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2015 年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符
合题目要求）
1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
﹣
2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首
次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照
远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为
（ ）
A．126×104 B．1.26×105 C．1.26×106 D．1.26×107
4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a2•a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第1页（共38页）7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（
）
A．a+b B．a﹣b C．b﹣a D．﹣a﹣b
8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得
到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边
心距OM和 的长分别为（ ）
A． B．2 ，π C． D．
2， ， 2 ，
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9= ．
12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=
度．
第2页（共38页）13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成
都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，
阅读时间的中位数是 小时．
14．（4分）（2015•成都）如图，在 ▱ABCD中，AB= ，AD=4，将 ▱ABCD沿AE翻折后，点B
恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2015•成都）（1）计算： ﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．
（2）解方程组： ．
16．（6分）（2015•成都）化简：（ + ）÷ ．
第3页（共38页）17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与
BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线
与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：
sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方
案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中
小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三
等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取
两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概
率．
第4页（共38页）19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且
k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，
BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线
交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．
第5页（共38页）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）（2015•成都）比较大小： ．（填“＞”，“＜”或“=”）
22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任
意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组 有解的概率为
．
23．（4分）（2015•成都）已知菱形AB C D 的边长为2，∠AB C =60°，对角线AC ，B D 相
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA ，OB 所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角
1 1
坐标系，以B D 为对角线作菱形B C DA∽菱形AB C D，再以AC 为对角线作菱形
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2
AB C D∽菱形B C DA，再以B D 为对角线作菱形B C DA∽菱形AB C D，…，按此规
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2
律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，A，A，…，A，则点A 的坐标为 ．
1 2 3 n n
24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动
点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的
长为 ．
25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个
根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的
是 （写出所有正确说法的序号）
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．
②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；
第6页（共38页）④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线
y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种
衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批
购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完
后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
第7页（共38页）27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在
△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 = =k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求
k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，
CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物
线的另一个交点为D，且CD=4AC．
第8页（共38页）（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否
成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
2015 年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符
合题目要求）
1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
﹣
考点：倒数．菁优网版权所有
分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
解答：
解：∵﹣3×（﹣ ）=1，
∴﹣3的倒数是﹣ ．
故选：A．
点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互
第9页（共38页）为倒数，属于基础题．
2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：根据原图形得出其主视图，解答即可．
解答：解：A、是左视图，错误；
B、是主视图，正确；
C、是俯视图，错误；
D、不是主视图，错误；
故选B
点评：此题考查三视图，关键是根据图形得出其三视图．
3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首
次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照
远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为
（ ）
A．126×104 B．1.26×105 C．1.26×106 D．1.26×107
考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
第10页（共38页）＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a2•a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．
解答：解：A、a2+a2=2a2，错误；
B、a2•a3=a5，错误；
C、（﹣a2）2=a4，正确；
D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；
故选C．
点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计
算．
5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有
分析：
根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
解答：解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的
关键．
第11页（共38页）6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
解答：解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象
限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过
原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（
）
A．a+b B．a﹣b C．b﹣a D．﹣a﹣b
考点：实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
分析：根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意
数轴上右边的数总大于左边的数，即可解答．
解答：解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|=﹣（a﹣b）=b﹣a，
故选：C．
点评：此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点
在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．
8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
第12页（共38页）考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
分析：在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；
（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0
解答：解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数
不为零这一隐含条件．
9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得
到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
考点：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
分析：先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所
得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个
单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣
3．
故选：A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以
求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后
的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析
式．
10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边
心距OM和 的长分别为（ ）
第13页（共38页）A． B．2 ，π C． D．
2， ， 2 ，
考点：正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有
分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系
即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
解答：解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2 ，
= = π，
故选D．
点评：本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结
合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9= （ x+ 3 ）（ x﹣ 3 ） ．
考点：因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即
第14页（共38页）“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1= 4 5
度．
考点：平行线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出
∠1=∠ABC，即可得出答案．
解答：解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵直线m∥n，
∴∠1=∠ABC=45°，
故答案为：45．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关
键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成
都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，
阅读时间的中位数是 1 小时．
考点：中位数；条形统计图．菁优网版权所有
第15页（共38页）分析：由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和
第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．
解答：解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，
而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．
故答案为1．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要
先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．
14．（4分）（2015•成都）如图，在 ▱ABCD中，AB= ，AD=4，将 ▱ABCD沿AE翻折后，点B
恰好与点C重合，则折痕AE的长为 3 ．
考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
解答：解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE= = =3．
故答案为：3．
点评：本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分
BC是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2015•成都）（1）计算： ﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．
（2）解方程组： ．
考点：实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
第16页（共38页）专题：计算题．
分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊
角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解：（1）原式=2 ﹣1﹣4× +9
=8；
（2）①+②得：4x=4，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）（2015•成都）化简：（ + ）÷ ．
考点：分式的混合运算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
解答：
解：原式= • = • = ．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与
BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线
与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：
sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
第17页（共38页）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
分析：要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，
利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD= AB=100m，解直角△CEB，根据
正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．
解答：解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，
∴BD= AB=100m，
在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，
∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，
∴BD+CE≈100+134=234m．
答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理
解题意是解决问题的关键．
18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方
案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中
小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三
等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取
两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概
率．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比
即可求得一等奖的学生数；
（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答：解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，
第18页（共38页）∴三等奖所占的百分比为25%，
∵三等奖为50人，
∴总人数为50÷25%=200人，
∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）=30人；
（2）列表：
A B C D
A A A A
B C D
BB B B
A C D
CC C C
A B D
DD D D
A B C
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴P（选中A、B）= = ．
点评：本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出
来，然后利用概率公式求解，难度不大．
19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且
k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
第19页（共38页）分析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数
y= ，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时
PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
解答：解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y= ，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y= ，
两个函数解析式联立列方程组得 ，
解得x=1，x=3，
1 2
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时
PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得， ，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x= ，
∴点P坐标（ ，0），
S =S ﹣S = ×2×2﹣ ×2× =2﹣ =1.5．
△PAB △ABD △PBD
第20页（共38页）点评：本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；
较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，
BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线
交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．
考点：圆的综合题．菁优网版权所有
分析：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得
△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于DF垂直平分
AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得BF= ，有勾股定理解出EF
= ，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF= EF= ，通
过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．
解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，
第21页（共38页）∴∠EBF=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF=90°，
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，
∴∠C=∠BFE，
在△ABC与△EBF中， ，
∴△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠ABC=90°，AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BFE，
∴∠DBC=∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，
∴∠DBO=90°，
∴BD与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF=90°，BC=BF，
∴CF= BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，
∴BF= ，
∵△ABC≌△EBF，
∴BE=AB=1，
∴EF= = ，
∵BH平分∠CBF，
∴ ，
∴EH=FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
第22页（共38页）∴HF= EF= ，
∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴ ，
∴HG•HB=HF2=2+ ．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定
理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟
练掌握这些定理是解题的关键．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）（2015•成都）比较大小： ＜ ．（填“＞”，“＜”或“=”）
考点：实数大小比较．菁优网版权所有
分析：
首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出 、 的大小关
系即可．
解答：
解： ﹣
=
第23页（共38页）=
∵ ，
∴4 ，
∴ ，
∴ ﹣ ＜0，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
点评：
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出
﹣ 的差的正、负．
22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任
意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组 有解的概率为
．
考点：概率公式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：
由关于x的不等式组 有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即
可求得答案．
解答：
解： ，
由①得：x＞3，
由②得：x＜ ，
∵关于x的不等式组 有解，
第24页（共38页）∴ ＞3，
解得：a＞5，
∴使关于x的不等式组 有解的概率为： ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（4分）（2015•成都）已知菱形AB C D 的边长为2，∠AB C =60°，对角线AC ，B D 相
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA ，OB 所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角
1 1
坐标系，以B D 为对角线作菱形B C DA∽菱形AB C D，再以AC 为对角线作菱形
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2
AB C D∽菱形B C DA，再以B D 为对角线作菱形B C DA∽菱形AB C D，…，按此规
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2
律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，A，A，…，A，则点A 的坐标为 （ 3 n﹣ 1 ， 0 ） ．
1 2 3 n n
考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：规律型．
分析：先根据菱形的性质求出A 的坐标，根据勾股定理求出OB 的长，再由锐角三角函数的
1 1
定义求出OA 的长，故可得出A 的坐标，同理可得出A 的坐标，找出规律即可得出结
2 2 3
论．
解答：解：∵菱形AB C D 的边长为2，∠AB C =60°，
1 1 1 1 1 1 1
∴OA =A B •sin30°=2× =1，OB =A B •cos30°=2× = ，
1 1 1 1 1 1
∴A（1，0）．
1
∵B C DA∽菱形AB C D，
1 2 1 2 1 1 1 1
第25页（共38页）∴OA = = =3，
2
∴A（3，0）．
2
同理可得A（9，0）…
3
∴A（3n﹣1，0）．
n
故答案为：（3n﹣1，0）．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．
24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动
点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的
长为 8 ， 或 ．
考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：分类讨论．
分析：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得
△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定
理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延
长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得
△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质 ，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的
判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG
中，得BC．
解答：解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则
第26页（共38页）AD⊥PB，AE= AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即PB= ，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴ ，
∴CP= ，
∴BC=CP﹣BP= = ；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连
接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴ ，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
第27页（共38页）∴ ，
∴ ，解得t= ，
在Rt△BCG中，BC= t= ，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8， ， ，
故答案为：8， ， ．
点评：本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形
结合，分类讨论是解答此题的关键．
25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个
根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的
是 ②③ （写出所有正确说法的序号）
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．
②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；
第28页（共38页）④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线
y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为 ．
考点：根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的
坐标特征．菁优网版权所有
专题：新定义．
分析：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2，x=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错
1 2
误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x=2，x=﹣ ，得到 =﹣1，或 =﹣4，
1 2
∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例
函数y= 的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x=﹣ ，x=﹣ ，故∴③正确；
1 2
④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x=2x，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都
1 2
在抛物线y=ax2+bx+c上，∴
得到抛物线的对称轴x= = = ，于是求出x= ，故④错误．
1
解答：解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x=2，x=﹣1，
1 2
∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；
②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x=2，x=﹣ ，
1 2
∴ =﹣1，或 =﹣4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；
③∵点（p，q）在反比例函数y= 的图象上，
∴pq=2，
解方程px2+3x+q=0得：x=﹣ ，x=﹣ ，
1 2
∴x=2x，故③正确；
2 1
④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
∴设x=2x，
1 2
∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴x= = = ，
∴x+x=5，
1 2
第29页（共38页）∴x+2x=5，
1 1
∴x= ，故④错误．
1
故答案为：②③．
点评：本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数
图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种
衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批
购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完
后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析：（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二
批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
解答：解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
+10= ，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
点评：本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关
系并列出方程是解题的关键．
第30页（共38页）27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在
△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且 = =k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求
k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，
CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
考点：四边形综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得 ，
∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．
（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判
断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF
的关系，求出CE的长是多少即可．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出
，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF
中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．
（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，
可得 ；然后根据相似三角形判定的方法，判断出
△ACE∽△∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根
据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．
解答：（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴ ，
第31页（共38页）∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
在△CAE和△CBF中，
，
∴△CAE∽△CBF．
（ii）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠△CBF， ，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵ ，AE=2
∴ ，
∴ ，
∴EF2=BE2+BF2= =3，
∴EF= ，
∵CE2=2EF2=6，
∴CE= ．
（2）如图②，连接BF，
，
∵ = =k，
∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb，
∴AC= ，
CE= = ，
第32页（共38页）∴ ，∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△∠BCF中，
，
∴△ACE∽△∠BCF，
∴ ，∠CAE=∠CBF，
又∵AE=2，
∴ ，
∴BF= ，
∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠CBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴EF2=BE2+BF2=1 ，
∵ ，
∴ = ，CE=3，
∴EF= ，
∴1 ，
∴ ，
解得k=± ，
∵ = =k＞0，
∴k= ．
（3）∵∠DAB=45°，
∴∠ABC=180°﹣45°=135°，
第33页（共38页）在△ABC中，根据余弦定理，可得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos135°
=2
=
在△ACE和△∠BCF中，
，
∴△ACE∽△∠BCF，
∴ ，∠CAE=∠CBF，
又∵AE=n，
∴ ，
∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠CBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴EF2=BE2+BF2，
∴ ，
∴（2 ）m2+n2=p2，
即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2 ）m2+n2=p2．
点评：（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查
了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握．
28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物
线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
第34页（共38页）（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否
成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题．菁优网版权所有
分析：（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x
轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求
得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y =kx+b，利用待定系数法确定y =a（m﹣3）x+a
AE 1 1 AE
（m﹣3），从而确定S = （m+1）[a（m﹣3）﹣a = （m﹣ ）2﹣ a，根据最值确定a
△ACE
的值即可； ]
（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况
利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
解答：解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得x=﹣1，x=3
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴ = ，
∵CD=4AC，
∴ = =4，
∵OA=1，
∴OF=4，
第35页（共38页）∴D点的横坐标为4，
代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y=kx+b得 ，
解得 ，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），y =kx+b，
AE 1 1
则 ，
解得： ，
∴y =a（m﹣3）x+a（m﹣3），
AE
∴S = （m+1）[a（m﹣3）﹣a = （m﹣ ）2﹣ a，
△ACE
]
∴有最大值﹣ a= ，
∴a=﹣ ；
（3）设P（1，p），Q（q，a（q+1）（q﹣3）），A（﹣1，0），D（4，5a），
①以AD为对角线，APDQ为矩形，坐标满足．
x +x =x +x ，y +y =y +y ，
P Q A D P Q A D
1+q=﹣a+4，p+a（q+1）（q﹣3）=5a，
∴q=2，a（q+1）（q﹣3）=5a﹣p
∴Q（2，5a﹣p），
∵5a﹣p=a（2+1）（2﹣3），
∴5a﹣p=﹣3a，p=8a，
如图2，过P作PG∥x轴，过A作AF⊥PG，DG⊥PG，
则△APF∽△PDG，
∴a=﹣ ，
∴P（1，﹣4）；
②以AC为边，AP为对角线，
第36页（共38页）x +x =x +x ，y +y =y +y ，
P A Q D P A Q D
1+（﹣1）=q+4，P+O=a（q+1）（q﹣3）+5a，
∴q=﹣4，a（q+1）（q﹣3）=P﹣5a
∴Q（﹣4，21a），
∵21a=p﹣5a，
∴p=26a，
∴P（1，26a），
∵AD⊥AQ，
∴k •k =1，
AD AQ
即﹣7a•a=﹣1
∴a2= ，
∴a= 或a=﹣ （舍），
∴P（1，﹣ ）；
③以AD为边，AQ为对角线，
x +x =x +x ，y +y =y +y ，
P D A Q P D A Q
1+4=q﹣1，p+5a=a（q+1）（q﹣3）+O，
∴q=6，a（q+1）（q﹣3）=P+5a
∴Q（6，21a），
∵5a﹣p=21a
∴p=16a，
∵AD⊥AP，
∴k •k =1，
AD AP
即8a•a=﹣1，
a2=﹣ （舍），
综上：P（1，﹣4）；，P（1，﹣ ）；
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第37页（共38页）点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上
点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题
的关键．
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