文档内容
2022年四川省攀枝花市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5分）2的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
2．（5分）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
3．（5分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
4．（5分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞﹣2 B．|b|＞a C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
6．（5分）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（5分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m≥﹣ D．m＞﹣
8．（5分）为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极
推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ）
A．8，8，8 B．7，7，7.8 C．8，8，8.6 D．8，8，8.4
9．（5分）如图，正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）、B两点，当
1
k x≤ 时，x的取值范围是（ ）
1
A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
10．（5分）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻
的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝ ，BC＝1，
∠AOB＝30°，则OA的值为（ ）
A． B． C． D．1
11．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）
A． B．1 C． D．
12．（5分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接
雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、
科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶
向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线
1
OABN表示轿车离西昌距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（
2
）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ﹣（﹣1）0＝ ．
14．（5分）盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个
球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 ．
15．（5分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元
一次不等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方程，则n的取值范围是 ．
16．（5分）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A
在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四
边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝
150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式： （x﹣3）＜ ﹣2x．
18．（8分）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直
接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角
和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．
19．（8分）为提高学生阅读兴趣，培养良好阅读习惯，2021年3月31日，教育部印发了《中小
学生课外读物进校园管理办法》的通知．某学校根据通知精神，积极优化校园阅读环境，
推动书香校园建设，开展了“爱读书、读好书、善读书”主题活动，随机抽取部分学生同
时进行“你最喜欢的课外读物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调
查，并绘制成如图1，图2的统计图．图1中A代表“喜欢人文类”的人数，B代表“喜欢
社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D代表“喜欢艺术类”的人数．已知A
为56人，且对应扇形圆心角的度数为126°．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求出“喜欢科学类”的人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生3200人，估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数．20．（8分）如图，一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，求
△OAB的面积．
21．（8分）如图， O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与 O相切
于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若 O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
⊙
22．（8分）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国
北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳
台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯
一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 ＝37°
的跳台A点以速度v
0
沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速θ度将保持不变．
同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，
请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
23．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二
次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的
面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12分）如图，直线y＝ x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不
与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕
点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．（1）证明： ＝ ；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）2022年四川省攀枝花市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5分）2的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：因为（± ）2＝2，
所以2的平方根是 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（5分）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、 不是单项式，故本选项符合题意；
D、 x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个
数或字母也是单项式．
3．（5分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2b）2＝a2b2 B．a6÷a2＝a3
C．（3xy2）2＝6x2y4 D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．（5分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个
小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5．（5分）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞﹣2 B．|b|＞a C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【解答】解：由数轴知，1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，
∴A错误，
|b|＞a，即B正确，
a+b＜0，即C错误，
a﹣b＞0，即D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用
以上知识解题．
6．（5分）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题
的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，
﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（5分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m≤ C．m≥﹣ D．m＞﹣
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝1+4m≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，
解得m≥﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
数根．
8．（5分）为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极
推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ）
A．8，8，8 B．7，7，7.8 C．8，8，8.6 D．8，8，8.4
【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
【解答】解：该同学五项评价得分分别为7，8，8，9，10，
出现次数最多的数是8，所以众数为8，
位于中间位置的数是8，所以中位数是8，
平均数为 ＝8.4，
故选：D．
【点评】本题考查了统计的知识，解题的关键是了解众数、中位数及平均数的定义，难度不
大．
9．（5分）如图，正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）、B两点，当
1
k x≤ 时，x的取值范围是（ ）
1
A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
【分析】根据反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝k x与反比例函数y＝ 的图象交于A（1，m）、B两点，
1∴B（﹣1，﹣m），
由图象可知，当k x≤ 时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥1，
1
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得B点的坐
标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
10．（5分）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻
的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝ ，BC＝1，
∠AOB＝30°，则OA的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝ ，BC＝1，
∴OB＝ ＝ ＝2，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，
∴AB＝ OB＝1，
∴OA＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练
掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．
11．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相
交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ）A． B．1 C． D．
【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝ DC
＝3，CE＝BE＝ BC＝2，求出FH＝BH，根据勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝ ，根据
三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形
的性质得出 ，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF＝CF＝ DC＝3，CE＝BE＝ BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝ CF＝ ，
由勾股定理得：BF＝ ＝ ＝5，
∴BH＝FH＝ BF＝ ，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴ ，∴ ＝ ，
解得：GH＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题
的关键．
12．（5分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接
雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、
科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶
向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线
1
OABN表示轿车离西昌距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（
2
）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
【分析】根据“速度＝路程÷时间”分别求出两车的速度，进而得出轿车出发的时间，再对
各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110＝ （小时），
3﹣ ＝ （小时），设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60× ＝40（km），故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围
还必须使实际问题有意义．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分） ﹣（﹣1）0＝ ﹣ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣1
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14．（5分）盒子里装有除颜色外没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个
球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次取出的球是1红1黑的结果数，再利用
概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，
∴两次取出的球是1红1黑的概率为 ＝ ．故答案为： ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
15．（5分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元
一次不等式组的关联方程．若方程 x﹣1＝0是关于x的不等式组 的关联方
程，则n的取值范围是 1 ≤ n ＜ 3 ．
【分析】先解方程 x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到 ，然后解n的不等式组
即可．
【解答】解：解方程 x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组 的解，
∴ ，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不
等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
16．（5分）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A
在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四
边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝
150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有 ①②③④ （填上所有正确结论
的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得
DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边
形，即可判断结论①正确；
②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判
断结论②正确；
③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；
④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．
【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；
∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；
∴△EFB≌△ACB（SAS）；
∴EF＝AC＝AD；
同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；
由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；
②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°
＝90°，
由①知四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；
③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，
∴当AB＝AC时，AE＝AD，
∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩
形，
∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三
角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）解不等式： （x﹣3）＜ ﹣2x．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解： （x﹣3）＜ ﹣2x，
去分母，得3（x﹣3）＜2﹣12x，
去括号，得3x﹣9＜2﹣12x，
移项、合并同类项，得15x＜11．
化系数为1，得x＜ ．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
18．（8分）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直
接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角
和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．
【分析】连接AD，AC，把五边形ABCDE的内角和转化为三角形的内角和即可．
【解答】解：连接AD，AC，∴五边形ABCDE的内角和等于△AED，△ADC，△ABC的内角和，
∴五边形ABCDE的内角和＝180°×3＝540°．
【点评】本题考查多边形的内角和的求法，关键是把多边形转化为三角形．
19．（8分）为提高学生阅读兴趣，培养良好阅读习惯，2021年3月31日，教育部印发了《中小
学生课外读物进校园管理办法》的通知．某学校根据通知精神，积极优化校园阅读环境，
推动书香校园建设，开展了“爱读书、读好书、善读书”主题活动，随机抽取部分学生同
时进行“你最喜欢的课外读物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调
查，并绘制成如图1，图2的统计图．图1中A代表“喜欢人文类”的人数，B代表“喜欢
社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D代表“喜欢艺术类”的人数．已知A
为56人，且对应扇形圆心角的度数为126°．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求出“喜欢科学类”的人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生3200人，估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数．
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再乘以“喜欢科学类”
的人数所占的百分比即可；
（2）先求出每周课外阅读3：4小时的人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘以每周课外阅读时间不低于3小时的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数有：56÷ ＝160（人），
则“喜欢科学类”的人数有：160×（1﹣ ﹣20%﹣10%）＝56（人）；（2）每周课外阅读3：4小时的人数有：160﹣（5+28+37+50）＝40（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
3200× ＝1800（人），
答：估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数有1800人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（8分）如图，一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，求
△OAB的面积．
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可得到A、B两点的坐标，由一次函数解析式求
得直线与y轴的交点C，然后根据S△OAB ＝S△AOC +S△BOC 求得即可．
【解答】解：解方程组 得 或 ，
所以A点坐标为（3，1），B点坐标为（﹣1，﹣3），
设一次函数y＝x﹣2的图象交y轴与点C，则C（0，﹣2），∴OC＝2，
∴S△OAB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×3+ ＝4．
故△OAB的面积为4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解
则两者无交点．
21．（8分）如图， O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与 O相切
于点C． ⊙ ⊙
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若 O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
⊙
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCB+∠OCB＝90°，根据等腰三角形的性质
得到∠OBC＝∠OCB，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠OBC，等量代换证明结论；
（2）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠ODF＝30°，根据三角形的面积公式得到
S△CFB ＝S△DFO ，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CP与 O相切，
∴OC⊥P⊙C，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB⊥DC，∴∠PAD+∠ADF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD；
（2）解：连接OD，
在Rt△ODF中，OF＝ OD，
则∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵AB⊥DC，
∴DF＝FC，
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB ＝S△DFO ，
∴S阴影部分 ＝S扇形BOD ＝ ＝ ．
π
【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线
垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（8分）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国
北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳
台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯
一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角 ＝37°
的跳台A点以速度v
0
沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速θ度将保持不变．
同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线
是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，
请回答下列问题：（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【分析】（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，过点B作BD⊥y轴于点D．解直角
三角形求出OD即可；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，求出点B的坐标，代入求出a即可；
（3）求出x＝﹣60，y的值即可判断．
【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）在Rt△OBD中，BD＝ ＝ ＝120（m），
∴B（﹣120，﹣90），
由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．
设抛物线的解析式为y＝ax2，
则有﹣90＝a×（﹣120）2，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2．
（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．【点评】本题考查二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会构
建平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二
次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的
面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意知，二次函数顶点为（1，﹣1），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣
1，将点B（0，0）代入得，a﹣1＝0，即可得出答案；
（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则S＝S△AOB +S△OAP ﹣S△OBP ，代入化简即可；
（3）设N（n，n2﹣2n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐
标公式，分别求出n＝的值，进而得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为（1，﹣1），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将点O（0，0）代入得，a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；
（2）连接OP，
当y＝0时，x2﹣2x＝0，
∴x＝0或2，
∴A（2，0），
∵点P在抛物线y＝x2﹣2x上，
∴点P的纵坐标为t2﹣2t，
∴S＝S△AOB +S△OAP ﹣S△OBP
＝ + （﹣t2+2t）﹣ t
＝﹣t2+ +1；
（3）设N（n，n2﹣2n），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n，
∴n＝1，
∴N（1，﹣1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0，
∴n＝3，
∴N（3，3），
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1，
∴n＝﹣1，
∴N（﹣1，3），
综上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平
行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
24．（12分）如图，直线y＝ x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不
与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕
点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．
（1）证明： ＝ ；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
【分析】（1）证明△BDC∽△EDO，可得结论；
（2）令x＝0和y＝0可得OA和OB的长，根据等角的三角函数得： ＝ ＝ ＝ ，设
OD＝3m，CD＝4m，证明△CDB∽△AOB，列比例式可得BD＝3m，从而可求得m＝1，计
算CD和BD的长，代入（1）中的比例式可得结论；
（3）根据OA＝OF可知：F在以O为圆心，以OA为半径的半圆上运动，并确定当BF在y
轴上时，BF的值最小，从而得结论．
【解答】（1）证明：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°，
∴∠AOB＝∠COE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴∠ABO＝∠CEO，
∵∠BDC＝∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴ ＝ ；
（2）解：当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
当y＝0时， x+6＝0，
∴x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），
∴OA＝8，
如图2，∠BDE＝90°，
∴∠ODC＝∠BDE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴tan∠OCD＝tan∠OAB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴设OD＝3m，CD＝4m，
∵∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝3m，
∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，
∴m＝1，
∴BD＝3，CD＝4，
由（1）知： ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ；
（3）解：如图3，由对称得：OA＝OF，
∵动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA'上运动，
∴当F在y轴上，且在B的上方时，BF的值最小，如图4，
此时BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，
即BF的最小值是2．【点评】本题是一次函数的综合题，考查了轴对称最短问题，三角函数，相似三角形的判定和
性质，一次函数与坐标轴的交点，动点运动轨迹等知识，解题的关键是学会用相似或三角函
数求边的长，学会利用数形结合的思想确定动点运动轨迹问题．
