车到达下一个车站。乘客上下车后，火车又加速，一段时间后
再次开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情
况的图是下图中的（ ）
A． B． C． D．
（2）小李骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回
b千米（b<a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系示意图
是（ ）
例2、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的
距离与时间的变化情况（如图所示）
（1）图像表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方时什么时间？离家多远？
（4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？
（6）由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
变式2、
（1）如图，是自行车行驶路程与时间的关系图，则整个行驶过程的平均速度
是（ ）
A．20 B．40 C．15 D．25
（2）如图所示，OA、BA 分别表示
甲、乙两名学社运动的路程与时间的
关系图像，图中 S和t分别表示运动
路程和时间，根据图像判断快者的速
度比慢者的速度每秒快（ ）
A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m
课堂小结
要学会分析图象，用图象解析现实变化着的量的关系，并要从图象中获
得信息有条理地进行语言表达出来。作业：本节习题
教学反思：
51北师大版初中数学七年级下册教案
52北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.1认识三角形
课时安排：4 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握三角形的概念，会用几何语言表达三角形及
其基本要素；掌握三角形内角和等于180度，直角两锐角互余；会按角
的大小对三角形进行分类。
2. 数学思考目标：通过测量、操作、想象、推理、交流活动发展几何
直观和空间观念。
3. 问题解决目标：尝试用第二章所学知识来确定三角形内角和等于
180度。
4. 情感态度目标：体验克服困难的过程，认识数学具有抽象、严谨的
特点，体会数学的价值。
重点难点：
教学重点：三角形的概念及其表达，三角形的分类（按角）和内角和定
理
教学难点：运用平行线的性质和判定来推理三角形内角和定理。
教具准备：锐角、钝角、直角三角形纸片各两张
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、创设情境，认识三
角形
1、出示如右图所示的
图片，并提问：
①你能从图中找出 4个
不同的三角形吗？
②这些三角形有什么共同的特点？
2、明晰概念：由于学生在小学接触过三角形，因此很容易答出三角形
具有三条边，三个角和三个顶点。所以教师只需将三角形概念明晰。
“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的图形叫做三角
形，它有三条边，三个内角和三个顶点。
3、表示三角形及其基本要素
学生在交流各自找出的4个
不同的三角形时，只能用“这个 A
三角形”、“那个三角形”或是
用手指在图上比划来进行，非常
不方便，此时引出三角形的表示 c b
就显得非常必要。
如图，可记作“⊿ABC”，
线段AB、BC和CA可记作边AB， B a C
边BC和边CA，有时边用边所对
53北师大版初中数学七年级下册教案
的顶点的小写字母来表
示，即边 BC用a表示， A
边AC，边AB分别用b、c
来表示。三个内角可分别 G
F
记作∠A、∠B、∠C。
4、练习：学生用所学方 C
法交流各自找到的4个不
B D E
同的三角形。
二、激活思维，用推理来
确定三角形内角和等于180°
1、在小学我们知道，三角形内角和等于180°，还记得是怎样得到这
个结论的吗？【①剪拼 ②测量、计算】
2、上述方法有可能存在误差，你能否通过其他方法来确定这个事实
吗？
①给足学生思考时间，若仍没有学生考虑出方法，教师可在黑板上操
作，给出几何直观，再引导学生进行思考。
②对于学习能力较强的学生，可引导他们将口头表达转换成文字表达。
3、明晰结论：“三角形三个内角和等于180°”
4、练习：
①⊿ABC中，∠A=44°,∠B=46°,∠C=_______°
②⊿ABC中，∠A=50°,∠C=20°,∠B=_______°
③⊿ABC中，∠B=60°,∠C=45°,∠A=_______°
④⊿ABC中，∠A=∠B=40°,∠C=_______°
⑤⊿ABC中，∠A=90°,∠B=20°,∠C=_______°
⑥⊿ABC中，∠A=∠B,∠C==40°, ∠B=_______°
三、发展思维，按角的大小对三角形进行分类
1、完成P65、66议一议
2、思考：一个三角形中最多有几个钝角？为什么？直角呢？锐角呢？
一个三角形的三个内角能否有一个钝角，一个直角和一个锐角同时存
在？为什么？
3、按三角形内角的大小将其分类
锐角三角形：三个内角都是锐角
三角形 直角三角形：有一个内角是直角（用Rt⊿ABC来表示直角三角形
ABC）
钝角三角形：有一个内角是钝角
4、直角三角形两锐角之间的数量关系
由于直角三角形中有一内角是直角即90°，所以另外两个内角都只能
是锐角，且其和为180°-90°=90°，即
直角三角形的两个锐角互余
5、巩固练习：
① 想一想
② 随堂练习
③填表，Rt⊿ABC中，∠C=90°
54北师大版初中数学七年级下册教案
锐角A 30° 72°
锐角B 45° m°
四、小结与作业
1、本节课学到了哪些知识？在说理方面有什么收获？
2、作业：习题4.1
教学反思：
55北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.1认识三角形
课时安排：4 课时 课型：新授
第 3 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：了解三角形的中线和角平分线，了解重心的概念，会
画出三角形的中线和角平分线，知道三角形的三条中线交于一点（重心）
三条角平分线也交于一点。
2. 数学思考目标：经历画、折等操作，观察得到的几何直观，归纳得出数
学结论，发展合情推理能力。
3. 问题解决目标：学习在具体情境中从数学角度提出问题，会根据重心的
性质解决实际问题。
4. 情感态度目标：体验解决问题的过程，增强学好数学的信心。
重点难点：
教学重点：三角形的中线和角平分线的概念和性质。
教学难点：理解三角形的中线和角平分线是线段；用几何语言表达三角形
的中线和角平分线条件下得到的结论。
教具准备：三角形卡片、刻度尺、量角器
教学方法：
教 学 过 程
一、创设情境，激发求知欲
教师演示用铅笔支起一张均匀的三角形卡片，问学生能否也做到？
学生会立刻进入尝试阶段，也许有学生经过不停地尝试可以做到，此时，
教师可以告诉学生：支点是一个特殊的
点，从而激发起学生的求知欲。 A
二、学习和探究三角形的中线
1、明晰概念：在三角形中，连接一个顶
点与它对边中点的线段，叫做这个三角形
的中线。
C
B
几何表达：∵AD是⊿ABC的中线（已知） D
∴BD=DC（中线的定义）
1 1
2 2
（或BD= BC，DC= BC；或BC=2BD，BC=2CD）
2、探究活动：
① 画出准备好的三角形卡片的中线，能画出几条？它们有怎样的位置关
系？
② 分组合作，探究不同类（按角分）的三角形是否都有三条中线？感受分
类思想：它们有相同的位置关系吗？（可以折，也可以画）
3、结论：一个三角形有三条中线，这三
条中线交于一点。 A
三、学习和探究三角形的角平分线
1、明晰概念：在三角形中，一个内角的
角平分线与它的对边相交，这个角的顶点
与交点之间的线段叫做三角形的角平分 C
B
线。 D
56北师大版初中数学七年级下册教案
几何表达：∵AD 是⊿ABC 的角平分线（已
A
知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
1 2
（或∠1=1/2∠BAC，∠2=1/2∠BAC；或
∠BAC=2∠1，∠BAC=2∠2）
C
2、探究活动 B D
① 在三角形卡片的背面画出它的角平分
线？可以画几条？它们有怎样的位置关系？
② 分组合作，感受分类思想：探究不同娄（按角分）的三角形是否都可以
画出三条角平分线？它们有相同的位置关系吗？（可以折，也可以画）
3、结论：一个三角形有三条角平分线，这三条角平分线也交于一点。
四、动手实践，揭开谜底
1、请学生将铅笔分别在中线交点处和角平分线交点处进行尝试，确定在
哪个交点处可以支起三角形卡片。
2、将三角形中线探究活动中的结论补充，三角形三条中线的交点称为三角
形的重心。
五、问题解决 随堂练习
六、小结与作业：1、本节课学到了哪些知识？感受到哪种数学思想？
2、作业 习题4.3
教学反思：
57北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.1认识三角形
课时安排：4 课时 课型：新授
第2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握“三角形任意两边之和大于第三边”和“三
角形任意两边之差小于第三边”；会按边的关系对三角形进行分类。
2. 数学思考目标：鼓励学生通过测量、计算、比较来得到结论以发展
合情推理能力，同时关注学生用“两点之间线段最短”来说明结论以发
展演绎推理能力。
3. 问题解决目标：经历探索说理和解决问题的过程，增强应用意识，
提高实践能力。
4. 情感态度目标：体验解决数学问题的过程，养成合作交流习惯，注
重严谨的科学态度。
重点难点：
教学重点：三角形三边关系及其应用。
教学难点：①理解三角形任意两边之差小于第三边
②应用三边关系解决问题。
教具准备：刻度尺，锐角、钝角、直角三角形纸片各一张，10、5、
7、8、12、15厘米的小棒（吸管）各一根
教学方法：
教 学 过 程
一、创设情境，激活思维
1、情境：出示教材议一议图片。
提问：黄色彩灯电线与红色彩灯电
线哪根长？根据是什么？
2、激活思维：三角形任意两边之
和大于第三边。
3、进一步思考：你能说明这个结论的理由吗？
【引导学生用“两点间线段最短”来演绎推理】
二、再次设疑，拓展思维
1、提出问题：例题：有两根长度为5cm和8cm的木棒，若要再找一根
木棒与它们能摆成三角形，这根木棒应该多长？
【预计学生会脱口而出的答案是：小于13cm】
2、做一做：请学生分别用
① 12cm，5cm，8cm； ② 7cm，5cm，8cm；
③ 15cm，5cm，8cm； ④ 1cm，5cm，8cm
来摆拼三角形，发现了什么？
3、第④组中第三根木棒1cm，小于13cm，为什么不能摆成三角形？
【由此激发学生思考第三根木棒不能太短，应该有个限制。】
58北师大版初中数学七年级下册教案
4、合作完成并交流：
测量出手中三张三角形纸片各边的长度，计算每个三角形任意两边之
差，并与第三边比较，能得出什么结论？
5、明晰结论：三角形任意两边之差小于第三边。
6、解决问题：第三根木棒的长度还应大于8-5=3（cm）
即 3cm<第三根木棒长度<13cm
三、应用新知解决问题
随堂练习
四、按三角形边的关系进行分类
1、测量教材图3-9出示的各三角形的各边，比较每个三角形中三边的
长度，你能根据比较结果将三角形分类吗？
2、按边的关系对三角形进行分类：
① 三边各不相等 顶角
② 有两边相等：等腰三角形
③ 三边都相等：等边三角形（正三角形）
腰 腰
五、小结与作业 底角
1、三角形三边具有怎样的关系？
2、作业：习题4.2
底边
教学反思：
59北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.1认识三角形
课时安排：4 课时 课型：新授
第 4 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：了解三角形的高并能在三角形中作出它；知道三
角形的三条高交于一点并会根据高的交点位置判断三角形的形状。
2. 数学思考目标：经历画、折等操作，观察得到的几何直观，归纳得
出数学结论发展合情推理能力。
3. 问题解决目标：学习在具体情境中从数学角度提出问题。
4. 情感态度目标：体验解决问题的过程，增强学好数学的信心。
重点难点：
教学重点：三角形高的概念和画法。
教学难点：正确作出钝角三角形中三边上的高。
教具准备：三角尺
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
教学过程：
A
一、创设情境，引入三角形的
高
1、继续运用房梁情境，立柱与 斜梁 斜梁
横梁有什么特殊的位置关系？ 立柱
2、三角形的高
B C
D 横梁
从三角形的一个顶点向它的对边
所在直线作垂线，顶点和垂足之
间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
几何表达：
∵AD是⊿ABC的高（已知）
∴∠ADC=90°（高的定义）（或AD⊥BC）
二、动手动脑，探究三角形的高
1、准备一个锐角三角形纸片，折出或画出它的三条高，它们是否也相
交于一点？
2、分组合作，对直角三角形和钝角三角形进行类似探究，有何发现？
3、结论：直角三角形与钝角三角形的高较为特殊，不是都能折出来的
，通过画图可以发现：三角形的三条高所在的直线交于一点。
三、巩固练习
1、 想一想
2、 随堂练习 【突破钝角三角形三边上的高】
60北师大版初中数学七年级下册教案
四、小结与作业
1、总结并交流画三角形的高的经验
2、作业 习题4.4
教学反思：
61北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.2图形的全等
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全
等；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，能进行简单的推
理和计算。
2. 数学思考目标：通过对图形共性的思考理解概念，感受类比的思维
模式。
3. 问题解决目标：学习在具体情境中提炼出数学问题。
4. 情感态度目标：养成敢于发表自己的想法的学习品质，增强克服困
难的勇气。
重点难点：
教学重点：全等的概念和性质，三角形全等的表示。
教学难点：理解“对应”的含义。
教具准备：全等的实物图形和几何图形的图中（或PPT）
教学方法：
教学环节设计：
一、观察图片找共性，激活思维
1、出示事先准备好的全等的实物图形和几何图形图片，学生通过观察
进行思考：
① 哪些图形是完全一样的？
② 这些完全一样的图形叠合在一起能否重合？
③ 这些完全一样的图形的共性是什么？（完全重合）
2、归纳：能够完全重合的两个图形称为全等图形。
3、练习：习题3.5第1题
二、观察图片找不同点，拓展思维
1、观察下面三组图形，它们是不是全等图形，找到它们的不同之处。
（1） （2） （3）
形状一样，大小不一样 形状不一样，大小一样 形状、大小完全一样
2、归纳全等图形的性质：
全等图形的形状和大小都相同。
三、类比全等图形学习全等三角形的概念和性质
62北师大版初中数学七年级下册教案
1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点是
对应顶点，重合的边是对应边，重合的角是对应角。
2、全等三角形的几何表示：
如 右 图 ， ⊿ ABC 与
⊿DEF全等，其中边AB A
D
与边DE重合，边BC与
边EF重合，边AC与边
DF重合。即点A、B、C
和对应顶点分别是点 C
B
F
D、E、F，边AB、BC、 E
CA 和对应边分别是
DE、EF、FD，∠A、∠B、∠C的对应角分别是∠D、∠E、∠F。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，
上述两全等三角形记作：⊿ABC≌⊿DEF
3、简单推理得出全等三角形的性质。
① 由“重合”这个几何直观可以知道，重合的线段是相等的，重合的
角也是相等的，所以可得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相
等，对应角相等。
② 随堂练习第1题
A A`
③ 已 知 ，
⊿ ABC≌ ⊿ A′ B′ C′ ，
AB=10cm ， BC=8cm ，
∠A=70°，∠B=30° B C B` C`
求B′C′，∠B′和∠C′
四、动脑思考，提升认知
1、画出教科书图3-21中BC边上的中线和EF边上的中线，动脑想一
想，它们能重合吗？根据是什么？
2、全等三角形对应边的中线相等吗？还有哪些相等的线段？举例说
明。
A A`
3 、 如 图 ， 已 知 E
⊿ABC≌⊿A′B′C′，你如何
在⊿A′B′C′中画出与线段
DE相对应的线段。【关键是 B C B` C`
找到点D、E的对应点】 D
第3题
4、如图是一个等边三角形，
尝试把它分成两个全等的三角形？能分成三个、四个
全等的三角形吗？
五、小结与作业
第4题
1、你对全等图形和全等三角形有哪些新认识？
2、作业 习题3.5第2-6题
六、板书设计
课题 全等三角形 解决问题
的表示
全等图形 全等三角形
定义
性质
63北师大版初中数学七年级下册教案
教学反思：
64北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.3探索三角形全等的条件
课时安排：3 课时 课型：新授
第1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握三角形全等的边边边条件，会应用它解决问
题；了角三角形的稳定性。
2. 数学思考目标：经历操作、观察、归纳等数学活动，根据几何直观
推出结论，发展全情推理能力；经历探究过程，体会分类思想。
3. 问题解决目标：经历分析解决问题的过程，体会分类的方法，能对
自己和他人的方法和结论进行反思。
4. 情感态度目标：体验解决困难的过程，培养独立思考与合作交流的
学习习惯。
重点难点：
教学重点：探索三角形全等的“边边边”的条件。
教学难点：学习分析和解决问题的方法，体验如何应用分类的数学思想
解决问题。
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、提出问题，激活思维
1、三角形全等的概念是什么？怎样判断两个三角形是否全等？
根据三角形全等的概念来判断，看两个三角形是否能重合，但这在实际
操作中并不方便进行。根据上一节课可以感觉到满足特殊条件的三角形
是可以全等的，今天我们就来探究满足怎样特殊条件的三角形可以全
等。
2、运用分类思想确定探究方案
① 思路：我们希望特殊条件的边角元素越少越好，那么到底要少到什
么程度呢？可以按条件的多少来分类进行探究。
② 方法：通过画图进行比较，然后归纳出结论。
三、尝试只有一个条件和两个条件时的探究，体验分类的数学思想，
积累探究经验。
1、只给出一个条件，分为一条边或一个角两种情况
（1）①作⊿ABC，使∠A=60° ② 作⊿ABC，使BC=6cm
（2）观察、比较、交流大家作出的每组三角形一定全等吗？
（3）上述几何直观和结果说明：只满足一个特殊条件的三角形不一定
全等。
2、给出两个条件，分为一边一角，两边和两角三种情况
（1）作三角形
65北师大版初中数学七年级下册教案
①作⊿ABC，使∠A=30°，∠B=50°
②作⊿ABC，使AB=4cm，BC=6cm
③作⊿ABC，使其中一个内角为30°，一条边为3cm。
【在此要求下，又需分类：一是 30°所对的边为 3cm，二是夹
30°的一条边为3cm。学生可体验到除了考虑基本元素的多少，还应考
虑到他们的位置关系，为后续探究积累经验】
（2）观察、比较、交流：大家作出的每组三角形一定全等吗？
（3）归纳结论：只满足两个特殊条件的三角形不一定全等。
四、结全上述活动经验，尝试给出三个条件时的探究。
1、分类：三角、三边、两边一角和两角一边
2、实践探究：从简单的开始
活动一 三角：思路有两种，一是给出三个角的大小作出三角形进行
比较，二是思考推理，给出两个条件的两角确定，其实第三个角的大小
也就确定，即是给出了三角这三个条件。因此可知，三个内角对应相
等的两个三角形不一定全等。
活动二 三边：
① 作⊿ABC，使AB=4cm，BC=5cm，CA=7cm，将作出的三角形与同伴的
进行比较，它们一定全等吗？
② 结论：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或
“SSS”
③ 三角形的稳定性：三角形三边确定，其大小和形状也随之确定。
④ 三角形稳定性的应用：阅读教材P81、82读一读
活动三 运用所学解决问题
例：如图，⊿ABC 是
一 个 房 屋 钢 架 ， A
AB=AC，AD 是连接点
A 与 BC 中点 D 的支
架。⊿ABD 与⊿ACD
全等吗？你能说明其
中的道理吗？ B C
D
解 ： ⊿ ABD≌ ⊿ ACD
理由是：
∵点D是BC中点（已知）
∴BD=CD（中点的定义）
在⊿ABD和⊿ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴⊿ABD≌⊿ACD（SSS）
五、小结与作业：
1、通过今天的探究活动你收获了哪些知识和探究方法？
2、作业：习题3.6
66北师大版初中数学七年级下册教案
教学反思：
67北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.3探索三角形全等的条件
课时安排： 3课时 课型：新授
第 3 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握三角形全等的“边角边”条件和直角三角
形全等的“斜边直角边”条件。
2. 数学思考目标：继续体验分类的思想，积累数学活动经验，发展
推理能力。
3. 问题解决目标：经历分析和解决问题的过程，积累方法。
4. 情感态度目标：培养克服困难的勇气。
重点难点：
教学重点：探究SAS和HL。
教学难点：理解直角三角形全等的“斜边直角边”条件
教具准备：尺规、量角器
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、提出问题，引入新课
1、两边一角有几种可能的情况？
①两边及夹角 ②两边及其中一边的对角
2、你能否借助前期学习经验来探究呢？
二、动手操作，动脑思考，获得新知
活动一：两边及夹角
1、作⊿ABC，使AB=2.5cm，∠B=40°，BC=3.5cm。与同伴交流，作
出的三角形一定全等吗？
2、分组合作：改变上述条件中的角度和长度，能得到同样的结论
吗？
3、归纳结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成
“边角边”或“SAS”。
活动二：1、、作⊿ABC，使AB=3.5cm，∠B=40°，AC=2.5cm。与同
伴交流，作出的三角形一定全等吗？
此作图部分学生会感到困难，经过尝试可确定作图步骤为先作
∠B=40°，然后在其中一边上截取AB=3.5cm，最后作AC=2.5cm。
2、分组合作：改变上述条件中的角度和长度，能得到同样的结论
吗？
本活动中，如果某小组将角度改为90°，则该小组成员各自作出的
68北师大版初中数学七年级下册教案
三角形会全等，由此自然引出全班同学对“斜边直角边”条件的探
究；如果没有这样的小组，可提问：“当角度为特殊的 90°时，大
家作出的三角形能否全等呢？”来引出对“斜边直角边”条件的探
究。
3、归纳结论：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形会等简写成“斜这、
直角边”或“HL”
三、应用新知，解决问题
例1、分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
A
D
B
45°
C E 45°
F
(1)
A
B
D
(2) C
A
B
D
(3) C
本例意图：直接运用SAS和HL进行说理。
注意第（2）和第（3）的对比
例2、 随堂练习第2题
本例意图：1、会将文字条件标注在图中
2、感受“线段相等”和“三角形全等”的关系
四、小结与作业
1、通过本节课的学习，收获了哪些知识和方法？
2、作业：习题3.8
五、板书设计
课题 作图 例1 例2
SAS
HL
教学反思：
69北师大版初中数学七年级下册教案
70北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.3探索三角形全等的条件
课时安排：3 课时 课型 新授
第 2 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：掌握三角形全等的“角边角”和“角角边”条件。
2. 数学思考目标：根据几何直观推出结论，发展合情推理能力；继续体
验分类的思想，感受转化的思想。
3. 问题解决目标：经历分析解决问题的过程，能对自己和他人的方法和
结论进行反思；有条理地思考和说明道理，发展演绎推理的能力。
4. 情感态度目标：积累数学活动经验，培养独立思考与合作交流的学习
习惯。
重点难点：
重点：教学重点：探索三角形全等的“角边角”和“角角边”条件。
教学难点：推理能力的发展；给出“角角边”条件作出三角形。
教具准备：三角板、圆规、量角器
教学方法：
教 学 过 程
一、复习引入
经过上节课的探究，我们有了哪些收获？
这节课我们将继续完成上节课未完成的探究任务。
二、探究与思考
1、两角一边有几种可能的情况？
① 两角及夹边 ② 两角及其中一角的对边
2、给出条件进行探究
活动一：两角及夹边
（1）作⊿ABC，使∠B=60°，∠C=45°，BC=3cm。与同伴交流，作出的三
角形一定全等吗？
（2）分小组自行给出两角及夹边的条件，能得到同样的结论吗？
（3）结论：两角及夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”
或“ASA”
活动二：两角及其中一角的对边
（1）作⊿ABC，使∠B=60°，∠C=45°，AB=3cm。与同伴交流，作出的三
角形一定全等吗？
此活动中，学生有一定的困难，经过尝试，应该有学生发现
∠A=180°-∠B-∠C=75°，此作图题可以转化成：
作⊿ABC，使∠A=75°，
71北师大版初中数学七年级下册教案
∠B=60°，AB=3cm，即满足
C
“角边角”条件。
三、运用新知解决问题
B
例：如图、AB与CD相交于点
A
O，O 是 AB 的中点，∠A=∠B O
，⊿AOC 与⊿BOD 全等吗》？
为什么？
D
分析：将题中条件标注在图
上，同时关注图中隐含条件 C
∠AOC 与∠BOD 是一组对顶
角，它们相等。
B
解：⊿AOC≌⊿BOD。理由是 A
O
∵O是AB中点（已知）
∴AO=BO（中点的定义） D
在⊿AOC和⊿BOD中
∠A=∠B（已知）
AO=BO（已证）
∠AOC=∠BOD（对顶角相等）
∴⊿AOC≌⊿BOD（ASA）
四、小结与作业
1、通过本节学习，收获了哪些知识和探究方法？
2、作业：习题3.7
教学反思：
72北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.4用尺规作三角形
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：在分别给出两边夹角，两角夹边和三边的条件
下，能够用尺规作出三角形，进一步学习尺规作图的步骤。
2. 数学思考目标：经历用尺规按照一定条件作三角形的过程，感受不
同的人作出的三角形完全重合这个几何直观，体验满足一定条件的两个
三角形全等。
3. 问题解决目标：会用尺规作出符合条件要求的三角形。
4. 情感态度目标：经历动手、动脑过程，激发学习兴趣。
重点难点：
教学重点：用尺规作出满足两边夹角，两角夹边和三边条件的三角形。
教学难点：用尺规作图语言描述作图步骤。
教具准备：直尺、圆规
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、复习旧知，提出新问题
1、复习用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角
2、提出问题：边和角是三角形的基本元素，你能根据一些特殊的边角
关系用尺规作出三角形吗？
二、动手操作，动脑思考
例1．已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
（1）明晰“两边及其夹角”是怎样的一种位置关系
（2）写出已知和求作
（3）分析作法
预计学生有两种思路：一是先作角，然后在角的两条边上截取线段等
于已知线段；二是先作出一条边，然后以这边为角的一边作角，最后在
角的另一边上截取另一条已知线段。
（4）选取其中的一种进行示范
已知：线段a、c、∠α
a c
求 作 ： ⊿ ABC ， 使 BC=a ， α
AB=c，∠ABC=∠α
作法：① 作一条线段BC=a
A
② 以 B 为 顶 点 ， 以 BC为 一 边 ， 作
∠DBC=∠α
③ 在射线BD上截取线段BA=c
B
C
④ 连接AC，⊿ABC就是所求作的三角形
73北师大版初中数学七年级下册教案
（5）将你所作的三角形与同学作出的三角形比较，它们全等吗？
例2．已知三角形及其夹边，求作这个三角形。
类比例1的教学完成例2。
例3．已知三角形的三条边，求作这个三角形。
类比例1的教学完成例3 。
例4．已知三角形的三个角，求作这个三角形。
【此例的意图：学生通过操作，观察，比较作出的该三角形是否全
等可归纳出不是满足三个基本要素条件的三角形都可以全等】
三、小结，提升认知
1、静心回顾，今天的尺规作图你都掌握了吗？
2、通过作图，你发现了满足哪些条件的三角形可以全等吗？
四、作业 习题3.9
教学反思：
74北师大版初中数学七年级下册教案
课题：4.5利用三角形全等测距离
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实
际生活的联系。
2. 数学思考目标：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达，培
养建模意识。
3. 问题解决目标：会构造全等三角形解决实际问题。
4. 情感态度目标：体会数学的应用价值。
重点难点：
教学重点：运用全等三角形的性质和判定来解决问题。
教学难点：构造全等三角形解决问题。
教具准备：有帽檐的帽子，皮卷尺
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、创设情境，引入新课
1、情境：人在不能过河
测量又没有任何测量工具 人
的情况下，有一种办法可
测量人与河对岸目标的距
离：人面向目标的方向站
好，然后调整帽子，使视 点
目标
线通过帽檐正好落在目标
的底部；然后，人转过一
个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接
着，用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是人与目标间
的距离。
你能用你所学解释其中的道理吗？
2、在操场上按此方法进行操作，并用皮尺进行验证。
3、建立数学模型，解释道理
由ASA得三角形全等，又全等三角形对应边相等
4、思考方法： 该方法通过自己的身高和帽檐构造了三角形中相等的边和
角度，从而构造出全等三角形，再根据“全等三角形对应边相等”的性
质完成了测量任务。
二、继续构造全等三角形，测量小池塘的宽 A E
度
1、情境：如图，A、B两点分别位于小池塘
的两端，小明想用绳子测量 A、B 间的距
C
离，但绳子不够长，一个叔叔帮他想了一个
主意：
先在地上取一个可以直接到达点A和点B的
点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接
B D
BC并延长到E，使CD=CB，连接DE，并测量
75北师大版初中数学七年级下册教案
其长度，DE的长度就是A、B间的距离。
A E
你能说明其中的道理吗？
2、建立数学模型，尝试解释道理，并有
条理地表达。
在⊿ABC和⊿DEC中
C
AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=DE B D
∴⊿ABC≌⊿DEC（SAS）
∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）
三、设疑置问，运用所学
你能否构造出全等三角形来进行小池塘宽度的计算？（关注直角的应
用）
四、小结
如何利用三角形全等测距离？
五、作业 习题3.10
教学反思：
76北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.1 轴对称现象
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1.知识技能目标：感知生活中的轴对称现象 ，探索轴对称的共同特征 ．
2.数学思考目标：通过大量的实例初步认识轴对称 ，能识别简单的轴对
称图形及其对称轴．
3.问题解决目标：初步了解对称在生活中大量存在 ，理解学习对称的必
要性 ．
4.情感态度目标：欣赏生活中的轴对称 ，体会其文化底蕴及价值 ，学为
所用．
重点难点：
重点：在具体的情境中，认识一些基本的几何体，并能描述这些几何体的
特征．
教学难点：是描述几何体的特征，对几何体进行分类．
教具准备：
教师：多媒体课件 .
学生：分小组收集与对称相关的图片和实物
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一．情境引入
从各小组收集的图片中有代表性的选择一些 ，用投影仪演示 。使学生能
够形象直观地感受图形的对称：
二．观察、列举、创造轴对称图形
问题1：观察下列图形：看看与刚才我们展示的图像有什么共同的特
征？:
鼓励学生大胆表述，学生基本都能说出“沿一条直线折叠能够重合”。
问题2：请同学们在书上画出这条直线。
问题3：以小组为单位，将准备好的纸、笔尖、剪刀等用具，创出一个具
有以上特点的图形或图案。例：
问题4：再让学生描述所有图形的特点，由学生相互补充。
把一个平面图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么
77北师大版初中数学七年级下册教案
这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。
理解轴对称图形应注意什么？学生交流讨论教师归纳。
三．观察、列举、创造成轴对称的图形
问题1：观察下列图片，引导学生观察这些图形的轴对称特点，并
比较和上一环节的图形有什么不同。
通过电脑操作让一个图形沿着中间的直线翻折，通过观察得知：左边的
一个图形和右边的另一个图形能够重合，引导学生区别于与“轴对称图
形”的不同点。
对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么
称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。
理解轴对称应注意什么？学生交流讨论教师归纳。
问题2：要求学生分组用两个相同的物体，摆成“轴对称”的位置。
问题3：思考（1）成轴对称的两个图形一定全等吗？
（2）全等的两个图形一定成轴对称吗？
巩固运用，P26随堂练习1
四．拓展思维
图形号 1 2 3 4 5 6 7 ··· n
码
对称轴 ···
条数
五．课堂小结
1．准确区分“成轴对称”与“轴对称图形”两个概念的不同。
2．识别轴对称图形的方法是找出图形的对称轴，另外还有注意有的几何
图形的对称轴不只一条。
六．作业
教学反思：
78北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.2探索轴对称的性质
课时安排： 1课时 课型：新授
第1 课时
三维目标： 批 注
1.知识技能目标：探索轴对称的基本性质，掌握对应点所连的线段被对称轴垂
直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
2.数学思考目标：通过本节课的学习，帮助学生更容易地感受到数学与现实生
活的联系．
3.问题解决目标：体验数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态
度及合作交流的能力。
4.情感态度目标：通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参
与，培养学生自主、合作、探究的能力，培养学生学习数学的情趣。
重点难点：
重点： 1．掌握轴对称的性质。 2．运用轴对称的性质解决实际问题．
教学难点：灵活运用轴对称的性质解决实际问题．
教具准备：
教学方法：启发式
教 学 过 程
一．复习引人
对称是和谐、美丽且真实的，不论是在自然界、在建筑中、在科学中还是
在日常生活中，对称的形式都是随处可见的。
观察下列图形并判断他们是否为轴对称图形，如果是请找出他们的对称
轴。
二、动手操作，探求新知
现在，同学们已经能够准确地判断一个图形是否是轴对称图形，对于成轴
对称的图形我们应该如何得到呢？
将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平．
如图
79北师大版初中数学七年级下册教案
A C C' A'
1 2
3 4
D F F' D'
B E E' B'
问题1：两个“14”有什么关系？
: 问题2：中，点 E 与点 E′重合，点 F 与点 F′重合．设折
痕所在直线为 l，连接点 E 与点 E′的线段与 l 有什么关系？点 F 与点 F′
呢？
问题3：B 与线段 A′B′有什么关系？CD 与 C′D′呢？
问题4： 与 ∠2 有什么关系？∠3 与 ∠4 呢？说说你的理
三、理性概括，构建新知
1、自主探究
观察课本图 5-5 的轴对称图形：
（1）找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分．
（2）连接点 A 与点 A′的线段与对称轴有什么关系？连接点 B 与点 B′的线
段呢？
（3）线段 AD 与线段 A′D′有什么关系？线段 BC 与线段 B′C′呢？为什
么？
（4）∠1 与 ∠2 有什么关系？∠3 与 ∠4 呢？说说你的理由？
在图 5-5 中，沿对称轴对折后，点 A 与点 A′重合，称点 A 关于对称
轴的对应点是点 A′．类似地，线段 AD 关于对称轴的对应线段是线段
A′D′，∠3 关于对称轴的对应角是 ∠4．
2、归纳轴对称的性质
对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
对应线段相等，对应角相等．
四．运用新知，提升思考
1、课本随堂练习 2、习题5.2第3、4题
五．课堂小结
学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想包括在研讨活动中的收获
六．作业
教学反思：
80北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.3 简单的轴对称图形（第1课时）
课时安排：3课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1.知识技能目标：掌握等腰三角形的轴对称性、相关性质及判定。
2.数学思考目标：掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关
性质，从而发展空间观念。
3.问题解决目标：应用等腰三角形的概念和性质解决生活中的实际问
题。
4.情感态度目标：在丰富的现实情景中，观察生活中的轴对称现象，
体会了轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。
重点难点：
教学重点：
1、等腰三角形的相关概念。
2、通过学生的操作与观察，使学生掌握等腰三角形的轴对称性、有
关性质及判定。
教学难点：
应用等腰三角形的概念和性质解决等腰三角形各内角的问题．
教具准备：
教师： 多媒体课件
学生：找一些通过报纸、杂志、广告等剪下一些等腰三角纸片
教学方法：导启发
教 学 过 程
教学环节：
一、巧妙设疑、复习引入
1、观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴
吗？
2、 请同学们以小组为单位，拿出你的等腰三角形纸片相互交换观
察，他们从形状上有什么不同？（就学生展示的等腰三角形对等腰三
角形进行分类，培养学生的分类思想。当然可能有的同学会拿出等边
三角形来，此时应注意解释他们之间的关系，同时给出三角形按边的
分类。）
3、他们的形状虽然有所不同，但是他们有很多组成部分的名称是一
样的，你都知道哪些？
二、动手操作，探索新知
1. 问题1： 等腰三角形是:轴对称图形吗？有几条对称轴？你
能在你准备的等腰三角形纸片上画出来吗？（多数学生可能会通过折
叠的方法得到对称轴）
问题2： 以小组讨论，怎样去描述这条对称轴？你们最多
能找到几种描述法？（学生大胆表述，注意纠错。）
问题3： 由此你能发现等腰三角形的哪些特征？（学生大胆
发言，教师总结）
2. 总结
81北师大版初中数学七年级下册教案
(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)∠B =∠C
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线
(4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高
(5)BD=CD，AD为底边上的中线。
等腰三角形的特征：
1）.等腰三角形是轴对称图形
2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重
合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称
轴。
3）.等腰三角形的两个底角相等。
3.推理
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合
（也称“三线合一”）
分析：要说明这三线重合，可以先作出其中的一个来说明他
也是另外的两种线。
说明：
因为AD是角平分线,
所以 ∠BAD= ∠ CAD
在ΔABD和ΔACD中,
因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD
所以 ΔABD ≌ ΔACD
所以BD=CD, ∠ADB=∠ ADC=90˚
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。
（还有其他的说明方法吗？试试看。）
4. 问题4：类比等腰三角形的性质，等边三角形的有关概念有几
条对称轴？他又有哪些一般等腰三角形不具有的性质？
鼓励学生通过操作和思考分析等边三角性的轴对称性，并尽可能
多的探索它的特征。
三、巩固练习。
课本随堂练习：
四、拓展提高：
如图，P，Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC
的度数。
A
B C
P Q
五、：课堂小结
鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲
言，教师给予鼓励）
六、作业
82北师大版初中数学七年级下册教案
教学反思：
83北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.3 简单的轴对称图形（第3课时）
课时安排：3 课时 课型：新授
第 3课时
三维目标： 批 注
1．知识技能：利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用
其解决相应的问题。掌握尺规作线段垂直平分线．
2．数学思考：在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过
程中，发展几何直觉．了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
3．问题解决：：联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情
感。通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的
精神．
4．情感态度：培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教
育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。
重点难点：
教学重点：探索线角平分线的有关性质及应用
教学难点：．利用角平分线的有关性质解决相关实际问题
教具准备：
教学方法：启发、探究方法
教 学 过 程
一、动手操作，导入课题
问题1：角是轴对称图形吗？
问题2：如图，将 ∠ AOB 对折，你发现了什么？
A
B
O 通过操作得出结论：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
二、做一做
1.活动
（1）在一张纸上任意画 ∠ AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角
对折，使角的两边重合；（2）在折痕（即角平分线）上任意取一
点 C，过点 C 分别向 ∠ AOB 的两边折垂线，垂足分别为 D，E，将
∠ AOB 再次对折，折痕 CD 与 CE 能重合吗？
改变点 C 的位置，CD 和 CE 还相等吗？
A
M
P
O N B
2. 通过操作得出结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相
等．
几何语言：
如图,点P是∠AOB角平分线上的任意一点，且PN⊥OB于
N,PM⊥OA于M，则PM = PN
说明：
因为PN⊥OB,PM⊥OA 所以 ∠ONP = ∠OMP =90°
84北师大版初中数学七年级下册教案
又因 ∠AOP = ∠BOP OP = OP 所以 △OPN≌△OPM
于是 PN = PM
3.尺规作图
利用尺规，作 ∠ AOB 的平分线．
已知：∠ AOB．
求作：射线 OC，使 ∠ AOC = ∠ BOC．（师生共同操作）
作法：1）．在 OA 和 OB 上分别截取 OD，OE，使 OD = OE．
2）．分别以 D，E 为圆心、以大于 1/2 DE 的长为半径作弧，
两弧在 ∠ AOB内交于点 C．3）．作射线 OC．OC 就是 ∠ AOB 的平
分线．
三、议一议：
1. 如图，在 Rt△ABC 中，BD 是 ∠ ABC 的平分线，DE⊥AB，垂足为
E．DE 与 DC 相等吗？为什么？
四．课堂练习： 利用尺规，作三角形的三个内角的平分线．
五、：课堂小结: 鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想
六、作业：
教学反思：
85北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.3 简单的轴对称图形（第2课时）
课时安排：3课时 课型：新授
第 2课时
三维目标： 批 注
1．知识技能：了解线段垂直平分线的有关性质；掌握尺规作线段垂直
平分线；应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
2．数学思考：本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简
单的轴对称图形。经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴
对称的特征，发展空间观念．
3．问题解决：联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。
通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精
神．
4．情感态度：培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教
育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。
重点难点：
教学重点：探索线段垂直平分线的有关性质
教学难点：．利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题
教具准备：
教学方法：启发、探究方法
教 学 过 程
一、巧妙设疑、复习引人：
问题1：线段是我们所学过的基本几何图形，它轴对称图形吗？
问题2：你能说出线段的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着
什么关系？ （大多数学生都只能说出一条——垂直平分线，注意指出
它还有一条——线段本身所在直线）
二、动手操作，初步感知
1．活动．
按下面的步骤做一做：
⑴在纸上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交
点为O； ⑵在折痕上任取一点M，沿MA将纸折叠；
⑶把纸张展开，得到折痕MA和MB．
2.问题思考：
⑴MO与AB具有怎样的位置关系？ ⑵AO与BO相等吗？MA与MB
呢？能说明你的理由吗？ ⑶在折痕上移动M的位置，结果会怎样？
3．结论：
⑴线段是轴对称图形，它的一条对称轴是CD，它垂直于AB又
平分AB，称作AB的垂直平分线．
⑵无论M点取在直线CD的何处，线段MA和MB都重合．
⑶线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫这条
线段的垂直平分线．(简称中垂线)
⑷线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离相等．
线段的垂直平分线的性质可以引导学生利用三角形的全等来说
明：
三、尺规作图
1．如图，已知线段 AB，请画出它的垂直平分线.（师生共同操
作）
86北师大版初中数学七年级下册教案
已知：线段 AB.
求作：AB 的垂直平分线.
作法：1）．分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 1/2AB 的长度
为半径作弧，两弧相交于点 C 和 D．
2）．作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线．
说明：通过线段垂直平分线的作法即可作出线段的中点。
2.做一做:利用尺规作图作出△ABC的重心
四、课堂练习：
1.如图在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于
点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
2.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，
并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
3. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，
如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
4.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那
么△BDC的周长是 cm。
五、：课堂小结
鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想
六、作业：
教学反思：
87北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§5.4 利用轴对称进行设计
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识技能：能按要求作出简 单平面图形经轴对称后的图形．
2. 数学思考：欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图
案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
3. 问题解决：经历观察、分析、作图、折叠等过程，进一步发展空间
观念，培养学生分析问题的能力和有条理的语言表达能力．
4. 情感态度：在自主探究与小组合作交流的过程中，培养学生的创新
意识，激发学习数学的兴趣，增强团结协作意识．
重点难点：
教学重点：能按要求作出简单平面图形经轴对称后的
图形，能利用轴对称进行一些图案设计。
教学难点：能利用轴对称进行一些图案设计．
教具准备：多媒体
教学方法：引导探究
教 学 过 程
一、图案欣赏，感受美
二、动手操
作，体验美
活动内容：
（一）、课件播放视频“学剪纸”。
（二）、学生利用课前准备的彩纸、小刀动手制作“E”字形花边图
案。
（三）、学生利用彩纸、剪刀动手折叠、剪裁，并在操作过程中体会
轴对称的特点。
三、自主探究，解决问题
（一）、如果将正方形纸按上面方式对折3次（如图所示），然后沿圆
弧剪开，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？你能画出展开后的图形
吗？
（二）、温故知新：复习轴对称的性质
88北师大版初中数学七年级下册教案
（三）、自主探究：学生根据轴对称的性质探索作已知点关于某条直线
的对称点的方法，教师引导学生总结作图方法。
（四）、学生根据上述方法，作出活动（一）中的展开后的图形。
四、动手动脑，创造美
活动内容：
（一）、展示生活中学生熟知的轴对称图案，指出它们的对称轴，并阐
述图案所代表的意义。
、
（二）能力挑战：画出图中三角形关于给定直线的轴对称图形。
（三）动手动脑，创新设计
（1）给定图形：两个圆两条线段两个三角形，展开联想，设计一幅轴
对称的图案，并阐述图案所表达的含义。
（2）自己设计一个轴对称图案，并说明你的设计意图。
五、巩固练习：
随堂练习
习题 2.6 第6题
六、小结：
通过本次课的学习你有什么收获？
七、作业：
教学反思：
89北师大版初中数学七年级下册教案
90北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.1 感受可能性
课时安排：1 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：理解不确定事件（随机事件）的概念，能区分确定事件
与不确定事件，并感受不确定事件发生的可能性有大有小；
2. 数学思考目标：通过骰子活动，经历猜测、试验、收集试验结果等过程，
体会数据的随机性；
3. 问题解决目标：通过活动自主地发现问题、探究问题，获得结论，感受数
学和实际生活的联系，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力；
4. 情感态度目标：通过创设游戏情景，初步培养以科学数据为依据分析问
题、解决问题的良好习惯.
重点难点：
教学重点：体会事件发生的确定性与不确定性
教学难点：理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，
树立一定的随机观念．
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
教学环节设计：
一、创设情境：生活中有哪些事情一定会发生，哪些事情一定不会发
生，哪些事情可能会发生？
思考：（1） 随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数会是10吗？
（2） 随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定不超过6吗？
（3） 随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定是1吗？
二、新课教学：1.提问：“下列事件一定发生吗？
思考: ⑴ 玻璃杯从10米高处落到水泥地面上会破碎；⑵ 太阳从东方升起；
⑶ 今天星期天，明天星期一；⑷ 太阳从西方升起；⑸ 一个数的绝对值小于
0；
引导学生分析总结，板书概念，进而让学生了解“确定事件”和“不确定事
件” ．
2.议一议： 举出生活中的几个确定事件和不确定事件．
3.做一做： 利用质地均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：
（1）两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一枚骰子，也可以连
续地掷几次骰子．（2）当掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么
你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并
且你的得分为0.（3）比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
多做几次上面的游戏，并将最终结果填入下表：
第1次点数 第2次点数 第3次点数 … 得分
甲 …
第一次游戏
乙 …
甲 …
第二次游戏
乙 …
甲 …
第三次游戏
乙 …
… … … … … … …
在做游戏的过程中，你是如何决定是继续掷骰子还是停止掷骰子的？与同
伴进行交流．
通过交流回答问题： ⑴ 在游戏过程中如何决定是继续投掷骰子还是停
止投掷骰子？⑵ 在游戏过程中，若前面掷出的点数和已经是5，你是决定继
续投掷骰子还是停止投掷骰子？若掷出的点数和是9呢？
91北师大版初中数学七年级下册教案
让学生多读几遍规则，读懂规则，在游戏过程中教师要及时关注各组每个
学生的表现，适时引导，特别是缺乏讨论积极性和主动性的小组和学生，教
师应充分调动学生的兴趣，必要时可亲自参与到此小组．
4.想一想： 生活中有许多不确定事件，它们发生的可能性有大有小，你能举
出几个例子吗？
三、练一练
1、指出下列事件中，哪些是必然事件， 哪些是不可能事件，哪些是随机事
件？
（1）两直线平行，内错角相等；（2）将油滴入水中，油会浮在水面上；
（3）任意买一张电影票，座位号是2的倍数比座位号是5的倍数可能性大；
（4）任意投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数；
（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字
路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球
（8）抛出的篮球会下落．（9）打开电视机，它正在播放动画．
2、下面第一排表示了各袋中球的情况，请你用第二排的语言来描述摸到红球
的可能性大小，并用线连起来．
四、课堂小结：
师生共同回顾新知探究的整个过程，互相交流总结本节的知识点：
⑴理解确定事件与不确定事件；⑵知道不确定事件发生的可能性有大小；
⑶合理运用所学知识分析解决相关问题．
五、作业布置
教学反思：
92北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.2频率的稳定性
课时安排：2 课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频
率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率；
2. 数学思考目标：通过掷图钉和掷硬币活动，经历猜测、试验、收集
试验数据、分析试验结果等过程，初步体会频率域概率的关系；
3. 问题解决目标：了解概率的意义，并能根据某些事件发生的频率来
估计该事件发生的概率；
4. 情感态度目标：通过对世界问题的分析，培养使用数学的良好意
识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们
身边”，发展学生的应用数学的能力
重点难点：
教学重点：通过试验让学生理解当试验次数较大时，实验的频率具有稳
定性，并据此能初步估计出某一事件发生的可能性大小．
教学难点：1.大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
2.通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
一、创设情景：
以小明和小丽玩抛图钉游戏为背景展开交流，引出钉尖朝上和钉尖
朝下的可能性不同的猜测，进而产生通过试验验证的想法．
二、新课教学：
1. 掷图钉试验：
任意掷一枚图钉，出现钉尖朝上和钉尖朝下两种结果，让同学猜想钉
尖朝上和钉尖朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试验．
请同学们拿出准备好的图钉：
） 两人一组做20次掷图钉游戏，并将数据记录在下表中：
试验总次数
钉尖朝上次数
钉尖朝下次数
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/试验总次
数）
钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/试验总次
数）
介绍频率定义:在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比
m
n
值 称为事件发生的频率．
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
试验总次数n 2 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
钉尖朝上次数m
钉尖朝上频率
m
n
93北师大版初中数学七年级下册教案
学生分组进行试验，把全班试验的结果都统计出来，学会进行试验和
收集试验数据．
(3)请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
结论:在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆
动，即钉尖朝上的频率具有稳定性
学生通过小组之间的合作、交流，绘制折线统计图,使学生学会独
立处理数据.通过观察图像分析,产生初步判断.可通过事先准备好的
excel工作表，填上数据生成折线图，共同观察折线图进一步验证猜想，
为回答接下来的议一议做好准备．
2.议一议：
（1）通过上面的试验，你认为钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一样大
吗？你是怎么想的？
（2）小军与小凡一起做了1000次掷图钉的试验，其中有640次钉尖
朝上看，据此，他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大．你同
意他们的说法吗？
学生通过小组讨论交流后得出结论，培养了学生的语言组织能力和表
达能力.通过数学史实的介绍,让学生了解数学知识产生的背景,增长见闻,
培养学习数学的兴趣.
3.掷硬币游戏：
任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正面朝下两种结果，让同
学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的情境，让学生来做做试
验．
请同学们拿出准备好的硬币：
（1）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中：
试验总次数 20
正面（壹圆）朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
（正面朝上的次数/试验总次数）
正面朝下的频率
（正面朝下的次数/试验总次数）
…
（2）各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、
140、160、180、200次正面朝上的次数，并完成下表：
40 60 80 10 12 14 16 18 20
试验总次数 20
0 0 0 0 0 0
正面朝上的次
94北师大版初中数学七年级下册教案
数
正面朝上的频
率
正面朝下的次
数
正面朝下的频
率
（3）请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统计图
引导学生汇总试验数据并完成表格，再根据表格中的数据绘制相应
的折线统计图
（4）观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
（5）下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：
表中的数据支持你发现的规律吗？
试验者 投掷次数n 正面出现次数m 正面出现的频率m/n
布丰 4040 2048 0.5069
德∙摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0,4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
4．总结：
（1）在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这
个性质称为 ：频率的稳定性．
（2）我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的概
率，记为P(A)．
（3）一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件 A发生的频率来
估计事件A发生的概率．
5．想一想：
事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多
少？不可能事件发生的概率又是多少?
总结：必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确
定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数．
6.议一议：
（1）由上面的实验，请你估计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝
下的概率分别是多少？他们相等吗？
（2）如果掷一枚质地不均匀的硬币，正面朝上和正面朝下发生的可能性
是否相等？
学生思考、讨论、交流．
三、练一练 随堂练习 ，
四、课堂小结：
95北师大版初中数学七年级下册教案
1、通过本节课的学习，你了解了哪些知识？
2、在本节课的教学活动中，你获得了哪些活动体验？
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获
五、作业布置
教学反思：
96北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.2频率的稳定性
课时安排：2 课时 课型：新授
第 2课时
三维目标： 批 注
1.知识与技能:学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养
分析问题,解决问题的能力；
2.过程与方法:通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转
化和估算的思想方法；
3.情感态度与价值观:通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,
激发学习兴趣,体验数学的应用价值；进一步体会“数学就在我们身
边”，发展学生的应用数学的能力
重点难点：
教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.
教学难点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
第一环节 课前准备
以4人合作小组为单位准备一元硬币，,并回顾知识点。
第二环节 创设情境，激发兴趣
活动内容：教师首先让学生回顾学过的三类事件，接着让学生抛掷一枚
均匀的硬币，硬币落下后，会出现正面朝上、正面朝下两种情况，你认
为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？（让学生体验数学来源于生
活）。
第三环节 合作交流，获取数据
活动内容：参照教材提供的任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上和正
面朝下两种结果，让同学猜想正面朝上和正面朝下的可能性是否相同的
情境，让学生来做做试验。
请同学们拿出准备好的硬币：
（1）同桌两人做20次掷硬币的游戏，并将数据填在下表中：
试验总次数 20
正面（壹圆）朝上的次数
正面朝下的次数
正面朝上的频率
（正面朝上的次数/试验总次数）
正面朝下的频率
（正面朝下的次数/试验总次数）
…
（2）各组分工合作，分别累计进行到20、40、60、80、100、120、
140、160、180、200次正面朝上的次数，并完成下表：
97北师大版初中数学七年级下册教案
试验总次数 20 40 60 80 100 120 140 16 180 200
0
正面朝上的次
数
正面朝上的频
率
正面朝下的次
数
正面朝下的频
率
第四环节 操作交流，探究新知
内容：1．请同学们根据已填的表格，完成下面的折线统
2．观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
3．下表列出了一些历史上的数学家所作的掷硬币试验的数据：
试验者 投掷次数n 正面出现次数m 正面出现的频率m/n
布 丰 4040 2048 0.5069
德∙摩根 4092 2048 0.5005
费 勒 10000 4979 0,4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维 尼 30000 14994 0.4998
罗曼诺夫 80640 39699 0.4923
斯 基
表中的数据支持你发现的规律吗？
4．总结新知：
（1）、 在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆
动，这个性质称为 ：频率的稳定性。
（2）、我们把这个刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A的
概率，记为P(A)。
（3）、一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件A发生的频率
来估计事件A发生的概率。
5．想一想：
事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多
少？不可能事件发生的概率又是多少?
必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；
不确定事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数。
第五环节 新知的应用过程
(一) 学以致用。
由学生利用刚刚学习的概率的知识解决教材中掷硬币的问题
题目内容：
1、由上面的实验，请你估计抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下
98北师大版初中数学七年级下册教案
的概率分别是多少？他们相等吗？
(二) 牛刀小试。
学生利用刚刚学习的由事件发生的频率来估概率解决实际问题，使学生
体会数学来源于生活又能解决生活中的实际问题。
1、对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 100
n 0
优等品数 m 7 16 43 81 164 414 825
优等品率 m/n
（1）完成上表；（2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等
品的概率是多少？(3）如果再抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上
表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？
(三)是“玩家”就玩出水平。
通过让学生自由选择任务难度，实现分层次教学。在好学生的引领下，
逐步突出本节课的重点知识
题目内容：
智慧版1、下列事件发生的可能性为0的是（ ）
Ａ.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上 ；Ｂ.小明从家里到学校用了
10分钟，从学校回到家里却用了15分钟； Ｃ.今天是星期天，昨天必
定是星期六；Ｄ.小明步行的速度是每小时40千米；
2、 口袋中有9个球，其中4个红球，3个蓝球，2个白球，在下列事件
中，发生的可能性为1的是（ ）
A.从口袋中拿一个球恰为红球 B.从口袋中拿出2个球都是白球
C.拿出6个球中至少有一个球是红球 D.从口袋中拿出的球恰为3红2白
3、小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正面朝上，2次正面
3 2
5 5
朝下，他认为正面朝上的概率大约为 ,朝下的概率为 ，你同意他的
观点吗？你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？
超人版1：给出以下结论，错误的有（ ）
①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生. ②如
果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生. ③如果一件事不
是不可能发生的，那么它就必然发生.④如果一件事不是必然发生的，那
么它就不可能发生.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1
2
2、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为 ,那么，抛掷100次
硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？
3、把标有号码1，2，3，……，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇
匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是______．
设计说明：
（一）结合新旧知识发现重要结论。
（二）应用所学新知解决典型概率问题，解决与生活实际联系紧密的问
题。通过分组竞赛的方式培养学生学习数学的积极性。
（三）灵活应用所学知识完成主观问题。培养学生的有条理表达能力，
是学生更好的掌握本节课的内容。
（五）行家看门道：灵活机动的练习题，巩固新知。
题目内容：
1、掷一枚均匀的骰子。
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）掷出点数为1与掷出点数为2的可能性相同吗？
掷出点数为1与掷出点数为3的可能性相同吗？
（3）每个出现的可能性相同吗？你是怎样做的？
第六环节 回忆思考，归纳小结
对本节课的知识进行回顾，师生互相交流怎样使用统计来估计事件发生
的概率,怎样求简单事件的概率。
99北师大版初中数学七年级下册教案
第七环节 布置作业
课本习题6.3
教学反思：
100北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.3等可能事件的概率（1）
课时安排：4课时 课型：新授
第 1 课时
三维目标： 批 注
1. 知识与技能目标：通过摸球游戏，了解计算一类事件发生可能性的方法，体
会概率的意义，根据已知的概率设计游戏方案；
2. 数学思考目标：能设计符合要求的简单概率模型，初步体会概率是描述不确 [
定现象的数学模型；
3. 问题解决目标：通过小组合作、交流、试验，理解游戏的公平性，并能根据
不同问题的要求设计出符合条件的摸球游戏；
4. 情感态度目标：在试验过程中体会数据的客观真实性，感受数学与现实生活
的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生以科学数据为依据分析
问题、解决问题的良好习惯.
重点难点：
教学重点： 1．概率的意义及其计算方法的理解与应用．
2、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
教学难点：1.灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题．
2.根据题目要求设计游戏方案．
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
一、创设问题情境：
任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能相同吗？正
面朝上的概率是多少？
二、新课教学：
1.议一议：
一个袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这5个号码，这些球除号码外都相
同，搅匀后任意摸出一个球．
3、会出现哪些可能的结果？
（2）每个结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少？
学生思考后畅所欲言，表述自己发现的结论，准确说出所有结果．
2.议一议：
这里我们提到的抛硬币，掷骰子和前面的摸球游戏有什么共同点？
引导学生抽象概括出古典概型的两个共同的特点：所有可能的结果有有限种
（有限性），每种结果出现的可能性相同（等可能性）．
总结：设一个实验的所有可能结果有n个，每次试验有且只有其中的一个结果
出现．如果每个结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可
能的．
3.想一想：你能找一些结果是等可能的试验吗？
学生独立思考后回答问题，再分组交流讨论，准确理解等可能试验，最后大家
共同得出求等可能试验中事件A的概率公式．
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么
m
P(A)=
事件A发生的概率为： n
强调：使用此公式计算概率时，首先应判断试验为古典概型，即具有古典概型
的两个基本特点，其次，关键是计算试验中所有等可能的结果总数和所求事件
中出现的结果数．
例1：任意掷一枚均匀骰子．（1）掷出的点数大于4的概率是多少？
（2）掷出的点数是偶数的概率是多少？
解：任意掷一枚均匀骰子，所有可能的 结果有 6 种：掷出的点数分别是
1,2,3,4,5,6，因为骰子是均匀的，所以每种结果出现的可能性相等．
101北师大版初中数学七年级下册教案
（1）掷出的点数大于4的结果只有2两种：掷出的点数分别是5,6.
2 1
6 3
所以P（掷出的点数大于4）= =
（2）掷出的点数是偶数的结果有3种：掷出的点数分别是2,4,6.
3 1
6 2
所以P(掷出的点数是偶数）= =
在前面的准确讲解后，学生很容易准确求出本题答案．教师按照规范形式书写
求出概率的过程，注意强调所有结果出现的等可能性．
4．议一议：
（1）一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一
个球，摸到红球的概率是多少？
学生思考后回答，视学生回答的情况来确定，如果出现教材上的情况就加以
讨论，如果没有可以通过教材上两人都对话来讨论．
（2）小明和小凡一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色
外完全相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获
胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公
平的？ 学生思考，交流、讨论．
5.做一做：
选取4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
（1）使得摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率也是 ．
（2）使得摸到红球的概率为 ，摸到白球和黄球的概率都是 ．
学生先独立思考，再组织小组讨论交流．
6.想一想：（1）你能选取8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的
游戏吗？（2）你能选取7个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游
戏吗？ 学生先独立思考，再组织小组讨论交流．
三、练一练： 随堂练习
四、课堂小结：这节课你学到了什么？有什么收获？
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想
五、作业布置
教学反思：
课题：§6.3等可能事件的概率（3）
课时安排： 4课时 课型：新授
第 3 课时
三维目标：1．知识与技能：了解一类事件发生概率的计算方法，并能 批 注
[
进行简单计算，能设计符合要求的简单概率模型。
2．过程与方法：具体情境中进一步了解概率的意义，体会概率是描述
不确定现象的数学模型。
3．情感与态度： 体会数学与生活实际的紧密联系，鼓励学生积极参
与，培养学生学习数学的兴趣
教学重点： 1、概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应
用。
2、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
3、根据题目要求设计游戏方案。
教学难点： 1、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
2、灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题。
102北师大版初中数学七年级下册教案
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
第一环节 课前准备
活动内容：趣味游戏
以“传球游戏”开始，诱发学生的学习兴趣，寓教于乐。要求：学生座
位安排成方阵形式，开展传球活动。
（教师可以对学生活动给予一定的指导，发出口令“开始”、“停”，
学生进行循环传球游戏。让学生体验事件的随机性。）
游戏结束后提出问题：（把问题写在精致的卡片上，以下简称“题
卡”）
球落在男、女生的概率分别为多大？
（用地砖及小球剪贴画演示小球在方砖上随机行走的过程，使学生初步
感受小球停留在黑砖上的可能性的大小。）
设计说明：使用多媒体的条件不成熟的地区，便可用这种形象的演示来
代替，以期达到形象感知的效果。若有多媒体设备，便可用动画演示，
会更形象。
思考下列问题：
1．小球在卧室和书房中自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，在哪
个房间里，小球停留在黑砖上的概率大？（学生：在卧室里）
2．你是怎样分析的？（生：黑色方砖的块数多些）
3.你觉得小球停留在黑砖上的概率大小与什么有关？
活动目的：由这些问题引发学生的思考，使知识间的过渡自然、轻松、
直观初步体验几何概型。通过这个活动，假设每个人所占的座位面积相
等，计算概率大小。能从游戏中获取尽可能多的信息，体会概率在社会
生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质
及与他人合作交流的意识，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作
的精神。
第二环节 自主学习，感悟问题
活动内容：出示例题：
假如小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
它最终停留在黑色方砖上的概率是多少？
（播放录音，朗读例题）
103北师大版初中数学七年级下册教案
各小组讨论、交流后派代表说出自己的分析思路和答案，（选 3~4个小
组代表讲解）
活动目的：让学生经历“猜测—试验—分析试验结果”的过程，总结出
这一类事件概率的计算方法和相应的计算公式。进而达到本节课知识的
升华。
第三环节 迷茫的小白兔（逐步设疑）
活动内容：出示“议一议”几何概型，（20个方块，其中黑色方块5
块）思考下列问题，并由小组讨论得出结论并交流。互相补充完善，并
派代表回答。（以“题卡”形式给出题目。）
1. 题中所说“自由地滚动，并随机停留在某块方砖上”说明了什
么？
2.小球停留在方砖上所有可能出现的结果有几种？停留在黑砖上可
能出现的结果有几种？
3.小球停留在黑砖上的概率是多少？怎样计算？
4.小球停留在白砖上的概率是多少？它与停留在黑砖上的概率有何
关系？
5.如果黑砖的面积是5平方米，整个地板的面积是20平方米，小
球停留在黑砖上的概率是多少？
活动目的：通过这一个问题串，使学生充分体验随机性的必要性以及几
何概型的含义，并掌握概率的计算方法。以问题串的形式引导学生逐步
深入的思考。便于加深对本节课知识的理解，有助于相关知识的消化
第四环节 反馈矫正，巩固练习（挑战自我，激情无限）
“十运会”射箭比赛休息之余,一名工
作人员发现这样的一幕 :有一只蜘蛛在箭
靶上爬来爬去，最终停下来，已知两圆的
半径分别是1cm和2cm，则P(蜘蛛停留在
黄色区域内)= 。
活动目的：此处留给学生充分的时间与空
间去展示本节课所学内容。并培养学生
对某个问题作出正确判断、合理决策的能
力。
活动内容：
例1 某商场为了吸引顾客，设立了一个
可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购
买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指
针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以获得 100元、50元，20元的
购物券。（转盘被等分成20个扇形）
甲顾客购物120元，他获得的购物券的概率是多少？他得到100元、50
元、20元的购物券的概率分别是多少？
思维引导：甲顾客购物的钱数超过了100元而不到200元，因此可以获
得一次转动转盘的机会。转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄
色、4份绿色、因此对于甲顾客来说：
P（获得购物券）= P（获得100元购物券）=
P（获得50元购物券）= P（获得20元购物券）=
104北师大版初中数学七年级下册教案
活动目的：通过具体的生活事例，进一步体会概率在生活中的应用，进
一步体验几何概型事件概率的求法。
第五环节 超级制作秀
活动内容：利用课前准备的转盘模型，进行设计。让学生亲自设计一个
符合概率要求的转盘。利用自己手中的转盘，转盘被等分成16个扇形，
请借助身边的工具，设计一个游戏，使得自由转动这个转盘，当它停止
3
8
转动时，指针落在红色区域的概率为 。
要求：以小组为单位，独立完成设计后，在全班交流。（课前准备好自
制转盘，每组分发一个。还要为他们准备剪刀，以及红、绿、蓝各种颜
色不粘胶彩纸。）
活动目的：这是一个开放性的问题，答案不唯一。既能使学生具体体验
几何概型，又能培养学生的创造力。
第六环节：成果展示秀
活动内容：播放音乐， 由各小组组长上讲台展示组内成果。
下 附 一例：
只要红色只区
域
。
占6份即可
第 七 环节：课堂小结
活 动 内容：小组讨论，畅谈自
己 的 感受和体会，学生发言，
教师总结归纳。
活动目的：通过与同伴的交流，学生互相补充进行小结，培养学生合作
学习的意识与独立归纳总结的能力。鼓励学生结合本节课的学习，谈自
己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
第八环节 布置作业
105北师大版初中数学七年级下册教案
教学反思：
106北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.3等可能事件的概率（2）
教材分析：
课时安排：4 课时 课型：新授
第 2 课时
1.知识与技能：通过小组合作、交流、试验，理解游戏的公平性，并能根 批 注
据不同问题的要求设计出符合条件的摸球游戏；
2.过程与方法：再次经历数据的收集、整理和简单分析、作出决策的合作
交流过程.发展学生的随机意识；让学生在小组活动中通过相互间的合作与
交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；
[来源:Zxxk.Com]
3.情感与态度：在试验过程中体会数据的客观真实性，感受数学与现实生
活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生以科学数据为依
据分析问题、解决问题的良好习惯.
重点难点：
教学重点： 1、概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用。
2、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
3、根据题目要求设计游戏方案。
教学难点： 1、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
2、灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题。
教具准备：自制球箱，准备了红、白色乒乓球若干，并运用了现代多媒体
教学平台。
教学方法：为了充分体现“以学生为主体”的教学宗旨，结合本节课内容
主要采取了“自主、合作、探究”的探究式和启发式教学法。
教 学 过 程
活动内容：
六人为一小组讨论：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外完
全相同）的盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获
胜，这个游戏对双方公平吗？
[来源:Z。xx。k.Com]
教学的实际效果：
大部分同学都认为游戏是不公平的，小凡获胜的可能性大。张明阳同学坚
持认为要么小明胜利，要么小凡胜利，他们获得胜利的可能性都是二分之
一，所以这个游戏是公平的。教师启发：所谓游戏的公平性，不是一次实
验的具体结果，而是在实验之前预测谁获得胜利的可能性大。下面我们就
通过小组合作，看一看在多次实验下究竟是小明获得胜利的机会多，还是
小凡获胜的机会多。把课堂顺利的带入下一个环节。
第二环节 小组合作交流，学习新知
活动内容：
各小组进行摸球实验，记录每次实验的结果。
统计各小组的实验结果，填充在课件中链接的电子表格中。随着实验结果
的累计，摸到红球的频率会稳定在0.4附近，摸到白球的频率会稳定在0.6
附近。
得出结论。小凡获胜的可能性更大。从而确定这个游戏是不公平的。
学生口述解题书写思路,课件展示解题的完整过程。
小组讨论总结：在一个双人游戏中，游戏公平与不公平最终怎样判定。
利用刚刚得到的结论，按题目要求设计游戏。
活动目的：
（1）利用小组合作探究的方式统一验证猜想。
(2)规范学生的解题步骤，培养学生良好的答题习惯,突出本节课的重点知
识.
（3）归纳总结，突破难点。
(4)培养学生的逆向思维能力，更好的掌握本节课的内容。知识的掌握、技
能的形成、能力的培养，以及良好学风的养成，必须通过一定量的练习才
能实现。应使学生“初步学会应用所学知识方法解决简单的实际问题”。
107北师大版初中数学七年级下册教案
所以，练习是学生学习过程中的重要环节。通过设计游戏的练习，能让学
生轻松巩固已学知识，激发学生内心深处的学习兴趣，同时也为教师及时
检查学生的学习效果提供方便条件。
第三环节 在自我的挑战过程中获得和巩固新知
活动内容：
（1）学生根据自己掌握知识的程度自主选择智慧版和超人版习题并解决自
己选择的试题。
智慧版1：用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到白球
的概率为 ，摸到红球的概率也是 。
智慧版2：选取4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到红
球的概率为 ，摸到白球和黄球的概率都是 。
超人版1：选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到
红球的概率为 ，摸到白球的概率也是 。
超人版2：选取10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏，使得摸到
1 2
5 5
红球的概率为 ，摸到白球和黄球的概率都是 .
（2）更上层楼。
①思考能否用7个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏。使得摸到红
球的概率是二分之一，摸到白球的概率也是二分之一。
②思考能否用7个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏。使得摸到红
球的概率是二分之一，摸到黄球和白球的概率都是四分之一。
[
教学的实际效果：
全班同学都对选择性的答题方式表现出极大的兴趣，在几个优等生的带动
下他们都积极的展示自己，顺利的完成了教师设计的四个题目。平时几个
学习成绩不太好的学生在前几个学生做答后，掌握了答题方法，也积极踊
跃的举手发言，实现了教学面向全体学生的目的。
第四环节 更上层楼，突破难点
活动内容：
（1）一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，
从
中随机地选一个答案，你答对的概率是 。
（2）一副扑克牌，任意抽取其中的一张，
①P(抽到大王）= 。 ②P(抽到3）= 。
③P(抽到方块）= 。
（3）请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到3的机会小。
（4）任意掷一枚均匀的骰子。
①P(掷出的点数小于4）= 。
②P(掷出的点数是奇数）= 。
③P(掷出的点数是7）= 。
④P(掷出的点数小于7）= 。
（5）规定：
在一副去掉大、小王的扑克牌中，牌面从小到大的顺序为：
2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A,
且牌面的大小与花色无关。
①小明和小颖做摸牌游戏，他们先后从这副去掉大、小王的扑克牌中任意
抽取一张牌（不放回），谁摸到的牌面大，谁就获胜。现小明已经摸到的
牌面为4，然后小颖摸牌，
P(小明获胜）= 。 P(小颖获胜）= 。
②若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，
P(小明获胜）= 。P(小颖获胜）= 。
③现小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，
P(小颖获胜）= 。P(小明获胜）= 。
108北师大版初中数学七年级下册教案
（6）请举出一些事件，它们发生的概率都是四分之三。
（7）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有
一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比
赛：小明找来一个转盘，转盘被等分为8份，随意的
转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛；
转到其它颜色，小明去。你认为这个游戏公平吗？如
果你是小明，你能设计一个公平的游戏吗？
教学的实际效果：
有些学生对扑克牌不是很熟悉，教师根据实际情况对
这一内容进行了提问铺垫、实物演示，减少了他们解决相关问题的障碍，
获得了较好的教学效果。另外，第7题是一道灵活机动的习题，教师可根
据本班学生的实际情况进行删减。
第五环节 课堂小结
师生互相交流总结本节课的收获与感想。
第六环节 布置作业
每名学生设计一个游戏,课下互相探讨游戏规则是否公平,若不公平,请修改
游戏规则.
教学反思：
109北师大版初中数学七年级下册教案
课题：§6.3等可能事件的概率（4）
课时安排：4 课时 课型：新授
第 4 课时
三维目标：1.知识与技能：了解概率的意义，了解常用的概率研究模式之一： 批 注
“几何概率模型”，会进行简单的概率计算，了解概率的大小与面积的关系，能
设计符合要求的简单概率模型。
2.过程与方法：在分组讨论合作探究的过程中体会事件发生的不确定性，进一步
体会“数学就在我们身边”。
3.情感与态度：初步认识概率与人类生活的密切联系，感受概率的应用价值，增
强学生学数学、用数学的意识，提高学生之间的合作交流能力和学习数学的兴
趣。
教学重点： 1、概率的意义及古典概型的概率的计算方法的理解与应用。
2、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
教学难点：1、初步理解游戏的公平性,会设计简单的公平的游戏.
2、灵活应用概率的计算方法解决各种类型的实际问题。
教具准备：
教学方法：
教 学 过 程
第一环节 回顾与思考
1、游戏的公平性
2、概率及其计算方法
活动目的：“学生原有的知识和经验是教学活动的起点”，通过复习古典概型、几
何概型的计算方法，使学生在学习本节知识前扫清障碍，并起到承上启下的作用。
第二环节 问题的引出
出示讨论题目：如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针
落在蓝色区域和红色区域的概率分别是多少？
蓝
120
红
0
首先让学生独立思考、书写答案，然后小组交流，最后全班展示，教师总结。
注意让学生重点讨论以下三种答案：
方案一：指针不是落在蓝色区域就是落在红色区域，落在蓝色色区域和红色区域的
概率相等，所以P（落在蓝色区域）=P（落在红色区域）= 。
方案二：先把红色区域等分成2份，这样转盘被分成3个扇形区域，其中1个是蓝
110北师大版初中数学七年级下册教案
色，2个是红色，所以P（落在蓝色区域）= ，
P（落在红色区域）= 。
蓝
红
1
120
0
2
红
方案三：利用圆心角度数计算，所以P（落在蓝色区域）= ， P（落在
红色区域） = .
结论：转盘应被等分成若干份。
各种结果出现的可能性务必相同。
活动目的：苏霍姆林斯基说过：“应该让我们的学生在每一节课上都感到热烈的、
沸腾的、多姿多彩的精神生活。”课堂上，只有让学生真正“动”、“活”起来，
学生的学习热情才会高涨，创造力才会加强。
活动的注意事项：应该给学生充分的交流讨论时间，注意在黑板上建立错题医院，
让各小组将本组的错题写到错题医院，从而突出了重点，解决了难点。
注意在整个教学过程中要充分发挥学生的主体地位。
第三环节 牛刀小试
活动内容：出示例题
转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和红色区域
的概率分别是多少？
蓝
1100
红
例2、某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 20秒、绿灯60秒、黄灯3秒。
小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，问：
（1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？
（2）他遇到红灯的概率是多少？
活动目的：数学家波利亚曾说：“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生
的解决问题的能力。”可见学知识是为了用知识。在学生探究得解题的方法后，马
上让学生解决实际问题，培养成功感。
活动的注意事项：通过上一环节学生已经了解了几何概型公式计算的前提是各种结
果出现的可能性务必相同。此时出示这两道例题，是让学生达到学以致用的目的。
注意在此环节仍需给学生充分的时间解决问题。
第四环节 芝麻开门
活动内容：若问题回答正确,则可打开一扇门。
111北师大版初中数学七年级下册教案
1、一位汽车司机准备去商场购物，然后他随意把汽车停在某个停车场内，停车场
内一个停车位置正好占一个格且每个格除颜色外完全一样，则汽车停在蓝色区域的
概率（ ）。
2、一张写有密码的纸片被随意地埋在下面矩形区域内（每个方格大小相同）
（1）埋在哪个区域的可能性大？
（2）分别计算出埋在三个区域内的概率；
（3）埋在哪两个区域的概率相同。
3、如图是一个转盘，扇形1，2，3，4，5所对的圆心角分别是180°，90°，
45°，30°，15°，任意转动转盘，求出指针分别指向1，2，3，4，5的概率。
（指针恰好指向两扇形交线的概率视为零）。
4、小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径为2m和3m的
同心圆（如图），蒙上眼睛在一定距离外向圆内扔小石子，投中阴影小红胜，否则
小明胜，未扔入圆内不算，请你帮他们计算小红和小明获胜的概率各是多少？
112北师大版初中数学七年级下册教案
活动目的：通过刚才紧张的学习，学生已经基本掌握了本节课的学习内容，但还不
会很熟练，所以此环节为学生创造了轻松自由的环境，通过四个不同背景问题，既
让学生体会到概率与实际生活的密切联系，又使学生进一步地深化了本节课的学习
内容。
活动的注意事项：注意留给学生充足的思考时间，不要让个别思维活跃的学生回
答，掩盖其他学生的思维活动。
第五环节 争分夺秒
活动内容：出示练习
在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出一升水，含有病毒的概率是多大？
某电视频道播放正片与广告的时间之比为7：1，广告随机穿插在正片之
间，小明随机地打开电视机，收看该频道，他开机就能看到正片的概率是多少？
3、如图是一个转盘，小颖认为转盘上共有三种不同的颜色，所以自由转动这个转
盘，指针停在红色、黄色或蓝色区域的概率都是 你认为呢？
4、如图：转盘被等分成16个扇形，请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由转动
这个转盘，当它停止转动时，指针落在红色区域的概率为 ,蓝色区域的概率为
，黄色区域的概率为 吗？
活动目的：对本节知识进行巩固练习，通过本环节学生将本节课的知识融会贯通并
应用到生活中去，体验到数学来源于生活又作用于生活。
第六环节 智慧大比拼
活动内容：
一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任一点的可
能性相同，求停在各种颜色板上的概率。
活动目的：运用本节课所学知识及以前所学知识综合解决问题。
第七环节 学以致用
113北师大版初中数学七年级下册教案
活动内容：
请你为班会设计一个游戏，并说明在你的设计中游戏者获胜的概率是多少？
[学生活动]：
1、自行设计，在小组内交流。
2、小组推荐优秀作品向全班展示，作者说明创作根据。
活动目的：灵活应用所学知识完成游戏设计问题，培养学生的逆向思维能力，更好
的掌握本节课的内容。
第八环节 颗粒归仓
活动内容：
A、公式总结 该事件所占区域的面积
所求事件的概率= ————————————
总面积
B、各种结果出现的可能性务必相同。
C、在生活中要善于应用数学知识。
活动目的：师生互相交流总结概率的计算方法和注意问题，以及根据已有的概
率设计游戏的方法，鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲
言，教师给予鼓励）。
活动的注意事项：总结应包括包括：
1、概率的计算方法；
2、根据已有的概率设计游戏的方法；
3、常见的概率问题；
4、学习本节课的感想等。
第九环节 布置作业
教学反思：
114
