文档内容
1.1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
教学内容 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 课时 1
1.通过探究、归纳、验证等方法证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的
三角形是等腰三角形，会用此定理解决相关的简单的几何问题；
核心素养
2.通过反证法培养学生的逆向思维方法；
目标
3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明
过程及其表达的合理性.
1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；
知识目标 2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；
教学重点 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.
教学难点 掌握等腰三角形的判定定理及其运用.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船 设计意图：通过实际例子
接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 引出本节课讨论的问题，
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不 充分调动学生学习的兴
能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？ 趣.
师生活动：让学生自主探究，举手回答问题
（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）
复习回答：
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
设计意图：检测学生对上
节课内容的掌握情况，为
引出等腰三角形的判定定
理埋下伏笔.
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：等腰三角形的判定
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过
来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
设计意图：中这里应引导
学生养成“反过来”思考
回顾导入： 问题的意识，即思考一个
命题的逆命题的真假，因
1为这也是获得数学结论的
一条重要途径，同时，这
样设置问题也为学生下一
节学习互逆命题做个铺
垫，
建立数学模型：
设计意图：由浅入深，引
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对
导学生将实际问题转化为
的边 AB 和 AC 有什么数量关系?
数学问题，培养数形结合
思想.
方法思考：
①作高 AD 可以吗?
设计意图：学生通过观
②作角平分线 AD 呢?
察、思考、证明、归纳等
③作中线 AD 呢?
腰三角形的判定方法，培
养学生的证明能力，体会
师追问：你能验证你的结论吗？
解决等腰三角形问题的常
用辅助线是作等腰三角形
证明：过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
底边上的高线、顶角的
在 △ABD 与 △ACD 中，
角.
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB = AC.
学生可能会由前面定理的证明获得启发，如
作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的
高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这
三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两
个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，
也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推
理的公理化思想的机会，教师应注意引导，教学
中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
应用格式：
在△ABC 中，∵∠B =∠C，
∴ AB = AC (等角对等边).
辨一辨：如图，下列推理正确吗?
∵∠1 = ∠2 ，
∴ BD = DC(等角对等边).
2∵∠1 =∠2 ，
∴ DC = BC(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
典例精析
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD
与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
知识点二：反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角
设计意图：给学生独立思
不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认
考时间，再讨论交流，教
为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗?
师要适当引导，进一步规
范学生推理过程的书写.
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用
正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反
证法并出示小明的解题过程.
小明是这样想的：
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可
得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
你能理解他的推理过程吗?
师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结
反证法的证明步骤.
反证法概念： 在证明时，先假设命题的结论不成
立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已
证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定
成立，这种证明方法称为反证法．
3用反证法证题的一般步骤：
1. 假设：先假设命题的结论不成立；
2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方
法，得出 与定义、公理、已证定理或已知条件相
矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯
定命题的结论正确.
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个
角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直
角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定
结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”
不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个
角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下
去，找出矛盾．
三、当堂
练习，巩
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直
固所学
角，
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
三、当堂练习，巩固所学
1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C
= 72°，
①∠1 = °，
∠2 = °；
② 图中有 个等腰三角形；
③ 若 AD = 4 cm，
则BC = cm；
④ 若过点 D 作 DE∥BC ，交 AB 于点 E ，则
图中有 个等腰三角形.
设计意图：通过例2，让
学生初步感受反证法的证
明思路与书写的过程，体
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分线 BD， 会反证法的证明与作用.
CE 相交于点 O.
求证：△OBC 为等腰三角形.
43.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知：直线 l，l，l 在同一平面内，且 l∥ l
1 2 3 1 2
，l 与l 相交于点 P.
3 1
求证：l 与 l 相交.
3 2
证明：假设______________，
那么________.
因为已知_________，
所以过直线 l 外一点 P，有两条直线和 l 平
2 2 设计意图：通过设置课堂
行，
检测，及时获知学生对所
这与 “________________________________
学知识的掌握情况，在问
__________” 矛盾.
题的选择上以基础为主，
所以___________，即求证的命题正确.
灵活运用所学知识解决问
题，巩固新知.
等腰三角形的判定与反证法
板书设计 等腰三角形判定定理：等角对等边
反证法：先假设命题结论不成立.
课后小结
5本节课的重点是等腰三角形的判定方法，它把三角形中角的相等关系转
化边的相等关系，是证明两条线段相等的重要方法，此方法为证明线段相等
又提供了一种方法. 在整个教学过程中，教师应关注学生所出现的问题，倾听
教学反思
和参与小组的讨论，鼓励有困难的学生积极参与到课堂中来，鼓励组内的成
员帮助他们一起去发现问题，解决问题，教师也可以适时指导. 在教学中，教
师应找准介入点，以问题为主线，引导学生思考，突破知识重难点.
6
