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第四章 基本平面图形（易错题归纳）
易错点一：直线、射线、线段的概念理解不透
技巧点拨熟悉直线、射线、线段的概念
1．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（ ）条线段．
A．8 B．9 C．12 D．10
【答案】D
【分析】画出图形，直线上有5个点，每两个点作为线段的端点，即任取其中的两点即可得到一条线段，
可以得出共有10条．
【解答】解：根据题意画图：
由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，
共10条．
故选：D．
【点评】本题的实质是考查线段的表示方法，是最基本的知识，比较简单．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．线段AB可表示为线段BA
B．射线AB可表示为射线BA
C．直线可以比较长短
D．射线可以比较长短
【答案】A
【分析】分别根据直线、射线以及线段的定义判断得出即可．
【解答】解：A、线段AB可表示为线段BA，此选项正确；
B、射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，故不是同一射线，此选项错误；
C、直线不可以比较长短，此选项错误；
D、射线不可以比较长短，此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线、射线以及线段的定义，正确区分它们的定义是解题关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．直线BA与直线AB是同一条直线
B．延长直线AB
C．射线BA与射线AB是同一条射线
1D．直线AB的长为2cm
【答案】A
【分析】依据直线的概念、线段的概念以及射线的概念进行判断即可．
【解答】解：A．直线BA与直线AB是同一条直线，故本选项正确；
B．延长线段AB，故本选项错误；
C．射线BA与射线AB不是同一条射线，故本选项错误；
D．线段AB的长为2cm，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线、射线和线段的概念，射线是直线的一部分，注意：用两个字母表示时，
端点的字母放在前边．
4．下列说法正确的是（ ）
A．延长直线AB
B．延长射线AB
C．反向延长射线AB
D．延长线段AB到点C，使AC＝BC
【答案】C
【分析】依据直线、射线、线段的概念进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A．延长直线AB，说法错误；
B．延长射线AB，说法错误；
C．反向延长射线AB，说法正确；
D．延长线段AB到点C，则AC＞BC，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，注意用两个字母表示射线时，端点的字母放在前边．
易错点二：线段运用
技巧点拨：正确掌握数线段方法
5．A站与B站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排多少种车票？（ ）
A．4 B．20 C．10 D．9
【答案】B
【分析】根据A站到B站之间还有3个车站，首先弄清楚每两个站之间的数量，再根据往返两种车票进
行求解．
2【解答】
解：如图所示，其中每两个站之间有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB．
应安排10×2＝20（种）．
故选：B．
【点评】此题考查了几何在实际生活中的应用，特别注意每两个站之间车票应当是往返两种．
6．由汕头开往广州东的D7511动车，运行途中须停靠的车站依次是：汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪
山→东莞→广州东．那么要为D7511动车制作的车票一共有（ ）
A．6种 B．7种 C．21种 D．42种
【答案】C
【分析】从汕头要经过6个地方，所以要制作6种车票；从潮汕要经过5个地方，所以制作5种车票；
从普宁要经过4个地方，所以制作4种车票；从汕尾要经过3个地方，所以制作3种车票；从深圳坪山
要经过2个地方，所以制作2种车票；从东莞要经过1个地方，所以制作1种车票，进而求解．
【解答】解：6+5+4+3+2+1＝21（种）．
故要为D7511动车制作的车票一共有21种．
故选：C．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是要找出由一地到另一地的车票的数是多少．
7．往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两站的路程都不相同，问：
（1）这两地之间有 1 5 种不同的票价；
（2）要准备 3 0 种不同的车票．
【答案】（1）15；
（2）30．
【分析】（1）求出线段的条数，即可得到不同票价；
（2）根据（1）中不同的票价，可得车票的种数．
【解答】解：（1）如图：
根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD、CE，CF、CB、DE，DF、DB、
EF，EB，FB共15条，有15种不同的票价；
（2）因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备30种车
票．
故答案为：15；30．
3【点评】本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．
易错点三：两点间的距离
技巧点拨：题意不明确时注意分类讨论
8．已知点 A、B、C 都是直线 l上的点，且 AB＝5cm，BC＝3cm，那么点 A与点 C 之间的距离是
（ ）
A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．4cm
【答案】C
【分析】由于点A、B、C都是直线l上的点，所以有两种情况：①当B在AC之间时，AC＝AB+BC，
代入数值即可计算出结果；②当C在AB之间时，此时AC＝AB﹣BC，再代入已知数据即可求出结果．
【解答】解：∵点A、B、C都是直线l上的点，
∴有两种情况：
①如图，当B在AC之间时，AC＝AB+BC，
而AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB+BC＝8cm；
②如图，当C在AB之间时，
此时AC＝AB﹣BC，
而AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝AB﹣BC＝2cm．
点A与点C之间的距离是8或2cm．
故选：C．
【点评】在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，
在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
9．已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，则下列判断正确的是（ ）
A．点A在线段BC上
B．点B在线段AC上
4C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上
【答案】C
【分析】依据点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，即可得到点C在线段AB上．
【解答】解：如图，∵点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，
∴点A在线段BC的延长线上，故A错误；
点B在线段AC延长线上，故B错误；
点C在线段AB上，故C正确；
点A在线段CB的反向延长线上，故D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点C的位置在线段AB上．
10．已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，AC＝ AB，则BC＝ 4 cm 或 8 cm ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：①点C在A、B中间时；②点C在点A的左边时，求出线段BC的长为多少
即可．
【解答】解：AC＝ AB＝2cm，分两种情况：
①点C在A、B中间时，
BC＝AB﹣AC＝6﹣2＝4（cm）．
②点C在点A的左边时，
BC＝AB+AC＝6+2＝8（cm）．
∴线段BC的长为4cm或8cm．
故答案为：4cm或8cm．
【点评】此题主要考查了两点间的距离的含义和求法，要熟练掌握，注意分两种情况讨论．
11．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点B表示的数是﹣2，BC＝6，AC＝18，点P从A点出发沿数
轴向右运动，速度为每秒2个单位．
（1）数轴上点A表示的数为 ﹣ 1 4 ；点C表示的数为 4 ．
（2）经过t秒P到B点的距离等于P点到C点距离的2倍，求此时t的值．
（3）当点Q以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿数轴向终点A运动，N为BQ中点．P、Q同时
5出发，当一点停止运动时另一点也随之停止运动．用含t的代数式表示线段PN的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据点B所表示的数，以及BC、AC的长度，即可写出点A、C表示的数；
（2）利用分类讨论思想，①点P在BC之间；②点P在点C的右侧，列代数式即可；
（3）根据两点间的距离，要对t分类讨论，t不同范围，可得不同PN．
【解答】解：（1）∵点B表示的数是﹣2，BC＝6，AC＝18，
∴AB＝12，
∴点A表示的数为：﹣2﹣12＝﹣14，
点C表示的数为：﹣2+6＝4，
故答案为：﹣14，4；
（2）①点P在BC之间，
∴2t﹣12＝2（18﹣2t），
∴t＝8．
②点P在点C的右侧，
∴2（2t﹣18）＝2t﹣12，
∴t＝12，
∴经过8或12秒，P到B点的距离等于P点到C点距离的2倍；
（3）∵AC＝18，BC＝6，
∴AB＝18﹣6＝12＝2BC，
∵点P从A点出发沿数轴向右运动，速度为每秒2个单位，当点Q以每秒1个单位长度的速度从C点出
发，
∴分为两种情况：①P点在线段AB上，此时Q点在线段BC上时，0＜t≤6．
∵PB＝12﹣2t，BN＝ ，
∴PN＝PB+BN＝12﹣2t+ ＝
6②当6＜t≤18时，PB＝2t﹣12，BN＝ ，
∴PB+BN＝ ．
【点评】本题主要考查数轴上的点及两点之间的距离．关键是先找到点，再算出距离，最后列出代数式．
12．P是线段AB上一点，AB＝12cm，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为
2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）如图若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明线段AC和线段CD的数量关系；
（2）如果t＝2s时，CD＝1.5cm，试探索AP的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表
示出AC、DP、CD的长度即可证明AC＝2CD；
（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【解答】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm）．
因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，
所以PB＝AB﹣AP＝4 cm．
所以CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm）．
②因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，
所以BP＝4 cm，AC＝（8﹣2t）cm．
所以DP＝（4﹣3t）cm．
所以CD＝CP+DP＝2t+4﹣3t＝（4﹣t）cm．
所以线段AC是线段CD的二倍．
7（2）当t＝2时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm），
当点D在点C的右边时，如图所示，
因为CD＝1.5 cm，
所以CB＝CD+DB＝7.5 cm．
所以AC＝AB﹣CB＝4.5 cm．
所以AP＝AC+CP＝8.5 cm．
当点D在点C的左边时，如图所示，
所以AD＝AB﹣DB＝6 cm．
所以AP＝AD+CD+CP＝11.5 cm．
综上所述：AP＝8.5cm或AP＝11.5cm．
【点评】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
易错点四：比较线段的长短
技巧点拨：注意点的位置进行分类讨论。
13．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则
线段MN的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【答案】D
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在
线段AB的延长线上时．
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN＝ AC+ BC＝ AB＝5cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝ AC﹣ BC＝7﹣2＝5cm．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选：D．
8【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．
14．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC等于（ ）
A．11cm B．5cm C．11cm或5cm D．8cm或11cm
【答案】C
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
（1）当C点在B点右侧时，如图所示：
AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；
（2）当C点在B点左侧时，如图所示：
AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；
所以线段AC等于5cm或11cm，
故选：C．
【点评】本题考查了比较线段的长短，注意点的位置的确定，利用图形结合更易直观地得到结论．
15．已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN
的长为 1 0 或 5 0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出图形后结合图形求解．
【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝ AB＝30，BN＝ BC＝20；
∴MN＝50．
（2）当C在AB上时，同理可知BM＝30，BN＝20，
∴MN＝10；
所以MN＝50或10．
9【点评】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，
避免漏掉其中一种情况．
易错点五：角的概念及表示
技巧点拨：角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角
的顶点，这两条射线是角的两条边．角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中
间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清
这个字母究竟表示哪个角．
16．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是C选项中的图，
A，B，D选项中的图都不能同时用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角，
故选：C．
【点评】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶
点处的一个大写字母来记这个角．
17．下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
10A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法和图形进行判断即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
C、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
D、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．
其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否
则分不清这个字母究竟表示哪个角．
18．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或
用阿拉伯数字表示．
【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中
的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角
11的顶点，这两条射线是角的两条边．角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶
点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
易错点六：方向角
技巧点拨：用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线
为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
19．如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．北偏东65° B．北偏西35° C．南偏东65° D．南偏西35°
【答案】C
【分析】根据图中OA的位置，方向角的表示方法可得答案．
【解答】解：射线OA表示的方向是南偏东65°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的
射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
20．如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口A点沿北偏东60°的方向行驶30海里到达B点，再
从B点沿北偏西30°方向行驶30海里到C点，要想从C点直接回到港口A，行驶的方向应是（ ）
A．南偏西15°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西45°方向
【答案】A
【分析】依据∠BAF＝60°，∠CBE＝30°，AF∥BE，可得∠ABC＝90°，进而得出△ABC是等腰直角三
角形，依据∠BCA＝45°，∠BCD＝∠CBE＝30°，即可得到∠ACD＝15°．
【解答】解：如图，由题可得，∠BAF＝60°，∠CBE＝30°，AF∥BE，
12∴∠ABC＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BCA＝45°，
又∵∠BCD＝∠CBE＝30°，
∴∠ACD＝15°，
∴从C点直接回到港口A，行驶的方向应是南偏西15°方向，
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对方向角的理解及等腰直角三角形的判定等知识点的掌握情况．用方向角
描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先
叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
21．如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，C岛在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角
∠ACB的度数是（ ）
A．70° B．20° C．35° D．110°
【答案】A
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠C的度数即可．
【解答】解：如图，连接AB，
13∵两正北方向平行，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质．
22．甲、乙两个城市，乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，那么甲城市位于乙城市（ ）
A．南偏东50°方向，距离为80km
B．南偏西50°方向，距离为80km
C．南偏东40°方向，距离为80km
D．南偏西40°方向，距离为80km
【答案】B
【分析】首先作出甲与乙的位置示意图，然后可以直接写出．
【解答】解：如图：
∵乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，
∴甲城市位于乙城市南偏西50°方向，距离为80km，
故选：B．
【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是解题的关键．
23．如图，OA的方向是北偏东15°，若∠AOC＝∠AOB，则OB的方向是 北偏东 70 ° ．
14【答案】见试题解答内容
【分析】先根据角的和差得到∠AOC的度数，根据∠AOC＝∠AOB得到∠AOB的度数，再根据角的和
差得到OB的方向．
【解答】解：∵OA的方向是北偏东15°，OC的方向是北偏西40°，
∴∠AOC＝15°+40°＝55°，
∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOB＝55°，
15°+55°＝70°，
故OB的方向是北偏东70°．
故答案为：北偏东70°．
【点评】本题主要考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处
的方向．
易错点七：度分秒的换算
技巧点拨：1°＝60′，1′＝60″
24．下列运算正确的是（ ）
A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′
C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°
【答案】B
【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意；
C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解题的关键．
易错点八：角的计算
15技巧点拨：掌握角度的计算方法，题意不明确时要注意分类讨论。
25．已知∠AOB＝70°，以O端点作射线OC，使∠AOC＝28°，则∠BOC的度数为（ ）
A．42° B．98° C．42°或98° D．82°
【答案】C
【分析】依据OC的位置分两种情况讨论，利用分类讨论思想求解即可．
【解答】解：①当OC在∠AOB内部时，
∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣28°＝42°；
②当OC在∠AOB外部时，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+28°＝98°．
故选：C．
【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
26．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．10°
【答案】C
【分析】解答此题的关键是明确此题射线OC的位置，有2种可能，然后根据图形，即可求出∠AOC的
度数．
【解答】解：①如图1，OC在∠AOB内，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝50°﹣30°＝20°；
②如图2，OC在∠AOB外，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝50°+30°＝80°；
综上所述，∠AOC的度数是20°或80°．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握．此题采用分类讨论的思想是解决问题的关键．
27．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB 的顶点 O引射线 OC，若∠AOC：∠AOB＝4：3，那么∠BOC＝
16（ ）
A．10° B．40° C．70° D．10°或70°
【答案】D
【分析】OC可以在OA的外侧，也可以在OB的外侧，所以要分两种情况考虑．
【解答】解：∵∠AOB＝30°，∠AOC：∠AOB＝4：3，
∴∠AOC＝40°
当OC在OA的外侧时，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝40°+30°＝70°；
当OC在OB的外侧，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°﹣30°＝10°．
故选：D．
【点评】解答本题要注意注意两种情况的考虑：OC可以在OA的外侧，也可以在OB的外侧．
28．将长方形纸片 ABCD 按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中 EF，EG 为折痕，则
∠AEF+∠BEG的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．140°
【答案】B
【分析】由折叠可得，∠AEF＝ ∠AEA'，∠BEG＝ ∠BEB'，再根据∠AEF+∠BEG＝
（∠AEA'+∠BEB'）进行计算即可．
【解答】解：由折叠可得，∠AEF＝ ∠AEA'，∠BEG＝ ∠BEB'，
∵∠A'EB′＝40°，
∴∠AEA'+∠BEB'＝140°，
∴∠AEF+∠BEG＝ （∠AEA'+∠BEB'）＝ 140°＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状
和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
29．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE的度数为（ ）
17A．55° B．50° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为90°，然后根
据平角的定义即可得到结论．
【解答】解：∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°× ＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也
考查了平角的定义．
30．已知∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，那么∠AOC＝（ ）
A．20° B．80° C．20°或80° D．30°
【答案】C
【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OA在∠BOC的位置关系分
为OA在∠BOC的内部和外部两种情况求解．
【解答】解：①如图1，当OA在∠BOC内部，
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝20°；
②如图2，当OA在∠BOC外部，
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°；
综上所述，∠AOC为20°或80°．
18故选：C．
【点评】本题考查了角的计算，本题只是说出了两个角的度数，而没有指出OC与∠AOB的位置关系，
因此本题解题的关键是根据题意准确画出图形．
31．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，
∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）
（1）若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为 140 ° ；
（2）若点E在AC的上方，设∠ACB＝ （90°＜ ＜180°），求∠DCE．（用含 的式子表示）
（3）请你动手操作，现将三角尺ACDα固定，三α角尺BCE的CE边与CA边重合α，绕点C按顺时针方向
任意转动一个角度，若0°＜∠DCB＜180°且点E在直线AC的上方，当这两块三角尺有一组边互相平行
时，直接写出此时∠DCB角度所有可能的值（不必说明理由）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两角互余，可得∠ACE与∠DCE的关系，根据角的和差，可得答案；
（2）角的和差，可得∠ACE与∠ACB的关系，根据互余的两角的关系，可得∠DCE与∠ACE的关系，
（3）根据同位角、内错角、同旁内角的关系，可得答案．
【解答】解：（1）由互余∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，
由角的和差得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°；
（2）∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝ ﹣90°，
∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣（ α﹣90°）
＝180°﹣ ； α
（3）∠DαCB的度数30°，45°，120°，135°，165°；
19故答案为：140°；180°﹣ ；30°，45°，120°，135°，165°．
【点评】本题考查了角的α计算，两角互余的性质，角的和差是解题的关键．
32．定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一
个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝45°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，
射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，
设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
【答案】（1）∠AOC＝30°或15°或22.5°；
（2）当t为 或6或10时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
【分析】（1）根据妙分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据妙分线定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝2∠BOC或∠BOC＝2∠AOC或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∴∠AOC＝30°或15°或22.5°；
（2）依题意有：
①8t＝ （6t+60），
解得t＝ ；
②8t＝ （6t+60），
解得t＝6；
③8t＝ （6t+60），
20解得t＝10．
故当t为 或6或10时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
【点评】本题考查了旋转的性质，妙分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“妙分
线”的定义是解题的关键．
33．一副三角板按如图 1方式拼接在一起，其中边 OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝
60°．
（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度 ，在转动过程
中两个三角板一直处于直线EF的上方． α
①当∠BOC＝90°时，求旋转角 的值；
②在转动过程中是否存在∠BOCα＝2∠AOD？若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容 α
【分析】（1）利用平角是180° 的知识点来分析；
（2）①分析方法如上题，仍然利用平角是180° 的知识点来分析； ②假设存在∠BOC＝2∠AOD，
根据题意分别用 的式子来表示∠BOC和∠AOD，再利用其等量关系建立等式计算即可，需注意 OA在
OD的左侧和右侧α两种情况．
【解答】解：
（1）∵∠AOB+∠BOD+∠COD＝180°，
∠AOB＝45°，∠COD＝60°
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°
答：∠BOD的度数是75°．
（2）①若∠BOC＝90°时，则
∠AOE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOC＝45°
即旋转角度 的值是45°．
答：旋转角度α 的值是45°．
α
21②存在∠BOC＝2∠AOD，理由如下：
∠EOD＝180°﹣60°＝120°
∠EOB＝ +∠AOB＝ +45°
∴∠BOCα＝180°﹣∠AαOB﹣∠AOE＝135°﹣
∠AOD＝∠EOD﹣∠AOE＝120°﹣ 或 α
∠AOD＝∠AOE﹣∠EOD＝ ﹣120α°
∵∠BOC＝2∠AOD α
∴135°﹣ ＝2（120°﹣ ）或135°﹣ ＝2（ ﹣120°）
∴ ＝105α°或 ＝125° α α α
即α此时 的值α为105°或125°．
答：存在α∠BOC＝2∠AOD，此时 的值为105°或125°．
【点评】本题考查角的相关计算，α难度适中．本题的易错点在（2）②题，需要考虑OA在OD的左侧
和右侧两种情况，这种分类讨论的思想是一种很重要的数学思想，在初中数学阶段应用的比较广泛，考
生需多加注意和练习，做到全面考虑，避免“漏项”的错误．
易错点九：角的大小比较
技巧点拨：掌握度分秒的换算。
34．已知∠A＝18°20′36″，∠B＝18.35°，∠C＝18°21′，下列比较正确的是（ ）
A．∠A＜∠B B．∠B＜∠A C．∠B＜∠C D．∠C＜∠B
【答案】A
【分析】依据∠A＝18°20′36″，∠B＝18.35°＝18°21′，∠C＝18°21′，即可得到三个角的大小关系．
【解答】解：∵∠A＝18°20′36″，∠B＝18.35°＝18°21′，∠C＝18°21′，
∴∠A＜∠B＝∠C．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解决问题的关键．
35．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
【答案】C
【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则
进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，
∴∠A＞∠B，
22∵∠C＝20.25°＝20°15′，
∴∠B＜∠C＜∠A，
∴∠A＞∠C＞∠B．
故选：C．
【点评】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．
易错点十：多边形
技巧点拨：根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数
不变，也可能增加1条边；
36．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增
加1条边；据此求解即可．
【解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少
1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
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