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专题五 微创新 概率、统计与其他知识的综合问题
(分值：34分)
1.(17分)(2024·杭州模拟)投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为P .
n
(1)求P ，P ，P 和P ；(3分)
1 2 3 4
(2)写出P 的递推公式；(6分)
n
(3)单调有界原理：①若数列{a }单调递增，且存在常数M，恒有a ≤M成立，那么这个数列必定有极限，
n n
lim ¿
即 a 存在；②若数列{a }单调递减，且存在常数m，恒有a ≥m成立，那么这个数列必定有极限，即
n→+∞ n n n
lim ¿ a 存在.请根据单调有界原理判断 lim ¿ P 是否存在？有何统计意义？(8分)
n→+∞ n n→+∞ n
2.(17分)(2024·汕头模拟)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数
学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实
践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只
可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，
走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不
妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番
石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开
始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那
颗最大的番石榴的概率为P.
(1)若n=4，k=2，求P；(6分)
(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(11分)
( 1 1 1 n)
取 + +…+ =ln
k k+1 n-1 k答案精析
1.解 (1)依题意，P =P =1，
1 2
1 7
而投掷3次，共有8个不同结果，其中连续出现三次正面向上的只有1个，则P =1- = ，
3 8 8
又投掷4次，共有16个不同结果，其中连续出现三次正面向上的有：正正正正，正正正反，
3 13
反正正正，因此P =1- = .
4 16 16
(2)共有三种情况：
①如果第n次出现反面向上，前n次不连续出现三次正面向上和前n-1次不连续出现三次正面向上是相同
1
的，此时不连续出现三次正面向上的概率为 P ；
2 n-1
②如果第n次出现正面向上，第n-1次出现反面向上，则前n次不连续出现三次正面向上和前n-2次不连续
1
出现三次正面向上是相同的，此时不连续出现三次正面向上的概率为 P ；
4 n-2
③如果第n次出现正面向上，第n-1次出现正面向上，第n-2次出现反面向上，则前n次不连续出现三次正
1
面向上和前n-3次不连续出现三次正面向上是相同的，此时不连续出现三次正面向上的概率为 P ，
8 n-3
1 1 1 7 13
所以P = P + P + P (n∈N*，n≥4)，P =P =1，P = ，P = .
n 2 n-1 4 n-2 8 n-3 1 2 3 8 4 16
1 1 1
(3)由(2)知，P = P + P + P (n∈N*，n≥4)，
n 2 n-1 4 n-2 8 n-3
当n≥5时，
1 1 1
P = P + P + P ，
n-1 2 n-2 4 n-3 8 n-4
1 1 1
则P - P = P - P ，
n 2 n-1 2 n-1 16 n-4
1
即P -P =- P <0，因此当n≥5时，数列{P }是递减的，
n n-1 16 n-4 n
又P =P >P >P ，
1 2 3 4
则当n≥2时，数列{P }是递减的，显然有下界0，
n
1 lim ¿
于是数列{P }的极限存在，对P -P =- P 两边取极限，得 P =0，
n n n-1 16 n-4 n→+∞ n
其统计意义是：当投掷的次数足够多时，不连续出现三次正面向上的次数非常少，其概率趋近于0.
2.解
(1)依题意，4颗番石榴的位置从第1颗到第4颗排序，有A4
=24(种)情况，要摘到那颗最大的番石榴，
4
有以下两种情况.①最大的番石榴是第3颗，其他的随意在哪个位置，有A3
=6(种)情况；
3
②最大的番石榴是最后1颗，第二大的番石榴是第1颗或第2颗，其他的随意在哪个位置，有2A2
=4(种)情
2
6+4 5
况，所以所求概率为 = .
24 12
1
(2) 记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件B表示最大的番石榴排在第i颗，则P(B)= ，
i i n
n n
1
由全概率公式知P(A)= Σ P(A|B)P(B)= Σ P(A|B)，
i i n i
i=1 i=1
当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时P(A|B)=0；
i
当k+1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i-1颗番石榴中的最大的一颗在前k颗之中时，
k
此时P(A|B)= ，
i i-1
1(k k k ) k n
因此P(A)= + +…+ = ln ，
n k k+1 n-1 n k
x n
令g(x)= ln (x>0)，
n x
1 n 1
求导得g'(x)= ln - ，
n x n
n
由g'(x)=0，得x= ，
e
( n)
当x∈ 0， 时，g'(x)>0；
e
(n )
当x∈ ，n 时，g'(x)<0，
e
( n) (n )
即函数g(x)在 0， 上单调递增，在 ，n 上单调递减，
e e
(n) 1
则g(x) =g = ，
max e e
n k n 1 1 1
于是当k= 时，P(A)= ln 取得最大值 ，所以P的最大值为 ，此时t的值为 .
e n k e e e
