文档内容
《变量之间的关系》分课时教学设计
第3课时用关系式表示变量之间的关系教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 用关系式表示的变量间关系》是北师大版（2024）七年级下册第六章《变量之间的
关系》的第三节。《变量之间的关系》是初中数学的重要内容之一，它将为后面函
数知识打下基础。
学习者分析 1、在上学期的代数式求值、探索规律等课程中，学生已经开始接受了变化思想的
渗透，初步感受了一个量随着另一个量的变化而变化。在本节课中，学生将在以前
认知的基础以及上节课所掌握的相关概念和方法上，进一步的了解掌握表示变量间
的另一种方法——关系式，从而让学生逐步的由常量的世界走向变量的世界，为以
后的函数学习打下坚实的基础。
2、本节课内容抽象，本节课设计学生小组合作交流的学习主要模式。完成本节课
的学习任务。
教学目标 1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量
的影响，发展符号感。并能用关系式表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关
系。给定自变量能求出因变量。
2.将生活中的实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际生活中的问题。
3.培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。通过
教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。
教学重点 1、找问题中的自变量和因变量。
2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系
教学难点 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：复习引入
教师活动1： 学生活动1：
1．在某一变化过程中，发生 变化 的量叫变量；如测量小车从不同高度下滑的 1、回顾旧知。
时间的问题中，支撑物体的高度h和小车下滑的时间t都是变量．其中t随h的
变化而变化，h是 自变量 ，t是 因变量 . 2、填写几何形体
的有关公式。
2．借用 表格 可以表示自变量和因变量的变化情况
3. 填一填
（1）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=________;面积S=________；
（2）圆的半径为r,则圆的面积S=________;
（3）三角形的一边为a，这边上的高为h，则三角形的面积S=________；
（4）梯形的上底、下底分别为a、b,高为h，则梯形的面积S=________;
（5）圆锥的底面的半径为r,高为h，则圆锥的体积V=________;（6）圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积V=________.
活动意图说明：
复习旧知识，填写本节课要用到的相关知识，特别注意关系式的格式，为下面的探究打
下铺垫
环节二：探究新知
教师活动2： 学生活动2：
1、情景引入 1、填表并回答问
题。
请同学们观察表格，已知三角形的底边BC上的高为6cm时，三角形的面积y(cm
)与三角形底边BC(cm)有如下的关系： 2、探究用关系式
表达变量之间的关
系。
3、小组活动，比
较用表格法和关系
式法表达变量之间
(1)表格反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ 的关系的优劣点。
(2)通过表格，你发现了什么规律？如何表示呢？
2、探究新知
(1）决定一个三角形的面积的因素有哪些？
（2）若△ABC底边BC上的高是6厘米，三角
形的顶点C沿底边BC 所在直线向点B运动
时，三角形的面积发生了怎样的变化？
BC逐渐减小，面积也逐渐减小。
（3）这个过程中哪个量是自变量，哪个量是
因变量？
自变量是BC的长度，因变量是三角形的面积
（4）如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积y（厘米 ）可以表
示为：y=3x
（5）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从 3 6 厘米 变化到
9 厘米 ．
3、小结
y=3x 表示了 三角形面积 和 三角形的底 之间的关系
像这样用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示）数学式子（等式）叫做关系式。
它的基本特点是：
（1）等式左边是因变量，等式右边是关于自变量的代数式；
（2）等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他量都是常量；
（3）自变量可在允许的范围内任意取值。
4、练一练
根据三角形的底边长为 x（cm）和三角形的面积 y（cm ）的关系式 y = 3x 填
表：
通过填表、探究，你能说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
关系式是描述自变量、因变量之间关系的另一种较准确的方式，它不如表格直
观，但比表格全面。我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值
活动意图说明：
通过填表，学生了解了表示变量之间关系的另一种方法：关系式，同时体会了这种表示方法的特点：
根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。
环节三：典例精析
教师活动3： 学生活动3
例题1：如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的的底面半径由小到大变化时， 自学例题，提出质
圆锥的体积也随之发生了变化。 疑。
（1）在这个变化过程中，
自变量、因变量各是什么？
圆锥的底面半径的长度是自变量，圆锥的体积是因变量
（2）如果圆锥底面半径为 r（厘米），那么圆锥的体积v（厘米3）与r的关系
式为4
V= πr2
3
3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由【 】 厘米 变化到
【 】厘米
例题2：你知道什么是“低碳生活吗”？
“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所
耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的
排放量的一种生活方式。
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排
放量的公式为 y = 0.785 x，其中的字母
表示： 耗电量（ x ）和二氧化碳排放量
（ y ）
当x=110KW.h时
y= 0.785×110=86.3 5 （ Kg )
（2）用字母表示开私家车的二氧化碳排放量的公式为 y = 2.7 x，其中的字母表
示： 耗油量（ x ）和二氧化碳排放量（ y ）
当x=75L时
y= 2.7×75=202. 5 （ Kg )
（3）用字母表示家用天然气的二氧化碳排放量的公式为 y = 0.19 x，其中的字
母表示： 天然气立方米数（ x ）和二氧化碳排放量（ y ）
当x=20立方米时
y= 0.19×30=3. 8 （ Kg )
（4）用字母表示家用自来水的二氧化碳排放量的公式为 y = 0.91 x，其中的字
母表示； 自来水的吨数（ x ）和二氧化碳排放量（ y ）
当x=5吨时
y= 0.91×5=4.5 5 （ Kg )
活动意图说明：
对新学知识进行巩固，并培养学生应用数学知识的能力。
板书设计课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1、变量m、n之间的关系式是m=2n-1,当自变量n=2时，因变量m的值是（ B ）
A、2 B、3 C、-3 D、5
2．某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，邮箱中的汽油大约
消耗了 ，如果加满后汽车的行驶路程为x千米，邮箱中剩余油量为y升，则y与x
之间的关系式是（ D ）
A．y=0.12x B．y=60+0.12x C．y=-60+0.12x D．y=60-0.12x
3．用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购
买n本书共需费用y元，则可列出关系式（ A ）
A．y=n( +0.6) B．y=n( )+0.6
C．y=n( +0.6) D．y=n( )+0.6
4．佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x小时后，
产生电费y（元）与时间（小时）之间的关系式是（ A ）
A． B． C． D．
5.张老师带领 x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5
元，设门票的总费用为y元，则 y = 5x+1 0
6．三角形的底边是12厘米，当底边上的高h（厘米）变化时，三角形的面积S
（平方厘米）也随着高的变化而变化，可用式子表示成 S= 6h ．
7．校园里栽下一棵小树高1.8m，以后每年长0.4m，则n年后的树高L与年数n之
间的关系式为: L =0.4 n +1.8 ．
选做题：
8.已知三峡大坝泄洪时每孔水流量为1500立方米/秒，上游水位为40米，水位每
降低1米，下游水位升高0.2米。
1）你能说出这个变化过程中的自变量和因变量是什么吗？
（2）如果下游水位升高G米，泄洪后上游水位高度为h米，试列出G和h的关系
式.
解 :（1）自变量是上游水位下降情况，因变量是下游水位升高高度.
（2）关系式:【综合拓展类作业】
9.（中考链接）某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内所挂的物体的重量x 每增
加1 kg ，弹簧长度y增加0.5cm。
（1）依据上表数据，写出y与x之间的关系式。
解：y = 3+0.5x
（2）当物体的质量为6kg时，根据（1）的关 系式求出弹簧的长度。
解：将x=6代入y=3+0.5×6，得y=3+3=6.
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1．汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是60km/h，则汽车距B地路
程s（km）与行驶时间t（h）的关系式为（ A ）．
A．S=120-60t B．S=120+60t C．S=60t D．S=120t
2．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费6元，超过3千米
后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租车行驶的距离为x(x＞3）千米，则需付
费用为y元与x（千米）之间的关系式是（ B ）
A．Y=6+x B．Y=3+x C．Y=6-x D．Y=9+x
3．已知△BAC的底边BC上的高为8cm，当底边BC从16 cm变化到5 cm时，△BAC
的面积 ( D )
A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2
C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2
4.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款20元，则存
款总金额y（元）与时间x（月）之间的关系式是（ C ）
A．Y=20x B．Y=500x C．y=500+20x D．Y=500-20x
5.梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8。
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？
解： y=4x+60
（2）用表格表示当 x 从 2 变到 6 时（每次增加1），y 的值；
（3）当 x 每增加 1 时，y如何变化？说说你的理由。
解：x 每增加1，y增加4，由上面表格可知
（4）当 x ＝0时，y 等于什么？此时它表示的什么？
解：X=0时，y=60,此时它代表三角形的面积6．在地球某地，温度 T（℃）与高度 d（m）的关系可以近似地用
来表示．根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000 时，
计算相应的T值，并用表格表示所得结果．
参考答案：
选做题：
7.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条的节数/节 2 3 4 5
链条的长度/cm 5
（2）如果x节链条的长度是y，那么y与x之间的关系式是什么？
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这
辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？
本题参考答案：（ ） ； ； ；9.3；（ ） ；（ ）102cm
【综合拓展类作业】
8．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：①每户每月的用水
不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；②超过10立方米时，超出部分按每
立方米3.8元收费，该市每户居民6月份用水X立方米(X＞10），应交水费y元，
则y与x的关系式为 Y=3.8X-1 6 ．
9.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，点D在斜边AB上，
将 ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线BC上的点 处，连接 并
延长，交射线AC于E．
（1）当点 与点C重合时，求BD的长．
（2）当点E在 AC的延长线上时，设BD为x，CE为y，
求y关于x函数关系式，并写X的取值范围．
（3）连接 ，当△A D是直角三角形时，请直接写出BD的长．
参考答案：（1）BD=1；（2） ；（3） 或 ．教学反思
