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2022年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求）
1．（4分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（4分）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会
上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设
5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×102 B．1.6×105 C．1.6×106 D．1.6×107
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添
加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
5．（4分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展
“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的
众数是（ ）
A．56 B．60 C．63 D．72
6．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（
） ⊙ ⊙ πA． B． C．3 D．2
7．（4分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果
买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九
文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．
问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线
x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）计算：（﹣a3）2＝ ．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝ 的图象位于第二、四象限，则k
的取值范围是 ．
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则
△ABC与△DEF的周长比是 ．
12．（4分）分式方程 + ＝1的解为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的
长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，
∠B＝45°，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（ ）﹣1﹣ +3tan30°+| ﹣2|．
（2）解不等式组：15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优
化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契
机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包
一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长t（单 人数 所占百分
位：分钟） 比
A 0≤t＜2 4 x
B 2≤t＜4 20
C 4≤t＜6 36%
D t≥6 16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 ，表中x的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活
动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
16．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑
的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒
适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角
∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌
面的高度 A'D 的长．（结果精确到 1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作 O，交AB边于点D，在
上取一点E，使 ＝ ，连接DE，作射线CE交AB边于点⊙F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，cos∠ACF＝ ，求BF及DE的长．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长
度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美
筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ
是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣ ）÷ 的值为 ．
20．（4分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数
根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
21．（4分）如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图
中取点，则这个点取⊙在阴影部分的概率是 ．
22．（4分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）
与物体运动的时间（t 秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的
最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值
的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围
是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是
线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若
AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大
型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某
地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间
的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于
A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D
重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形
ABCD，EG交直线CD于点H．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求
tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代
数式表示）．2022年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求）
1．（4分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，即可得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就
是在这个数前面添上“﹣”号．
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的
意义与倒数的意义混淆．
2．（4分）2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会
上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设
5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ）
A．1.6×102 B．1.6×105 C．1.6×106 D．1.6×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：160万＝1600000＝1.6×106，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n2 D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据去括号法则判断即可；选项C
根据完全平方公式判断即可；选项D根据平方差公式判断即可．
【解答】解：A．m+m＝2m，故本选项不合题意；
B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本选项不合题意；
C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本选项不合题意；
D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，去括号法则，完全平方公式以及平方差公式，掌握相关公
式与运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添
加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定
方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题
的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
5．（4分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展
“书香成都”全民阅读服务活动，报名人数分别为：56，60，63，60，60，72，则这组数据的
众数是（ ）A．56 B．60 C．63 D．72
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中60出现3次，次数最多，
∴这组数据的众数是60，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个
数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
6．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（
） ⊙ ⊙ π
A． B． C．3 D．2
【分析】连接OB、OC，根据 O的周长等于6 ，可得 O的半径OB＝OC＝3，而六边形
⊙ π ⊙
ABCDEF是正六边形，即知∠BOC＝ ＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边
形的边长为3．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵ O的周长等于6 ，
⊙ π
∴ O的半径OB＝OC＝ ＝3，
⊙
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等
于60°，从而得到△BOC是等边三角形．
7．（4分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果
买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九
文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．
问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得
出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y＝1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴ x+ y＝999．
∴可列方程组为 ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线
x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【分析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可
得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．
【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题
意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合
题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在
第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，
数形结合解决问题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）计算：（﹣a3）2＝ a 6 ．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
【解答】解：（﹣a3）2＝a6．【点评】本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝ 的图象位于第二、四象限，则k
的取值范围是 k ＜ 2 ．
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
故答案为：k＜2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y＝ 的图象位于第二、
四象限．
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则
△ABC与△DEF的周长比是 2 ： 5 ．
【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得
到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．
∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，
∵OA：AD＝2：3，
∴OA：OD＝2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．
故答案为：2：5．
【点评】本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
12．（4分）分式方程 + ＝1的解为 x ＝ 3 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
故答案为：x＝3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（4分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于 BC的
长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，
∠B＝45°，则AB的长为 7 ．
【分析】设MN交BC于D，连接EC，由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，即得BE
＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，从而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故
AB＝AE+BE＝7．
【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：
由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝ ＝ ＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的
方法，得到MN是线段BC的垂直平分线．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：（ ）﹣1﹣ +3tan30°+| ﹣2|．
（2）解不等式组：
【分析】（1）根据负整数指数幂，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值以及实数混合
运算的方法进行计算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的解法进行解答即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3+3× +2﹣
＝﹣1+ +2﹣
＝1；
（2）解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜2，
把两个不等式的解集在同一条数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
【点评】本题考查负整数指数幂，算术平方根、特殊锐角三角函数值、绝对值，实数混合运
算以及一元一次不等式组，掌握负整数指数幂的性质，算术平方根、特殊锐角三角函数值、
绝对值，实数混合运算的方法以及一元一次不等式组的解法是正确解答的前提．15．（8分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优
化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契
机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包
一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级 时长t（单 人数 所占百分
位：分钟） 比
A 0≤t＜2 4 x
B 2≤t＜4 20
C 4≤t＜6 36%
D t≥6 16%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 5 0 ，表中x的值为 8% ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活
动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数
得到x的值；
（2）用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为8÷16%＝50（人），
所以x＝ ＝8%；
故答案为：50；8%；（2）500× ＝200（人），
所以估计等级为B的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也
考查了统计图．
16．（8分）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑
的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒
适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角
∠A'OB＝108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌
面的高度 A'D 的长．（结果精确到 1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【分析】利用平角定义先求出∠AOC＝30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义
求出AO的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在
Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴AO＝2AC＝20（cm），
由题意得：
AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′O•sin72°≈20×0.95＝19（cm），
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作 O，交AB边于点D，在
上取一点E，使 ＝ ，连接DE，作射线CE交AB边于点⊙F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，cos∠ACF＝ ，求BF及DE的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）连接CD．解直角三角形求出AB，BC，利用面积法求出CD，再利用勾股定理求出DB，
证明△DEF∽△BCF，利用相似三角形的性质求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠BCF＝∠FBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠FBC＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠A＝∠ACF；
（2）解：连接CD．
∵∠A＝∠ACF，∠FBC＝∠BCF，
∴AF＝FC＝FB，∴cos∠A＝cos∠ACF＝ ＝ ，
∵AC＝8，
∴AB＝10，BC＝6，
∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC ＝ •AC•BC＝ •AB•CD，
∴CD＝ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∵BF＝AF＝5，
∴DF＝BF﹣BD＝5﹣ ＝ ，
∵∠DEF+∠DEC＝180°，∠DEC+∠B＝180°，
∴∠DEF＝∠B＝∠BCF，
∴DE∥CB，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ．
【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质
等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝
的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长
度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美
筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ
是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【分析】（1）将点A坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出BP，AP，BQ的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝ 的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝ ，联立方程组可得： ，
解得： ， ，
∴点B（2，2）；
（2）如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴ ，
当 ＝ 时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝ ＝4 ，
当 ＝2时，则CF＝ AE＝ ，
∴点C（﹣ ，﹣8），
∴BC＝ ＝ ，
综上所述：BC的长为4 或 ；
（3）如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴ ，
∴FN＝ ＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝ x+1，
联立方程组得： ，
解得： ， ，∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝ ，
∴点H（ ， ），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角
形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）已知2a2﹣7＝2a，则代数式（a﹣ ）÷ 的值为 ．
【分析】先将代数式化简为a2﹣a，再由2a2﹣7＝2a可得a2﹣a＝ ，即可求解．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）×
＝ ×
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵2a2﹣7＝2a，
∴2a2﹣2a＝7，
∴a2﹣a＝ ，
∴代数式的值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，利用题干条件进行解答．
20．（4分）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 2 ．
【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系
可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，
∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴斜边c＝ ＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解
题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝6，ab＝4．
21．（4分）如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图
⊙
中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
【分析】作OD⊥CD，OB⊥AB，设 O的半径为r，根据 O是小正方形的外接圆，是大正
方形的内切圆，可得OB＝OC＝r，⊙△AOB、△COD是等腰⊙直角三角形，即可得AE＝2r，CF
＝ r，从而求出答案．
【解答】解：作OD⊥CD，OB⊥AB，如图：
设 O的半径为r，
⊙∵ O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，
∴⊙OB＝OC＝r，△AOB、△COD是等腰直角三角形，
∴AB＝OB＝r，OD＝CD＝ r，
∴AE＝2r，CF＝ r，
∴这个点取在阴影部分的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查几何概率，涉及正方形的外切圆与内接圆，解题的关键是用含r的代数式
表示阴影部分的面积．
22．（4分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）
与物体运动的时间（t 秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的
最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值
的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围
是 0 ≤ w ≤ 5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5 ≤ w ≤ 2 0 ．
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结
合函数图象即可求解．
【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性
质，理解“极差”的意义是解题的关键．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是
线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ．若
AE＝14，CE＝18，则DQ﹣P'Q的最大值为 ．
【分析】如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点R，连
接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对应点
P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，当D，P″，Q共线时，QD
﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时
DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．解直角三角形求出
BJ，可得结论．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点K，延长DE交AB于点
R，连接EP′并延长，延长线交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则点P′的对
应点P″在线段EJ′上．当点P是定点时，DQ﹣QP′＝DQ﹣QP″，
当D，P″，Q共线时，QD﹣QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ﹣QP′的值最大，最大值是线段DJ′的
长，也就是线段BJ的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵AE＝14．EC＝18，
∴AC＝32，AO＝OC＝16，
∴OE＝AO﹣AE＝16﹣14＝2，
∵DE⊥CD，
∴∠DOE＝∠EDC＝90°，
∵∠DEO＝∠DEC，
∴△EDO∽△ECD，
∴DE2＝EO•EC＝36，
∴DE＝EB＝EJ＝6，
∴CD＝ ＝ ＝12 ，
∴OD＝ ＝ ＝4 ，
∴BD＝8 ，
∵S△DCB ＝ ×OC×BD＝ BC•DK，
∴DK＝ ＝ ，
∵∠BER＝∠DCK，
∴sin∠BER＝sin∠DCK＝ ＝ ＝ ，∴RB＝BE× ＝ ，
∵EJ＝EB，ER⊥BJ，
∴JR＝BR＝ ，
∴JB＝DJ′＝ ，
∴DQ﹣P'Q的最大值为 ．
解法二：DQ﹣P'Q＝BQ﹣P'Q≤BP'，显然P'的轨迹EJ，故最大值为BJ．勾股得CD，OD．
△BDJ∽△BAD，BD2＝BJ*BA，可得BJ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学
会利用轴对称解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考
填空题中的压轴题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大
型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某
地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间
的关系如图所示．
（1）直接写出当0≤t≤0.2和t＞0.2时，s与t之间的函数表达式；
（2）何时乙骑行在甲的前面？
【分析】（1）根据图象分段设出函数解析式，在用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据乙的路程大于甲的路程即可求解．【解答】解：（1）当0≤t≤0.2时，设s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
当t＞0.2时，设s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得 ，
解得 ，
∴s＝20t﹣1，
∴s与t之间的函数表达式为s＝ ；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2时，乙骑行的速度为15km/h，而甲的速度为18km/h，则甲在乙前
面；
当t＞0.2时，乙骑行的速度为20km/h，甲的速度为18km/h，
设t小时后，乙骑行在甲的前面，
则18t＜20t﹣1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小时后乙骑行在甲的前面
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据图象用待定系数法分段求函数解析式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于
A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，联立解析式解方程组即得A（﹣3，﹣9），B（1，﹣
1）；
（2）分两种情况：当k＞0时，根据△B'AB的面积与△OAB的面积相等，知OB'∥AB，可证
明△BOD≌△BCD（ASA），得OD＝ OC＝ ，D（0，﹣ ），可求B（ ，﹣ ），即可得k
＝ ；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，由△B'AB的面积与△OAB的面积相等，可得OE
＝EF＝3，证明△BGF≌△BGE（ASA），可得OG＝OE+GE＝ ，G（0，﹣ ），从而B（
，﹣ ），即可得k＝﹣ ；
（3）设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），B（' ﹣
b，﹣b2），设直线AB'解析式为y＝mx+n，可得 ，即可得m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a
＝ ＝ ，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，从而直线AB'解析式为y＝
•x+3，故直线AB'经过定点（0，3）．
【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，由 得： 或 ，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）当k＞0时，如图：
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝ OC＝ ，D（0，﹣ ），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣ 得﹣ ＝﹣x2，
解得x＝ 或x＝﹣ ，∴B（ ，﹣ ），
把B（ ，﹣ ）代入y＝kx﹣3得：
﹣ ＝ k﹣3，
解得k＝ ；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝ EF＝ ，∴OG＝OE+GE＝ ，G（0，﹣ ），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣ 得﹣ ＝﹣x2，
解得x＝ 或x＝﹣ ，
∴B（ ，﹣ ），
把B（ ，﹣ ）代入y＝kx﹣3得：
﹣ ＝ k﹣3，
解得k＝﹣ ，
综上所述，k的值为 或﹣ ；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：
由 得：x2+kx﹣3＝0，
设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，
∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），
∵B、B'关于y轴对称，
∴B'（﹣b，﹣b2），
设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：
，
解得： ，
∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，
∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝ ＝ ，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，
∴直线AB'解析式为y＝ •x+3，
令x＝0得y＝3，∴直线AB'经过定点（0，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性
质等知识，解题的关键是根据已知求出B点的坐标．
26．（12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D
重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形
ABCD，EG交直线CD于点H．
【尝试初探】
（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求
tan∠ABE的值．
【拓展延伸】
（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代
数式表示）．
【分析】（1）根据两角对应相等可证明△ABE∽△DEH；
（2）设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由△ABE∽△DEH，列比例式可得
x＝ ，最后根据正切的定义可得结论；
（3）分两种情况：FH＝BH和FH＝BF，先根据三角形相似证明F在射线DC上，再根据三
角形相似的性质和勾股定理列等式可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，∴∠DEH＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系；
（2）如图1，∵H是线段CD中点，
∴DH＝CH，
设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴2x2＝4ax﹣a2，
∴2x2﹣4ax+a2＝0，
∴x＝ ＝ ，
∵tan∠ABE＝ ＝ ，
当x＝ 时，tan∠ABE＝ ＝ ，
当x＝ 时，tan∠ABE＝ ＝ ；
综上，tan∠ABE的值是 ．
（3）分两种情况：
①如图2，BH＝FH，设AB＝x，AE＝a，
∵四边形BEGF是矩形，
∴∠BEG＝∠G＝90°，BE＝FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），
∴EH＝GH，
∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴ ＝ ＝n，
∴ ＝n，
∴ ＝ ，
由（1）知：△ABE∽△DEH，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴nx＝2a，
∴ ＝ ，
∴tan∠ABE＝ ＝ ＝ ；
②如图3，BF＝FH，∵矩形EBFG∽矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°， ＝ ，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BCF＝∠A＝90°，
∴D，C，F共线，
∵BF＝FH，
∴∠FBH＝∠FHB，
∵EG∥BF，
∴∠FBH＝∠EHB，
∴∠EHB＝∠CHB，
∵BE⊥EH，BC⊥CH，
∴BE＝BC，
由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，
由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，
∴x2+a2＝（nx）2，∴x＝ （负值舍），
∴tan∠ABE＝ ＝ ＝ ，
综上，tan∠ABE的值是 或 ．
【点评】此题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的相似的性质，矩形
的性质以及直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，注意运用参数表示线段的
长，并结合方程解决问题，还要运用分类讨论的思想．
