专题突破练 19 统计与概率解答题
1.(2021山东青岛模拟)为促进农业发展,加快农村建设,某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”.
为了解大棚的面积与年利润之间的关系,随机抽取了其中的7个大棚,并对当年的利润进行统计整理
后得到了如下数据对比表:
大棚面积x/公顷 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5
年利润y/万元 6 7 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1
(1)画出散点图,并求y关于x的经验回归方程;
(2)小明家的“超级蔬菜大棚”面积为8.0公顷,估计小明家的大棚当年的利润为多少;
(3)另外调查了近5年的不同蔬菜每公顷平均利润(单位:万元),其中无丝豆为1.5,1.7,2.1,2.2,2.5;彩椒为
1.8,1.9,1.9,2.2,2.2,请分析种植哪种蔬菜比较好?
7 7
参考数据:∑x
i
y
i
=359.6,∑(x
i
-x)2=7,
i=1 i=1
n
∑x y -nx y
参考公式: b ^ =i=1 i i ,a ^ = y−b ^ x .
n
∑(x -x)2
i
i=12.(2021·湖北黄冈适应性考试改编)产品质量是企业的生命线.为提高产品质量,企业非常重视产品生
产线的质量.某企业引进了生产同一种产品的A,B两条生产线,为比较两条生产线的质量,从A,B生产
线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测,把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.
(1)依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析数据,能否据此推断是否为一级品与生产线有关.
(2)生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一件三级品则亏损20元,以频率
估计概率.
①分别估计A,B生产线生产一件产品的平均利润;
②你认为哪条生产线的利润较为稳定?并说明理由.
n(ad-bc)2
附:①参考公式:χ2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
②临界值表:
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α3.(2021·福建漳州模拟)随着5G通信技术的发展成熟,互联网短视频变得越来越普及,人们也越来越热
衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台,为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量
的短视频,会对创作者上传的短视频进行审核,通过审核后的短视频,会对用户进行重点的分发推荐.
短视频创作者上传一条短视频后,先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核,短视频审核
3
通过的概率为 ,通过智能机器人审核后,进入第二阶段的人工审核,人工审核部门会随机分配3名员
5
1
工对该条短视频进行审核,同一条短视频每名员工审核通过的概率均为 ,若该视频获得2名或者2
2
名以上员工审核通过,则该短视频获得重点分发推荐.
(1)某创作者上传一条短视频,求该短视频获得重点分发推荐的概率;
(2)若某创作者一次性上传3条短视频作品,求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期
望.4.(2021·山东潍坊期末)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度,而系统能正
常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使
用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常
设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台设
备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.
(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;
(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网
络断掉可能给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种方
案.
方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元;
方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策?专题突破练 19 统计与概率解:答题
1.解: (1)画出散点图如图所示.
由散点图知,y与x具有一元线性相关关系.
根据题意,x=6,y=8.3,则7x y=348.6,
7
∑x y -7x y
^ i i 359.6-348.6 11≈1.571,
b=i=1 = =
7 7 7
∑(x -x)2
i
i=1
≈8.3-1.571×6=-1.126,
^ ^
a= y−bx
所以经验回归方程为^=1.571x-1.126.
y
(2)将x=8.0代入方程得 ^=1.571×8.0-1.126=11.442,即小明家的“超级蔬菜大棚”当年
y
的利润大约为11.442万元.
1.5+1.7+2.1+2.2+2.5
(3)近5年来,无丝豆每公顷平均利润的平均数为m= =2,
5
1
方差 s2= [(1.5-2)2+(1.7-2)2+(2.1-2)2+(2.2-2)2+(2.5-2)2]=0.128.
1 5
彩椒每公顷平均利润的平均数为
1.8+1.9+1.9+2.2+2.2
n= =2,
5
1
方差 s2= [(1.8-2)2+(1.9-2)2+(1.9-2)2+(2.2-2)2+(2.2-2)2]=0.028.
2 5
因为m=n,s2>s2,故种植彩椒比较好.
1 2
2.解: (1)根据已知数据可建立列联表如下:
是否一级品
生产线 合计
一级品 非一级品
A 20 80 100
B 35 65 100
合计 55 145 200零假设为H :是否为一级品与生产线无关.
0
n(ad-bc)2 200×(20×65-35×80)2
χ2= = ≈5.643>5.024=x ,
0.025
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 55×145×100×100
依据小概率值α=0.025的独立性检验,推断H 不成立,即认为是否为一级品与生产线有
0
关.
1 3 1
(2)A生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为 , , .
5 5 5
记A生产线生产一件产品的利润为X,则X的取值为100,50,-20,
其分布列为
X 100 50 -20
1 3 1
P
5 5 5
7 2 1
B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为 , , .
20 5 4
记B生产线生产一件产品的利润为Y,则Y的取值为100,50,-20,
其分布列为
Y 100 50 -20
7 2 1
P
20 5 4
1 3 1
①E(X)=100× +50× +(-20)× =46,
5 5 5
7 2 1
E(Y)=100× +50× +(-20)× =50.
20 5 4
故A,B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.
1 3 1
②D(X)=(100-46)2× +(50-46)2× +(-20-46)2× =1 464.
5 5 5
7 2 1
D(Y)=(100-50)2× +(50-50)2× +(-20-50)2× =2 100.
20 5 4
因为D(X)<D(Y),所以A生产线的利润更为稳定.
3.解: (1)设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A,
则P(A)= 3 × C2× (1) 2 × ( 1- 1) 1 +C3× (1) 3 × ( 1- 1) 0 = 3 .
5 3 2 2 3 2 2 10
(2)设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X,X可取0,1,2,3.
则X~B ( 3, 3 ) ,
10P(X=0)=C0× ( 3 ) 0 × ( 1- 3 ) 3 = 343 ,
3 10 10 1 000
P(X=1)=C1× ( 3 ) 1 × ( 1- 3 ) 2 = 441 ,
3 10 10 1 000
P(X=2)=C2× ( 3 ) 2 × ( 1- 3 ) 1 = 189 ,
3 10 10 1 000
P(X=3)=C3× ( 3 ) 3 × ( 1- 3 ) 0 = 27 ,
3 10 10 1 000
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
343 441 189 27
P
1 000 1 000 1 000 1 000
E(X)=0× 343 +1× 441 +2× 189 +3× 27 = 9 . ( 或E(X)=3× 3 = 9 )
1 000 1 000 1 000 1 000 10 10 10
4.解: (1)要使系统的可靠度不低于0.992,
则P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.
(2)X为正常工作的设备数,由题意可知,X~B(3,r),
P(X=0)=C0×0.90×(1-0.9)3=0.001,
3
P(X=1)=C1×0.91×(1-0.9)2=0.027,
3
P(X=2)=C2×0.92×(1-0.9)1=0.243,
3
P(X=3)=C3×0.93×(1-0.9)0=0.729,
3
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
(3)设方案1、方案2的总损失分别为X ,X ,
1 2
采用方案1,更换部分设备的硬件,使得设备可靠度达到0.9,
由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,不断掉的概率为0.999,故E(X )=80
1
000+0.001×500 000=80 500元.
采用方案2,对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,由(1)可知计算机网络断
掉的概率为0.008,
故E(X )=50 000+0.008×500 000=54 000元,
2
因此,从期望损失最小的角度,决策部门应选择方案2.
