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第四章过关自测卷
（120分,90分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各组中的四条线段是比例线段的是（ ）
A.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
C.4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
D.5 cm,10 cm,15 cm,20 cm
2. 若a、b、c、d是互不相等的正数，且 = ，则下列式子错误的
是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图1所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使
AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得
BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（ ）
A.CE B.DE
C.CE或DE D.无法确定
图1 图2
4. 如图2所示，将△ABO的三边分别扩大一倍得到△A B C（顶点均在格点上），
1 1 1
它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）
A.（－4，－3） B.（－3，－3）
C.（－4，－4） D.（－3，－4）
1 / 115〈. 海南〉如图3，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一
个条件，不正确的是（ ）
A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC
C. D.
图3 图4
6. 如图4，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m，窗
户下檐到地面的距离BC=1 m，EC=1.2 m，那么窗户的高AB为（ ）
A.1.5 m B.1.6 m C.1.86 m D.2.16 m
7. 如图5，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果 ,那么
=（ ）
A. B. C. D.
图5 图6
8. 如图6，在△ABC中，点D在BC上，BD∶DC=1∶2，点E在AB上，AE∶EB=3∶2，
AD,CE相交于F，则AF∶FD=( )
A.3∶1 B.3∶2 C.4∶3 D.9∶4
9. 如图7，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB=2，
BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）
A.9∶4 B.3∶2 C.4∶3 D.16∶9
2 / 11图7 图8
10. 如图8，在△ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点
E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如
果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的
时间是（ ）
A.3 s或4.8 s B.3 s
C.4.5 s D.4.5 s或4.8 s
二、填空题（每题4分，共24分）
11.若x是m,n的比例中项，则 = .
12.如图9，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若
两次太阳的光线互相垂直，则树的高度为 .
图9 图10
13.如图10，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，如果AB=8，BE=4，
DH=3，则△HEC的面积为 .
14.如图11，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使
△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的 .
图11
15〈. 湖北黄冈，有改动〉如图12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6 cm,动点
3 / 11P从点A出发，沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点
B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P
的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为
.
图12 图13
16〈. 山东威海〉如图13，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），
（8，2），（6，4）．已知△A B C 的两个顶点的坐标分别为（1，3），（2，5），若△ABC
1 1 1
与△A B C 位似，则△A B C 的第三个顶点的坐标为 .
1 1 1 1 1 1
三、解答题（17题9分，21，22题每题12分，其余每题11分，共66分）
17. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ,a+b+c=12，
试求a、b、c的值，并判断△ABC的形状.
18. 如图14，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1,3），B（－1,1），C（－3,2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，将△A B C 放大为原来的2倍，得到
1 1 1
△A B C ，求出
2 2 2
4 / 11图14
19.〈湖南株洲〉已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，点Q是线段AC上的
一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图15（1））或线段AB的延长线（如
图15（2））于点P.
图15
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
20. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过点C作
CE垂直BD交BD的延长线于E，如图16（1）.
（1）若BD是边AC上的中线，如图16（2），求 的值；
（2）若BD是∠ABC的平分线，如图16（3），求 的值.
图16
21〈. 黑龙江龙东地区〉如图17，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴
上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2－25x+144=0
的两个根（OA＜OB）,点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D
作直线DE⊥OB，垂足为E.
5 / 11（1）求点C的坐标；
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，
求直线AD对应的函数关系式；
图17
（3）若点N在直线DE上，在坐标平面内，是否存在这样的点M，使得以C、B、N、
M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明
理由.
22〈. 湖北武汉〉已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交
于点G.
（1）如图18①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证： ;
（2）如图18②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么
关系时， 成立？并证明你的结论；
（3）如图18③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出 的
值.
图18
6 / 11参考答案及点拨
第四章过关自测卷
一、1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A
7. B 点拨：易得△CDE∽△CBA，∴ = .又由AD平分∠BAC，DE∥AB可得
∠DAE=∠EDA，∴AE=DE，∴ = = .
8. D 点拨：作DG∥CE交AB于G.∴ = = ,又 = ，∴ = =
.
9. D 点拨：本题运用方程思想，设CF=x，则BF=3－x，易得CF2+
CB′2=FB′2，即x2+12=(3－x)2,解得x= .由已知可证得Rt△FC ∽Rt△ DG，所以
=( ) 2= = .
10. A 方法规律：本题运用分类讨论的思想，分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB
两种情况分别求解.
二、11. 0
点拨：易得x2=mn,
∴ + + = + + = =0.
12. 4 m
7 / 1113. 点拨：设CE=x，由△CEH∽△CBA得 = ，即 = ,∴x= ，
∴S = × ×5= .
△HEC
14. 乙 点拨：∵△PQR∽△ABC，∴ = = = ，∴PQ上
的高=6.故应是乙点.
15. 2 点拨：连接PP′交BC于O，∵四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，∴∠POQ= 90°.∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴ = .
∵点Q运动的时间为t s，∴AP= t cm,QB=t cm,∴QC=（6－t）cm,
∴CO= cm.∵AC=CB=6 cm，∠ACB=90°，∴AB=6 cm，∴ = ,解得
t=2.
16. (3,4)或（0,4）
三、17. 解：设 = = =k≠0,∴a=3k－4,b=2k－3,c=4k－8.又a+b+c=12.
将 a=3k－4,b=2k－3,c=4k－8 代入得：3k－4+2k－3+4k－8=12.∴9k=27,即
k=3.∴a=5,b=3,c=4.由于 b2+c2=9+16=25,a2=52=25,∴b2+c2=a2.∴△ABC 是直角三角
形.
18. 解：（1）如答图1所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）易得△A B C 的面积为 ×2×2=2.
1 1 1
8 / 11答图1
∵将△A B C 放大为原来的2倍，得到△A B C ，
1 1 1 2 2 2
∴△A B C ∽△A B C .∴ = .∴ = = .
1 1 1 2 2 2
∴ =4×2=8.即 =2， =8.
19.（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=
∠C.在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△AQP∽
△ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
①当点P在线段AB上时，∵△PQB为等腰三角形，∴PB=PQ.由（1）可知，
△AQP∽△ABC，∴ = .即 = ，解得PB= ，
∴AP=AB－PB=3－ = ;
②当点P在线段AB的延长线上时，∵△PQB为等腰三角形.
PB=BQ,∴∠BQP=∠P,∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP,即点B为线段AP的中点，
∴AP=2AB=2×3=6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为 或6.
20. 解：（1）设 AD=x，则 AB=2x,根据勾股定理，可得 BD= x.由题意可知
9 / 11△ABD∽△ECD，∴ = ,可得EC= x，∴ = .
(2)设AD=y，根据角平分线定理及∠ACB=45°，可知AC= y+y，由勾股定理可知
BD= = .由题意可知△ABD∽△ECD，∴ =
= ,在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC= ,∴ =2.
21. 解：（1）解方程x2－25x+144=0，
得：x =9,x =16.∵OA＜OB，∴OA=9，OB=16.在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，
1 2
在 Rt△ABC 中 ， ∠ CAB+∠CBA=90°.∴∠ACO=∠CBA,∵∠AOC=∠COB=90° ，
∴△AOC∽△COB.∴OC2=OA·OB=9×16=144，∴OC=12，∴C（0，12）.
（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD.∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°.∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED，∴AE=AC=15,∴OE=AE－OA=15－9=6.
∴BE=10.∵∠DBE=∠ABC,∠DEB=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BAC，∴ = .∴ = ,∴DE= ,∴D .
设直线AD对应的函数关系式为y=kx+b，∵A（－9,0），D ，
∴ 解得
∴直线AD对应的函数关系式为y= x+ .
（3）存在.M （28,16），M （14,14），M （－12，－4），M (2，－2).
1 2 3 4
22.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，
又∵DE⊥CF，∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴ = .
10 / 11(2) 解：当∠B+∠EGC=180°时， = 成立，证明如下：在AD的延长线上取
点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM.∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED.∴△ADE∽△DCM，
∴ = ,即 = .
(3) 解： = .
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