专题突破练 8 三角函数的图象与性质
一、单项选择题
( 4π ( 17π))
1.(2021·山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P tan ,2sin - ,则cos θ的值为( )
3 6
1 1 √3 √3
A. B.- C.- D.
2 2 2 2
π
2.(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin x- 单调递增的区间是( )
6
( π) (π ) ( 3π) (3π )
A. 0, B. ,π C. π, D. ,2π
2 2 2 2
π
3.(2021·山西临汾一模)已知θ= ,则下列各数中最大的是( )
3
A.sin(sin θ) B.sin(cos θ) C.cos(sin θ) D.cos(cos θ)
( π )
4.(2021·浙江金华期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点 ,0 ,一条对称轴方程为x=
24
π
,则函数f(x)的周期可以是( )
6
3π π π π
A. B. C. D.
4 2 4 12
( π π)
5.(2021·广东广州月考)将函数f(x)=sin(2x+θ) - <θ< 的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得
2 2
( √3)
到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P 0, ,则φ的值可以是( )
2
3π 5π π π
A. B. C. D.
2 6 2 6
π
6.(2021·山东日照期末)已知函数f(x)=sin ωx+ (ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有6个零点,则实数ω
3
的取值范围为( )
[17 ) (17 ) [17 10) (17 10)
A. ,+∞ B. ,+∞ C. , D. ,
6 6 6 3 6 3
1 (π )
7.(2021·江西临川期末)函数f(x)= x- ·cos x 的大致图象可能为( )
x 2(π) (5π)
8.(2021·湖北荆门模拟)已知函数f(x)=asin 2x-bsin2x(a>0,b>0),若f =f ,则下列结论正确的是
2 6
( )
(1)
A.f(0)<f <f(1)
2
(1)
B.f(0)<f(1)<f
2
(1)
C.f <f(1)<f(0)
2
(1)
D.f(1)<f <f(0)
2
二、多项选择题
9.(2021·山西太原月考)已知函数f(x)=2(2|cos x|+cos x)sin x,则下列结论错误的是( )
[ 3π]
A.当x∈ 0, 时,f(x)∈[0,3]
2
B.函数f(x)的最小正周期为π
[ 5π]
C.函数f(x)在区间 π, 上单调递减
4
D.函数f(x)的对称中心为(2kπ,0)(k∈Z)
1 ( π)
10.(2021·辽宁锦州模拟)已知ω> ,函数f(x)=sin 2ωx- 在区间(π,2π)上没有最值,则下列结论正
3 3
确的是( )
A.f(x)在区间(π,2π)上单调递增
[ 5 11]
B.ω∈ ,
12 24
C.f(x)在区间[0,π]上没有零点
D.f(x)在区间[0,π]上只有一个零点
三、填空题
11.(2021·四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),则α=
.( π) ( 4π)
12.(2021·海南海口中学期末)已知函数f(x)=sin ωx- (ω>0)在区间 0, 上单调递增,在区间
6 3
(4π )
,2π 上单调递减,则ω= .
3
( π) ( π )
13.(2021·河北石家庄期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ< 满足f(x+π)=f(x),f =1,则f
3 12
(
-
π )的值等于
.
12 ❑
14.(2021·浙江金华月考)已知函数f(x)=sin 4x-2cos 4x,若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x),则f
0
( π)
x + = .
0 8 ❑专题突破练 8 三角函数的图象与性质
1.D 解析: 因为tan 4π =tan ( π+ π) =tan π =√3,sin ( - 17π) =sin ( -2π-π+ π) =sin
3 3 3 6 6
( -π+ π) =-sin π- π =-sin π =- 1 ,所以2sin ( - 17π) =-1,所以P(√3,-1).
6 6 6 2 6
√3 √3
所以cos θ= = .
√(√3)2+(-1)2 2
π [ π π ] [ π 2π ]
2.A 解析: 由x- ∈ - +2kπ, +2kπ ,k∈Z,得x∈ - +2kπ, +2kπ ,k∈Z.当
6 2 2 3 3
k=0时,得函数f(x)=7sin ( x- π)的单调递增区间为 [ - π , 2π] ,
6 3 3
∵(
0,
π)
∈
[
-
π
,
2π] ,∴(
0,
π)是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
2 3 3 2
π √3 1 √3 (π √3)
3.D 解析: 当θ= 时,sin θ= ,cos θ= ,则sin(sin θ)=sin =cos - ,sin(cos θ)=sin
3 2 2 2 2 2
1 =cos(π
-
1),cos(sin
θ)=cos
√3
,cos(cos θ)=cos
1
,
2 2 2 2 2
1 π √3 √3 π 1
∵0< < − < < − <π,且函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减,
2 2 2 2 2 2
∴cos
1
>cos
(π
-
√3)
>cos
√3
>cos
(π
-
1)
,∴最大的是cos
1
,即最大的是cos(cos θ).
2 2 2 2 2 2 2
π π 2k+1 π
4.B 解析: 由题意得 − = T(k∈Z),则T= (k∈Z).结合四个选项可知,只有
6 24 4 4k+2
选项B符合.
5.B 解析: 依题意g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),因为f(x),g(x)的图象都经过点P
{ sinθ= √3 ,
(
0,
√3),所以 2
2 √3
sin(θ-2φ)= ,
2
π π π π 2π π
因为- <θ< ,所以θ= ,θ-2φ= +2kπ或θ-2φ= +2kπ(k∈Z),即φ=-kπ或φ=-kπ-
2 2 3 3 3 6
(k∈Z).
结合四个选项可知,只有选项B符合.π π kπ
6.C 解析: 令f(x)=0,即ωx+ =kπ(k∈Z),故x=- + (k∈Z),又ω>0,可知在区间
3 3ω ω
π π 2π
[0,2π]上,从左到右f(x)的第1个零点为x =- + = ,而第6个零点为x =-
1 6
3ω ω 3ω
π + 6π = 17π ,第7个零点为x 7 =- π + 7π = 20π ,故17π≤2π< 20π ,解得17≤ω< 10 .
3ω ω 3ω 3ω ω 3ω 3ω 3ω 6 3
7.A 解析: 函数f(x)= ( x- 1) cos (π x )的定义域为{x|x≠0},f(-x)= ( -x- 1 ) cos ( - πx) =-
x 2 -x 2
(
x-
1)cos(πx)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,C选项;当0<x<1时,x- 1
=
x2-1
x 2 x x
<0,0<
πx
<
π
,则cos
(πx)
>0,所以f(x)<0,排除D选项.
2 2 2
1-cos2x √ b2
8.B 解析: 由题意得f(x)=asin 2x-b = a2+ ·sin(2x+φ)-
2 4
b(
其中tanφ=
b
,0<φ<
π).
2 2a 2
令g(x)=sin(2x+φ),
π 5π
由f(π)=f(5π),得g(π)=g(5π),则g (
2
+
6
) =±1,即sin(4π
+φ
)=±1,解得φ=- 5π
2 6 2 6 3 6
2
+kπ,k∈Z,
∴φ= π ,∴g(x)=sin ( 2x+ π) .
6 6
故g(0)= 1 ,g(1)=sin ( 2+ π) >sin π = 1 ,
2 6 6 2
π [ π] π 1 π
又函数g(x)的图象关于直线x= 对称且函数g(x)在区间 0, 上单调递增, − <1- ,
6 6 6 2 6
∴g
(1)
>g(1),于是g(0)<g(1)<g
(1)
,从而f(0)<f(1)<f
(1)
.
2 2 2
π π
{3sin2x,- +2kπ≤x< +2kπ,
9.ABD 解析: 依题意f(x)= 2 2 (k∈Z),画出函数f(x)的大致
π 3π
-sin2x, +2kπ≤x< +2kπ
2 2
图象如图所示.[ 3π]
由图象知,当x∈ 0, 时,f(x)∈[-1,3],故A错误;函数f(x)的最小正周期为2π,故B错误;
2
[ 5π]
函数f(x)在区间 π, 上单调递减,故C正确;函数f(x)的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),故D
4
错误.
10.BD 解析: 由函数f(x)=sin ( 2ωx- π)在区间(π,2π)上没有最值,得2kπ- π ≤2ωπ- π
3 2 3
π π π π π 3π 1 k 5
<4ωπ- ≤2kπ+ ,或2kπ+ ≤2ωπ- <4ωπ- ≤2kπ+ ,k∈Z;解得k- ≤ω≤ + ,或
3 2 2 3 3 2 12 2 24
5 k 11 T 2π 1
k+ ≤ω≤ + ,k∈Z,由 ≥2π-π=π,得T≥2π,即 ≥2π,则ω≤ .
12 2 24 2 2ω 2
1 1 1 [ 5 11]
又ω> ,所以 <ω≤ .所以可取k=0,得ω∈ , ,且f(x)在区间(π,2π)上单调递减;所
3 3 2 12 24
π [ π π] π [π 7π]
以A错误,B正确;当x∈[0,π]时,2ωx- ∈ - ,2ωπ- ,且2ωπ- ∈ , ,所以f(x)
3 3 3 3 2 12
在区间[0,π]上只有一个零点,所以C错误,D正确.
sin 215°
11.235° 解析: 由三角函数的定义可得cos α= =sin 215°=cos
√sin2215°+cos2215°
cos 215°
235°,sin α= =cos 215°=sin 235°,所以α=235°.
√sin2215°+cos2215°
12.
1
解析: 由题意f
(4π)
=sin
(4π
ω-
π)
=1
4π
ω-
π
=2kπ+
π
(k∈Z) ω=
3
k+
1
2 3 3 6 3 6 2 2 2
⇒ ⇒
1
(k∈Z),若k>0,则ω≥2,T≤π与已知矛盾;若k<0,ω<0,与已知不符,当k=0时,得ω= 满足
2
题意.
13.- 1 解析: 设f(x)的最小正周期为T,因为f(x+π)=f(x),所以nT=π(n∈N*),所以T=
2
π = 2π (n∈N*),所以ω=2n(n∈N*),又f ( π ) =1,所以当x= π 时,ωx+φ=n· π +φ= π
n ω 12 12 6 2
π π π π π π
+2kπ(n∈N*,k∈Z),所以φ= +2kπ-n· (n∈N*,k∈Z),因为0<φ< ,所以0< +2kπ-n· <
2 6 3 2 6 3
(n∈N*,k∈Z),整理得1<n-12k<3(n∈N*,k∈Z),因为n-12k∈Z(n∈N*,k∈Z),所以π π π π π π
n-12k=2(n∈N*,k∈Z),所以φ= +2kπ-(2+12k)· = (k∈Z),则n· + =
2 6 6 6 6 2
+2kπ(n∈N*,k∈Z),
nπ π
所以 = +2kπ(n∈N*,k∈Z),
6 3
( π ) [ ( π ) π] nπ π ( π π) ( π) 1
所以f - =sin 2n· - + =sin - + =sin - -2kπ+ =sin - =-
12 12 6 6 6 3 6 6 2
(n∈N*,k∈Z).
14.0 解析: 由于f(x)=sin 4x-2cos 4x=√5sin(4x-φ)(其中tan φ=2),所以函数f(x)的最小正周
2π π 1 π
期T= = ,而f(x)≥f(x ),因此f(x)在x=x 处取得最小值,而x + T=x + ,所以点
0 0 0 0
4 2 4 8
(
x +
π
,0
)是f(x)图象的对称中心,故f
x +
π
=0.
0 8 0 8
