文档内容
《第四章 图形的相似》培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第四章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习）已知 则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：
∴
A. ∵ ，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，则 ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键，如果ab=cd，那么
，反之亦然．
2．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，
交BC于点E，则S BDE：S AEC等于（ ）
△ △
A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3
【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 与 的高相等，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题利用了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
3．（2022·山东威海·八年级期末）如图，矩形 与矩形 是位似图形，点 是位似中心．若点
的坐标为 ，点 的横坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似变换的性质得出PO=OA=2，然后写出P点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为-1，
∴AB=3，OA=BC=2，DE=1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，
∴ ，∴PO=OA=2，
∴P点坐标为（-2，0）．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对
应点的连线都经过同一点；对应边平行．
4．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，
已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高 米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【答案】B
【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即
可解答．
【详解】由题意知 ，
可得 ，
∴ ，
∵ （米）， 米，
∴ ，
∴ 米，
故选B.
【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
5．（2022·河南南阳·九年级期中）如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有
一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的
距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（ ）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a＝b B．a b C．a b D．a b
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质对应边成比例进行求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴
即
化简得： ，
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似图形的性质，理解相似图形的性质是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习） 是线段 上一点（ ），则满足 ，则称点 是线段
的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一
片树叶的叶脉 长度为 ， 为 的黄金分割点（ ），求叶柄 的长度．设 ，则
符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据 得到 是解
答本题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）如图所示，要使 ，需要添加一个条件
__________（填写一个正确的即可）
【答案】
【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明 与 相似，依据是：两角对应相等的两个
三角形相似．
【详解】解：添加 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．
8．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，四边形 ∽四边形 ， ， ，
，则 ______．【答案】
【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．
【详解】解： 四边形 ∽四边形 ， ， ， ，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内
角和定理．
9．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，已知两条直线DF、AC被三条平行直线 、 、 所截， ，
， ，则 ___________．
【答案】 ##
【分析】根据平行线分线段成比例，列比例式进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
10．（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩
形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内
部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．
【答案】
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF= ，
∴DF=AD-AF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解
题的关键．
11．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图， ， ， 与 相交于点E，
过点E作 交 于F．且 ， ，则 的长为________．【答案】
【分析】由 ， ， ，可得 则 再利
用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴
∵ ， ，
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明 是解本题的关键．
12．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB
缩短为原来的一半，得到线段CD，其中占C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为_______．【答案】 或
【分析】根据位似变换的概念计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，点D与点B对应，
点B的横坐标为3，
∴点D的横坐标为3× 或3× ，即点D的横坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2022·陕西·无九年级阶段练习）如图，E是 的边BC上的点，已知 ， ，
， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据 ， 可证得 ．
【详解】证明： ， ，
，
，
，
即 ，
．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉三角形相似判定定理是解题关键．本题用到的判定是两边对
应成比例且夹角相等．
14．（2022·全国·九年级）已知a，b，c是△ABC的三边长，且
（1）求 的值；
（2）若△ABC的周长为60，求各边的长．
【答案】（1） ；（2）20，16，24
【分析】（1）利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；
（2）根据△ABC的周长为60得， ，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】（1）设 ，则 ， ， ，
；
（2）∵△ABC的周长为60，
，
，
解得： ，
， ， ，
∴三角形的各边的长分别为20，16，24．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
15．（2020·河北·原竞秀学校九年级期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度
，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与树顶点 在同一直线上．已知纸板的两
条边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，求树高 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出EF，再根据 ，可得 ，即可求解．【详解】解：在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
根据题意得：∠BCD=∠DEF=90°，∠D=∠D，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交
AC于点F，AF＝ AC．求证： ．
【答案】见解析
【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线
段成比例定理证明结论．
【详解】证明：作EH∥AC交BC于H，
∵点E为AD的中点，
∴DH＝HC，
∵AD是 ABC的中线，
△∴BD＝DC，又DH＝HC，
∴BH＝3HC，
∵EH∥AC，
∴ ，
∴EF＝ BF．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形 ，AB＝8cm，BC＝12cm，
＝4cm， ＝6cm．
(1)求 和 ；
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段吗？
【答案】(1) ，
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段．
【分析】（1）根据已知条件，代入 和 ，即可求得结果；
（2）根据 和 的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
(1)
∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝
(2)由（1）知 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ；
∴ ＝ ，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022·全国·九年级单元测试）在 的正方形方格中， 和 的顶点都在边长为1的小正方
形的顶点上．
(1)填空： _________ ， __________；
(2)判断 与 是否相似，并证明你的结论．
【答案】(1)135， ；
(2) ABC∽△DEF，证明见解析．
【分△析】（1）由网格特点可得∠DEF的度数，由勾股定理可得DE的长；
（2）根据勾股定理计算出BC的长，根据网格特点求出∠ABC的大小，再根据两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似即可得到结论．
（1）
解：由网格特点可得：∠DEF＝90°＋45°＝135°，
由勾股定理得：DE＝ ，
故答案为：135， ；
（2）
解： ABC∽△DEF；
△
证明：在 ABC中，AB＝2，BC＝ ，∠ABC＝90°＋45°＝135°，
△在 DEF中，DE＝ ，EF＝2，∠DEF＝135°，
△
∴ ，∠DEF＝∠ABC＝135°，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，关键是熟练掌握网格的特点及相似三角形的判定
定理，并运用勾股定理计算出三角形的边长．
19．（2022·上海市淞谊中学九年级阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至
今仍有借鉴意义．
(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求
灯杆AB的高度；
(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移
动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
【答案】(1)灯杆AB的高度为4米
(2)灯杆AB的高度为 米
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知 ，代入求解即可；
（2）同（1）可得 ， ，先求出BC，进而求出AB．
（1）
解：由题意可知 ， ， ，
∴ ，
由题意， ，
∴ ，即 ，
解得 ，∴灯杆AB的高度为4米；
（2）
解：由题意可知 ， ， ， ，
∵ 中， ，
∴ ，即 ，
同理， 中， ，
∴ ，即 ，
∴
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴灯杆AB的高度为 米．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推
论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比
例．
20．（2022·全国·九年级课时练习）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△ABC ；
1 1 1
(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△ABC 按2：1放大后的位似图形△ABC ；
1 1 1 2 2 2(3)填空：点A 的坐标 ；△ABC与△ABC 的周长比是 ．
2 2 2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2
2
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A，B，C 即可；
1 1 1 2 2 2
（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．
（1）
如图，△ABC 即为所作；
1 1 1
（2）
如图，△ABC 即为所作；
2 2 2
（3）
如图，点A 的坐标(3，6)，周长比是1：2．
2
故答案为：(3，6)；1：2．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，
属于中考常考题型．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接
DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若BE＝2，AD＝6，且DF＝2EF，求DF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得 ， ，从而可得∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝
180°，然后利用等角的补角相等可得∠C＝∠AFD，从而利用两角相等的两个三角形相似即可解答；
（2）利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝6，从而可得CE＝4，然后根据已知可设EF＝x，则DF＝2x，
DE＝3x，再利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠B+∠AFD=180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC；
（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵DF＝2EF，
∴设EF＝x，则DF＝2EF＝2x，
∴DE＝EF+DF＝3x，
∵△ADF∽△DEC，
∴ ，∴ ，
∴x＝±2，
经检验：x＝±2是原方程的根，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴DF＝2x＝4，
∴DF的长为4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题的关键．
22．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）如图，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点
P 从点 B 出发，沿线段 BA 以每秒 2 个单位长度的速度向△终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿
折线 AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运
动的时间为 t 秒．
(1)AB= ；
(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；
(3)当 Q 在 AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值；
(4)设点 O 是 PA 的中点，当 OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出 t 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
(4) 或 或
【分析】（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式；
（3）根据题意分∠AQP=90°时，∠APQ=90°时，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
（4）根据题意分 时， 时， 时，三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，
解方程即可求解．
（1）
∠C＝90°，AC＝16，BC＝12
故答案为：20
（2）
（3）
如图1，当∠AQP=90°时，△AQP∽△ACB，
∴ ．
∵AB=20．
∵BP=2t，AQ=2t，
∴PA=20-2t，
∴ ，
∴t= ，
如图2，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
t= ．
综上所述，t= 或 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（4）
如图3，当 时，
，
，
点 O 是 PA 的中点，
，
，
，
，
，
解得 ，
如图4，当 时，
，
，
，
，
，
，
如图5，当 时，，
，
，
，
，
，
解得 ，
综上所述， 的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，
定理的内容是：如图（1），如果一条直线与 ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三
△点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，
则有 ， ，
∴ ．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3）， ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明： ．
△
(2)如图（4），等边 ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点
E，则AE的长为___△_____．(3)如图（5）， ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使 ，连接FD交AC于E，则四
边形BCEF的面△积为________．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可
得 ，代入 进而可证 成立；
（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知 ，
， 代入 求值即可；
（3）如图5，分别过 作 ，由题意可知 ， ，
，有 ， ，对计算求值即可．
(1)
证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴ ．
(2)
解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G
∴由题意可知
∵D是BC的中点， 为等边三角形
∴ ，
在 中
∵∴
解得
故答案为： ．
(3)
解：如图5，分别过 作
∵图5同图1，故可知
∵F为AB中点，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形BCEF的面积为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．
