文档内容
七年级数学·上 新课标[北师]
第四章 基本平面图形
1.通过丰富的实例,认识线段、射线、直线、角等简单平面图形.
2.能用符号表示角、线段;理解与多边形和圆有关的概念.
3.会进行线段或角的比较,能估计一个角的大小,认识度、分、秒,会进行角的单位换算.
4.初步培养学生的识图能力、语言表达能力及逻辑思维能力.
1.经历观察、测量、折叠、模型制作等活动,发展空间观念.
2.经历在操作活动中探索图形性质的过程,了解简单图形的性质,发展有条理的思考与表
达能力.
1.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中
互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.
2.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题的
能力,从而树立学习数学的信心.
本章首先接触的是简单的平面图形——线段和角,重点学习这两种平面图形的表示、度
量和比较,由于线段和角有许多相似之处,因此教学中可指导学生类比线段学习角,在解决完
这两种基本图形的基础上,又认识了多边形和圆.
线段和角是几何图形中的基本元素,多边形和圆的初步认识是以后深化多边形和圆的学
习的基础.因此本章知识在几何中占据基础性的地位,对于以后的学习具有重要的铺垫作用.
教材在编排上力求使学生通过观察、操作、归纳等方法,从现实背景中抽象出有关的几何图
形,进而研究它们的性质.在研究的同时,初步体验学习几何的基本方法,获得初步的数学活动
经验,因此本章无论在知识上还是在学法上都具有积极的引导作用.
本章内容是学习平面几何知识的入门知识.通过本章内容的学习,学生能理解、掌握平面
中线段、直线、射线、角、多边形和圆等最简单、最基本的概念,掌握这些基本概念的表示
方法以及它们的一些简单而直观的性质.教材在设计上注重通过现实的几何图形进行引导,利
于学生对各种几何概念的直观意义的理解,有助于学生从具体到抽象、从特殊到一般地认识
和理解有关的几何概念.对于学到的基本平面图形知识还原到生活中去,增强学生应用数学的
意识.
【重点】 线段、射线、直线、角的概念及表示方法;线段、角的度量及大小比较;多边
形和圆的有关概念.
【难点】 运用有关的性质进行合理描述,并会解决实际问题;会根据图形的相关性质进
行有条理的思考和表达.1.现实中的几何实例与数学中的几何对象是具体和抽象、特殊和一般的关系,在实际教
学中,如何引导学生从具体的实例中抽象出事物的一般性,是教学中的一个难点,这方面的处
理是否得当直接关系到学生能否准确地理解数学中的各种几何概念.
2.几何量的度量是几何中基础而重要的问题,是培养学生准确的几何观念的重要内容.教
师通过让学生使用直尺、三角板、量角器和圆规等常用的数学工具,培养学生严谨的科学态
度和基本的使用工具的能力,对于学生在日常生活中使用其他工具解决实际问题也很有帮助.
3.几何知识应该在几何的实际背景中讲授.本章内容包含了大量的生活实例,有利于学生
克服数学中抽象而形式化的困难,对学生准确理解并掌握几何概念以及一些简单性质十分有
利.
4.在教学中,应该鼓励学生通过观察、思考、实践和归纳等活动,理解和掌握本章的主要
内容.教师要避免单纯地讲授知识,应该多留给学生实践和思考的时间.
5.本章知识主要是一些基本的几何概念和它们的简单性质,在教学过程中多鼓励学生将
每一个概念和性质与生活中的具体实例联系起来,这样有利于学生更好地理解和掌握有关知
识,又能够进一步培养学生理论联系实际的学习习惯.
1 线段、射线、直线 1课时
2 比较线段的长短 1课时
3 角 1课时
4 角的比较 1课时
5 多边形和圆的初步认识 1课时
本章概括整合 1课时
1 线段、射线、直线
1.通过图形理解并区别线段、射线、直线的概念.
2.能够准确地画出线段、射线和直线.
3.认识点和线之间的关系.
通过让学生举出生活中的实例,从中抽象出线段、射线以及直线的几何模型,使学生能够
理解三种线之间的区别和联系,掌握它们各自的表示方法.
1.体会数学是如何将现实中具有相同特性的一类事物抽象出其本质属性,然后通过数学
语言表示出来的过程.2.认识到一个事物表示方法的不唯一性;通过作图养成严谨的治学态度.
3.了解曲线和直线之间的辩证关系,认识图形世界的丰富多彩,培养学生的审美观.
【重点】
1.理解并掌握线段、射线、直线的概念以及它们之间的区别.
2.掌握线段、射线、直线的表示方法.
【难点】
1.能够从实例中抽象出线段、射线和直线的模型.
2.能准确地画出线段、射线和直线.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
106~107
导入一:
[过渡语] 丰富的图形世界是由一些简单的图形构成的,观察图片,你能“看到”哪些平
面图形?除了图中的情形外,你还能举出其他的例子吗?
活动内容
用多媒体出示一组生活中的图片,有绷紧的琴弦、手电光束、笔直铁轨、筷子图、人行
横道.让学生观察.
师:你们能在其中发现我们所熟知的几何图形吗?
[处理方式] 自由发言,认识到线段、射线、直线在生活中是普遍存在的.
[设计意图] 利用生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受从实际问题中抽象出
所要了解的图形的过程,同时在解答问题中形成认知冲突,激发学生的学习热情. 根据学生的
回答,有的不完全是教师想要的线段、射线和直线,教师可用一些过渡的语言点拨,我们今天
的研究和学习就从其中最简单的图形——线段、射线、直线开始.(教师板书课题:1 线段、
射线、直线)
导入二:
师:《西游记》这部电视剧同学们看过吗?
生:看过.
师:在这部电视剧中给你们留下深刻印象的人物是谁?
生:孙悟空.
师:下面我们一起来欣赏一段《西游记》中的精彩片段.(学生看视频)
师:通过刚才的视频短片,我们感受到了金箍棒的神奇.孙悟空手中的金箍棒在没有发生
变化时,给我们以什么样图形的近似形象?
生1:圆柱.生2:线段.
师:当金箍棒向一个方向无限延长,又给我们什么样图形的近似形象?
生:射线.
师:当金箍棒向两个方向无线延长,又能给我们什么样图形的近似形象?
生:直线.
师:其实在我们的身边、在我们的日常生活中,很多物体也能给我们这样的近似形象,我
们来看一组生活中的图片.(出示图片)
师:绷紧的琴弦、霓虹灯发出的灯光、笔直的铁轨分别给我们什么样图形的近似形象?
生:线段、射线、直线.
师:我们在小学里已经初步学习了线段、射线、直线,从今天开始让我们共同走进平面图
形的世界,本节课将要和同学们一起进一步研究线段、射线、直线.(教师板书课题:1 线段、
射线、直线)
[设计意图] 利用《西游记》中的精彩视频以及生活中熟知的情境图片给学生展现了
线段、射线、直线的近似形象,使学生感受生活中所蕴含的图形,既活跃了课堂气氛,也激发
了学生的学习兴趣.让学生感受从实际问题中抽象出所要了解的图形的过程,同时在解答问题
中形成认知冲突,激发学生的学习热情,将学生的注意力迅速转移到课堂.
探究活动1 生活中的线段、射线和直线
[过渡语] 生活离不开数学,数学来源于生活.以上美丽的图片中也包含着我们的数学知
识.
从下面的三幅图片中,你能观察出它们哪些部分分别可以近似地看作我们小学学过的线
段、射线和直线?
[处理方式] 学生观察思考,绷紧的琴弦可以近似地看作线段,探照灯射出的光线可以近
似地看作是射线,笔直的铁轨可以近似地看作直线,立足现实背景呈现线段、射线、直线的概
念.
[设计意图] 以学生熟知的现实生活为背景,让学生充分感受生活中所蕴含的三种基本
的几何图形,立足现实背景呈现线段、射线、直线的概念,激发学生的好奇心.
探究活动2 线段、射线、直线的概念及表述方法
思路一
让学生动手在练习本上尝试画线段、射线和直线.
议一议:认真观察所画的线段、射线和直线,合作探索这三种线的特征,并用自己的语言
叙述出来,然后根据自己的探索和教材第106页的图4 - 1,4 - 2,4 - 3的提示,总结出线段、射线
和直线的表述方法.
生1:绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看作线段.
生2:线段包括它的两个端点,线段不能无限延伸,因此可以度量,但可以向两个方向延长.
生3:画线段时要画出两个端点,且不能超出两个端点之外.
生4:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线虽然有一个端点,但它可以向另一个
方向无限延伸,所以它没有长短,因此不可以度量.画射线要画出一个端点,且向一方延伸.
生5:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线没有端点,不可以度量.画直线时可
以画一条直的线或在线上标注两个点给人以无限延伸的形象.
[设计意图] 在具体的情景中理解线段、射线、直线的定义,并了解线段、射线、直线
的画法.思路二
问题:在数学里,我们常用字母表示图形.一个点可以用一个大写字母表示,如图“·”,这个
点可以表示成点A,那么一条线段、一条射线、一条直线又该怎样表示呢?请同学们自主学习
线段、射线、直线的表述方法.(教材第106页)
[处理方式] 学生自主学习,用自己的语言总结、叙述线段、射线、直线的表述方法,教
师补充并借助多媒体.
(1)线段的图形及表示方法.
用两个端点的大写字母来表示,或用一个小写字母表示,如图(1)所示,可以写成线段AB、
线段BA、线段a.
(2)射线的图形及表示方法.
射线的表示:用它的端点和射线上的另一点来表示,如图(2)所示,可以写成射线AB.同时注
意引导归纳:这两个点的排列顺序不能互相交换,表示端点的字母必须写在另一个字母的前面,
也不能用一个小写字母表示.
(3)直线的图形及表示方法.
用直线上的两个点来表示或用一个小写字母来表示,如图(3)所示,可以写成直线AB、直
线BA、直线l.
探究活动3 从生活中寻找线段、射线、直线
生活中,有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?学生讨论后举例子,如:吃饭的筷
子、铅笔给我们以线段的形象;手电筒、激光笔射出的光线都给我们以射线的形象;高速路上
的白色实线等给我们以直线的形象.
[设计意图] 让学生充分交流,丰富线段、射线、直线的生活背景,进一步巩固所学的线
段、射线、直线的知识,并从中使学生感受现实生活中含有大量的数学信息,提高学习兴趣,
培养学生分析、解决问题的能力.
探究活动4 线段、射线、直线的区别
思路一
观察图形,你能发现直线、射线、线段的联系和区别吗?
图形名 能否度
图形 表示方法 端点个数 延伸性
称 量
线段 a 线段 AB 线
线段 2个 不能延伸 可度量
段BA
向一方无 不可度
射线 射线OA 1个
限延伸 量
向两个方
直线l直线AB直线 不可度
直线 无端点 向无限延
BA 量
伸
注意:射线的端点字母要放在前面,用一个字母表示线段、直线时要用小写字母.
[设计意图] 让学生自己总结归纳,通过比较直线、射线、线段的联系和区别,加深学生
理解线段、射线、直线的概念,以及它们的区别与联系,进一步发展学生抽象概括的能力.
思路二
填写表格:
图形名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 能否度量
线段
射线
直线
[处理方式] 学生积极思考,与同伴交流、合作探索,教师巡视,留意学生合作交流的情况,
适时指导,对学生的回答做出积极评价,同时借助多媒体给出的表格寻求线段、射线、直线的
区别和联系.猜猜看:你能说出下列谜语的谜底吗?
(1)有始有终——打一线的名称.
(2)有始无终——打一线的名称.
(3)无始无终——打一线的名称.
[设计意图] 让学生主动参与活动、参与数学概念、数学思维的形成过程.感受线段、
射线、直线的区别与联系,最后举例加以验证,有利于培养学生的归纳、比较、抽象、概括等
能力.有趣的谜语增强了学生的感性认识,有助于学生进一步认识和记忆三线的概念.
巩固练习(一)
请用两种方式分别表示出右图中的两条直线,点O是两条直线的公共点.根据直线的两种
表示方法可以表示为:直线BO或直线m,直线AO或直线n.
[设计意图] 巩固直线、射线、线段的表示方法,训练图形语言与文字语言的相互转化.
探究活动5 直线的性质
出示问题:做一做.
(1)过一个点A可以画几条直线?
(2)过两点A,B可以画几条直线?
(3)如图所示,如果将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?它的依据是什么?
分析:过一个已知点可以画无数条直线,过两个已知点可以画出直线但只能画一条直线.
[处理方式] 引导学生动手画图,自主思考,相互讨论,描述从操作中所发现的结论,与学生
共同总结直线性质并板书“经过两点有且只有一条直线”.
注意:
(1)“有”表示存在性,“仅有”表示唯一性.
(2)直线的性质还可以说成“两点确定一条直线”.
[设计意图] 学生通过动手画图,培养几何作图能力,并在作图过程中发现直线的某些性
质.
巩固练习(二)
如右图所示,木匠师傅锯木料时,一般先在木料上画出两个点,然后过这两点弹出一条墨
线,这是为什么?
生:根据直线的基本性质“经过两点有一条直线,并且只有一条直线”,经过木料上画出
的两个点能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条这样的墨线.
师:请你举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例.
生1:射击时,目标在准星和缺口确定的直线上.
生2:耕完地以后打畦田,先由两头确定直线,再画石灰线.
生3:建筑工地垒墙时要挂线.
[设计意图] 给学生足够的时间,并鼓励他们积极思考,使学生联系实际,达到学以致用的
目的.
探究活动6 拓展探索,实现创新
出示问题:通过画图分析,填空.
(1)当直线a上标有一个点时,可得到 条射线, 条线段;
(2)当直线a上标有两个点时,可得到 条射线, 条线段;
(3)当直线a上标有三个点时,可得到 条射线, 条线段;
(4)当直线a上标有四个点时,可得到 条射线, 条线段;(5)当直线a上标有n个点时,可得到 条射线, 条线段.
分析:借助图形探索规律,可得:当直线a上标出一个点时,可得到2=2×1条射线,0条线段;
当直线a上标出两个点时,可得到4=2×2条射线,1条线段;当直线a上标出三个点时,可得到
6=2×3条射线,3=1+2条线段;当直线a上标出四个点时,可得到8=2×4条射线,6=1+2+3条线段;
n(n - 1)
当直线a上标出n个点时,可得到2n条射线, 条线段.
2
[设计意图] 通过“数线段”的活动,拓宽学生的思路,提高学生的思维能力,引发学生将
一些生活问题转化为数学问题来思考.
[知识拓展] 1.线段无粗细之分,有两个端点.理解线段的概念要掌握它的三个特征:直的、
有两个端点、可以度量.
2.射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.手电筒、探照灯等射出来的光线可以
近似地看成射线.射线的特点:直的、有一个端点、向一方无限延伸.
3.直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线的特点:直的、没有端点、向两方
无限延伸.
4.经过两点有且只有一条直线,可以简述为:两点确定一条直线.“有且只有”中的“有”
表示存在性,“只有”表示唯一性,“确定”与“有且只有”的意义相同.
1.线段、射线、直线的概念.
2.线段、射线、直线的表示方法.
3.直线的性质:(1)两条直线相交,只有一个交点.(2)经过两点有且只有一条直线,可以简述
为:两点确定一条直线.
1.手电筒射出来的光线给我们的形象是 ( )
A.线段 B.射线 C.直线 D.折线
解析:手电筒射出来的光线是向一方无限延伸的,只有射线符合这个特点.故选B.
2.经过A,B,C三点的任意两点,可以画出的直线条数为 ( )
A.1或2 B.1或3
C.2或3 D.1或2或3
解析:当三点在同一条直线上时,可以画出一条直线;当三点不在同一条直线上时,可以画
出三条直线,故选B.
3.线段有 个端点,射线有 个端点,直线 端点.
解析:线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点.
答案:两 一 没有
4.在直线l上取三点A,B,C,共可得 条射线, 条线段.
解析:从直线上的一点向两方取射线可以得到2条,三个点可以得到6条射线,3条线段.
答案:6 3
5.要把木条固定在墙上至少需要钉 个钉子,依据是 .
解析:由两点确定一条直线可知至少需要两个钉子.
答案:两 两点确定一条直线
1 线段、射线、直线
1.线段
2.射线
3.直线
4.线段、射线、直线的区别与联系一、教材作业
【必做题】
教材第108页习题4.1的1,2题.
【选做题】
教材第108页习题4.1的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,下列不正确的几何语句是( )
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线OA与射线AB是同一条射线
D.线段AB与线段BA是同一条线段
2.如图所示,观察图形,下列说法正确的个数是 ( )
①直线BA和直线AB是同一条直线;②射线AC和射线AD是同一条射线;③三条直线两两
相交时,一定有三个交点.
A.1 B.2 C.3 D.0
【能力提升】
3.已知点B,C在线段AD上,下图中以A为一个端点的线段有几条?以B为一个端点的线段有
几条?以C为一个端点的线段有几条?以D为一个端点的线段有几条?图中共有多少条线段?
请分别表示出来.
4.如图所示,A,B,C,D四个图形中各有一条射线和一条线段,它们能相交的是 ( )
【拓展探究】
5.按要求作图:
如图所示,在同一平面内有四个点A,B,C,D.①画射线CD;②画直线AD;③连接AB;④画直线
BD与直线AC相交于点O.
6.阅读下表:
线段AB上的点数n(包括A,B两点) 图例 线段总条数y
3 3=1+2
4 6=1+2+3
5 10=1+2+3+4
6
解答下列问题:
(1)在表中空白处分别画出图形,写出线段总条数;(2)猜测线段总条数y与线段上的点数n之间有什么关系;
(3)当n=10时,计算y的值.
【答案与解析】
1.C(解析:射线OA与射线AB不是同一条射线,因为端点不同.)
2.B(解析:①直线BA和直线AB是同一条直线,正确;②射线AC和射线AD是同一条射线,都
是以A为端点,同一方向的射线,正确;③三条直线两两相交时,一定有三个交点,错误,也可能
只有一个交点.所以共有2个正确的.故选B.)
3.解:3条,分别是线段AB,AC,AD;3条,分别是线段BA,BC,BD;3条,分别是线段CA,CB,CD;3条,分别
是线段DC,DB,DA.图中共有6条线段,分别为线段AB,AC,AD,BC,BD,CD.
4.C(解析:直线的特点是两端都没有端点、可以向两端无限延伸;射线是有一个端点,向一端可
以无限延伸;线段是有限的长度,不能无限延伸,可以测量.故选C.)
5.解:如图所示.
3×(3 - 1)
6.解析:当 n=3 时,线段总条数 3=1+2= ;当 n=4 时,线段总条数 6=1+2+3=
2
4×(4 - 1) 5×(5 - 1)
;当n=5时,线段总条数10=1+2+3+4= ;…;当点数为n时,线段总条
2 2
n(n - 1)
数y= .
2
n(n - 1)
解:(1)图形如图所示,线段总条数为15=1+2+3+4+5. (2)y= . (3)当n=10时,y=
2
n(n - 1) 10×(10 - 1)
= =45.
2 2
在这次教学活动中,利用多媒体为学生创设了生动、直观的活动情景,充分调动了学生的
学习积极性.采用了探究式教学模式,充分发挥了学生的主体作用,体现了学生自主学习、合
作学习、探究学习、操作学习的数学学习策略,使学生真正成为课堂的主人.
在设计中没有关注学生的人文价值和情感态度,没有及时鼓励学生的积极参与与探究的
信心.
教师及时参与到学生的学习小组,发现问题并及时解决问题.
随堂练习(教材第107页)
1.解:例如:栽树时只要确定两个树坑的位置,就能确定一行树坑所在的直线.
2.提示:选择的字母不同,表示就不同.
习题4.1(教材第108页)1.解:直线AO或直线n;直线OB或直线m.
2.解:如图所示.
3.解:经过两点有且只有一条直线.
4.解:(1)如图(1)所示,为叙述方便,可以给原图的7根火柴棒编上号,分别去掉原图的火柴棒
① ② ③ ④ ⑦ ,②⑤,②③,①③④,③⑥,⑥,②③④⑦,③,⑦, 就 可 以 摆 出
1,2,3,4,5,6,7,9,0九个数字. (2)如字母B可以用如图(2)所示的图形表示,其他略.
教法:采用让学生自学、回顾、探究、反思、自评的教学方式,让学生的主体地位得到充
分体现;从学生好奇、好学、好问、好动手等心理特点出发,通过作图、问答反思等方式充分
暴露学生的思维;同时结合学生的生活经验,把理论与实际的应用合为一体,帮助学生在学习
的过程中理解、掌握新知识,提高他们的自学能力和解决实际问题的能力.
学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力.
指出图中线段、射线、直线分别有多少条,并把线段表示出来.
〔解析〕 数线段时从一端数,不回头;数射线时找端点,一个端点两条射线.
解:线段有3条,分别为线段AB,线段AC,线段BC.射线有6条.直线有1条.
〔解题策略〕 引导学生回想前面所学线段、射线、直线表示方法的区别与联系,说一
说怎样表示线段、射线、直线,然后让学生完成本道题的回答,最后教师提问、点拨怎样数线
段、射线、直线.
2 比较线段的长短
1.直观理解两点之间线段最短的性质.2.能够用圆规画一条线段与已知线段等长.
3.利用直尺和圆规等简单工具比较两条线段的长短.
学生通过自主学习,在生活经验中获得知识,并通过实际操作掌握正确的作图方法.
1.感受数学无处不在.
2.使用工具解决数学问题的意识和能力.
【重点】
1.在观察和实践的基础上认识“两点之间线段最短的性质”.
2.会使用直尺和圆规比较两条线段的长短.
【难点】
1.使用圆规进行作图.
2.使用直尺等工具比较两条线段的长短.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
110~111
导入一:
[过渡语] 同学们,老师今天想考考你们的眼力如何?看看谁具有一双慧眼.
问题1
如图所示,从A地到B地共有五条路,小红应选择第 条路最近.
生:选择第③条路最近.
师:你具有一双慧眼,根据生活经验,可以发现“两点之间的所有连线中,线段最短”,我们
把这一事实简述为“两点之间,线段最短”,把两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
问题2
图中两条线段a与b的长度谁长谁短?
生1:a长.
生2:一样长.
师:看来这个问题挺有迷惑性哦,实际上a与b的长度一样长,在现实生活中有很多事情我们不能光凭直觉,还需要用事实来说明,今天老师将和同学们一起来学习有关比较线段长短的
方法.
[设计意图] 问题1通过对寻找最短路径的设计引出线段的性质及两点之间距离的概念,
问题2的设计主要是想让学生明确数学的严谨,不能只通过眼睛来看问题,从而引出比较线段
长短的必要性.
导入二:
师:什么叫线段、射线和直线?它们之间的联系和区别是什么?
让学生观察如图所示的图片(多媒体出示图片),并回答两点之间什么最短.
[处理方式] 第1问学生口述,第2问由第1问作为基础,这时教师要恰当引导,以问题的
形式提示,例如:这样做好不好?不好,为什么还要这样做?这其中蕴含着怎样的数学道理?“抄
近路”就是运用两点之间线段最短的原理,学生会很快接受这个道理.学生容易发现结论:两
点之间的所有连线中,线段最短,可以简述为:两点之间线段最短.教师适时补充定义:两点之间
线段的长度,叫做这两点之间的距离.
[设计意图] 利用生活中可以感知的新闻情境,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所
蕴含的数学道理.学生水到渠成知道两点之间线段最短,并学习两点间的距离的定义.
探究活动1 探究性质“两点之间线段最短”
出示问题:如图所示,从A地到C地有四条路,哪条路最近?
[处理方式] 点名让学生选择自己要走的路,从A到C地的四条路中,一般地,人们会走
中间的直路,而不会走其他曲折的路,如果把这些路看成各种形状的线,显然线段AC最短,进而
引导学生得出结论:两点之间的所有连线中,线段最短.可以简述为:两点之间线段最短.
[设计意图] 学生通过观察得出结论,增强对图形的直观体验,感受到发现的乐趣,从而产
生学习数学的成就感.
从上面的例子中可以发现线段AC最短,我们把两点间线段的长度叫做两点之间的距离.
那么线段AC的长度就是A与C两点之间的距离. 两点间的距离是长度,是一个数量,而不是线
段图形本身.
跟踪练习
小狗、小猫为什么都选择直的路?
[处理方式] 学生一定会给予肯定的回答,重点引导学生解释原因:两点之间线段最短.[设计意图] 通过学生喜欢的漫画增强对知识的理解与应用.
思路一
活动内容
教材议一议的内容.
问题1
怎样比较两棵树的高矮?怎样比较两根铅笔的长短?怎样比较窗框相邻两边的长?
问题2
在黑板上画出两条线段,同时让学生在草稿纸上画出两条线段,让学生思考、讨论比较方
法.
[处理方式] 先在具体问题中设问,让学生自由发言,使他们在解答问题中形成认知冲突,
激发学生的解决问题的热情.然后教师点明课题:把两棵树的高度、两根铅笔的长、窗框相邻
两边的长看成两条线段,怎么比较它们?
[设计意图] 利用生活中可以感知的情景,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴含
的数学道理.让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段大小的过程.
动手实践:怎样比较下面两条线段的长短呢?
图(1)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B与
端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记为AB=CD.图(2)将线段AB移到线段CD上,使
线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线段
CD,可以记作ABCD.
重叠比较法:将两条线段的各一个端点对齐,另外两点在重合点的同侧,再看另一个端点
的位置.
[设计意图] 学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能
力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的思想.
跟踪练习
如图所示,比较折线AB和线段CD的长短,你有什么方法?需要什么工具?
[处理方式] 让学生独立思考完成,找学生代表回答并演示.
生:我可以用度量法,折线AB可以一段一段地测量然后相加,线段CD可以直接测量,就可
以比较长短了.所以我只需要刻度尺就可以了.我还有一种方法,利用圆规把折线一段一段放
到线段CD上就可以比较了.所以我只需要圆规就可以了.
[设计意图] 开拓学生思维,学以致用,顺其自然地过渡到用尺规作一条线段等于已知线
段.思路二
活动内容
怎样比较两条线段的长短?
方法一: 测量法 (工具:可用刻度尺).
教师利用多媒体演示.
方法二:叠合法 (工具:可用圆规).
教师利用多媒体演示.
度量法:即用一把刻度尺量出两条线段的长度,再进行比较,如图所示.
4.1 cm>3.1 cm
叠合法:起点对齐,看终点.
(1)如果点B与点D重合,记作AB=CD,如图(1)所示.
(2)如果点B在线段CD的延长线上,记作AB>CD,如图(2)所示.
(3)如果点B在线段CD上,记作ABCD.
说明:如果两条线段的长短相差很大,就可以直接观测进行比较.
[设计意图] 师生交流并归纳出线段长短的比较方法,教师用多媒体演示比较过程,先让
学生动手操作,独立完成,更能加深学生的体会,这样的设计能让学生体会方法的获得过程.应
关注全体学生,充分调动他们的积极性,让他们广泛参与、积极主动地学习.
探究活动2 探索作一条线段等于已知线段(尺规作图)
尺规作图:只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图.
示范作图:同学们对比较线段长短的方法掌握得很好,下面我们一起探究一下如何用圆规
作一条线段等于已知线段.
演示画法:如图所示,已知线段AB,
①先作一条射线A'C';
②用圆规量取已知线段AB的长度;
③在射线上截取A'B'=AB,线段A'B'就是所求的线段.
跟踪练习
已知线段a,b,画一条线段c,使它的长度等于a+b.[设计意图] 这里是学生第一次应用直尺、圆规进行基本作图,必须予以充分重视.首先
要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结
果.
探究活动3 探索中点的概念及应用
思路一
[过渡语] 同学们如何找到一条绳子的中点呢?
[处理方式] (拿出准备好的绳子)这个很简单,对折一下就可以得到中点了.学生可以有
多种方法,激发学生的创新思维.
[设计意图] 学生通过游戏,抽象出线段的中点.学生从玩过的游戏中学到线段中点的有
关知识,既降低了学习知识的难度,又激发了学生学好数学的信心.
出示问题:谁可以描述一下中点的概念呢?(对照图形,如图所示)你是否可以把他们之间的
关系表示出来呢?
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M是线段AB的中点. 板书AM=MB=
1
AB或AB=2MB=2AM
2
[设计意图] 通过游戏将抽象的问题简单化,揭示了线段中点的主旨,又将简单的问题公
式化,使知识得到升华,培养了学生分析问题的能力.
思路二
师:如图所示,在图中,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M叫做线段
AB的中点.
若M是线段AB的中点,则AM,BM,AB间有怎样的数量关系?
1
生1:AM=BM= AB.
2
生2:AB=2AM=2BM.
1
师:若AM=BM= AB,则说明什么问题?
2
生3:M是线段AB的中点.
师:若AB=3 cm,你能求出其他两条线段的长吗?
生4:因为M是线段AB的中点,所以AM=BM=1.5 cm.
师:若AM=2 cm,你能求出其他两条线段的长吗?
生5:因为M是线段AB的中点,所以BM=2 cm,AB=4 cm.
师:如果M不是线段AB的中点,是否还具有这样的性质呢?
生6:不具有.
师:这是中点特有的性质,所以同学们在利用中点求线段的长度的时候一定要看清楚条件.
知识应用,巩固提高
(教材做一做)如图所示,在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=4 cm,BC=3 cm,如果O是线
段AC的中点,那么线段OB的长度是多少?
解:因为AB=4 cm,BC=3 cm,
所以 AC=AB+BC=7 cm.
因为 点O是线段AC的中点,1
所以OC= AC=3.5 cm.
2
所以OB=OC - BC=3.5 - 3=0.5(cm).
答:线段OB的长为0.5 cm.
[设计意图] 进一步巩固中点概念,熟练应用中点进行解题,注意数形结合及分类思想.
[知识拓展] 1.两点之间的连线,可能是笔直的,也可能是弯曲的,在这些线中,笔直的线(即
连接两点的线段)是最短的.
2.两点间的距离是指线段的长度,是一个数,而不是线段本身,线段本身是一个图形.
3.比较两棵树的高度、两支铅笔的长短实质都是比较两条线段的长短,比较两条线段的
长短的方法一般为度量法和叠合法.
1.线段的基本性质:两点之间线段最短.
2.两点之间的距离:两点之间线段的长度.
3.线段的两种比较方法:叠合法和度量法.
4.线段的中点的概念及表示方法.
1.把弯路改成直路,就能够缩短行程,其道理用几何知识解释为 .
答案:两点之间线段最短
2.点A,B,C在同一直线上,AB=4 cm,BC=7 cm,则AC的长为 .
答案:11 cm或3 cm
3.如图所示,AB=8 cm,AC=13 cm.设点E,F分别是线段AB,AC的中点,求线段EF的长.
解:因为F是线段AC的中点,
1 13
所以AF= AC= cm.
2 2
又因为E是线段AB的中点,
1
所以AE= AB=4 cm.
2
13 5
所以EF=AF - AE= - 4= (cm).
2 2
5
所以EF的长为 cm.
2
4.如图(1)所示,已知线段a,b,c,用尺规作图作一条线段l,使l=2a+b - c.
解:如图(2)所示,线段AC即是所求作的线段.
2 比较线段的长短
1.线段的性质:两点之间线段最短
2.两点之间的距离
3.比较线段长短的方法
(1)度量法
(2)叠合法
一、教材作业【必做题】
教材第112页习题4.2的1,2题.
【选做题】
教材第113页习题4.2的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,从A到B有3条路线,最短的路线是③,理由是 ( )
A.因为③是直的 B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义 D.两点之间线段最短
2.下列说法正确的是 ( )
A.两点之间的连线中,直线最短
B.若P是线段AB的中点,则AP=BP
C.若AP=BP, 则P是线段AB的中点
D.两点之间的线段叫做两点之间的距离
3.已知A,B两点之间的距离是10 cm,C是线段AB上的任意一点,则AC中点与BC中点间的距
离是( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算
4.如图所示的四条线段中,最短的一条线段是( )
A.a B.b C.c D.d
【能力提升】
5.已知两条线段的差是10 cm,这两条线段的长度比是2∶3,求这两条线段的长.
6.(1)如图所示,图中共有几条线段?分别表示出这些线段;
(2)若CB=4 cm,AB=10 cm,且D是AC的中点,求AD的长.
【拓展探究】
7.已知线段AD=6 cm,BD=2 cm,C是线段AD的中点,AD,BD在一条直线上,求线段BC的长度.
【答案与解析】
1.D(解析:两点之间的所有连线中,线段最短.简述为:两点之间线段最短.故选D.)
2.B(解析:选项A中,两点之间的连线中,直线最短,错误;选项C中,若AP=BP, 则P是线段AB的
中点,错误;选项D中,两点之间的线段叫做两点之间的距离,错误.故选B.)
1
3.C(解析:∵AC+BC=AB,∴AC的中点与BC的中点间的距离= AB=5 cm.故选C.)
2
4.B(解析:采用度量法或叠合法,能得出正确结果为B.)
5.解:设这两条线段的长度分别为2x cm和3x cm,则3x - 2x=10,解得x=10,所以2x=20,3x=30.
答:这两条线段的长度分别为20 cm和30 cm.
6.解:(1)有6条线段,分别是:AD,AC,AB,DC,DB,CB. (2)∵CB=4 cm,AB=10 cm,∴AC=AB - CB=10 -
1 1
4=6(cm),∵D是AC的中点,∴AD= AC= ×6=3(cm).
2 2
1
7.解:如图(1)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD= AD=3 cm,又BD=2 cm,所以
2
BC=1
CD - BD=3 - 2=1(cm);如图(2)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD= AD=3 cm,又
2
BD=2 cm,所以BC=CD+BD=3+2=5(cm).所以BC=1 cm或5 cm.
学生成功地正确理解两点之间的距离和线段的中点的概念;能用直尺和圆规作一条线段
等于已知线段;能用直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.在理解两点之间的距离的过程中,
用比较具体的事物、事实为依据,知识的形成水到渠成,知识运用得准确灵活,让学生直观的
认识,学生接受起来就比较容易、轻松.
学生的创新思维没有得到提高,部分学生的学习积极性不高,对利用线段的中点求解线段
的长度掌握得不好.
与学生之间的互动与交流要加强,要鼓励学生,发现他们的闪光点,给他们信心,让他们能
够自主地融入课堂,快乐地学习. 要注意渗透数形结合的思想,这对学生的学习非常有益.
随堂练习(教材第112页)
1.解:比较的方法有多种,例如,测量、用圆规截取、借助细线等.
习题4.2(教材第112页)
1.解:(1)线段AB比线段CD短;(2)线段AB比线段CD短;(3)从短到长依次为线段CD、线段AD、
线段BC、线段AB.
2.解:如图所示.(1)作射线AM.(2)以点A为圆心,以a
长为半径作弧交AM于点B.(3)以点B为圆心,以b长为半径画弧,交射线BM于点C.则线段AC
即为所求.
3.解:如图所示,AC=4 cm,BD=6 cm,CD=8 cm.
4.解:原四边形的周长大,因为两点之间线段最短.如果是一个五边形或一个六边形,结论仍然
成立.
将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识,为将来的学习打下基
础,它为学生的思维开拓了一个新的天地,不应只是教给学生比较线段的方法,而要从数形结
合的高度去认识.在教知识的同时,教给学生一种很重要的数学思想.
如图所示,已知线段AD=10 cm,线段AC=BD=6 cm,E,F分别是线段AB,C D的中点,
求EF的长.解:因为AD=AC+CD=AC+(BD - BC)=AC+BD - BC,
又因为AD=10 cm,AC=BD=6 cm,
所以10=6+6 - BC,所以BC=2 cm,
所以AB=CD=4 cm,
因为E,F分别是线段AB,CD的中点,
1 1
所以EB= AB=2 cm,CF= CD=2 cm,
2 2
所以EF=EB+BC+CF=2+2+2=6(cm).
3 角
1.从现实生活中认识和形成角的概念.
2.认识度、分、秒的概念,能够进行简单的度、分、秒之间的换算.
3.掌握角的表示方法,能够使用量角器对角度进行测量.
从丰富的现实生活中观察并抽象出角的数学模型,在学习角的表示和测量中形成角度的
正确观念.
1.认识生活中无处不在的角度的实例,感受学习数学的乐趣.
2.经历从特殊到一般、从具体到抽象的概念的形成过程,培养数学建模的思想.
【重点】
1.角的概念及其表示方法.
2.度、分、秒的概念和角度在不同单位之间的相互转换.
【难点】 正确使用量角器进行角度的测量.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
114~115
导入一:[过渡语] 同学们,通过以上几节课的学习,我们认识了几种简单的几何图形:直线、射线
和线段,而通过小学阶段的学习我们对角也有了初步的认识.你能在下列图片中找到角吗?
多媒体展示:
[处理方式] 学生观察图片并用自己的语言表述图片中的角,教师再通过多媒体用不同
的线将角标记出来.
[设计意图] 通过观察生活中含有角的图片的实例吸引学生,激发学生的学习兴趣,增强
学生对角的直观感受.
导入二:
[过渡语] 前几节我们具体研究了小学时初步认识的直线、射线、线段.另外,我们还认
识了另一种几何图形——角.你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗?
师:我们已经学习过角,对角有了一定的了解,观察图形,你能在下图中找出并画出角吗?
[处理方式] 学生通过观察加上小学的基础从图形中很快就能找到角,再通过举例加深
对角的认识,让他们深刻领会角是现实生活中最基本的图形.
[设计意图] 为了更形象、更直观,用多媒体展示一些实物图形,让学生说出日常生活中
给我们角的形象的物体,充分发挥学生的想象力,培养其观察事物的习惯,同时,活跃课堂气氛,
调动学生学习的积极性,也培养了学生从具体实物图形中抽象出几何图形的能力.
探究活动1 角的概念一(静态定义)
出示问题:角在生活中无处不在,而在数学的学习中,角是如何定义的呢?构成角的要素有
哪些?与角有关的概念又有哪些?用什么方法可以表示一个已知的角呢?
师:带着这些问题请同学们阅读教材第114页“做一做”之前的内容.
[处理方式] 让学生带着问题阅读教材第114页“做一做”之前的内容.
[设计意图] 通过自学,培养学生对教材的领悟能力.
探究活动2 精析角的静态定义、与角有关的概念及角的表示方法
思路一
多媒体展示:
(1)由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角.两条射线叫角的边,两条射线的公共
端点是这个角的顶点.
(2)角的表示方法,如图所示.角的表示方法小结:
①用三个大写字母表示,如∠AOB或∠BOA;②用一个大写字母表示,如∠O;③用一个希腊
字母表示,如∠α;④用一个数字表示,如∠1.
注意:用三个大写字母表示一个角时,顶点字母一定要写在中间;用顶点字母表示角时,以
该点为顶点的角只能是一个角.
[处理方式] (1)先由学生回答,对于不对的地方教师要给予补充,重点内容要进行板书,教
学时要引导学生关注:每个角都有两条边,这两条边都是射线;角的顶点是两条射线的公共端
点;顶点、两边是构成角的两个要素.(2)让学生先自学角的表示方法,然后师生共同归纳,这样
一方面节约教学时间,另外一方面加深学生的记忆,特别是一个字母或三个字母表示角易错,
教师要特别强调说明.
[设计意图] 通过教师的讲解与强调可以弥补学生在自学中对教材理解的不足.通过师
生共同的总结与归纳可以使知识更加系统、有条理.
思路二
角的静止观点定义的得出
[过渡语] 同学们请观察,角的两边是前面我们学过的什么图形?它们的位置关系如何?
你能否根据自己的理解和刚才老师的提问描述一下怎样的几何图形叫做角?
[处理方式] 学生讨论,然后找代表回答. 教师在学生回答的基础上给予纠正和补充,最
后给出角的正确定义.
角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫角的顶点,这两条射线叫
角的两边.
出示问题:角的大小与角两边的长短有关系吗?
[处理方式] 学生讨论并演示:拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角
板对比演示.让学生尽可能地发表自己的看法和观点.
教师小结:角的两边既然是射线,则可以向一方无限延伸,所以角的大小与所画角的两边
长短无关,仅与角的两边张开的程度有关.
[设计意图] 角的定义的得出,不是教师以枯燥的形式强加给学生的,而是让学生自己在
观察图形的过程中,由教师引导提出问题,步步追问,自觉地去认识.在问题解决的过程中,在复
习旧知识中,不知不觉学到了新知识——角.这样缩短了新旧知识间的距离,减轻了学生心理
上的压力,使他们感到新知识并不难,在轻松愉快中学到了知识.同时也会感受到新旧知识之
间的联系.对发展学生用普遍联系的观点看待事物有很好的作用.
角的表示方法
师:研究角,像直线、射线、线段一样,可以用字母表示.下面请同学们阅读教材第114页
做一做上面一自然段,总结角的表示方法有几种,你能否准确地表示一个角并读出来?
[处理方式] 学生阅读,相互讨论,然后归纳出角的几种表示方法.
[设计意图] 角的四种表示方法教材中说明得很明确,语言通俗,很易理解,学生完全可以
通过阅读分出四个层次,四种表示角的方法.因此可以大胆放手,培养学生阅读理解能力、归
纳总结能力.
[处理方式] 学生阅读后,多找几个学生回答.最后通过不断补充、完善,归纳整理得出角
的四种表示方法.
师生总结角的四种表示方法时,对前两种表示方法应注意的问题要加以强调.第一种表示
方法必须注意:顶点字母在中间.第二种表示方法只限于顶点只有一个角.这是以后学生书写
过程中最易出错的地方.另外,让学生区分角的符号与小于号.这些应注意的问题最好由学生
讨论,学生发现后归纳总结.
探究活动3 尝试成功,感知概念活动内容
做一做.(多媒体展示)
(1)你能用适当的方式分别表示下图中的角吗?
(2)在图②中能用∠A来表示∠BAC,∠CAD,∠BAD吗?
(3)将图③中的角用不同方法表示出来,并填写下表:
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
[处理方式] 先由学生独立完成,若有困难,可分组讨论交流.教师进行纠错并小结:在使用
四种方法表示角时,第1种方法是我们比较常用的方法,第2种方法在使用时必须注意的是以
该字母为顶点的角只有一个时才能使用,这样才能不产生误解.第3,4种方法在使用时必须先
在图中标记出来再使用.
[设计意图] 做一做的设计是让学生进一步认识和强化对角的表示方法的学习,同时让
学生充分认识到在不引起混淆的情况下,角才可以用表示顶点的字母来表示.
探究活动4 角的概念二(动态定义)
师:同学们见过剪裁相纸的裁纸刀吗?(多媒体展示裁纸刀图片如图(1)所示)
我们如果把裁纸刀的手柄看成一条射线的话,在它开合的过程中就形成了角.
(同时多媒体演示射线绕端点旋转成角的动画)
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的,如图(2)所示.
教师通过展示裁纸刀图片和多媒体动画演示,让学生进一步体会角也可以看成是由一条
射线绕着它的端点旋转而成的,同时向学生说明角的始边、终边及角的内部.
[设计意图] 让学生感受角的动态定义,增强学生对角的认识.
探究活动5 特殊角及角的单位换算
通过小学的学习我们已经知道:1平角=180°,1周角=360°,什么样子的角是平角?什么样子
的角是周角?一个一度的角又有多大呢?
把半圆分成180等份,每一份所对的角叫做一度角,记作1°.
多媒体展示:如图所示,让学生感受什么是一度的角.
(接着教师用几何画板演示平角和周角以及锐角、直角、钝角)
一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角,如图(1)所
示.继续旋转,当终边和始边重合时,所成的角叫做周角,如图(2)所示.同时通过练习引导学生回顾:
锐角大于0°小于90°,钝角大于90°而小于180°, 1周角=2平角=4直角.
为了更精确的度量角,还要引入度量角的更小的单位:分和秒.
学生阅读教材第115页有关度、分、秒的换算规定,理解它们之间的换算关系.
把1°的角分成60等份,每份叫做1分的角,记作1',又把1'的角分成60等份,每一份叫做1
秒的角,记作1″.即1°=60',1'=60″.
[处理方式] 教师讲解、动画演示与学生自学相结合,也可以问答式或启发式.对于度、
分、秒的单位换算教师要引导学生类比于时间的单位换算,它们相邻单位间的进制都是60
进制的.教师对锐角和钝角的范围要重新强调,并声明我们一般所指的角都是这三种角,不研
究大于平角的角,同时,还要说明:平角的两边可以构成直线,但不能说直线就是平角.
[设计意图] 通过几何画板文件的动画演示,进一步加深学生对角的动态定义的理解,通
过引导学生回顾小学的角的知识让学生了解角的分类,有利于学生知识的系统化.通过类比可
以降低学生学习度、分、秒换算的难度.
计算:
(1)1.45°等于多少分?等于多少秒?
(2)1800″等于多少分?等于多少度?
(3)36°52'36″+34°35'24″;
(4)120° - 45°25'32″.
[处理方式] 在完成本例题之前教师要引导学生理解:
(1)由度化为分和由分化为秒要分别乘它们的进制60.
(2)由秒化为分和由分化为度要分别除以它们的进制60.
(3)在进行加法计算时应把度、分、秒分别对齐进行相加,然后满60秒进一分,满60分进
一度.
(4)减法的计算也应当把度、分、秒对齐进行相减,先算秒,再算分,最后算度,不够减的向
上一位借位,借1'当60″,借1°当60'.
[设计意图] 例题的目的是为了让学生记住角的单位换算关系,对于度、分、秒的换算
注意控制其难度,对于角的和与差在中考题中也有出现,所以补充后两题很有必要.同时教师
要结合学情强调解题时的易错点.
[知识拓展] 1.构成角的要素有:顶点、两边.
2.每个角都有两边,这两条边都是射线.
3.角的两边有公共端点.
4.只有当角的顶点处只有一个角时,才可以用表示顶点的字母表示这个角.
5.用数字或希腊字母表示角时,要在角的内部靠近顶点处画弧线.
1.角的定义及表示方法.
2.角的度量.
3.角的度量单位及换算.
1.下列关于角的说法正确的个数是 ( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角的一边的延长线上取一
点D; ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:因为角是由两条具有公共端点的射线组成的图形,所以①错误;角的大小与角的两
条边的长短无关,所以②错误;角的两条边是射线,无法延长,所以③错误;④正确.故选A.
2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的图形是 ( )
解析:由角的表示方法可知B符合题意.故选B.
3.右图中,小于平角的角有 ( )
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
解析:由图形可知小于平角的角有∠BAC, ∠BCA, ∠ABC, ∠BAD, ∠CAD, ∠ACD,∠ADC,
∠BCD.故选D.
4.将一个周角平均分成360份,其中每一份是 °的角,直角等于 °,平角等
于 °.
答案:1 90 180
3 角
1.角的基本概念
角的表示方法
2.角的度量
3.角的进位制
1°=60' 1'=60″
一、教材作业
【必做题】
教材第117页习题4.3的1,2题.
【选做题】
教材第117页习题4.3的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.计算.
(1)15°30'5″= ″;
(2)7200″= '= °;
(3)0.75°= '= ″;
(4)30.26°= ° ' ″.
2.上午九点时分针与时针互相垂直,再经过 分钟后分针与时针第一次成一条直线.
3.如图所示,AB为一直线,O为AB上一点,OC,OD,OE是射线,则图中大于0°小于180°的角有
个.【能力提升】
4.已知两个角的差是36°,且它们的度数比是3∶2,则这两角的和是多少?
5.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=30°,求∠AOD.
6.如图所示,直线AB,CD相交于O,∠COE是直角,∠1=57°,求∠2.
【拓展探究】
7.如图所示,正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A,B,C,D把原正
方形分割成一些三角形(互相不重叠).
(1)填写下表:
正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … n
分割成的三角形的个数 4 6 …
(2)原正方形能否被分割成2012个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,
请说明理由.
【答案与解析】
1.(1)55805 (2)120 2 (3)45 2700 (4)30 15 36
4
2.16 (解析:分针每分钟转动6°,时针每分钟转动0.5°,设再经过a分钟后分针与时针第一次
11
4
成一条直线,则有6a+90 - 0.5a=180,解得a=16 .)
11
3.9(解析:按照找线段的方法,以一条射线为边,找出所有的角,再依次以下一条射线为边,直至
找全所有的角.以OA为一条边的有∠AOE,∠AOD,∠AOC,以OE为一条边的有∠EOD,∠EOC,∠EOB;
以OD为一条边的有∠DOC, ∠DOB;以OC为一条边的有∠COB.所以一共有9个角.)
4.解法1:设这两个角的度数分别为(3x)°和(2x)°,则根据题意列方程为(3x)° - (2x)°=36°,解方程得
(3 )
x=36,∴3×36°+2×36°=180°.解法 2:设这两个角的度数和为 x°,则这两个角分别为 x °和
5
(2 ) (3 ) (2 )
x °,根据题意列方程为 x ° - x °=36°,解方程得x=180,∴这两个角的和是180°.
5 5 55. 解 :∵∠ AOC=75°,∠ BOC=30°,∴∠ AOB=∠ AOC - ∠ BOC=75° - 30°=45°, 又
∵∠BOD=75°,∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°.
6.解:由图形可知∠AOB=180°,∠2=∠AOB - ∠1 - ∠COE=180° - 57° - 90°=33°.
7.解析:(1)有1个点时,内部分割成4个三角形;有2个点时,内部分割成4+2=6个三角形;那么
有3个点时,内部分割成4+2×2=8个三角形;有4个点时,内部分割成4+2×3=10个三角形;有n
个点时,内部分割成4+2×(n - 1)=(2n+2)个三角形.(2)令2n+2=2012,求出n的值.
解:(1)填表如下:
正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 … n
分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2n+2
(2)能.当2n+2=2012时,n=1005,即正方形内部有1005个点.
让学生观察具体的实物抽象出角的图形,通过学生画角,总结概括出角的概念;通过教具、
学具演示、操作以及课件的直观演示形成角的概念,在此基础上得出平角、周角的意义,水到
渠成,顺畅自然.在学习角的四种表示方法时,一方面对角的各种表示的特点进行阐述和讲解,
另一方面让学生去完成表示角的练习,利用学生出错的机会,让学生通过思维的碰撞,明确怎
样在具体的环境中选择最恰当的表示方法,发展学生运用几何语言进行交流的能力,这样学生
认识深刻,印象鲜明.特别是角的各种表示法的学习一定要重视,要反复练习,尤其是从一个顶
点出发的角不止一个时,一定要正确书写.
在自主探究时,由于放给学生的时间有点长,以至于在讲度、分、秒换算时有些仓促,学
生换算的格式没有过多纠正和通过练习强调与巩固.
角的概念与前面的线段相比较较为抽象,让学生通过观察现实生活中各种角的实例,逐步
形成角的概念.
随堂练习(教材第116页)
1.解:(1)在大门的北偏东 90°. (2)南偏东 0°(正南方向),北偏东 0°(正北方向);北偏东 50°.
(3)∠BOD,∠BOA,∠BOC,∠DOA,∠DOC,∠AOC. (4)∠BOD,∠DOA是锐角;∠DOC是钝角;∠BOA,∠AOC
是直角;∠BOC是平角.
2.解:(1) 0.25°=15'=900″. (2)2700″=45'=0.75°.
习题4.3(教材第117页)
1.解:如下表所示.
∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5
∠BCE ∠BCA ∠BAC ∠DAB ∠ABC
(1) (1) (5)
2.解:(1) °=7.5', °=450″. (2)6000″=100',6000″=100'= °.
8 8 3
3.提示:(1)30°,0°,120°,90°. (2)30°,6°. (3)115°. (4)略教法:观察法、情景教学法,在教学中要给学生充分的时间去观察图形和讨论,找出图形
中的角,能总结角的表示方法;教学开头和角的应用都应把学生引入相应的情景中,激发学生
学习的热情和信心.
学法:学生在学习过程中,要善于动手操作、认真观察和归纳总结,只有这样才能把认为
简单的问题理解和掌握,知道数学来源于生活,服务于生活.
如图所示,在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角?引两条射线OC,OD
呢?引三条射线OC,OD,OE呢?若引十条射线,一共会有多少个角?
解:引1条射线有2+1=3个角;引2条射线有3+2+1=6个角;引3条射线有4+3+2+1=10个
角;引10条射线有11+10+9+…+3+2+1=66个角.
4 角的比较
1.理解角的定义,掌握平角和周角的概念.
2.能够比较两个角的大小,利用特殊角估计一个角的大小.
3.理解并掌握角平分线的概念,进一步深化对角的认识.
使学生通过类比的方法,探讨比较两个角的大小的方法,经历比较角的大小的研究过程,
体会角的大小比较和线段长短比较方法的一致性.
1.通过利用三角板拼角,锻炼学生动手动脑能力,增加学生学习数学的兴趣.
2.通过角的比较的探索,培养学生之间的合作意识及创新精神.
【重点】 经历比较角的大小的研究过程,体会角的大小比较和线段长短比较方法的一
致性.
【难点】 会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
118~119导入一:
[过渡语] 大家喜欢爬山吗?当你到达山顶时,是不是有一种一览众山小、无限风光在险
峰、心旷神怡的感觉呢?(多媒体出示山的图片)其实,在学习上,成功永远属于肯攀登高峰的人.
观察这座山,你会选择从哪面上山呢?(演示山坡与平面所成的角),这两个角哪个大呢?今天我
们就一起来研究角的比较.(板书课题:4 角的比较)
[设计意图] 教师运用多媒体演示角的生活实例,充分利用学生的生活经验了解角的形
象.激发学生的学习兴趣,使学生进一步体会数学知识来源于生活,服务于生活.
导入二:
活动内容
(多媒体出示如图所示的图片)回顾小学认识的各种角?我们来通过动画演示它们的形成
过程,那我们又应该怎样比较两个角的大小呢?
[处理方式] 引导学生从坡度的大小认识到角的大小,学生积极思考老师提出的有关小
学学习的角的问题,积极地把这几种角进行排序.
导语:对于锐角、直角、钝角,我们很容易比较它们的大小,但当两个角的大小比较接近
而且没有标明度数的时候,就很难判断出它们的大小,本节课我们就来学习如何进行角的比较.
(板书课题:4 角的比较)
探究活动1 角的比较方法:度量法与叠合法
[过渡语] 锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系,那么一般的两个角(可能都
是锐角)如何比较它们的大小呢?
思路一
活动内容
借助前面我们学习的如何比较两条线段的长短的方法,你能比较下图中三组角的大小吗?
与同伴进行交流.
[处理方式] 以小组为单位,相互合作,共同探究.学生在比较角的大小的时候第(2)组两个
角的大小很快就比较出来了,但在第(1)组和第(3)组的结果上意见不是很统一.在学生回忆比
较线段长短的方法和观察三幅图的基础上明晰:如果两个角的大小相差很大,直接观察就可以
进行比较.如果直接观察难以判断,我们有两种方法进行比较:一种方法是用量角器量出每个
角的度数,再进行比较;另一种方法是将两个角叠合进行比较.讨论的结果.
方法一:用量角器度量他们的度数,再进行比较;
方法二:将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小,如
图(1)(2)(3)所示.图(1)∠AOB和∠CO'D相等,记作∠AOB=∠CO'D;图(2)∠AOB大于∠CO'D, 记作
∠AOB>∠CO'D;图(3)∠AOB小于∠CO'D,记作∠AOB<∠CO'D.
思路二
活动内容
(1)直接呈现问题:锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系,那么一般的两个角
(可能都是锐角)如何比较它们的大小呢?
(2)请同学们在准备好的纸片上任意画一个角,再与小组其他同学所画的角比较一下大小,
并按顺序排列,说说是怎样比较的.
[处理方式] (1)题引导学生采用类比的方法,探索得到角的比较方法.学生很容易总结出
角的比较有两种方法:一是测量法(利用量角器),二是叠合法.得到上述两种方法对学生而言是
比较自然的,教师继续通过下面的设问,帮助学生明晰.
师:使用叠合法比较角的大小必须注意哪些细节?角的大小与两边画出部分的长短是否
相关?
当然也有学生提出观察法,例如,有时两个角可以很明显地看出一个是锐角,一个是钝角,
那就可以使用观察法了.对于学生的这种想法,应给予鼓励.
对于(2)题,例如学生剪出的角有如下几种形状:
学生总结他们比较角的大小主要采取:①量出度数比较大小;②剪下来叠合比较;③根
据类别直接得到大小.共计三种方法.
通过该问题,教师及时总结角的比较有三种方法:①度量法;②叠合法;③归类估测法.
[设计意图] 本活动的设计意在通过类比,探索得到角的比较方法,体会数学思想在解决
问题中的用处,感受成功的快乐.
观察与思考:角的大小与角的两边画出的长短有关吗?
如图所示,角的大小与角的两边画出的长短没有关系.角的两边叉开得越小,角度就越小.
[设计意图] 本环节是让学生在经历了比较线段长短的过程后,类比可以知道,角的大小
可以通过直接观察、测量和叠合的方法比较大小,并会用符号语言来说明两个角的大小关系.
小试牛刀:根据右图,求解下列问题.
(1)比较∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE的大小,并指出其中的锐角、直角、钝角、平角;
(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小.
[处理方式] 先通过学生的思考判断出结果,然后再充分交流比较∠BOC和∠DOE的大小的方法.
[设计意图] 巩固比较角的大小的方法,并进一步丰富对锐角、钝角、直角、平角的认
识.
探究活动2 角的平分线
活动内容
在纸上画一个角并剪下,将它对折使其两边重合,折痕与角的两边所成的两个角的大小关
系怎样?
[处理方式] 先让学生在纸上画一个任意角,把角的两边重合,把折痕压出来,再用不同的
方法解释折痕两边的两个角的大小关系.
1 1
如图所示,因为∠BOD=∠AOD 或∠BOD= ∠AOB,∠AOD= ∠AOB ,所以射线OD平分∠AOB,
2 2
1
或者因为射线OD平分∠AOB,所以∠BOD=∠AOD= ∠AOB.
2
巩固练习
如图所示,∠AOB=130°,∠AOD=30°,∠BOC=70°.则:OC是∠AOB的平分线吗?OD是∠AOC的平
分线吗?为什么?
解:∵∠AOB=130°,∠AOD=30°,
∴∠DOB=100°.
又∵∠BOC=70°,∴∠DOC=30°.
∴∠AOC=60°,而∠BOC=70°,
∴∠AOC≠∠BOC,
故OC不是∠AOB的平分线.
∵∠DOC=30°,∠AOD=30°,
∴∠DOC=∠AOD,
∴OD是∠AOC的平分线.
[设计意图] 通过折纸的方式呈现角的平分线,从而引出角的平分线的概念及符号语言.
规范学生对角的平分线的使用,对角的平分线的几种表达方式也是反复进行训练,使学生尽快
掌握这一概念,熟练并能使用这一概念解题.
探究活动3 估计角的度数
活动内容
如图所示,(1)估计∠AOB,∠DEF的度数;
(2)量一量,验证你的估计.
[处理方式] 先让学生估计两个角的度数,并充分交流自己估计的方法.有些学生可能是
直接借助三角尺等工具进行估计,也可能是直接观察估计度数,在交流的基础上再让学生通过
测量验证自己的估计.
[设计意图] 进一步熟悉锐角、钝角的大小范围,学会估计角的大小,并由此明确角的大
小的估计方法也有多种,估计要做到有理有据,并不是盲目地去随意估计.
[知识拓展] 1.角的大小与它们的度数大小一致.
2.初中阶段所指的角都是小于平角的角,除非有特别说明.
3.可以借助旋转观点来研究角的分类问题,当一条射线绕着它的端点旋转时,角逐渐由小变大,依次形成锐角、直角、钝角、平角、周角.
1.比较两个角大小的方法有度量法、叠合法.
2.角的分类:(1)平角的一半是直角;(2)大于0°且小于90°的角叫锐角;(3)大于90°且小于
180°的角叫钝角;(4)锐角<直角<钝角.
3.角的平分线.
1.如图所示,在点子图中有三个角.
(1)先估计每个角的大小,再用量角器量一量;
(2)找出三个角之间的关系.
解:(1)两个钝角分别为135°,135°,锐角为45°.
(2)图中两个钝角相等,一个钝角和一个锐角的和为180°.
1
2.如图所示,OC是∠AOB的平分线,∠BOD= ∠COD,∠BOD=15°,则∠COD= ,∠BOC=
3
,∠AOB= .
解析:由题意可知,图中的等量关系为∠COD=3∠BOD,∠BOC=2∠BOD,∠AOB=2∠BOC.
答案:45° 30° 60°
3.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是(
)
A.35° B.55°
C.70° D.110°
解析:由题目中的已知条件可知∠BOC=2∠EOB=110°,所以∠BOD=180° - ∠COB=70°.故选C.
4.如图所示,(1)将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,求∠AOC+∠DOB.
(2)用一副三角板能画出15°的角吗?75°呢?使用一副三角板还能画出哪些度数的角?这些
角有什么特点?
解:(1)∠AOC+∠DOB的和等于两个直角的和,为180°.
(2) 能 . 因 为 15°=45° - 30°=60° - 45°,75°=30°+45°. 还 能 画 出
30°,45°,60°,90°,105°,120°,135°,150°,180°,360°等的角,这些角的度数都是15°的整数倍.
5.如图所示,O 是直线 AB 上的一点,OD 是∠AOC 的平分线,OE 是∠COB 的平分线,∠COD=28°,求∠EOB的度数.
解:由题意可知∠AOC=2∠COD=56°,
∴∠BOC=180° - ∠AOC=180° - 56°=124°,
1
∴∠EOB= ∠BOC=62°.
2
4 角的比较
1.角的比较方法:度量法、叠合法
2.角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角
3.角的平分线
4.估计角的大小
一、教材作业
【必做题】
教材第120页习题4.4的1,2题.
【选做题】
教材第121页习题4.4的4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,∠AOB ∠AOC,∠AOB ∠BOC(填“>”“=”或“<”);用量角器度量
∠BOC= ,∠AOC= ,所以∠AOC ∠BOC.
2.如图所示,∠AOC= + = - ;∠BOC= - =
- .
3.如图所示,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOC
C.∠AOD=∠BOC D.无法确定
1
4.已知OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC= ,则OC平分∠AOB;若OC是∠AOB的
2
平分线,则 =2∠AOC.
5.用一副三角板不能画出 ( )
A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角
【能力提升】
6.如图所示,BD平分∠ABC,BE分∠ABC为2∶5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
【拓展探究】7.如图所示,∠AOB是平角,OD,OC,OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线,请你补充一个条件,使
∠DOE=90°,并说明你的理由.
【答案与解析】
1.> > 20° 37° >(解析:角的比较可利用度量法或叠合法进行.)
2.∠AOB ∠BOC ∠AOD ∠COD ∠BOD ∠COD ∠AOC ∠AOB(解析:根据图形中的角的关
系可得.)
3.C(解析:由∠AOC=∠BOD可得∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,即∠AOD=∠BOC.)
4.∠AOB ∠AOB(解析:由角平分线的定义可以直接得到.)
5.C(解析:利用一副三角板可以画出度数是15°整数倍的角.故选C.)
6.解:设∠ABE=2x°,则∠CBE=5x°,由题可得2x+21=5x - 21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°.
7.解:OE平分∠BOC.理由:因为∠AOC+∠BOC=180°,OE平分∠BOC,OD是∠AOC的平分线,所以
2∠DOC+2∠EOC=180°,所以∠DOC+∠EOC=90°,所以∠DOE=90°.
本节课一开始就在创设的问题情景中让学生有目的地探索问题,自然地就把实际问题转
化为数学问题;紧接着,通过类比的方法,自然得到角的比较方法,并通过问题串和练习进行了
分析.课后反思本节课,发现在分析的过程中,将重心放在叠合法和角的意义的理解,其实根据
学生的水平,有条件的教师还可以引导学生感受测量法与叠合法有无异曲同工之处(测量其实
也是叠合——被测量的角与量角器的叠合).在接下来的教学过程中,注重动手实践和直观感
知与动手操作,让学生主动参与到课堂教学中来.
利用角平分线等性质进行有关角度数量关系的计算学生明显不太熟悉,在讲解时还有待
提高.
在不能使用多媒体的情况下,可以做一个角的模型(甚至可用圆规作代替,只是注意想象
与抽象成角),便可以利用它方便地组织教学.
随堂练习(教材第120页)
1.解:(1)两个钝角分别为135°,135°,锐角为45°. (2)图中两个钝角相等,一个钝角和一个锐角的
和为180°.
2.45° 30° 60°
习题4.4(教材第120页)
1.解:∠B=30°,∠E=60°,∠BAD=120°,∠DCE=90°,∠B<∠E<∠DCE<∠BAD.
2.解:∠α越来越小,∠β越来越大,∠α+∠β=180°.
3.解:能,因为75°=30°+45°,15°=45° - 30°=60° - 45°.还能画出105°,120°,135°,150°等的角.这些角
的度数都是15°的倍数.
4.解:(1)152°. (2)∠AOC=∠BOD,∠AOD=∠BOC,还会相等. (3)变大. (4)如图所示,∠EOF即为所
求.本课时的教学内容安排,展示大小不同的角的形成过程,激发学生兴趣,通过对角进行分
类而引出角的大小比较,由学生充分动手实践与合作交流,归纳角的比较的一般方法,最后凭
借对角平分线的认识发展学生的数学直觉,并在巩固练习和评价小结的基础上结束.很多涉及
角平分线的问题图形复杂,学生在这个阶段会出现识图障碍,所以要引导学生将复杂的图形解
剖,要么从已知条件入手重新画图且步步为营,要么在给出的图形上作明显的标注,也就是定
理、概念的基本图形要着重标注出来.教学中要始终遵循学生主动学习的原则,通过丰富的活
动让学生经历数学知识的形成与应用过程,采用多媒体辅助教学拓展学生的思维,同时注重培
养学生使用规范的数学语言进行交流.在具体的教学中可以参照教材创设的实际情景的意图,
结合当地的实际,创设新的学生更为熟悉的情景.
如图(1)所示,射线OC,OD在∠AOB的内部,且∠AOB=150°,∠COD=30°,射线OM,ON分
别平分∠AOD,∠BOC.
(1)若∠AOC=60°,试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小.
(2)如图(2)所示,将图(1)中的∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转.
①若旋转过程中∠MON的大小始终不变,求∠MON的度数;
②如图(3)所示,若旋转后OC恰好为∠MOA的平分线,试探究∠NOD与∠MOC的数量关系.
〔解析〕 (1)根据∠AOC=60°,∠DOC=30°,得出∠DOA,∠DOM 和∠MOC 的度数,再根据
∠AOC=60°,∠AOB=150°,得出∠BOC,∠NOC和∠NOD的度数,即可得出∠MOC=∠NOD;(2)①如图
1 1
(1)所示,按题意,∠MON=∠MOD+∠NOC - ∠COD= (∠AOD+∠BOC) - ∠COD= (∠AOB+∠COD) -
2 2
∠COD=60°,即∠MON=60°;②先令∠MOC=∠AOC=x,得出∠DOM=30° - x,求出x的值,即可求出
∠DOM,∠NOD和∠AOC的度数,进而可求出∠NOD与∠MOC的数量关系.
解:(1)∵∠AOC=60°,∠DOC=30°,
∴∠DOA=90°,∴∠DOM=45°,
∴∠MOC=45° - 30°=15°.
∵∠AOC=60°,∠AOB=150°,∴∠BOC=90°,
∴∠NOC=45°,∴∠NOD=45° - 30°=15°,
∴∠MOC=∠NOD.
(2)①∵OM平分∠AOD,ON平分∠BOC,
∴∠AOD=2∠AOM,∠BOC=2∠BON,
∴∠AOB=∠AOD+∠BOC - ∠COD=2∠AOM+2∠BON - 30°=150°,
∴∠AOM+∠BON=90°,
∴∠MON=150° - 90°=60°.
②∵OC为∠MOA的平分线,
∴设∠MOC=∠AOC=x,∠AOM=2x,∵∠COD=30°,∴∠DOM=30° - x,
∵OM平分∠AOD,
∴∠AOM=∠DOM=30° - x,∴30° - x=2x,
可得x=10°,则∠MOC=∠AOC=10°,
∠DOM=30° - 10°=20°,
∵∠AOB=150°,∴∠BOC=150° - 10°=140°,
∵射线ON平分∠BOC,∴∠CON=70°,
∴∠NOD=∠CON - ∠COD=70° - 30°=40°,
∴∠NOD=4∠MOC.
5 多边形和圆的初步认识
1.在具体情景中认识圆和多边形,掌握它们的描述性定义.
2.了解多边形与三角形的联系,即多边形可以分割成若干个三角形.
3.掌握圆弧、扇形、圆心角、对角线等概念.
1.经历从现实世界中抽象出平面图形的过程,感受图形世界的丰富多彩.
2.通过小组合作交流探究,在丰富的活动中发展学生有条理的思考和表达的能力.
1.从生活中的具体事物出发指导学生认识多边形和圆,使学生体会平面图形应用的广泛
性,感受数学与实际生活紧密相连.
2.通过分组讨论学习,体会在解决问题过程中与他人合作交流的重要性,培养学生的合作
意识.
【重点】 经历从现实世界中抽象出平面图形的过程,在具体的情景中认识多边形、圆、
扇形.
【难点】 探索分割平面图形的一些规律,感受图形世界的丰富多彩,养成把数学应用于
生活实际的习惯.
【教师准备】 圆规、绳子、多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P .
122~123
导入一:
请学生观看一组图片(扇环形窗户、蜂房、六角螺母的正面、建筑钢结构、一角硬币),
你发现了图片中哪些是你熟悉的平面图形?(多媒体展示)在我们生活的周围和上组图片中,我们很容易找到三角形、长方形、正方形、五边形、
六边形、扇形、圆等.我们把三角形、长方形、正方形、五边形、六边形这样的图形称为多
边形,这就是我们这节课共同研究的内容.(板书课题:5 多边形和圆的初步认识)
[处理方式] 教师让学生观察图片,完成学习任务,容易点燃学生发现的欲望,比较轻松引
出课题,开始一节图形神秘变幻之旅.
[设计意图] 从学生熟悉的事物抽象出平面图形,从而引出课题,不仅调动了学生学习的
兴趣,也激发了学生学习的热情.让学生感知到数学源于生活,数学就在我们身边,让学生经历
了从现实世界中抽象出平面图形的过程.
导入二:
[过渡语] 数学来源于生活,生活也离不开数学.请大家欣赏下面几幅图片,你能说出这些
建筑的名称吗?
生:(齐答)鸟巢、水立方、天坛.
师:从这些宏伟、漂亮的建筑中,你都发现了哪些数学图形?
生:有三角形、四边形、五边形、六边形、圆……
(课件演示:从建筑图片中抽象出平面图形)
师:这节课我们就来学习第四章第五节——多边形和圆的初步认识.(板书课题:5 多边形
和圆的初步认识)
[设计意图] 通过创设教学情景,让学生经历从现实世界中抽象出平面图形的过程,体会
数学学习的内容都是现实的、有趣的,让学生感受到数学就在我们身边.
探究活动1 探究多边形的有关概念
[过渡语] 既然三角形、六边形等都是多边形,你能用自己的语言描述它们的特征吗?这
些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的?
(教师用多媒体展示三角形、四边形、五边形、六边形图形如下图所示)
多边形:在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫
做多边形.(我们平常所说的多边形都是指凸多边形,即多边形总在任何一条边所在直线的同
一侧)
多边形的边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
多边形的顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
多边形的对角线:在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
如图所示,在多边形ABCDE中,点A、点B等是多边形的顶点;线段AB、线段BC等是多边
形的边;∠EAB,∠B等是多边形的内角;如线段AC、线段AD是多边形的对角线.
[处理方式] 出示几种简单的多边形,让学生寻找它们的共同特征,教师进一步提问:多边
形是什么样的图形?它是由什么组成的?学生解决问题后就能自然生成多边形的定义.对凸多
边形不应过分强调,也可用课件演示说明.[设计意图] 教学中注意引导学生经历从特殊到一般的过程,学会这种归纳的思想方法,
而多边形的边、顶点、对角线等概念结合图形让学生理解透彻.
探究活动2 探究多边形的边、角、对角线的关系
师:多边形的顶点、边、内角存在什么联系?观察下面的图形,回答问题.(多媒体演示)
(1)三角形有几个顶点?几条边?几个内角?四边形有几个顶点?几条边?几个内角?…n边形
呢?
(2)如下图,从四边形的一个顶点出发,可以画出几条对角线?从五边形的一个顶点出发,可
以画出几条对角线?六边形?…n边形呢?和同伴交流你的想法.
[处理方式] 让学生思考后回答.教师巡视指导,引导学生由四边形、五边形、六边形、
七边形一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,总结出n边形边数、顶点数、内角个
数和从一个顶点出发的对角线的条数.教师引导学生动手将图形分解与组合进行分类、计数.
[设计意图] 这组题目实际是对概念的应用,学生先动手画图,再观察讨论,得出结论,发表
不同意见.在活动中感悟知识的生成、发展与变化.在这一过程中让学生领悟做任何事情都要
勤于思考、善于发现规律.这里主要让学生感受图形的分解与组合,以及如何通过分解、组合
进行分类、计数等,体现了从特殊到一般的数学思想.
探究活动3 探究正多边形的定义
师:观察下图中的多边形,它们的边、角有什么特点?与同伴交流.
(提示学生利用教材的图形,通过动手如用尺子、圆规、量角器等测量工具操作,得到正
多边形的定义)
教师总结:
正多边形:在平面内,各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.如上图分别是正三角
形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形.
现实生活中有许多正多边形的实例,你能举出例子吗?(学生思考后回答)
[处理方式] 学生利用尺子、圆规、量角器等测量工具操作,这也是对线段的比较和角
的比较知识的进一步的复习,使学生学会探索,同时生成概念.
[设计意图] 学生通过观察概括出感知的图形特征,教师再加以总结形成概念,这个过程
有利于学生进行合作学习,有利于学生在实践中感悟知识的生成过程,发展学生有条理的思考
和语言表达能力.
探究活动4 探究和圆有关的概念
[过渡语] 下面的图形中有你们熟悉的图形吗?
圆:平面上,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A形成的图形叫
做圆(circle).固定的端点O称为圆心(center of a circle),线段OA称为半径(radius).
⏜
圆弧:圆上任意两点A,B间的部分叫做圆弧(arc),简称弧,记作
AB
,读作“圆弧AB”或“弧
AB”.
扇形:由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形.
圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
学生自学圆的有关概念,回答下列各题.(1)在平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一个端点形成的图形叫做
.固定的端点O称为 ,线段OA称为 .
(2)圆上任意两点A,B间的部分叫做 ,简称为 ,记作 ,读作
;由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做 ;顶点
在圆心的角叫做 ;一个圆,能分割成为 个扇形.
[处理方式] 教师出示图形,结合图形介绍圆的相关概念,让学生拿出准备好的绳子绕一
点旋转一周,体验圆和扇形的联系与区别,最后出示问题检验学生的理解情况.
[设计意图] 由于学生在小学接触了圆,对圆并不陌生,但是没有用数学语言形成定义,这
里用圆规或绳子演示,结合语言使学生理解定义,圆弧、扇形、圆心角的概念同样也要结合图
形,特别要强调圆弧和扇形的概念.
探究活动5 扇形的圆心角及面积的求法
(教材例题) 将一个圆分割成三个扇形,它们的圆心角的度数比为1∶2∶3,求这三个扇形的
圆心角的度数.
(学生独立解出,教师强调数值应加单位:度.教师板书.)
解:因为一个周角为360°,
所以分成的三个扇形的圆心角分别是:
1
360°× =60°;
1+2+3
2
360°× =120°;
1+2+3
3
360°× =180°.
1+2+3
议一议:
(1)如图所示,将一个圆分成三个大小相同的扇形,你能算出它们的圆心角的度数吗?你知
道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗?与同伴进行交流.
(2)画一个半径是2 cm的圆,并在其中画一个圆心角为60°的扇形,你会计算这个扇形的
面积吗?与同伴进行交流.
[处理方式] 学生先独立画图思考、计算,然后讨论交流,教师总结:扇形的面积与整个圆
的面积的比值=扇形的圆心角与整个周角的度数的比值.
[设计意图] 学生在活动中感悟知识的生成、发展与变化,这里主要让学生感受扇形的
面积与整个圆的面积的比值=扇形的圆心角与整个周角的度数的比值,体现了从特殊到一般
的数学思想.
[知识拓展] 1.n边形有n个顶点、n条边、n个内角(n为大于等于3的整数).多边形分
为正多边形和非正多边形,也可以分为凸多边形和凹多边形.在本章中如没有特别说明,都是
指凸多边形,即多边形总在任何一边所在直线的同一侧.
2.扇形面积占圆的面积的几分之几就是扇形的圆心角占整个周角的几分之几,扇形的面
积就等于该圆面积的几分之几.
1.多边形、正多边形、圆和扇形的定义.
2.多边形的顶点、角、对角线和多边形的边数的关系.
3.如何计算扇形的圆心角和扇形的面积.
4.本节课知识结构图:1.下列说法正确的是 ( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各角都相等的多边形是正多边形
C.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
D.顶点在圆周上的角叫圆心角
解析:正多边形的定义中两个条件缺一不可,圆心角的顶点应该在圆心.故选C.
2.某多边形从一个顶点出发连接所有的对角线,把这个多边形分成八个三角形,则这个多
边形是 边形.
解析:从一个顶点出发的对角线将多边形分为(n - 2)个三角形,故此多边形应是十边形.故
填十.
3.一个扇形的圆心角为144度,则该扇形的面积是整个圆面积的 .
144 2 2 2
解析:扇形圆心角占整个周角的 = ,则该扇形的面积是整个圆面积的 .故填 .
360 5 5 5
4.将一个圆分割成三个扇形,各扇形的面积比为2∶3∶5,则三个扇形圆心角的度数分别是
.
解析:根据扇形圆心角所占的比例可以求出三个扇形圆心角的度数分别是 72°,108°,180°.
故填72°,108°,180°.
5.半径为3 cm、圆心角为120度的扇形的面积是 .
解析:半径为3 cm的圆的面积为9π cm2,扇形面积占圆面积的三分之一,所以扇形的面积
为3π cm2.故填3π cm2.
5 多边形和圆的初步认识
1.多边形的有关概念.
多边形:在平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭的平面图形
叫做多边形.
多边形的边.
多边形的顶点.
2.圆的有关概念.
圆:平面上,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A形成的图形叫
做圆.
⏜
圆弧:记作
AB
,读作“圆弧AB”或“弧AB”.
扇形.
圆心角:顶点在圆心的角.
3.探求规律.
n边形有n个顶点,n条边,n个内角.
从n边形的一个顶点出发有(n - 3)条对角线.一、教材作业
【必做题】
教材第125页习题4.5的1,2题.
【选做题】
教材第125页习题4.5的3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果由多边形的一个顶点出发可以画出6条对角线,那么这个多边形的边数是( )
A.7 B.9 C.5 D.4
2.从一个n边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,若把这个多边形分割成6
个三角形,则n的值是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.如图所示,A部分的圆心角为150°,B部分的圆心角为135°,C部分的圆心角为45°,则D部分的
面积是圆面积的 ( )
1 1
A. B.
36 24
1 1
C. D.
12 6
4.已知扇形的圆心角为60°,半径为6,则扇形的面积为 ( )
A.24π B.12π C.6πD.2π
5.十边形有 个顶点, 个内角,从一个顶点出发可画 条对角线,能把这
个多边形分割成 个三角形.
【能力提升】
6.圆心角为90°的扇形面积与所对应圆面积的比值是 .
7.在一个圆中,一个扇形的面积占圆面积的40%,则这个扇形的圆心角为 .
8.半径为1的圆中,扇形AOB的圆心角为120°,则这个扇形的面积为 .
【拓展探究】
9.四边形共有几条对角线?五边形共有几条对角线?六边形共有几条对角线?…n边形呢?你是
怎么得到的?
【答案与解析】
1.B(解析:从n边形一个顶点出发可以画出(n - 3)条对角线,故选B.)
2.C(解析:从n边形一个顶点出发画对角线,可分割出(n - 2)个三角形,故选C.)
1
3.C(解析:D部分所占圆心角等于30°,占整个周角的 ,故选C.)
12
1
4.C(解析:圆的面积为36π,扇形面积占圆面积的 ,所以扇形的面积为6π.)
6
5.10 10 7 8(解析:十边形有10个顶点,10个内角,从一个顶点出发可画7条对角线,能把这
个多边形分成8个三角形.)
1 1
6. (解析:90°占整个周角的四分之一,所以扇形面积占对应圆面积的 .)
4 4
7.144°(解析:360°×40%=144°.)
π 1 1
8. (解析:圆面积为π,扇形面积占圆面积的 ,所以扇形面积为 π.)
3 3 3
9.解:四边形共有2条对角线;五边形共有5条对角线;六边形共有9条对角线;从n边形的一个
顶点出发,可以画出(n - 3)条对角线,共有n个顶点,共画出n(n - 3)条对角线,但是每条对角线n(n - 3)
算了两次,所以n边形共可以画出 条对角线.
2
本节课采用了由特殊到一般的规律,由简单到复杂的循序渐进的方式突破了难点;对正多
边形的概念的理解,主要是通过具体图形的认识进行的,强调边、角两个方面缺一不可,如长
方形虽然四个角都相等且是直角,但四条边是不相等的,因而不能叫做正四边形;对于扇形和
圆的关系中,求圆心角的度数也是在小学的基础上进一步的加深,学生也都能轻松学会,需要
说明的是让学生有了对知识的升华过程;本节课虽然概念多,知识点多,但由于大部分是对小
学知识的再认识,在此基础上进行了规范,使学生有了认识的提高过程,也为今后的学习奠定
了基础.
学生合作交流参与程度不高,教师对课堂的调控能力不够好,学生语言表达不规范,课上
时间分配不够合理,造成了前松后紧.
对于相关概念的教学,只是让学生看书获得,而对于概念产生的过程的理解、体验处理得
不够透彻,再教时还需要多方面挖掘课程资源,充实学生的情感体验.
随堂练习(教材第124页)
2.解:∠BOC=180°,∠AOB=72°,∠AOC=108°.
习题4.5(教材第125页)
1.解:(1)5条,分别是AC,AD,AE,AF,AG. (2)分割成6个三角形.
120 1 1
2.解:S = π×12= π.答:它的面积为 π.画图略.
扇形AOB
360 3 3
3.七边形.
复习题(教材第126页)
1.解:如图所示.
2.解:两点之间,线段最短.
3.解:(1)当∠DBA是锐角时,∠DBA<∠DBC. (2)当∠DBA是钝角时,∠DBA>∠DBC. (3)当∠DBA是
直角时,∠DBA=∠DBC.
4.解:∠EFC=45°,∠CED=60°,∠AFC=135°.
5.解:甲:360°×25%=90°.乙:360°×40%=144°.丙:360°×35%=126°.
1 2 3
6.解:甲:360°× =36°.乙:360°× =72°.丙:360°× =108°.丁:360°×
1+2+3+4 1+2+3+4 1+2+3+4
4
=144°.
1+2+3+4
7.解:两点确定一条直线.
8.解:(1)略. (2)正方形.如图所示.10.解:如图所示.连接AC,BD相交于点O,则点O即为所求.理由:两点之间线段最短.
教学中可以补充一些大自然产生(通俗意义上)的平面图形,这样一方面把生态环境融于
数学之中,让学生在学习数学的同时受到美的熏陶;另一方面可以让学生领略数学化的思想,
用数学眼光观察世界,从而通过想象的桥梁把形象思维和抽象思维的培养结合起来.
请用几何图形:一个三角形、两条平行线、一个半圆作为构件,尽可能多地构思
独特且有意义的图形,并写上一两句贴切、诙谐的解说词,如图就是符合要求的两个图形,你
还能构思出其他的图形吗?(三个图形都要用上且每个图形不可重复使用)
〔解析〕 可画成电灯加电线的形状.
解: 解说词:光明的使者.(答案不唯一)
1.在现实情景中认识线段、射线、直线、角、多边形、扇形、圆等简单的平面图形,了
解其含义及相关的性质.
2.会进行线段或角的大小比较及有关计算,会进行角的单位间的简单换算.
3.能用尺规作图作一条线段等于已知线段.1.经历观察、测量、折叠、模型制作等活动,发展空间观念.
2.经历在操作活动中探索图形性质的过程,了解简单图形的性质,发展有条理的思考与表
达能力.
1.培养学生自主学习,主动参与,主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相
激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.
2.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题的
能力,从而树立学习数学的信心.
【重点】 线段、射线、直线、角的概念及表示方法;线段、角的度量及大小比较;多边
形和圆的有关概念.
【难点】 运用有关的性质进行合理描述,并会解决实际问题;会根据图形的相关性质进
行有条理的思考和表达.
直线:两点确定一条直线
线段的比较方法:度量法、叠合法
{
{线段
性质:两点之间线段最短
线段的中点
射线:不可度量,向一方无限延伸
定义
{
角 度量单位:度、分、秒
直角、平角、周角
锐角<直角<钝角<平角
{
角的分类及比较方法 <周角
基本平面图形 度量法、叠合法
角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成
相等的两个角的一条射线
多边形的定义
{
多边形 相关概念:边、内角、对角线及其个数,正
多边形的定义
圆的定义
{
圆弧:圆上任意两点间的部分
圆 扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条
半径所组成的图形
圆心角:顶点在圆心的角
专题一 线段、射线、直线、角等基本概念
1.线段:线段有2个端点,线段可以比较大小和度量.
2.射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线,射线有1个端点,不能比较大小和度量.
3.直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线,直线没有端点,不能比较大小和度量.4.角:由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点.
【专题分析】
涉及本专题的内容主要有线段、射线、直线和角的有关概念,重点考查学生对基础知识
和基本技能的掌握情况.解题时注意读懂这些几何语句,抓住这些基本图形的共同特点及细微
差别.
判断下列说法是否正确,并简要说明理由.
(1)延长直线AB到C;
(2)延长射线OA到C;
(3)延长线段AB到C;
(4)延长线段AB到C与延长线段BA到C是一样的;
(5)角的两边越长,角越大.
〔解析〕 利用本章所学到的基本平面图形的定义及特征判断,注意各图形之间的区别.
解:(1)直线本身向两个方向无限延伸,不能延长,故说法错误.
(2)射线本身向一个方向无限延伸,只能反向延长,故说法错误.
(3)线段有两个端点,可向两方延长,所以说法正确.
(4)延长线段有两个方向,即两种情况,作出的图形是不一样的,故说法错误.
(5)角的两边是由射线组成的,角的大小与两边的长度无关,故说法错误.
〔解题策略〕 把握基本平面图形定义的实质,正确画出图形是解决此类问题的关键.
【针对训练1】 如图所示,C,D为线段AB上的任意两点,那么图中共有多少条线段?
〔解析〕 线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系,线段上
n(n - 1)
有n个点(包括线段两个端点)时,共有线段 条.
2
解:按照从左到右的顺序去数线段条数,以A为一个端点的线段有3条:AC,AD,AB;以C为一
个端点的线段(除了已经统计过的)有2条:CD,CB;以D为一个端点的线段(除了已经统计过的)
有1条:DB.所以共有线段3+2+1=6(条).
【针对训练2】 如图所示,在锐角∠AOB内部,画1条射线,可得3个锐角;画2条不同射
线,可得6个锐角;画3条不同射线,可得10个锐角;….照此规律,画10条不同射线,可得锐角
个.
〔解析〕 先探究一般规律:在锐角∠AOB内部,画1条射线,有1+2=3个锐角;画2条不同
射线,有 1+2+3=6 个锐角;画 3 条不同射线,有 1+2+3+4=10 个锐角;画 4 条不同射线,有
1+2+3+4+5=15个锐角;….所以在锐角∠AOB的内部,画10条不同射线,可得锐角的个数为:
1+2+3+…+10+11=66(个).故填66.
专题二 基本平面图形的重要性质
1.直线:经过两点有且只有一条直线.
2.线段:两点之间的所有连线中,线段最短.
3.设一个多边形的边数为n(n≥3,且为整数),从这个n边形的一个顶点出发,分别连接这个
顶点与n边形的其他各顶点(与这个顶点相邻的顶点除外),能够引(n - 3)条对角线,这些对角
线把n边形分成了(n - 2)个三角形.
【专题分析】
本章所涉及的几个重要性质要学会应用到生活实际中去,结合具体问题及生活实例用数
学知识给出合理的解释.
在修建高速公路时,有时需要将弯曲的道路改直,依据是 .
〔解析〕 根据线段的性质:两点之间线段最短解答.故填两点之间线段最短.
〔解题策略〕 注意直线和线段的性质应用时的区别.
【针对训练3】 植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线,这是运
用了性质: .〔答案〕 经过两点有且只有一条直线
专题三 线段和角的有关计算
线段的中点:一个点把一条线段分成相等的两条线段,这个点叫做这条线段的中点.
角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫
做这个角的平分线.
【专题分析】
线段长度的有关计算和角度的计算类似,在解题时多借助图形,利用线段或角的和差倍分
等等量关系计算,还要注意有没有多种情况,有时需要分类讨论.
已知线段AB=8 cm,在直线AB上画线段BC,使它等于3 cm,求线段AC的长.
解:本题分两种情况:如图(1)所示,当点C在线段AB的延长线上时,AC=AB+BC=8+3=11(cm);
如图(2)所示,当点C在线段AB上时,AC=AB - BC=8 - 3=5(cm).
所以线段AC的长为11 cm或5 cm.
【针对训练4】 如图所示,已知线段AB=80 cm,M为AB的中点,P在MB上,N为PB的中
点,且NB=14 cm,求线段AP的长.
〔解析〕 从图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,
所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可.
解:因为N是PB的中点,NB=14 cm,
所以PB=2NB=2×14=28(cm).
又因为AP=AB - PB,AB=80 cm,
所以AP=80 - 28=52(cm).
如图所示,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度
数.
〔解析〕 根据图形,结合已知条件,分别求出∠COM和∠CON的度数,然后将其相减,即可
求出∠MON的度数.
解:因为∠AOB=90°,∠BOC=30°,
所以∠AOC=90°+30°=120°,
又因为OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的平分线,
1 1
所以∠COM= ∠AOC= ×120°=60°,
2 2
1 1
∠CON= ∠BOC= ×30°=15°,
2 2
所以∠MON=∠COM - ∠CON=60° - 15°=45°.
【针对训练5】 如图所示,AB和CD都是直线,∠AOE=90°,∠3=∠FOD,∠1=27°20',求∠2,∠3
的度数.解:因为∠AOE=90°,
所以∠2=90° - ∠1=90° - 27°20'=62°40'.
又因为∠AOD=180° - ∠1=152°40',∠3=∠FOD,
1
所以∠3= ∠AOD=76°20'.
2
所以∠2=62°40',∠3=76°20'.
专题四 时针与分针的夹角问题
在钟表上,时针每转一大格为30度,这时分针转一圈,即1小时.时针每走过1分钟对应的
角度应为0.5°,分针每走过1分钟对应的角度应为6°.
【专题分析】
在计算时针与分针的夹角时,需要注意分针转动的同时,时针也发生了转动,注意两者之
间转动的等量关系.解决此类问题时要选择恰当的起始时刻,注意时针和分针同时在运动,并
30° 360°
牢记时针每分钟转= =0.5°,分针每分钟转 =6°.
60 60
如图所示,当时间分别为7:55和7:15时,计算时针与分针夹角的度数(不考虑大于
180°的角),你能总结出什么规律?
〔解析〕 依据常识,我们应该以时针、分针均指向12时为起始点进行计算.
解:当7:55时,分针在时针前面,我们可以先算出分针走过的角度,再减去时针走过的角度,
即可求出时针与分针夹角的度数.
分针走过的角度为:55×6°=330°.
时针走过的角度为:7×30°+55×0.5°=237.5°.
则时针与分针夹角的度数为:330° - 237.5°=92.5°.
当7:15时,分针在时针的后面,先算出时针走过的角度,再减去分针走过的角度,即可求出
时针与分针夹角的度数.
时针走过的角度为:7×30°+15×0.5°=217.5°,
分针走过的角度为:15×6°=90°,
则时针与分针夹角的度数为:217.5° - 90°=127.5°.
用字母和公式表示规律:
当时间为m点n分时,其时针与分针夹角的度数为:
(1)分针在时针前面:n×6° - (m×30°+n×0.5°);
(2)分针在时针后面:(m×30°+n×0.5°) - n×6°.
【针对训练6】 15:25时,钟面上时针和分针所构成的角是 度.
〔解析〕 起始时刻定为15:00(下午3点整时,时针和分针构成的角是90°),终止时刻为
15:25,分针从12转到5用了25分钟,转了6°×25=150°,时针转了0.5°×25=12.5°,所以15:25时钟
面上时针和分针所构成的角为150° - 90° - 12.5°=47.5°.故填47.5.
专题五 圆和扇形有关的计算
顶点在圆心的角是圆心角,扇形的面积占整个圆面积的多少等于扇形的圆心角占整个周
角的多少.
【专题分析】
扇形的圆心角计算时注意扇形面积占圆面积的百分比;扇形面积计算时要注意扇形圆心
角占整个周角的百分比.如图所示,若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1∶2.求这五个圆心角的
度数.
〔解析〕 用扇形圆心角所对应的百分比去乘360°,即可求出相应扇形圆心角的度数.
解:扇形AOB的圆心角度数为360°×15%=54°;
扇形BOC的圆心角度数为360°×25%=90°;
扇形COD的圆心角度数为360°×30%=108°;
1
扇形DOE的圆心角度数为(360° - 54° - 90° - 108°)× =36°;
1+2
2
扇形AOE的圆心角度数为(360° - 54° - 90° - 108°)× =72°.
1+2
【针对训练7】 在一个直径为6 cm的圆中,莉莉画了一个圆心角为120°的扇形,则这
个扇形的面积为 ( )
A.π cm2 B.2π cm2 C.3π cm2 D.6π cm2
〔解析〕 扇形圆心角占整个周角的三分之一,所以扇形面积占圆面积的三分之一.故选
C.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.直线AB与直线BA是两条直线
B.射线AB与射线BA是两条射线
C.直线AB与直线a不可能是同一条直线
D.线段AB与线段BA是两条线段
2.下列语句中正确的是( )
A.延长直线AB
B.延长线段AB至C,使BC=2AB
C.延长射线OA
D.延长线段AB至C,使AC=BC
3.已知A,B两点之间的距离是8 cm,C是线段AB上的任意一点,则AC中点与BC中点间的距离
是( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.不能计算
4.两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,…,那么六条
直线最多有 ( )
A.21个交点 B.18个交点
C.15个交点 D.10个交点
1
5.已知α,β都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算 (α+β)的结果依次是28°,48°,60°,88°,其中只有
6
一人计算正确,他是 ( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
6.如图所示,B是线段AD的中点,C是BD上一点,则下列结论中错误的是 ( )
1
A.BC=AB – CD B.BC= AD - CD
2
1
C.BC= (AD - CD) D.BC=AC - BD
2
7.小红家买了一套住房,她想在自己房间的墙上钉一根细木条,挂上自己喜欢的装饰物,那么要
使木条固定,至少需要钉子 ( )A.1根 B.2根 C.3根 D.4根
8.如图所示,小明从家到学校有①②③三条路可走,每条路的长分别为a,b,c,则 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.a=b>c D.a=bb D.不能确定
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.已知线段AB=10 cm,BC=5 cm,A,B,C三点在同一条直线上,则AC= .
12.如图所示,OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=42°,∠BOC=5°,则∠AOD= .
13.如图所示,线段AB=BC=CD=DE=1 cm,那么图中所有线段的长度之和等于 cm.
14.一条直路上立有10根距离相等的标杆,一名学生匀速地从第1根标杆向第10根标杆行走,
当他走到第6根标杆时用了6.5 s,则当他走到第10根标杆时所用的时间是 .
15.平面上有三个点,最多可确定 条直线、 条线段、 条射线.
16.平面内三条直线两两相交,最多有a个交点,最少有b个交点,则a+b= .
17.计算:3.76°= ° ' ″;22°32'24″= °.
18.如图所示,点O是直线AD上一点,射线OC,OE分别是∠AOB,∠BOD的平分线,若∠AOC=25°,则
∠COD= ,∠BOE= .
三、解答题(共58分)
19.(8分)如图所示,已知线段a,b,c,用圆规和直尺画线段,使它等于a+2b - c.(保留作图痕迹)20.(8分)如图所示,C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,已知图中所有线段的长度之和为
39,求线段BC的长.
21.(12分)已知线段AB=10 cm,试探讨下列问题:
(1)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于8 cm?
(2)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于10 cm?若存在,它的位置唯一吗?
(3)当点C到A,B两点的距离之和等于20 cm时,点C一定在直线AB外吗?举例说明.
22.(10分)如图所示,从AB上一点O任意引一条射线OC,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线,
求∠DOE的度数.
23.(10分)如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=97°,∠1=40°,求∠2和∠3的度
数.
24.(10分)小张升入高中,开学第一天,老师让班级的同学每两个人相互握手,结成好朋友,其中
发现所有的同学一共握手820次(每两个同学握手算一次).我们可以通过这个数据求出班级
里的学生人数,设班级共有学生n人,则每一个学生需握手(n - 1)次,这样n个学生就握了n(n -
n(n - 1)
1)次手,而每两人之间的握手被重复计算了一次,所以可得 =820,这样就可以解出
2
n了.你看明白了么?
(1)请你运用上述方法探索8边形对角线的条数,并写出你的思路;
(2)请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式.
【答案与解析】
1.B(解析:射线AB与射线BA是两条射线,由射线的表示方法可知,故选B.)
2.B(解析:直线不能延长,射线只能反向延长,故A与C不正确;延长线段AB至C,使AC=BC,不符
合题意.故选B.)
1
3.B(解析:∵AC+BC=AB,∴AC的中点与BC的中点间的距离= AB=4 cm,故选B.)
2
n(n - 1)
4.C(解析:由题意,得n条直线交点的个数最多为 (n取正整数且n≥2),故6条直线
2
6×(6 - 1)
最多有 =15个交点.)
2
1
5.B(解析:∵大于90°且小于180°的角叫做钝角,∴90°<α<180°,90°<β<180°,∴30°< (α+β)<60°,∴满
6
足题意的角度只有48°,故选B.)
1
6.C(解析:∵B是线段AD的中点,∴AB=BD= AD.A,BC=BD - CD=AB - CD,故本选项正确;B,BC=BD
2
1
- CD= AD - CD,故本选项正确;D,BC=AC - AB=AC - BD,故本选项正确.只有C选项是错误的.)
2
7.B(解析:根据直线的性质,小红至少需要2根钉子才能使细木条固定.故选B.)
8.C(解析:由图可知a,b相等,由两点间线段最短可知c最小.故选C.)9.D(解析:360°×(1 - 70.8% - 16.7%)=45°.故选D.)
10.A(解析:设甲走的半圆的半径是R,则甲所走的路程是:πR.设乙所走的两个半圆的半径分别
是:r 与r ,则r +r =R.乙所走的路程是:πr +πr =π(r +r )=πR,因而a=b,故选A.)
1 2 1 2 1 2 1 2
11.5 cm或15 cm(解析:本题有两种情形:(1)当点C在线段AB上时,如图(1)所示,有AC=AB -
BC,∵AB=10 cm,BC=5 cm,∴AC=10 - 5=5(cm);(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图(2)所示,有
AC=AB+BC,∵AB=10 cm,BC=5 cm,∴AC=10+5=15(cm).故AC=5 cm或15 cm.)
12.79°( 解 析 :∵OM 平 分 ∠ AOB,ON 平 分
∠ COD,∴∠ AOM=∠ BOM,∠ CON=∠ DON.∵∠ MON=42°,∠ BOC=5°,∴∠ MON - ∠ BOC=37°, 即
∠BOM+∠CON=37°.∴∠AOD=∠MON+∠AOM+∠DON=∠MON+∠BOM+∠CON=42°+37°=79°.)
13.20(解析:因为长为1 cm的线段共4条,长为2 cm的线段共3条,长为3 cm的线段共2条,
长为4 cm的线段仅1条,所以图中所有线段长度之和为1×4+2×3+3×2+4×1=20(cm).)
14.11.7 s(解析:从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔,因而行进每个间隔需6.5÷5=1.3(s).而
从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔,所以行进9个间隔共用1.3×9=11.7(s).)
15.3 3 6
16.4(解析:∵平面内三条直线两两相交,最多有3个交点,最少有1个交点,∴a+b=4.)
17.3 45 36 22.54
18.155° 65°(解析:∵∠AOC+∠COD=180°,∠AOC=25°,∴∠COD=155°.∵OC 是∠AOB 的平分线,
∠AOC=25°,∴∠AOB=2∠AOC=2×25°=50°,∴∠BOD=180° - ∠AOB=180° - 50°=130°.∵OE是∠BOD的
1 1
平分线,∴∠BOE= ∠BOD= ×130°=65°.)
2 2
19.解:如图所示.
20. 解 : 设 CD=x, 则 AC=BC=2x,AD=3x,AB=4x,BD=x.∵ 所 有 线 段 长 度 之 和 为
39,∴x+2x+2x+3x+4x+x=39,解得x=3.∴BC=2x=6.答:线段BC的长为6.
21.解:(1)不存在. (2)存在,位置不唯一. (3)不一定,也可在直线AB上,如图所示,线段AB=10
cm,AC=5 cm.
22. 解 :∵OD 平 分 ∠ AOC,∴∠ AOD=∠ COD,∵OE 平 分
∠BOC,∴∠COE=∠BOE,∵∠AOC+∠BOC=180°,∴∠AOD+∠DOC+∠COE+∠BOE=180°,∴2∠DOC+2∠COE=
180°,即2(∠DOC+∠COE)=180°,∴∠DOC+∠COE=90°,即∠DOE=90°.
23. 解 :∵∠ FOC=97°,∠ 1=40°,AB 为 直 线 ,∴∠ 3=180° - ∠ FOC - ∠ 1=180° - 97° -
1
40°=43°.∵∠3+∠AOD=180°,∴∠AOD=180° - ∠3=137°.∵OE平分∠AOD,∴∠2= ∠AOD=68.5°.
2
8×(8 - 3)
24.解:(1) =20(条).答:8边形对角线的条数是20. (2)从n边形的每一个顶点出
2
发,可以画(n - 3)条对角线,n 个顶点就有 n(n - 3)条,而每一条又重复了一次,所以有
n(n - 3)
条.
2
