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专题突破练 21 圆锥曲线的定义、方程与性质
一、单项选择题
1.(2021·湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x,2)到该抛物线焦点F的距离为
0
17
,则m的值为( )
8
1 1
A.1 B.2 C. D.
2 4
x2 y2
2.(2021·四川成都七中月考)双曲线 − =1(a,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为 (
a2 b2
)
√3 √5
A.√3 B. C.√5 D.
2 2
x2 y2
3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF |·|MF |的最大值
1 2 1 2
9 4
为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
4.(2021·贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标
为2,则|AB|等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
x2 y2
5.(2021·广东佛山二模)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率等于2,F,F 分别是双曲线的左、
1 2
a2 b2
右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF⊥PF,若△PAF 的面积为3a,则双曲线的
1 2 1
虚轴长等于( )
A.√3 B.2 C.2√3 D.4
二、多项选择题
π
6.(2021·江苏南通适应性联考)已知Rt ABC中有一个内角为 ,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过
3
△
点C,则该双曲线的离心率可能是( )
A.√3+1 B.2 C.√3 D.2+√3
7.(2021·广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F,F,点P为C上的一点,且|
1 2
PF|=6,则下列说法正确的是( )
1
5
A.双曲线的离心率为
3
B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0
C. PFF 的周长为30
1 2
x2 y2
D.△点P在椭圆 + =1上
100 758.(2021·重庆调研)如图所示,用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为√3的球O,在平面α上形
成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的( )
1
A.长轴长为3 B.离心率为
2
C.焦距为2 D.面积为3π
x2 y2
9.(2021·山东青岛三模)已知曲线C: + =1,F,F 分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的
1 2
9 m
是 ( )
π
A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
3
B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27
π
C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得∠FPF=
1 2
2
D.若m=3,P为C上一个动点,则△PFF 面积的最大值为3√2
1 2
三、填空题
1
10.(2021·江苏南通一模)已知抛物线C:y= x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为
8
.
x2 y2
11.(2021·湖北十五中学联考体联考) + =1的焦点为F,F,点Р在椭圆上,若|PF |=4,则∠FPF 的
1 2 1 1 2
9 2
大小为 .
x2 y2
12.(2021·湖南怀化模拟)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,过坐标原点的直线
1 2
a2 b2
1
交椭圆E于P,Q两点,且PF
2
⊥F
2
Q,且S = a2,|PF
2
|+|F
2
Q|=4,则椭圆E的标准方程为
△PF 2 Q 2
.
x2 y2
13.(2021·北京昌平二模)已知抛物线C:y2=4x与椭圆D: + =1(a>b>0)有一个公共焦点F,则点F
a2 b2
的坐标是 ;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB是直角三角形,则
椭圆D的离心率e= .
x2 y2
14.(2021·福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C : + =1上,C 的右焦点为F,点Q在圆
1 1
4 3
C :x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为 .
2专题突破练 21 圆锥曲线的定义、方程与性质
1
1.B 解析: 由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=- ,
4m
1
根据抛物线的定义,可得点(x ,2)到焦点F的距离等于到准线y=- 的距离,可得2+
0
4m
1
=
17 ,解得m=2.
4m 8
x2 y2 b 1
2.D 解析: 因为 − =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以 = .
a2 b2 a 2
b2 c2-a2 1 c2 5 √5
故 = = ,解得 = ,所以e= .
a2 a2 4 a2 4 2
3.C 解析: 由题意知|MF |+|MF |=2a=6,
1 2
|M F |+|M F |
则 √|M F |·|M F |≤ 1 2 =3,
1 2 2
则|MF |·|MF |≤9,当且仅当|MF |=|MF |=3时,等号成立.
1 2 1 2
故|MF |·|MF |的最大值为9.
1 2
4.C 解析: 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.
设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的
中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x +1).
0
直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为
x=my+1(m为常数),
代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.
y + y
设A,B的纵坐标分别为y ,y ,线段AB的中点M(x ,y ),则y = 1 2=2m=2,解得m=1.
1 2 0 0 0
2
直线AB的方程为x=y+1,x =y +1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.
0 0
x2 y2 c
5.D 解析: 如图,双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率等于2,e= =2,①
a2 b2 a设F ,F 分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为
1 2
b √c2-a2
= =√3,②
a a2
A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF ⊥PF ,
1 2
1
所以P(a,b), PAF 的面积为3a,可得 (a+c)·b=3a,③
1
2
解①②③,可△得b=2,所以C的虚轴长等于4.
√3
6.ACD 解析: 当∠C=π时,e= AB 2 ;
= =√3
3 BC-AC 1
1-
2
AB 1
当∠B= π时,e= AC-BC = √3 1 =√3 +1;
3 -
2 2
1
当∠A=π时,e= AB 2 +2.
= =√3
3 AC-BC √3
1-
2
x2 y2 c 5
7.BCD 解析: 双曲线的标准方程为 − =1,a=4,b=3,则c=5,离心率e= = ,A错误;
16 9 a 4
x y
渐近线方程为
±
=0,即3x±4y=0,B正确;
4 3
|PF |=6<2a=8,P在左支上,|PF |=6+8=14, PF F 的周长为30,C正确;
1 2 1 2
x2 y2
|PF
1
|+|PF
2
|=20,因此P在椭圆 + =1(△ 此椭圆是以F
1
,F
2
为焦点,长轴长为20的椭圆)
100 75
上,D正确.OB √3
=
8.BC 解析: 由题意知,OB⊥AB,OB= ,∠BAO=60°,OA= =2,椭圆C长
√3 sin∠BAO √3
2
轴长2a=2OA=4,A错误;
椭圆C的短轴长为球O的直径,即2b=2√3,b=√3,
c=√a2-b2=√4-3=1,椭圆C的焦距为2c=2,C正确;
c 1
椭圆C的离心率e= = ,B正确;
a 2
由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积S=3π,故椭圆C的面积
大于3π,D错误.
x2 y2
9.ABD 解析: 对于A选项,当m=-3时,曲线C: − =1表示焦点在x轴上的双曲线,渐
9 3
√3 π 5π
近线方程为y=± x,故渐近线的倾斜角分别为 , ,所以曲线C的两条渐近线所成的
3 6 6
π
锐角为 ,故A选项正确;
3
对于B选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-
a2=36-9=27,所以m=-27,故B选项正确;
x2 y2
对于C选项,若m=3,则曲线C: + =1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6.
9 3
a2+a2-4c2 -6 1
设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,√3),则cos∠F
1
MF
2
= = =- <0,故
2a2 18 3
π
∠F MF 为钝角,所以曲线C上存在点P,使得∠F PF = ,故C选项错误;
1 2 1 2
2
x2 y2
对于D选项,若m=3,则曲线C: + =1表示焦点在x轴上的椭圆,此时
9 3
1 1
a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则△PF F 面积的最大值为S = ×2c×b= ×2
1 2 max
2 2
√6×√3=3√2,故D选项正确.
10.2√6 解析: 抛物线C的方程可化为x2=8y.
设M(x ,y ),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,
0 0
从而y =3.将y =3代入x2=8y,可得|x |=2√6,
0 0 0
所以点M到y轴的距离为2√6.
2π x2 y2
11. 解析: 由椭圆 + =1可得a=3,b=√2,c=√7.
3 9 2根据椭圆定义得|PF |+|PF |=2a=6,|F F |=2c=2√7,所以4+|PF |=2a=6,解得|PF |=2.
1 2 1 2 2 2
|PF |2+|PF |2-|F F |2 16+4-28 1
在△F PF 中,由余弦定理得cos∠F PF = 1 2 1 2 = =- ,
1 2 1 2 2|PF |·|PF | 2×4×2 2
1 2
2π
所以∠F PF = .
1 2
3
12.
x2
+
y2
=1 解析: 如图所示,连接PF ,QF ,因为OP=OQ,OF =OF ,
1 1 1 2
4 2
所以四边形PF QF 是平行四边形,所以PF =QF ,PF =QF ,
1 2 1 2 2 1
又因为PF ⊥F Q,所以平行四边形PF QF 是矩形.
2 2 1 2
m+n=2a=4,
{
设PF =m,PF =n,由题意得
m2+n2=4c2, 解得{a=2,
1 2
1 1 c=√2,
mn= a2,
2 2
x2 y2
则b2=a2-c2=2,故E的标准方程为 + =1.
4 2
√5-1
13.(1,0) 解析: 由抛物线的方程,得其焦点坐标为(1,0),
2
所以抛物线C与椭圆D的公共焦点为F(1,0),
且抛物线准线方程为x=-1,椭圆左焦点为(-1,0),
x2 y2 b2
联立x=-c与椭圆 + =1,可得|y |=|y |= ,
A B
a2 b2 a
b2
因为△AOB是直角三角形,所以 =c,即b2=ac.
a
又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,
-1±√5
左、右同除以a2,可得e2+e-1=0,解得e= ,
2
√5-1
又e∈(0,1),所以椭圆D的离心率e= .
2
x2 y2
14.2√5-6 解析: 记椭圆C
1
: + =1的左焦点为E(-1,0),
4 3
由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,
所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.
由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,
即圆C 的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:
2由圆的性质可得,|PQ|≥|PC |-r=|PC |-2,
2 2
|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4≥|PC |+|PE|-6≥|EC |-6=√(-3+1)2+42-6=2√5-6(当且仅当
2 2
C ,Q,P,E四点共线时,等号成立).
2
