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第一章 三角形的证明
第一节 等腰三角形
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·河南新乡·八年级统考期中）若等腰三角形中有一个角等于 ，则这个等腰三角形顶角的度
数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分两种情况：当等腰三角形的一个底角等于 时，当等腰三角形的顶角等于 时，分别进行计
算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的一个底角等于 时，则另一个底角也等于 ，
等腰三角形的顶角 ；
当等腰三角形的顶角等于 时，
综上所述：这个等腰三角形顶角的度数为 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．
2．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个等腰三角形全等 B．周长相等的两个等腰三角形全等
C．面积相等的两个直角三角形全等 D．周长相等的两个等边三角形全等
【答案】D
【分析】利用三角形全等的判定方法分别进行判断即可．
【详解】解：A、面积相等的两个等腰三角形不一定全等，所以该选项不符合题意；
B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以该选项不符合题意；
C、面积相等的两个直角三角形它们不一定全等，所以该选项不符合题意；
D、周长相等的两个等边三角形可以由“边边边”判定全等，所以该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 、 、 、 、
．注意： 、 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B
均在格点上，在图中给出的 、 、 、 四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断等腰三角形，然后计算等腰三角形的面积，进而作出判断．
【详解】解：根据图形可知 ， 是等腰三角形，
则 ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积计算方法是解决问题
的关键．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为
（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．14或22
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，判断出腰和底边，再进行计算即可．【详解】解：当等腰三角形的腰长为 时， ，三边构不成三角形，不符合题意；
∴等腰三角形的腰长为 ，
∴它的周长为 ；
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系．利用三角形的三边关系，判断出等腰三角
形的腰长和底边长，是解题的关键．
5．（2022秋·陕西延安·八年级统考期中）如图，上午9时，一艘轮船从海岛A出发，以25海里/时的速度
向正北方向航行，11时到达海岛B处，C处有一灯塔，测得 ，则B，C间的距
离为（ ）
A．25海里 B．35海里 C．45海里 D．50海里
【答案】D
【分析】由上午 时，一条船从海岛 出发，以 海里的时速向正北航行， 时到达海岛 处，可求得
的长，又由 ，可得 ，即可证得 ，则可得从海岛 到
灯塔 的距离．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ (海里)．
故选D
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等角对等边是解题的关键．
6．（2022秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，已知等边三角形 的周长为a， ，
则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得出 ， ，再由含30度角的直角三角形
的性质求解即可．
【详解】解：∵等边三角形 的周长为a， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用这两个性质是解
题关键．
二、填空题
7．（2022秋·湖南长沙·八年级校考期中）等腰三角形的一个角为 ，则它的顶角为______．
【答案】 或
【分析】分 的角为顶角和底角两种情况讨论即可作答．
【详解】解：当 的角为底角时，此时顶角为 ；
当 的角为顶角时，此时顶角为 ；
即该三角形的顶角为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的知识，主要分类讨论是解答本题的
关键．
8．（2022秋·江苏盐城·八年级校联考期中）如图， 是边长为8的等边三角形，D是 上一点，
， 交 于点E，则线段 _____．【答案】2
【分析】在 中，求出 即可解决问题．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识．
9．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）将两个直角三角形如图放置，其中 ，
， ， ， 与 交于点 ，则 _____．
【答案】 ##120度
【分析】先证明 是等边三角形，再根据平角的定义求出 的度数，再根据三角形内角和定理求
出结果．
【详解】解： ， ，
是等边三角形，
，
，，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明 是等边三角形是解题的关
键．
10．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，已知 是等边三角形，点 是 上任意一点， ，
分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则 的值为_____．
【答案】2
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，根据 ，可得 的值．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，等边三角形的高为2，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·广东惠州·统考一模）如图，在 中， 为 延长线上一点，且 交
于点F．
求证： 是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据等边对等角得出 ，再根据 ，得出 ， ，从而
得出 ，再根据对顶角相等得出 ，最后根据等角对等边即可得出答案．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明 ，注意等边对等角，以及
等角对等边的使用．
12．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期末）如图， 为 的角平分线，且 ，E为 延长线
上的一点， ．求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由 为 的角平分线得到 ，然后结合 、 得证
；
（2）先由 得到 ，再由 得到 ，进而结合 得
到 ，然后结合 得到 ，最后由 得到
，进而得到 ．
【详解】（1）证明：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）∵ 为 的角平分线， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是由题目条件得证
．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，四边形 中， ， ， ， ，
其中 ，则四边形 的面积是________．
【答案】 ##
【分析】连接 ，根据勾股定理计算出 长，根据 确定 为等腰三角形，根据等腰三角
形的性质，求出底边上的高，然后再求出面积，利用 和 的面积求和即可．
【详解】解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中根据勾股定理得：，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股
定理和三角形全等的性质．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知等边 的两个顶点的坐标为 ， ，则点C的坐
标为__．
【答案】 或
【分析】作 于H，根据点A和B的坐标，得 ．根据等腰三角形的三线合一的性质，得
，再根据勾股定理求得 ，从而写出点C的坐标．
【详解】解：作 于点H．
∵ ， ，
∴ ．∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
同理，当点C在第二象限时， ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、勾股定理、点的坐标等知识，数形结合是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在边长为4的等边 中，D为 的中点，E是
边上一点，则 的最小值为_____．
【答案】
【分析】作B关于 的对称点 ，连接 、 ，交AC于E，此时 ，根据两
点之间线段最短可知 就是 的最小值．
【详解】解：∵ 关于 的对称，
∴ 互相垂直平分，
∴四边形 是平行四边形，
∵等边三角形 是边长为2，
∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ， ， ，
作 的延长线于G，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ．
故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查轴对称，作出辅助线转化为两点之间线段最短是解题的关键．
4．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图：在 中， ， ， ， 为射
线 上一点，且与A、B两点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为_________．
【答案】 或 或2
【分析】根据勾股定理和等腰三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
是等腰三角形，
或 或 ，
当 时， ，
，
；
当 ，；
当 时，
则 ，
，
，
，
，
综上所述，等腰三角形的面积为4或 或17，
故答案为：4或 或17．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质是解
题的关键．
5．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在四边形 中，点C为 边上一点．
， ，点M为 中点．连 ， ，分别交 ， 于G．H两
点下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结
论是____________．【答案】①②③
【分析】由“ ”可证 ，可得 ， ，可证 ，故
①正确；由“ ”可证 ，可得 ， ，可证 是等腰直角三角
形，故②正确；由②及①可得③正确；从题干条件无法得出 的条件，故④错误；即可求
解．
【详解】解： ，
，
，
又 ，
∴ ，
， ，
，故①正确；
如图，连接 ，
， ，点 是 的中点，
， ，
∵ ，
，
又 ，
∴ ，
， ，故②正确；
，
，
是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
由②可知在 中， ，所以 ，
∴ 和 不会全等；故④错误；
故答案为①②③
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三
角形全等是解题的关键．
二、解答题
6．（2021秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在四边形 中， 交 与E，交
于F， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的度数为
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，再根据 ，则可证明
，进而可得出结论；
（2）证明 可得 ，则 ，进而可求得解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，灵活运用所学
知识求解是解决本题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，在 中， ， ，延长 至 ，恰好使得
， ．
(1)求： 的度数；
(2)求证： 为等边三角形．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得 ，再根据等腰三角形的两个底角相等以及
三角形的外角性质解答即可；
（2）因为在 中， ，所以欲证等边三角形，只需证明 ．
【详解】（1）解：在 中， ，，
， ，
， ，
是 的外角，
，
设 ，则 ，
，
在 中，
，
即： ，
，
故 ；
（2）由（1）得， ，
，
是等边三角形
【点睛】本题考查等边三角形的判定及等腰三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形
边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求
角的度数．
8．（2022秋·全国·八年级期末）如图1，分别以 的两边 为边作 和 ，使得
．
(1)求证： ；
(2)过点A分别作 于点F， 于点G，
①如图2，连接 ，请判断 的形状，并说明理由；
②如图3，若 与 相交于点H，且 ，试猜想 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)① 是等腰三角形，理由见解析；② ，理由见解析
【分析】（1）根据 ，可得 ，可证得 ，即可；
（2）①根据 ，可得 ，可证得 ，从而得到 ，即可；
②证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ，
再得到 ，可得 ，从而得到 ，进而得到
，则有 ，即可 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：① 是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；②解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
