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专题突破练 18 概率、随机变量及其分布
一、单项选择题
1.(2021·湖南师大附中月考)电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开
关了10 000次还能继续使用的概率是0.8,开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.6,则已经开关
了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( )
A.0.20 B.0.48 C.0.60 D.0.75
2.(2021·江苏泰州考前模拟)马林·梅森(Marin Mersenne,1588—1648)是17世纪法国数学家.他在欧几
里得、费马等人研究的基础上深入地研究了2p-1型的数.人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将
形如2p-1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,至少有
一个为梅森素数的概率是( )
3 5 13 19
A. B. C. D.
7 12 28 55
3.(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个
球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
二、填空题
4.为研究如何提高大气污染监控预警能力,某学校兴趣小组的成员设计了一套大气污染检测预警系
1 3 3
统.该系统设置了三个控制元件,三个元件T 1 ,T 2 ,T 3 正常工作的概率分别为 , , ,将T 2 ,T 3 两个元件
2 4 4
并联后再和T 串联接入电路,如图所示,则该预警系统的可靠性是 .
1
5.(2021·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三位选手参加某次射击比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两
位选手参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛;③在比
赛中,若有一位选手首先获胜两场,则本次比赛结束,该选手获得此次射击比赛第一名.若在每场比赛
1 3 1
中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,且甲与乙先参加比赛,则甲获得第一名的
3 4 2
概率为 .
三、解答题
6.(2021·江苏新高考基地学校联考)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹,产于江苏苏州,蟹身青壳白肚,体大膘肥,
肉质膏腻,营养丰富,深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100 kg的阳澄湖大闸蟹,随机抽
取了50只统计其重量,得到的结果如下表所示:
规格 中蟹 大蟹 特大蟹重量/g [160,180) [180,200) [200,220) [220,240) [240,260) [260,280]
数量/只 3 2 15 20 7 3
(1)试用组中值来估计该批大闸蟹有多少只?(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只,记重量在区间[260,280]内的大闸蟹数量为X,求X
的概率分布列和数学期望.专题突破练 18 概率、随机变量及其分布
1.D 解析: 记事件A:电视机的显像管开关了10 000次还能继续使用,
记事件B:电视机的显像管开关了15 000次后还能继续使用,则P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,
已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率为P(B|A)=
P(AB) 0.6
= =0.75.
P(A) 0.8
2.C 解析: 可知不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个,其中梅森素数有3,7,共2
个,则在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数共有C2=28种,其中至少有一个为梅
8
13
森素数有 C1C1+C2=13种,所以至少有一个为梅森素数的概率是P= .
2 6 2 28
1 1 5 5 6 1
3.B 解析: 由已知得P(甲)= ,P(乙)= ,P(丙)= = ,P(丁)= = ,P(甲
6 6 6×6 36 6×6 6
1 1 1 1
丙)=0,P(甲丁)= = ,P(乙丙)= = ,P(丙丁)=0.
6×6 36 6×6 36
1
由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)= ,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选
36
B.
4. 15 解析: T ,T 并联电路正常工作概率为1- 1- 3 × ( 1- 3) = 15 ,故电路不发生故障的
2 3
32 4 4 16
1 15 15
概率为 × = .
2 16 32
25 1 3 1
5. 解析: 因为每场比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,
72 3 4 2
所以甲选手获胜的概率是P(A)= 1 × 3 + 1 × ( 1- 3) × 1 × 1 + ( 1- 1) × ( 1- 1) × 3 × 1 = 25 .
3 4 3 4 2 3 3 2 4 3 72
1
6.解: (1)50只大闸蟹的平均重量为
50
×(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水产品超市购进的100 kg
大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,概率分别为:
C0C4
1
C1C3
1
P(X=0)= 3 7 = ,P(X=1)= 3 7= ,
C4 6 C4 2
10 10
C2C2
3
C3C1
1
P(X=2)= 3 7= ,P(X=3)= 3 7= .
C4 10 C4 30
10 10
分布列为:
X 0 1 2 31 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1 6
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
6 2 10 30 5
