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2022年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）若气温零上2℃记作+2℃，则气温零下3℃记作（ ）
A．﹣3℃ B．﹣1℃ C．+1℃ D．+5℃
2．（3分）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中
南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A．3.9×1011 B．0.39×1011 C．3.9×1010 D．39×109
4．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长
度可以为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈
利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
7．（3分）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．80°
8．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
9．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若
EF过点O且与▱边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象
大致为（ ）
A． B．C． D．
10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（
）
A．24 B． C． D．﹣4
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需
写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调
查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
12．（3分）分式 有意义，则x应满足的条件是 ．
13．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多
余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 ．
14．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需
添加一个条件，则这个条件可以是 ．
15．（4分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角
的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（t 单位：s）之间的函数关系是h＝﹣
5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
16．（4分）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测
角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝
（k≠0）图象上的三点．若S△ABC ＝2，则k的值为 ．
18．（4分）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3 ．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点
D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝ ，则
△OEM的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
20．（10分）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随
机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：
A，B两个县区的统计表
平均数 众数 中位数
A县区 3.35 3 3
B县区 3.85 4 2.5
（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为 名；
（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并
说明理由．
21．（10分）【阅读材料】
老师的问题： 小明的作法：
已知：如图，AE∥BF． （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于
点D；
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE
上． （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于
点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜
色为“一红一黄”的概率．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于 O，BD为 O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2 ，
点E在BC的延长线上，连接DE． ⊙ ⊙
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5 ，计算图中阴影部分的面积．
24．（12分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售
额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，
并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，
求a的值．
25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时
针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3 时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的
“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；点（2，1）是函数y＝
图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣ ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝ 图象的“1
阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写
出n的取值范围．2022年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）若气温零上2℃记作+2℃，则气温零下3℃记作（ ）
A．﹣3℃ B．﹣1℃ C．+1℃ D．+5℃
【分析】根据气温是零上2摄氏度记作+2℃，则可以表示出气温是零下3摄氏度，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵气温是零上2摄氏度记作+2℃，
∴气温是零下3摄氏度记作﹣3℃．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
2．（3分）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3．（3分）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中
南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）
A．3.9×1011 B．0.39×1011 C．3.9×1010 D．39×109
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：39000000000＝3.9×1010．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长
度可以为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第
三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取
值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等
式，然后解不等式，确定取值范围即可，难度适中．
5．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断
的前提．
6．（3分）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈
利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月
份的盈利额列出方程求解即可．【解答】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（舍去），
1 2
答：每月盈利的平均增长率为10%．
故答案为：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，增长率＝增长数量/原
数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次
增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
7．（3分）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从
而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，
∴∠1+∠2＝80°，
∵∠1﹣∠2＝20°，
∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，
∴∠1＝50°，
故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的
关键．
8．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关
键．
9．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若
EF过点O且与▱边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象
大致为（ ）A． B．
C． D．
【分析】过O点作OM⊥AB于M，由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解AB，
AC的长，结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求得OM，AM的长，设BE＝x，则EM
＝5﹣x，利用勾股定理可求得y与x的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取
值，即可判断函数的图象求解．
【解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝ AC＝ ，
∴OM＝ AO＝ ，∴AM＝ ，
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵OE2＝OM2+EM2，
∴y＝（x﹣5）2+3，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（5，3），与y轴的交点为（0，28），
∵0≤x≤8，
∴当x＝8时y＝12，
故符合解析式的图象为：
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，二次
函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．
10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（
）
A．24 B． C． D．﹣4
【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出﹣ ≤mn≤2，
即可求出答案．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn＝ k2﹣ ，进而得出原式＝10﹣7mn
＝﹣ k2+ ，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn
＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
∴mn≥﹣ ，
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
∴﹣ ≤mn≤2，
∴﹣14≤﹣7mn≤ ，
∴﹣4≤10﹣7mn≤ ，
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为 ，
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
∴mn＝ k2﹣ ，
∴原式＝10﹣7mn＝﹣ k2+ ≤ ，
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）是
解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需
写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调
查方式是 抽样调查 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得
到的调查结果比较近似解答．【解答】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合
的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考
查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意
义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
12．（3分）分式 有意义，则x应满足的条件是 x ≠ 2 ．
【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵分母不等于0，分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式
是解题的关键．
13．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、
羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多
余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 5 x +4 5 ＝ 7 x ﹣ 3 ．
【分析】根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解答】解：若设人数为x，则可列方程为：5x+45＝7x﹣3．
故答案为：5x+45＝7x﹣3．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次
方程是解题的关键．
14．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需
添加一个条件，则这个条件可以是 AB ＝ DE （答案不唯一） ．【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判
定方法即可解答．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．（4分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角
的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间（t 单位：s）之间的函数关系是h＝﹣
5t2+20t，当飞行时间t为 2 s时，小球达到最高点．
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
16．（4分）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测
角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 （ 1+1 0 ） m（结果保留根号）．
【分析】在Rt△AED中，求出AE＝DE•tan60°，加上1即为AC的长．
【解答】解：如图，设DE⊥AC于点E，在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10× ＝10 ，
∴AC＝（1+10 ）（m）．
故答案为：（1+10 ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直
角三角形并解直角三角形．
17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝
（k≠0）图象上的三点．若S△ABC ＝2，则k的值为 ．
【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对
称，则BO＝CO，即可求得S△AOB ＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB ＝S梯
形ADEB +S△AOD ﹣S△BOE ＝S梯形ADEB ，即可得出 |6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2＝ ，由于k＝
6m2，即可求得k＝ ．
【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝ （k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC ＝2，
∴S△AOB ＝1，∵S△AOB ＝S梯形ADEB +S△AOD ﹣S△BOE ＝S梯形ADEB ，
∴ |6m+2m|•|3m﹣m|＝1，
∴m2＝ ，
∵k＝6× ，
∴k＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，求
得△AOB的面积为1是解题的关键．
18．（4分）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3 ．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点
D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝ ，则
△OEM的周长为 3+ 3 ．
【分析】如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．解直角三角形求出AG，BG，利用相似
三角形的性质求出EG，DE，再证明FH＝BC，推出BM＝MF，求出MF，BD可得结论．
【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3 ，∠A＝∠ADC＝90°，
∵tan∠ABG＝ ＝ ，
∴AG＝ ，DG＝2 ，
∴BG＝ ＝ ＝2 ，
∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，
∴△BAG∽△DEG，
∴ ＝ ＝ ，∠ABG＝∠EDG，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ ，EG＝ ，
∴BE＝BG+EG＝2 + ＝ ，
∵∠ADH＝∠FHD＝90°，
∴AD∥FH，
∴∠EDG＝∠DFH，
∴∠ABG＝∠DFH，
∵BG＝DF＝2 ，∠A＝∠FHD＝90°，
∴△BAG≌△FHD（AAS），
∴AB＝FH，
∵AB＝BC，
∴FH＝BC，
∵∠C＝∠FHM＝90°，
∴FH∥CB，
∴ ＝ ＝1，
∴FM＝BM，
∵EF＝DE+DF＝ +2 ＝ ，∴BF＝ ＝4 ，
∵∠BEF＝90°，BM＝MF，
∴EM＝ BF＝2 ，
∵BO＝OD，BM＝MF，
∴OM＝ DF＝ ，
∵OE＝ BD＝ ×6＝3，
∴△OEM的周长＝3+ +2 ＝3+3 ，
解法二：辅助线相同．
证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3 ，
再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM＝ ，
求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论．
故答案为：3+3 ．
【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则运算即可；
（2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，取它们的公共部分即可得出结论．
【解答】解：（1）原式＝＝
＝
＝1；
（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，
不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，
它们的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为：x≥3．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，正确利用上述法则进行
运算是解题的关键．
20．（10分）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随
机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：
A，B两个县区的统计表
平均数 众数 中位数
A县区 3.35 3 3
B县区 3.85 4 2.5
（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少
于3天的学生约为 375 0 名；
（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并
说明理由．
【分析】（1）A县区八年级学生的总人数乘以不少于3天的学生的百分数；（2）通过对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数的平均数、众数、中位数情
况进行比较，作出判断．
【解答】解：（1）5000×（30%+25%+15%+5%）＝3750（名）．
故答案为：3750．
（2）从平均数和众数来看B县区好，但从中位数来看A县区好．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、
研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（10分）【阅读材料】
老师的问题： 小明的作法：
已知：如图，AE∥BF． （1）以A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于
点D；
求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE
上． （2）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于
点C；
（3）连接CD．
四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，
∵AE∥BF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜
色为“一红一黄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果
有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，
∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为 ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于 O，BD为 O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2 ，
点E在BC的延长线上，连接DE． ⊙ ⊙
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5 ，计算图中阴影部分的面积．【分析】（1）由BD为 O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝
∠DAC，所以BC＝DC，⊙△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；
（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．
【解答】解：（1）∵BD为 O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°， ⊙
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2 ，
∴BD＝2 × ＝4；
（2）∵BE＝5 ，
∴CE＝3 ，
∵BC＝DC，
∴S阴影 ＝S△CDE ＝ ×2 × ＝6．
【点评】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练
掌握圆周角定理是解题的关键．
24．（12分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售
额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，
并写出x的取值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，
求a的值．【分析】（1）根据图形即可得出结论；
（2）用待定那个系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）
之间的函数解析式即可；
（3）分0≤a≤30和30＜a≤120两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均
为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲 ＝kx
（k≠0 ），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，
解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲 ＝20x
（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式
为y乙 ＝k′x（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙 ＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析
式为y乙 ＝mx+n（m≠0），
则 ，
解得： ，∴y乙 ＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙 ＝
；
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时
针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝3 时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
【分析】（1）如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，证明△ABE≌△AMF（AAS），可得结论；
（2）利用勾股定理求出BE＝ ，利用全等三角形的性质推出FM＝BE＝ ，再利用勾股
定理求出CF即可；
（3）分两种情形：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．证明点F在射
线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，求出DH即可．当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D
作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．证明△ADE≌△ARF（SAS），推出∠ADE＝∠ARF＝
90°，推出点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3 ，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝ ，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝ ＝ ＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝ ＝ ＝ ．
当点E在CD上时，可得CF＝ ．
综上所述，CF的值为 或 ；
（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴MJ＝ ，CJ＝ ，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣ ＝ ，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，∴△CMJ∽△DHJ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DH＝ ，
∴DF的最小值为 ．
当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠BAC，得到
线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四边形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3× ＝ ，
∵AR＝AD＝3，∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝ ，
∴DF的最小值为 ，
∵ ＜ ，
∴DF的最小值为 ．
解法二：当点E在BC上时，如图，将线段AD绕点A逆时针旋转，旋转角的度数＝∠BAC，
得到AT，连接DT，ET，DF．
证明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
当TE⊥BC时，DF的值最小，可得DF的最小值为 ．
当点E在CD上时，同法可得DF的最小值为 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三
角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压
轴题．
26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的
“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；点（2，1）是函数y＝
图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，﹣ ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝ 图象的“1
阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写
出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，
图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，
二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，﹣ ）到两坐标轴的距离分别是2， ，
∵2＞1， ＜1，
∴（﹣2，﹣ ）不是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1
∵1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y＝ 图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，
∴函数经过点（3，1），
如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点
时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，
二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点B时，n＝1；
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝ ；
∴ ≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：当 ≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二
次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的
关键．
