文档内容
第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第 4 课时 多边形的外角和
【素养目标】
1. 探索多边形的外角和公式， 进一步发展简单推理的意识及能力。 (重点)
2. 会用多边形的外角和公式解决相关问题。 (难点)
【情境导入】
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。
(1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪
个角？在图上标出这些角。
(2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与
同伴进行交流。
【合作探究】
探究点、多边形的外角和
【知识要点】
多边形内角的一边与另一边的反向延长
线所组成的角，叫作这个多边形的外角。如
图所示。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，
它们的和叫作这个多边形的外角和。
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角。
问题1: 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
第 1 页问题2: 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
问题3: 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形， 那么结果会怎样？
思考：n边形的外角和又是多少呢？
定理 多边形的外角和都等于_______.
问题4: 回想正多边形的性质，你知道正n边形的每个内角是多少度吗？ 每个外
角呢？
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7 : 2, 求这个多边形的边数。
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60∘ ，求这个多边形的每个
内角的度数及边数。
第 2 页【练一练】
如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24∘ ，再沿直线
前进 10 米，又向左转 24∘, ，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，
走的路程一共是________米。
第 3 页当堂反馈
1.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.内角和与外角和相等的图形是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3.如图，在五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3 分别是∠BAE，
∠AED，∠EDC的外角。若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2的度数是_______.
第3题图 第4题图
4.经过多边形一个顶点共有5条对角线，若这个多边形是正多边形，则它的每
一个外角是________度。
5.如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是_____.
6.已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的
度数为_______.
7.李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数
1
比一个内角度数的 多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度
5
数和它的边数。
第 4 页参考答案
探究点、多边形的外角和
问题1: 互补 问题2: 5×180∘=900∘
问题3: 五边形的外角和= 5个平角和-五边形内角和
=5×180∘−(5−2)×180∘=360∘ .结论：五边形的外角和等于 360∘ .
【想一想】6×180∘−(6−2)×180∘=360∘
8×180∘−(8−2)×180∘=360∘
思考： n 边形的外角和= n个平角和−n边形的内角和
= n×180∘−(n−2)×180∘= 360∘. 定理 多边形的外角和都等于 360∘ .
(n−2)×180∘ 360∘
问题4: 每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 .
n n
例1 解： 设这个多边形是n边形，则它的内角和等于 (n−2)×180∘ ，外角和等
于 360∘ .根据题意，得 (n−2)×180 = 3×360∘，解得n = 8 .所以，这个多
边形是八边形。
例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7 : 2, 求这个多边形的边数。
解法一： 设这个多边形的内角为 7x∘ ，外角为 2x∘ ,
根据题意得 7x+2x =180 , x = 20 .即每个内角是 140∘ ，
每个外角是 40∘ .360∘÷40∘=9.答： 这个多边形的边数是 9 .
180(n−2) 7
解法二： 设这个多边形的边数为 n ，根据题意得 =
360 2
解得 n = 9 .答： 这个多边形的边数是 9 .
【变式题】解： 设该正多边形的内角是 x∘ ，外角是 y∘ ,
{y−x = 60, {x = 60,
则得到一个方程组 解得
x+y = 180, y = 120,
而任何多边形的外角和是 360∘ ，则该正多边形的边数为 360÷120=3 .
故这个多边形的每个内角的度数是 60∘ ，边数是 3 .
【练一练】 150 米。
当堂反馈
1. C. 2. B. 3. 88° .
4. 45度. 5. 300°. 6. 60°.
1
7.解：设这个正多边形的一个内角的度数是 x°，则x＋ x＋12＝180，
5
解得x＝140.
∴ 这个正多边形的一个内角的度数是140°，
一个外角的度数是180°－140°＝40°.
第 5 页360°
∴ 这个正多边形的边数是 ＝ 9.
40°
第 6 页
