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专题突破练 2 函数的图象与性质
一、单项选择题
1.(2021·北京通州一模)下列函数是偶函数且值域为[0,+∞)的是( )
A.f(x)=x2-1
B.f(x)= 1
x2
C.f(x)=log x
2
D.f(x)=|x|
{2x+a,-1≤x<0,
2.(2021·云南昆明月考)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)=f(x),且f(x)= 其中
|3-x|,0≤x<1,
a∈R.若f(-5)=f(4.5),则a=( )
A.2.5 B.3.5
C.4.5 D.5.5
{1-log (x+2),x≥0,
3.(2021·福建厦门月考)已知函数f(x)= a 是奇函数,则方程g(x)=2的根为(
g(x),x<0
)
3
A.- B.-6
2
3 1 3
C.-6,- D. ,
2 6 2
4.(2021·安徽六安一模)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
1
A.f(x)= x-sin x
2
1
B.f(x)= x+sin x
2
1
C.f(x)= x-cos x
2
1
D.f(x)= x+cos x
2
{log x,x>0,
5.(2021·江苏苏州月考)函数f(x)= 4 的图象上关于原点O对称的点有( )对.
cosx,x≤0
A.2 B.3
C.4 D.56.(2021·山东青岛一模)已知y=f(x)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=log (x+a),则f(2
2
021)=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2ex
7.(2021·吉林长春模拟)已知函数f(x)= 与函数g(x)=-x3+12x+1的图象交点分别为:
ex-e-x
P(x,y),P(x,y),…,P(x,y)(k∈N*),则(x+x +…+x)+(y+y +…+y)=( )
1 1 1 2 2 2 k k k 1 2 k 1 2 k
A.-2 B.0
C.2 D.4
二、多项选择题
8.(2021·重庆八中月考)已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),值域为R,则( )
A.函数f(x2+1)的定义域为R
B.函数f(x2+1)-1的值域为R
(ex+1)
C.函数f 的定义域和值域都是R
ex
D.函数f(f(x))的定义域和值域都是R
9.(2021·山东潍坊二模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在区间[0,2]上单调递增,则
下列说法正确的是( )
A.f(x)的周期是4
B.f(2)是函数的最大值
C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
D.f(x)在区间[2,6]上单调递减
(x+1)2+x3
10.(2021·山东威海期中)已知函数f(x)= ,则下列说法正确的是( )
x2+1
A.函数f(x)的图象的对称中心是点(0,1)
B.函数f(x)在R上是增函数
C.函数f(x)是奇函数
1
D.方程f(2x-1)+f(2x)=2的解为x=
4
三、填空题
{ sinx,x≥0, ( π)
11.(2021·四川成都月考)已知函数f(x)= 则f - = .
f (-x),x<0, 6
12.(2021·山东枣庄二模)写出一个图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上单调递增的偶函数f(x)=
.
13.(2021·山西临汾一模)已知函数f(x)=ln(√4x2+1 +2x)- 1 ,若f(log
2
a)=2,则f(lo g 1a)=
2x+1
2
.3x-1
14.(2021·天津一中期中)已知函数f(x)= +x|x|+2,且f(-a)+f(2a-3)>4,则实数a的取值范围是
3x+1
.专题突破练 2 函数的图象与性质
1.D 解析: 对于A,f(x)=x2-1为偶函数,但值域为[-1,+∞),故A不符合题意;对于B,f(x)= 1
x2
的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故B不符合题意;对于C,f(x)=log x的定义域
2
不关于原点对称,为非奇非偶函数,故C不符合题意;对于D,f(x)=|x|为偶函数,且值域为
[0,+∞),故D符合题意.
2.C 解析: 因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(-5)=f(-1)=a-2,f(4.5)=f(0.5)=2.5.
因为f(-5)=f(4.5),所以a-2=2.5,故a=4.5.
3.B 解析: 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即1-log 2=0,解得a=2.所以f(x)=
a
{1-log (x+2),x≥0,
2
g(x),x<0.
所以方程g(x)=2,即当x<0时,f(x)=g(x)=2,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-g(x)=-2,所以当x<0
时,有1-log (-x+2)=-2,整理得log (2-x)=3,解得x=-6.
2 2
综上,方程g(x)=2的根为-6.
4.A 解析: 由题中图象关于原点对称,可知函数f(x)为奇函数,排除选项C,D,对于选项B
中的函数,f'(x)= 1 +cos x,当00,故f(x)在区间( 0, 2π)上单调递增,故选项B
2 3 3
不符合.故选A.
5.B 解析: 依题意,函数图象上关于原点O对称的点的对数,即为g(x)=log x与h(x)=-cos
4
x图象交点的个数.
如图,由于g(π)=log πlog 4=1,h(3π)=1,故函数f(x)的图象
4 4 4 4
上关于原点O对称的点有3对.
6.C 解析: ∵f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,
∴f(0)=0且f(-x)=-f(x).
∵x∈[0,1]时,f(x)=log (x+a),
2
∴log (0+a)=0,解得a=1,
2
∴x∈[0,1]时,f(x)=log (x+1).
2
∵y=f(x+1)为偶函数,∴y=f(x+1)的图象关于y轴对称.
∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(x)=f(2-x),∴f(x)=f(2-x)=-f(x-2),
∴f(x+2)=-f(x).
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为4.
∴f(2 021)=f(1)=log 2=1.
22ex ex+e-x ex+e-x ex+e-x
7.D 解析: 由于f(x)= = +1,而y= 是奇函数,所以函数f(x)= +1
ex-e-x ex-e-x ex-e-x ex-e-x
的图象关于点(0,1)对称.
因为y=-x3+12x是奇函数,所以函数g(x)=-x3+12x+1的图象关于点(0,1)对称.
-4e2x
因为f'(x)= <0,所以f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.因为g'(x)=-3(x2-4),所以
(e2x-1)2
函数g(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增.画出函数f(x)和g(x)
的大致图象(图略),由图可知,f(x)与g(x)的图象有4个交点,不妨设x 1可得x≠0,所以f(x2+1)的定义域为{x|x≠0},故选项A
不正确;
对于选项B,因为f(x)值域为R,x2+1≥1,所以f(x2+1)的值域为R,可得f(x2+1)-1的值域为
R,故选项B正确;
ex+1 1 (ex+1) ex+1
对于选项C,因为 =1+ >1对x∈R恒成立,所以f 的定义域为R,因为
ex ex ex ex
(ex+1)
>1,所以f 的值域为R,故选项C正确;
ex
对于选项D,若函数f(f(x))的值域是R,则f(x)>1,此时无法判断其定义域是否为R,故选项
D不正确.
9.BD 解析: 由于f(x)是奇函数,f(2+x)=f(2-x),所以f(2+x)=-f(x-2),所以f(x+4)=-
f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),因此函数f(x)是周期为8的周期函数,故A项错误;由题意,知f(x)
的图象关于直线x=2对称,且在区间[0,2]上单调递增,所以f(x)在区间[2,4]上单调递减,又
f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数
f(x)的最大值,f(x)的图象关于直线x=-2对称,不关于点(-2,0)对称,在区间[2,6]上单调递减,
故B正确,C错误,D正确.
(x+1)2+x3 x2+2x+1+x3 2x+x3
10.ABD 解析: 由于f(x)= = =1+ ,对于选项A,设g(x)=
x2+1 x2+1 x2+1
2x+x3 -2x-x3
,则f(x)=1+g(x),g(-x)= =-g(x),所以函数g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点
x2+1 x2+1
成中心对称,因此f(x)=1+g(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,即点(0,1)是函数f(x)图象的
对称中心.故A正确.
2x+x3 x2+x4+2
对于选项B,由f(x)=1+ ,则f'(x)= >0,所以函数f(x)在R上是增函数,故B正
x2+1 (x2+1)2
确.
5 1
对于选项C,f(1)= ,f(-1)=- ,则f(1)≠-f(-1),所以函数f(x)不是奇函数,故C不正确;
2 2对于选项D,由选项A知,f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称,所以由方程f(2x-1)+f(2x)=2,
1
得2x-1+2x=0,解得x= ,所以D正确,故选ABD.
4
1 π ( π) [ ( π)] (π) π 1
11. 解析: 因为- <0,所以f - =f - - =f =sin = .
2 6 6 6 6 6 2
π π π
12.-cos x(答案不唯一) 解析: 如f(x)=-cos x,显然f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,由 x=kπ,
2 2 2
得x=2k,k∈Z.
π
当k=1时,f(x)=-cos x的图象关于直线x=2对称.
2
π π
由x∈[0,2],得 x∈[0,π],则由余弦函数的性质可知,函数f(x)=-cos x在区间[0,2]上单调
2 2
递增.
1 1
13.-3 解析: 根据题意,函数f(x)=ln(√4x2+1 +2x)- ,则f(-x)=ln(√4x2+1 -2x)- =-
2x+1 2-x+1
ln(√4x2+1 +2x)-
2x
,于是f(x)+f(-x)=-1,所以f(lo g
1
a)=f(-log
2
a)=-1-f(log
2
a)=-1-2=-3.
2x+1
2
3x-1 2
14.(3,+∞) 解析: 因为函数f(x)= +x|x|+2=3- +x|x|,
3x+1 3x+1
2 2·3x
所以f(-x)=3- -x|x|=3- -x|x|,因此f(x)+f(-x)=4,于是f(a)+f(-a)=4,而f(-a)
3-x+1 3x+1
+f(2a-3)>4,即f(-a)+f(2a-3)>f(a)+f(-a),所以f(2a-3)>f(a),由于y=x|x|在R上单调递增,因此
f(x)在R上单调递增,所以2a-3>a,解得a>3,即实数a的取值范围为(3,+∞).
