文档内容
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 1 讲 最完美的图形（上）
例题练习题答案
例1 【答案】62.8米，62.8米
2π ×5 ×2 = 62.8
【解析】小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是 （米）．无论小
圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆的直径，那么它们的周长
之和就等于大圆的周长．
练1 【答案】62.8厘米
(1 +2 +3 +4)×3.14×2 = 62.8
【解析】 （厘米）．
例2 【答案】6.28平方厘米
28.26÷3.14 = 32
【解析】 ，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为
28.26−7 ×12×3.14= 6.28
（平方厘米）．
练2 【答案】6.28平方厘米
【解析】圆的面积是12.56平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1厘米，面积
12.56−3.14−3.14 = 6.28
是3.14平方厘米．余下的纸板的面积是 （平方厘米）．
例3 【答案】（1）4平方厘米；（2）4.56平方厘米；（3）8平方厘米
【解析】（1）割补法，如图，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形
4 ×4 ÷2 ÷2 = 4
面积的一半．即 （平方厘米）；
（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼
1 1
×4 ×4 ×3.14− ×4 ×4 = 4.56
成一个完整弓形，面积为 （平方厘米）；
4 2
（3）割补法，正好是把第二问的过程反过来，如图，把两个小弓形补到空白部分，阴影
4 ×4 ÷2 = 8
部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即 （平方厘米）．
练3 【答案】8平方厘米
【解析】如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于
4 ×4 ÷2 = 8
4厘米，所以面积为 （平方厘米）．例4 【答案】4.71平方厘米
【解析】图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一
个圆心角为60°的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积，即
1
×π ×32 = 4.71
（平方厘米）．
6
练4 【答案】9.42平方厘米
【解析】图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一
30o 30o
个圆心角为 的扇形面积之和。因此阴影部分的面积与圆心角为 的扇形面积是相同
1
×π ×62 = 9.42
的，都是 （平方厘米）．
12
挑战极 【答案】24
限1 【解析】整体减空白计算阴影部分面积，根据三角形的三边长可知是直角三角形，三个半圆的半径
6 ÷2=3 8 ÷2=4 10 ÷2=5
分 别 为 ： ； ； ， 整 体 面 积 =
1 1 1
π ×32+ π ×42+6×8 ÷2=12.5π +24 π ×52=12.5π
，空白部分面积= ，则
2 2 2
阴影部分就等于三角形的面积，即24．
挑战极 【答案】4.56
限2 【解析】把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的
1
×π ×42 −4 ×4 ÷2 = 4.56
面积减去圆中正方形的面积 ．
4
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 1 讲 最完美的图形（上）
自我巩固答案
1 【答案】31.4
r2 = 78.5÷3.14 = 25 r = 5 C = 2 ×3.14×5 = 31.4
【解析】 ， （厘米）． （厘米）．
2 【答案】1203.14×32 = 28.26
【解析】扇 形 所 在 大 圆 的 面 积 是 （ 平 方 分 米 ） ， 圆 心 角 是
9.42
×360 = 120
（度）．
28.26
3 【答案】1.05
1
【解析】 3.14×12 × ×2 ≈ 1.05
阴影部分是两个60°的扇形，面积是 ．
6
4 【答案】1
【解析】两块阴影部分图形可以拼成一个边长为1的正方形，所以阴影部分的面积是1．
5 【答案】12
3 ×4 ×4 ÷4 = 12
【解析】阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是 ．
6 【答案】0.5
【解析】连接BD，两块阴影部分图形可以拼成一个边长为1的正方形的一半，所以阴影部分的面积
1 ×1 ÷2 = 0.5
是 ．
7 【答案】2.28
【解析】阴 影 部 分 是 扇 形 与 等 腰 直 角 三 角 形 相 差 的 部 分 ， 根 据 题 意 得 到
π×42 42
− = 2π−4=2.28
（平方厘米）．
8 4
8 【答案】62.32
∠B = 40∘ ∠C = 80∘
【解析】先 求 出 ， ． 两 个 空 白 部 分 扇 形 的 面 积 和 是
40 80
3.14×62 × +3.14×62 × = 37.68
， 阴 影 部 分 的 面 积 是
360 360
100 −37.68 = 62.32
．
9 【答案】10.26
【解析】可将图中橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针旋转90°，则阴影部分转化为四分
之 一 圆 减 去 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 为
1 1
×π ×62 − ×6 ×6 = 10.26
．
4 2
10 【答案】6
1 1 1
= + −
【解析】阴 影 部 分 面 积 小 圆 面 积 中 圆 面 积 ＋ 三 角 形 面 积 大 圆 面 积
2 2 2
1 3 2 1 1 1 5 2
= ×π×( )+ ×π×22 + ×3 ×4 − ×π×( ) = 6
．
2 2 2 2 2 2
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 1 讲 最完美的图形（上）课堂落实答案
1 【答案】28.26
2 【答案】6.28
3 【答案】14.28
4 【答案】4
5 【答案】1.57
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 2 讲 最完美的图形（下）
例题练习题答案
例1 【答案】（1）6.28；（2）25.12
4 :π
【解析】（1）方中圆，方与圆的比为 ，可求出圆的面积是6.28；（2）圆中方，圆与方的面积
π : 2
之比是 ，可求出圆的面积是25.12．
练1 【答案】大圆面积6.28，小圆面积3.14
4 :π
【解析】方中圆，方和圆的面积比为 ，可求出小圆的面积是3.14．大圆的面积是小圆面积的2
倍，是6.28．
例2 【答案】一样大，面积都是12.56
4 ×π ×12 = 12.56
【解析】图（1）中阴影部分的面积为 ，图（2）中阴影部分的面积为
π ×22 = 12.56
．
练2 【答案】2.58
4 :π
【解析】长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是6．方中圆，方和圆的面积比为 ，
1.5π 12 −1.5π×2 = 2.58
可求出小圆的面积是 ．那么阴影部分的面积是 ．
例3 【答案】（1）2.28；（2）2.28
【解析】（1）可利用重叠求出阴影部分面积，阴影面积等于两个圆心角为90°、半径为2的扇形面
1
S = ×3.14×22 ×2−2 ×2= 2.28
积减去边长为2的正方形面积，即 ；
阴影 4
（2）将四个半径为1的半圆叠加起来，恰好将每块阴影各算了两遍，每块空白各算了一
遍．所以阴影部分面积为4个半径为1的半圆面积减去边长为2的正方形面积，即
1
S =4 × ×3.14×12−2 ×2= 2.28
．
阴影 2
练3 【答案】9.121
×π ×42 ×2 −16 = 9.12
【解析】 ．
4
例4 【答案】44.56平方厘米
【解析】扫过的区域如图中阴影所示，由两类图形组成：4个长为4厘米、宽为2厘米的长方形，4块
半径为2厘米、圆心角为90度的扇形（恰好拼成一个圆）．所以扫过的面积是
4 ×2×4+π ×22= 44.56
（平方厘米）．
练4 【答案】28.56平方厘米
【解析】扫过的区域如图所示．正方形的边长是2厘米，四个正方形的面积之和是16平方厘米．四
个扇形正好可以拼成一个半径为2厘米的圆，圆的面积是12.56平方厘米．最后的结果是
28.56平方厘米．
挑战极 【答案】2.28
限1 【解析】阴影部分面积等于四块扇形面积减去正方形面积，而四块扇形恰好构成一个整圆．圆的直
(2r)2
径等于正方形的对角线．设正方形对角线为2r，则 =2 ×2 ， 4r2 = 8 ， r2 = 2 ，
2
3.14×2 −2 ×2 = 2.28
所以阴影部分的面积为 ．
挑战极 【答案】（1）175.84平方米；（2）163.28平方米
限2 【解析】（1）小狗的活动范围为圆心角为270°、半径为8米的扇形，和两个圆心角为90°、半径为
3 1
×π×82+ ×π×42×2= 56π= 175.84
4米的扇形．活动范围为 （平方米）；
4 4
（2）小狗的活动范围为半径是8米的半圆，和两个圆心角为90°、半径为6米的扇形，以及
两 个 圆 心 角 为 90° 、 半 径 为 2 米 的 扇 形 ． 活 动 范 围 为
1 1 1
×π×82+ ×π×62 ×2+ ×π×22 ×2= 52π= 163.28
（平方米）．
2 4 4
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 2 讲 最完美的图形（下）
自我巩固答案1 【答案】6.28
【解析】较大圆、正方形和较小圆之间的比是2π：4：π，即较大圆的面积是较小圆的2倍．
2 【答案】4.56
【解析】四个半圆的面积之和减去正方形的面积就是阴影部分的面积．四个半圆可以拼成两个相同
的圆．而这个圆和正方形正好是方中圆的关系，由此可求出圆的面积是6.28．那么阴影部
6.28×2 −8 = 4.56
分的面积就是 ．
3 【答案】0.86
22 −3.14×12 = 0.86
【解析】阴影部分的面积是正方形面积减去大圆的面积： （平方厘米）．
4 【答案】23.55
【解析】阴 影 部 分 的 面 积 是
1 1 1 1
3.14×12 × +3.14×22 × +3.14×32 × +3.14×42 × = 23.55
（平
4 4 4 4
方厘米）．
5 【答案】44.56
2 ×2 ×6 +2 ×2 ×2 +π ×22 = 44.56
【解析】扫过的区域如图所示，面积为 （平方厘
米）．
6 【答案】400
【解析】等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。而扇形面积为等腰三角
1
S= ×10 ×10=50
形面积： ，则圆的面积为400．
2
7 【答案】8
42π = 16π
【解析】圆 的 面 积 是 （ 平 方 厘 米 ） ， 空 白 扇 形 面 积 占 圆 面 积 的 ：
1 1
(16π−14π)÷16π= 360 × =45
，故扇形圆心角为： （度），三角形是腰长4厘
8 8
4 ×4 ÷2=8
米的等腰直角三角形，面积为： （平方厘米）．
8 【答案】18
【解析】由勾股定理可知，虚线形成的三角形是直角三角形，那么阴影部分的扇形话长刚好是一个
2π+3 +4 +5 = 18
轮子的周长，所以传送带总长度为 （米）．
9 【答案】2.28
【解析】如图，将阴影部分分成两个弓形，然后按图中箭头所示，将一个弓形移到左边的小弓形
1 1 1
×3.14×22 − ×44 = 2.28
处，于是阴影部分面积就是半圆减去 正方形： （平
4 2 4方厘米）．
10 【答案】12.25
【解析】由于区域I的面积比区域II的面积小25平方厘米，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减
去 半 圆 面 积 为 25 平 方 厘 米 ， 则 直 角 三 角 形 ABC 面 积 为
1 8 2
π ×( ) +25 = 8π +25 （ 平 方 厘 米 ） ， BC 的 长 度 为
2 2
(8π +25)×2 ÷8 = 2π +6.25 = 12.25
（厘米）．
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 2 讲 最完美的图形（下）
课堂落实答案
1 【答案】2
2 【答案】3.44
3 【答案】9.12
4 【答案】94.2
5 【答案】40.56
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 3 讲 高思运动会
例题练习题答案
例1 【答案】100千米
【解析】由“相遇地点距离AB的中点10千米”可知，乙比甲多走了20千米．两人共走了
20 ÷(6 −4) = 10 （时）．A、B两地相距 (4 +6)×10 = 100 （千米）．练1 【答案】36千米
4 ÷(5 −4) = 4
【解析】相遇点距离中点2千米，说明相遇时甲比乙多走了4千米． （时），
4 ×(5 +4) = 36
（千米）．
例2 【答案】14点05分
【解析】3.5小时是210分钟．第一列火车出发40分钟后，即12点40分时，第二列火车出发．可知
这时两车间的路程需要走170分钟．因为两车速度相同，可知两车相遇需要85分钟，那么
相遇的时刻是14点05分．
练2 【答案】220分钟
【解析】5点钟第二列火车出发，到相遇需要80分钟，那么第一列火车走完全程需要
60 +80 ×2=220
（分）．
例3 【答案】48千米
【解析】如图，甲、乙在到达码头后各自返回第二次相遇．乙从B到A逆流而行，共用
120÷(25 −5)= 6 120÷(25 +5)= 4
（时）．在这6小时中，甲顺流而行 （时），逆
2×(25 −5)= 40
流 而 行 2 小 时 ， 行 了 （ 千 米 ） ， 甲 、 乙 还 相 距 80 千 米 ，
8 8
80÷(30 +20)= （时）后第二次相遇．此时距离A地 ×30= 48 （千米）．
5 5
练3 【答案】45千米
【解析】甲 、 乙 在 到 达 码 头 后 各 自 返 回 第 二 次 相 遇 ． 乙 从 B到 A 逆 流 而 行 ， 共 用
120 ÷(16 −4) = 10
（ 时 ） ． 在 这 10 小 时 中 ， 甲 顺 流 而 行
120 ÷(16 +4) = 6 4 ×(16 −4) = 48
（时），逆流而行4小时，行了 （千米），
9
甲、乙还相距72千米， 72 ÷(20+12)= （时）后第二次相遇．此时距离A地
4
9
×20 = 45
（千米）．
4
例4 【答案】360米
【解析】由题意可知跑道的周长既是2的倍数，也是9的倍数．那么设周长为36份，两人速度和为
18，速度差为4．甲的速度为11，乙的速度是7．相遇时乙沿逆时针方向跑了14份，追及
时沿逆时针方向跑了63份，即跑了1圈后又跑了27份．可知相遇地点与追及地点相距13
130 ÷13 ×36 = 360
份．所以跑道的长度应该是 （米）．
练4 【答案】750米
【解析】由题意可知跑道的周长既是3的倍数，也是5的倍数．那么设周长为15份，两人速度和为
5，速度差为3．甲的速度为4，乙的速度是1．相遇时乙沿逆时针方向跑了3份，追及时沿逆时针方向跑了5份．可知相遇地点与追及地点相距2份．所以跑道的长度应该是
100 ÷2 ×15 = 750
（米）．
挑战极 【答案】45分钟，2400米，8点15分
450×2=900
限1 【解析】第二次相遇时小明共比小刚多行了 （米），可求出两人共用时
900÷(90 −70)=45 （分）．又知两人共走了3个全程，A、B两站距离为
(90 +70)×45÷3=2400 2400÷(90 +70)=15
（米）．第一次相遇用时 （分）．因
此第一次相遇时是8点15分．
挑战极 【答案】20千米
限2 【解析】这道题目分两种情况．第一种，第二次迎面相遇时乙尚未到达A点．第二次相遇所用时间
是第一次相遇所用时间的3倍．第一次相遇时甲比乙多行4千米，那么第二次相遇时甲应比
乙多行12千米．如果这样的话，第一次相遇时甲走4千米，乙走0千米．乙没有移动.
第二种情况，第二次迎面相遇时乙已经到达A点．同样第二次相遇时甲比乙多行12千米．
全程为20千米．
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 3 讲 高思运动会
自我巩固答案
1 【答案】4
【解析】可知甲船逆水，乙船顺水．甲逆：乙顺=1:1，甲静：乙静=2:1．因为甲逆与乙顺的和等于
甲静与乙静的和，这就是一个比例中的“和不变”问题．甲逆：乙顺=3:3，甲静：乙静
=4:2，可求出水速是1份，所以甲静和水速的比是4:1．故比值为4.
2 【答案】87
(42 +45)×3 = 261
【解析】从出发到两车第二次迎面相遇，两车共行驶了 （千米），正好是3
个全长．所以AB之间的距离是87千米．
3 【答案】100
【解析】客车的速度是30千米/时，货车的速度是40千米/时．如果两车同时出发，到10点时共行
140千米，相距100千米．
4 【答案】300
【解析】因为两车的速度比是2:3，那么相遇点距A、B两地的距离之比也是2:3．那么甲车在这两段
路程上所用的时间之比也是2:3．而甲车在后一段路程行驶了4.5小时，所以甲车一共行驶2 +3
了 4.5× =7.5 （时）．AB两地相距300千米．
3
5 【答案】0.176
【解析】8分钟后两人一共走了3圈即1200米，则两人的速度之和是2.5米/秒．又因为甲比乙每秒
多行0.1米，可求出甲的速度是1.3米/秒，乙的速度是1.2米/秒．到第三次相遇时，甲走了
480 ×1.3 = 624 400 −224 = 176
（米），与出发点的距离是 （米）．
6 【答案】7
400 ÷(6 +4) = 40
【解析】环形路线上的相遇问题，其相遇间隔时间为 （ 秒 ） ，
60 ×5 ÷40=7⋯⋯20
，那么5分钟内两人会相遇7次．
7 【答案】2
【解析】两车虽然背向而行，但本质上可看成相遇问题．由此可算出相遇时间为
(240 −60)÷(47 +43)=2
（时）．
8 【答案】153.6
384 ÷(20 −4) = 24
【解析】甲、乙在到达码头后各自返回第二次相遇．乙逆流而行 （时），
在这24小时中，甲从A到B顺流而行，共用 384 ÷(20 +4) = 16 （时）．逆流而行8小
8 ×(20 −4) = 128
时 ， 行 了 （ 千 米 ） ， 甲 、 乙 还 相 距 256 千 米 ，
256 ÷(24+16)=6.4 （时）后第二次相遇．此时距离A地 6.4×24 = 153.6 （千
米）．
9 【答案】264
44 ÷(7 −5)=22 22 ×(5 +7)=264
【解析】相遇时间是 （时），两地距离是 （千米）．
10 【答案】A
(5 −0.5)÷2 = 2.25
【解析】根据题意可以知道从B出发的货车在 （时）后与A出发的车相遇，
2.25+0.5 = 2.75
所以相遇的时间就是2点之后又经过了 （时），所以相遇的时间就是
下午4时45分．
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 3 讲 高思运动会
课堂落实答案
1 【答案】3
2 【答案】4
3 【答案】524 【答案】40
5 【答案】200
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 4 讲 芝麻开花节节高
例题练习题答案
例1 【答案】（1）511；（2）2186
S = 1+2 +4+8 +16+32 +64+128+256
【解析】（ 1 ） 设 ，
2S= 2 +4+8 +16+32 +64+128+256+512
， 两 式 相 减 得
S= 512 −1= 511
；
S = 2+6 +⋯+1458 3S = 6+18 +⋯+4374
（ 2 ） 设 ， ， 两 式 相 减 得
2S= 4374 −2= 4372 S =2186
， ．
练1 【答案】（1）1016；（2）3279
= 29 ×2 −23 = 1016
【解析】（1）原式 ；
38 −3
= = 3279
（2）原式 ．
2
2
例2 【答案】
5
【解析】整 体 约 分 ， 原 式
1 ×2 ×3 +1 ×2 ×3 ×23 +1 ×2 ×3 ×43 +1 ×2 ×3 ×73 1 ×2 ×
= =
1 ×3 ×5 +1 ×3 ×5 ×23 +1 ×3 ×5 ×43 +1 ×3 ×5 ×73 1 ×3 ×
2
=
．
5
2
练2 【答案】
5
2 ×3 ×4 2
【解析】 = =
原式 ．
3 ×4 ×5 5
例3 【答案】45
【解析】原 式
1 13 1 14 1 15 13 1
= (14+1 )× +(15+1 )× +(16+1 )× =14 × +
13 14 14 15 15 16 14 1
练3 【答案】99
【解析】原 式
1 15 1 16 1 17
= (32 +1 )× +(34 +1 )× +(36 +1 )× = 30 +1+
15 16 16 17 17 18= 99
．
1
例4 【答案】4
6
【解析】原 式
1 7 1 2012 1 7 1
=1÷1 +(21+ )÷7+ = + +21÷7+ ÷7=4
．
2012 6 2013 2013 2013 6 6
2
练4 【答案】8
17
1 1 1 199 2 1 2
【解析】 = 1 ÷1 +(63 +1 )÷9 + = +7 + + = 8
原式 .
199 17 200 200 17 200 17
挑战极 【答案】（1）14；（2）101或100
10 Ω 19 = (10 +12 +14 +16 +18)÷5 = (10 +18)÷2 = 14
限1 【解析】（1） ；
19 Ω 99 = (19 +21 +23 +⋯+99)÷41 = (19 +99)÷2 = 59
（2） 方，框里
80 ×2 −59 = 101 80 ×2 −60 = 100
有两种填法， 或者 ．
9
挑战极 【答案】（1）1226；（2）
14
1
限2
【解析】 (1 +49)×49 ÷2 +1=1226
（ 1 ） 是 （ 项 ） ； （ 2 ） 因 为
50
1 1
(1 +13)×13 ÷2 = 91
， 是第92个数．那么第100个数就是从 开始数的第9
14 14
9
个，是 ．
14
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 4 讲 芝麻开花节节高
自我巩固答案
1 【答案】8190
= 212 ×2 −2 = 8190
【解析】原式 ．
2 【答案】765
= 384 ×2 −3 = 765
【解析】原式 ．
3 【答案】48
1 11 1 12
【解析】 = (24 +1 )× +(26 +1 )× = 22 +1 +24 +1= 48
原式 ．
11 12 12 13
4 【答案】B
1 ×2 ×3 3
【解析】 = =
原式 ．
1 ×2 ×5 5
5 【答案】4372【解析】这 是 一 个 等 比 数 列 求 和 ， 首 项 是 4 ， 公 比 是 3 ， 设 和 为 S ， 则
S = 4 +12 +36 +⋯+2916
， 给 式 子 左 右 两 边 同 时 乘 上 公 比 ， 则
3S −S
3S = 12 +36 +108 +⋯+8748 =S = 4372
，结果为 ．
2
6 【答案】B
1 ×2 ×3 ×(13+23+⋯1003) 1 ×2 ×3 1
【解析】 = = =
原式 ．
2 ×3 ×4 ×(13+23+⋯1003) 2 ×3 ×4 4
7 【答案】126
1 3 1 4 3
【解析】 = 40 +1 )× + 50 +2 )× + 60 +3 )×
原 式 （ （ （
3 4 2 5 5
= 31 +42 +53=126
．
8 【答案】8
2 4 1 16 4 5 16 2 16 7
【解析】2 ÷( ×2 )= ÷( × )= ÷ = × = 8
．
7 35 2 7 35 2 7 7 7 2
9 【答案】3280
【解析】这 是 一 个 等 比 数 列 求 和 ， 首 项 是 1 ， 公 比 是 3 ， 设 和 为 S ， 则
S = 1+3 +32 +⋯+37
， 给 式 子 左 右 两 边 同 时 乘 上 公 比 ， 则
3S −S
3S = 3 +32 +33 +⋯+38 =S=3280
，结果为 ．
2
10 【答案】8
6 13 16 17 45 13 50 17
【解析】3 × +2 × = × + × = 3 +5 = 8
．
13 15 17 10 13 15 17 10
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 4 讲 芝麻开花节节高
课堂落实答案
1 【答案】2
2 【答案】2047
3 【答案】726
4 【答案】44
5 【答案】67
思维创新 / 五年级 / 寒假第 5 讲 数学中的“多面手”
例题练习题答案
例1 【答案】42个；18个
3 ×3 ×2 ×1 = 18
【解析】5的倍数分为两类，末位是5的有 （个），末位是0的有
4 ×3 ×2 ×1 = 24
（个），共42个；4的倍数中末两位是20的有6个，末两位是12的有
4个，末两位是32的有4个，末两位是52的有4个，共有18个．
练1 【答案】21个
4 ×3 ×1 = 12
【解析】末尾数字可以是0或2．末尾数字是0的三位偶数有 （个），末尾数字是2
3 ×3 ×1 = 9
的三位偶数有 （个），一共有21个．
例2 【答案】（1）30个；（2）24个；（3）24个
【解析】（ 1 ） 先 给 1 选 位 置 ， 再 给 2 选 位 置 ， 再 给 3 选 位 置 ， 共 可 组 成
C2 ×C2 ×C1 = 30
5 3 1 （个）不同的五位数；
（ 2 ） 先 给 0 选 位 置 ， 再 给 1 选 位 置 ， 再 给 2 选 位 置 ， 共 可 组 成
C1 ×C2 ×C2 = 24
4 4 2 （个）不同的五位数；
（3）注意这个地方是要组成四位数，所以有一个数字不会用到．如果有1个1没用，可以
C1 ×C2×C1 = 9
组成 3 3 1 （个）不同的四位数；如果有1个2没用，可以组成
C1 ×C2 ×C1 = 9
3 3 1 （个）不同的四位数；如果0没有用，可以组成6个不同的四位数．
一共可以组成24个不同的四位数．
练2 【答案】（1）12个；（2）9个；（3）9个
C1 ×C1 ×C2 = 12
【解析】（1） 4 3 2 （个）；
C1 ×C1 ×C2 = 9
（2） 3 3 2 （个）；
C1 ×C2 = 3
（3）4个数字中有一个没有被选．如果没有选0，有 3 2 （个）．如果没有选
C1 ×C2 = 2 C1 ×C1 ×C1 = 4
2，有 2 2 （个）．如果没有选的是3，有 2 2 1 （个）．一共
有9个．
例3 【答案】432个
C1 ×A2 = 216
【解析】按重复的数字是不是1可以分成两类，若重复的数字是1，则有 3 9 （个），
C1 ×C2 ×C1 = 216
若重复的数字不是1，则有 9 3 8 （个），一共是432个．
练3 【答案】168个
4 ×3×2 ×1=24
【解析】根据是否有相同数字分类，无相同数字的情况： （个）；有相同数字
C1 ×C2×3 ×2= 144
的情况：先选择相同的数字，再给数字选位置， 4 4 （个）．共：
24 +144=168
（个）.
例4 【答案】8664个【解析】一共有9000个四位数．考虑与2468相加不会进位的四位数，个位可以是0~1，有2种可
能；十位可以是0~3，有4种可能；百位可以是0~5，有6种可能；千位可以是1~7，有7
2 ×4×6 ×7= 336
种可能．那么这样的四位数有 （个）．那么至少会发生一次进位的
9000 −336 = 8664
四位数有 （个）．
练4 【答案】550
7 ×5 ×10 = 350
【解析】所有的三位数有900个，其中与250相加不会发生进位的有 （个），那
900 −350 = 550
么会发生进位的有 （个）．
挑战极 【答案】90种
C4 ×C3 = 20
限1 【解析】按“自由人”的归属来分类：不选这个“自由人”，有 5 4 （种）；让“自
C3 ×C3 = 40
由人”翻译英语，有 5 4 （种） ； 让 “ 自 由 人 ” 翻 译 日 语 ， 有
C4 ×C2 = 30
5 4 （种）；一共是90种．
挑战极 【答案】432种，336种
4 ×3 ×2 ×3 ×3 ×2 = 432
限2 【解析】如果不考虑虚线，有 （种）涂法．如果考虑虚线，先染梯
形 顶 点 上 的 四 个 “ ○ ” ， 有 84 种 染 法 ， 然 后 再 染 剩 下 的 2 个 “ ○ ” ， 有
84 ×2 ×2 = 336
（种）染法．
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 5 讲 数学中的“多面手”
自我巩固答案
1 【答案】296
=56+24×10=296
【解析】原式 ．
2 【答案】48
【解析】根据既能做木匠又能做电工那个人的挑选情况分类讨论，可以分三类：没有选，做电工和
做木匠．
3 【答案】50
C1 ×C2 ×C3 = 50
【解析】 5 5 3 （个）．
4 【答案】9
C1 ×C2 ×C1 = 9
【解析】 3 3 1 （个）．
5 【答案】8160
9000 −8 ×7 ×5 ×3= 8160
【解析】利用反面排除的方法， （个）．6 【答案】360
C3 ×C2 = 60
【解析】把6本书分成三堆有 6 3 （种）分法．再把这三堆书全排列，一共有
60 ×6 = 360
（种）分法．
7 【答案】9
【解析】按位数来分类考虑： 一位数只有1个3；两位数：由1与2共可组成2个不同的两位数；三位
A3 = 3 ×2 ×1 = 6
数：由1，2与3可以组成 3 （个）不同的三位数．由加法原理，一共
1 +2 +6 = 9
有 （个）能被3整除的数，即3的倍数．
8 【答案】12
2 4
【解析】由于组成偶数，个位上的数应从 ， 中选一张，有2种选法；十位和百位上的数可以从剩
下的3张中选二张，共有6种选法．由乘法原理，一共可以组成12个不同的偶数．
9 【答案】6
【解析】数字5一定要放在个位，再从数字2、3、4中选出两个数放在十位与百位即可，共有
A2 = 3 ×2 = 6
3 （个）．
10 【答案】36
【解析】从小到大，最高位是1时有24个四位数，最高位是2，次高位是1时有6个四位数，前三位
是231时有2个四位数，前三位是234时有2341、2345，前三位是235时有2351、2354，
所以2354是从小到大排列的第36个数．
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 5 讲 数学中的“多面手”
课堂落实答案
1 【答案】488
2 【答案】30
3 【答案】27
4 【答案】24
5 【答案】6
思维创新 / 五年级 / 寒假第 6 讲 寸金难买寸光阴
例题练习题答案
4 1 8 5
例1 【答案】 16 49 32 65
（1） 分；（2） 分；（3） 分， 分
11 11 11 11
【解析】3点整时，分针在时针后面15格．
1 4
15 ÷(1 − )= 16
（1）从3点整到重合，分针比时针多走了15格，用了 （分）;
12 11
（2）第一次张开成直线时，分针在时针前面30格．从3点整算起，分针比时针多走了45
1 1
45÷(1 − )= 49
格，用了 （分）;
12 11
（3）第一次垂直时，分针在时针前面15格．从3点整算起，分针比时针多走了30格，用
1 8
30 ÷(1 − )= 32
了 （分）．第二次垂直时，分针在时针前面45格．用了
12 11
1 5
60÷(1 − )= 65
（分）．（3点整时针与分针垂直，这不算第一次）
12 11
10 7 3
练1 【答案】 10 43 27
2点 分；2点 分；2点 分
11 11 11
1 10
【解析】 10 ÷(1 − ) = 10
时针与分针重合： （分）；时针与分针张开成一条直线：
12 11
1 7
40 ÷(1 − ) = 43
12 11
1 3
25 ÷(1 − ) = 27
（分）；时针与分针垂直： （分）．
12 11
2
例2 【答案】15
分
11
【解析】以10点整为起始点，这时分针在时针后面50格．分针与时针第一次垂直时，分针在时针后
1 5
5 ÷(1 − ) = 5
面45格，用了 （分）．但是这时还没有到10点23分，也就是说
12 11
我们要求的是10点整之后时针与分针第二次垂直的时刻．第二次垂直时，分针在时针后面
1 2 2 2
35 ÷(1 − ) = 38 38 −23= 15
15格，用了 （分）， （分）．
12 11 11 11
10
练2 【答案】5
分
11
1 10
【解析】 10 ÷(1 − ) = 10
从11点开始算起，需要过 （分）时针与分针第一次垂直，
12 11
10 10
10 −5 = 5
（分）．
11 11
4 4
例3 【答案】 52 28
7点 分， 分
11 11
【解析】7点24分时分针在时针后面13格．小高出来时夹角与到超市时相同，说明出来时分针在时
1 4
26 ÷(1 − ) = 28
针前面13格，逛超市用了 （分），出来的时候是7点
12 11
4
52
分．
114 4
练3 【答案】46 16
分； 分
11 11
【解析】7点30分时，分针在时针后面7.5格，那么出来时分针在时针前面7.5格．
1 4 4 4
15 ÷(1 − ) = 16 16 46
（分），说明用了 分，出来时是7点 分．
12 11 11 11
例4 【答案】（1）5点40分；（2）下午3点30分
【解析】（1）标准钟分针走60格，闹钟分针可走63格，速度比为20:21．闹钟响起时，闹钟的分
7 ×60= 420
针走了 （格），标准钟的分针可走400格，用时6时40分，标准时间是5点
40分；
（2）标准钟分针走60格，手表分针可走56格，速度比是15:14．手表下午3点时，手表的
7 ×60= 420
分针走了 （格），标准钟的分针可走450格，用时7个半小时，标准时间是
下午3点30分．
练4 【答案】11点10分
【解析】标准钟分针走60格，手表分针走57格，速度比是20:19．从早上4点30到手表显示的10点
380 ÷19 ×20 = 400
50分，手表的分针一共走了380格． （分），说明这段时间实际
是400分钟，实际时间是11点10分．
5
挑战极 【答案】55
分
13
限1
【解析】分针与时针刚好对调，那么分针与时针的路程和刚好是1圈，即60格，这一堂课上了
1 5
60÷(1 + )= 55
（分）．
12 13
9
挑战极 【答案】27
分
13
限2
【解析】如 图 所 示 ， 从 6 点 整 到 这 个 时 刻 ， 时 针 与 分 针 共 走 了 30 格 ， 用 了
1 9
30÷(1 + )= 27
（分）．
12 13
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 6 讲 寸金难买寸光阴自我巩固答案
1 【答案】102
17 ×6 = 102
【解析】1:24时，时针与分针相差17格， （度）．
2 【答案】126
21 ×6 = 126
【解析】10点12分时，时针与分针相差21格， （度）．
3 【答案】B
1 1
【解析】45 ÷(1 − ) = 49
（分）．
12 11
4 【答案】B
1 5
【解析】5 ÷(1 − ) = 5
（分）．
12 11
5 【答案】A
【解析】快钟与标准钟的速度比是16:15．到小高醒来时，快钟的分针走了480格，那么标准钟的分
针走了450格，需要7.5个小时．所以小高醒来的标准时间是5点30分．
6 【答案】A
【解析】根据题意可知，3点时，时针与分针相差15格，第一次重合需要分针追15格，
1 4
15 ÷(1 − ) = 16
（分）．
12 11
7 【答案】C
1 11
1 − =
【解析】此题属于追及问题，追及的路程差是20格，速度差是 （格/分），所以追
12 12
11 9
20 ÷ = 21
及时间是： （分）．
12 11
8 【答案】C
40 −15 = 25
【解析】此题属于追及问题，追及的路程差是 （格）（由原来的40格变为15格），
1 11 11 3
1 − = 25 ÷ = 27
速度差是 （格/分），所以追及时间是： （分）．
12 12 12 11
9 【答案】A
【解析】9点时，时针与分针相差15格，分针与时针反向在一条直线上需要分针追15格，
1 4
15 ÷(1 − ) = 16
（分）．
12 11
10 【答案】B
1 11
1 − =
【解析】此题属于追及问题，追及的路程差是20格，速度差是 （格/分），所以追
12 12
11 9
20 ÷ = 21
及时间是: （分）．
12 11
思维创新 / 五年级 / 寒假第 6 讲 寸金难买寸光阴
课堂落实答案
1 【答案】168
2 【答案】B
3 【答案】C
4 【答案】B
5 【答案】A
思维创新 / 五年级 / 寒假
第 7 讲 期末复习
期末试卷答案
1 【答案】62.8；314
2 【答案】9.42
3 【答案】18.84
4 【答案】1022
5 【答案】0.86
6 【答案】80
7 【答案】1
8 【答案】30
2
9 【答案】 38
11
10 【答案】6.28
11 【答案】67
12 【答案】5
13 【答案】10
14 【答案】5
15 【答案】44.56
16 【答案】64
17 【答案】28.56
18 【答案】3337
19 【答案】43
11
1
20 【答案】
13
