专题突破练 17 统计与统计案例
1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季
度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(精确到0.01)
附:√74≈8.602.
2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文
规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行
横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,
遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设
备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:
月份 1 2 3 4
不“礼让行人”驾驶员人数 125 105 100 90
(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程^ ^x+^,并预测
y=b a
该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);
(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄
的关系,得到下表:
是否礼让行人
驾龄
不礼让行人 礼让行人
驾龄不超过2年 10 20
驾龄2年以上 8 12
依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.n n
∑x y -nx y ∑(x -x)(y - y)
参考公式: b ^ =i=1 i i =i=1 i i .
n n
∑x2-nx2 ∑(x -x)2
i i
i=1 i=1
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
α
n(ad-bc)2
χ2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该
地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人
均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图.其中变量y(单位:万元)表示该地区农村居
民人均年消费支出,年份用变量t表示,其取值依次为1,2,3,….
(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地
区农村居民人均消费支出;
2016~2020年该地区农村居民人均消费支出
图1
(2)在国际上,常用恩格尔系数(食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区
人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出
比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.
2020年该地区农村居民人均消费支出构成
图2
参考公式:经验回归方程^ ^x+^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:
y=b a
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
b ^ =i=1 i i =i=1 i i ,a ^ = y−b ^ x .
n n
∑(x -x)2 ∑x2-nx2
i i
i=1 i=1
4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和
脂肪含量的简单随机样本数据(x,y)(i=1,2,…,20,25<x<65),其中x表示年龄,y表示脂肪含量,并计算
i i i i i
20 20 20
得到∑x2=48 280,∑y2=15 480,∑x
i
y
i
=27 220,x=48,y=27,
√22
≈4.7.
i i
i=1 i=1 i=1
(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y关于x的
经验回归方程^ ^ ^x(^ ^的计算结果保留两位小数);
y=a+b a,b
(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:
单位:台
使用年限
款式 合计
5年 6年 7年 8年
甲款 5 20 15 10 50
乙款 15 20 10 5 50某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选
择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?
n n
∑(x -x)(y - y) ∑x y -nx y
i i i i
参考公式:样本相关系数r=i=1 =i=1 ;
√ n √ n √ n √ n
∑(x -x)2 ∑(y - y)2 ∑x2-nx2 ∑y2-n y2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
对于一组具有线性相关关系的数据(x
i
,y
i
)(i=1,2,…,n),其经验回归直线^ ^x+^的斜率和截距的最小
y=b a
n
∑(x -x)(y - y)
二乘估计分别为: b ^ =i=1 i i ,a ^ = y−b ^ x .
n
∑(x -x)2
i
i=1专题突破练 17 统计与统计案例
1.解: (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%
14+7
的企业频率为 =0.21.
100
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,
产值负增长的企业比例为2%.
1
(2)y= (-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1
s2= [(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,
100
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.
1+2+3+4 5 125+105+100+90
2.解: (1)由表中数据易知:x= = ,y= =105,
4 2 4
4
∑x y -4x y
则
b
^
=i=1
i i
=
995-1 050=-11,
4 30-25
∑x2-4x2
i
i=1
^ ^ =105-(-11)× 5 =132.5,
a= y−b x
2
故所求经验回归方程为^=-11x+132.5.
y
令x=10,则 ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),
y
预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23.
(2)零假设为H :“礼让行人”行为与驾龄无关.
0
50×(10×12-20×8)2
由表中数据可得χ2= ≈0.23<2.706=x ,依据小概率值α=0.10的独
0.10
18×32×30×20
立性检验,没有充分证据推断H 不成立,可以认为H 成立,即认为“礼让行人”行为与驾
0 0
龄无关.
1+2+3+4+5
3.解: (1)由已知数据可求 t= =3,
5
1.01+1.10+1.21+1.33+1.40
y= =1.21,
5∑
5 t2=12+22+32+42+52=55,
i
i=1
5
ty=1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,
∑ i i
i=1
^ 19.16-5×3×1.21 1.01
b= = =0.101,
55-5×32 10
=1.21-0.101×3=0.907,
^
a
所求经验回归方程为^=0.101t+0.907.
y
当t=6时,^=0.101×6+0.907=1.513(万元),
y
故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.
(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农
村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4
584.53元,
4 584.53
恩格尔系数= ×100%≈30.3%,
15 130
所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.
20 20 n
4.解: (1) x2=2 304, y2=729,∑x
i
y
i
-20
x y
=1 300,∑x2-20 x2=2 200,∑y2-20 y2=900,r=
i i
i=1 i=1 i=1
20
∑x y -20x y
i=1 i i ≈0.92,
√ 20 √ n
∑x2-20x2 ∑y2-20 y2
i i
i=1 i=1
因为y与x的样本相关系数接近1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回
归模型进行拟合.
20 20
∑(x -x)(y - y) ∑x y -20x y
由题可得,^ i i i i 13≈0.591,
b=i=1 =i=1 =
20 20 22
∑(x -x)2 ∑x2-20x2
i i
i=1 i=1
=27-0.591×48≈-1.37,
^ ^
a= y−b x
所以^=0.59x-1.37.
y
(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X(单位:年).
X 5 6 7 8
P 0.1 0.4 0.3 0.2E(X)=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6.
设乙款健身器材使用年限为Y(单位:年).
Y 5 6 7 8
P 0.3 0.4 0.2 0.1
E(Y)=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.
因为E(X)>E(Y),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.
