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第四章 因式分解B卷压轴题考点训练
1．若 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式将已知等式变形，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．分解因式： ___________．
【答案】
【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项
提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【详解】解：
=
=
=
=故答案为： ．
【点睛】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组
后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要彻底．
3．已知 （ ），则代数式 _____．
【答案】6
【分析】先将 变形为 ，再根据 得出 即 ，最后对
进行因式分解即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
4．分解因式： ______．【答案】
【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【详解】解：原式 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．
5．如果 ，那么 ______.
【答案】18
【分析】运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，
这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-
13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可．
【详解】解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
【点睛】本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降
低了x的次数，使问题最终得以解决．
6．已知a＝﹣ ，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为_____．
【答案】-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】解：当a＝－ ＝－ ＝ －3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为－4．
【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的
方法及因式分解的方法是解题的关键.
7．如果 为完全平方数，则正整数n为______．
【答案】2或14或11
【分析】分情况讨论，分别设 为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可．
【详解】设 为首项的平方，则末项为 ，中间项为乘积两倍为 =2× ，
∴首项为2，首项平方为 ，
∴n=2；
设 为末项的平方，则首项为 ，乘积两倍为 =2× × ，
∴末项为 ，末项平方为 ，
∴n=14；
设 为中间项，则 =2× × = ，
∴n=11，
综上所述，正整数n的值为2或14或11，
故答案为：2或14或11．
【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．
8．若 ， ，那么式子 的值为_________．
【答案】
【分析】把两个等式相减化简后可得 ，再把 中的 拆成 ，再分别与前
后两项重新组合，提公因式后把两个已知等式代入，即可解决．【详解】∵ ，
∴
即
∵
∴
故答案为： 2020
【点睛】本−题考查了因式分解的应用，用到了一种变形：拆项，这也是本题的难点所在．
9．多项式 的最小值为________．
【答案】18．
【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】解： = = ，
∵ ，∴ 的最小值为18；
故答案为：18．
【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数
的性质确定最值．
10．已知 -6ab=0（a＞b），则 =_____________
【答案】 或-
【详解】∵a2+b2-6ab=0，∴（a+b）2=8ab，（b-a）2=4ab，∴ =2，∴ .
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】先设 ，根据整式的乘法化简后利用十字相乘法因式分解，再将y换回 ，再次因式分解即可．
【详解】解：设 ，则
原式 ．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握换元法和十字相乘法是解题的关键．
12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可
以得到 ．请回答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式______；
(2)猜测 ______．
(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知 ， ，求 的值；
(4)在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)48
(4)该三角形为等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可；
（2）仿照题意画出图形求解即可；
（3）先求出 ， ，再把这2个等式代入（1）所求等式中求解即可；
（4）由（3）可得 ，进而推出 ，理由非负数的性质即可推出 ，则该三角形是等边三角形．
【详解】（1）解：由题意得， ，
故答案为：
（2）解：由下图可得：
，
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（4）解：该三角形为等边三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴该三角形是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，非负数的性质等等，正确理解题
意，数形结合是解题的关键．
13．分解因式 ，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式
子因式分解，过程如下： ，这样的因
式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)已知 的三边a，b，c满足 ，判断 的形状．
【答案】(1)
(2) 是等腰三角形或等边三角形，理由见解析
【分析】（1）第一项和第三项可以用平方差公式分解因式，第四项和第二项可以提公因数分解因式，据
此求解即可；
（2）先把所给条件式分解因式得到 ，即可得到 或 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解： 是等腰三角形或等边三角形，理由如下：
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴当 ， 时， 是等腰三角形；当 ， 时， 是等腰三角形；当 ， 时，
是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，熟知分解
因式的方法是解题的关键．
14．如果一个正整数的各位数字是左右对称的，那么称这个正整数是“对称数”，如33，787，1221，
20211202都是“对称数”，最小的“对称数”是11，但没有最大的“对称数”．下面给出一个正整数的
记法：若一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c、d，则可以把这个四位正整
数记为 ，同理，若三位正整数的百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z，则可以把这个三位正整
数记为 ．
(1)若四位正整数 是“对称数”，证明式子 的值能被11整除；
(2)若三位正整数 是“对称数”，式子x+y+z的值是4的倍数，式子 的值能被13整除，求
这个三位正整数 ．
【答案】(1)见解析；
(2)929、161．
【分析】（1）根据题意用字母表示出 ，再化简为含11因子的式子即可；
（2）根据条件求出x、y、z满足的条件，再分类讨论求出结果．
【详解】（1）证明：依题意，a=d，b=c，
∴ =（b×110+d）-d=b×110，
∴ 是11的倍数，得证．
（2）依题意，
x=z①，
x+y+z=4a②，
（100x+10y+z）+x+y+z=13b③，
其中a、b为正整数，1≤x≤9，0≤y≤9．
∴2x+y=4a④，
x+2y=13（8x+y-b）⑤，
由④可知y=0，2，4，6，8，
当y=0时，由⑤可知x=0，13，...，不合题意；
当y=2时，由⑤可知x=9，22，...，此时x=9，y=2符合题意；
当y=4时，由⑤可知x=5，18，...，此时x=5，y=4符合题意；
当y=6时，由⑤可知x=1，14，...，此时x=1，y=6符合题意；
当y=8时，由⑤可知x=10，23...，不合题意．
综上，这个三位数可以是929、545，或161．
经验证545不符合x+y+z=4a的条件．
所以这个三位正整数为929、161．
【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是根据条件列出等式，再利用自然数各个数位的取值范围，
分情况逐一讨论．
15．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： （p，q是正整数，且 ），在n的
所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称 是n的最佳分解，并规定；
，例如12可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是12的最佳分解，
所以 ．
(1)求 ；
(2)如果一个正整数 只有1与m本身两个正因数，则m称为质数．若质数m满足 ，求m的值；
(3)是否存在正整数n满足 ，若存在，求n的值：若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)5；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】（1）读懂F(n)的定义，写出24的最佳分解，即可直接作答；
（2）根据F ( m+4) =1可以知道m+4是一个平方数，再利用因式分解求出m的值；
（3）假设存在，如果推出矛盾，即可得证不存在；如果可以求出具体的n的值，即可得出结果．．
【详解】（1）解：∵24=1 24=2 12=3 8=4 6，24-1>12-2>8-3>6-4，
∴ ；
（2）解：由质数m满足 设 ，
∴m+4=a2，
∴m= ，
∵m为质数，
∴a-2=1，
∴a=3，
∴m=a2-4=5，
（3）解：不存在
假设存在这样的n,设n=a×4a,F（n）= ．
此时n=2a×2a,则F（n）=1，矛盾．
故不存在F（n）= ．
【点睛】本题考查因式分解的应用，用读懂新定义，并把问题转化为方程或方程组，再用因式分解法解方
程或方程组是解题的关键．
