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第 19 讲 功和功率
目录
01 模拟基础练
【题型一】功的分析与计算
【题型二】变力做功的求解
【题型三】功率的分析与计算
【题型四】机车启动
02 重难创新练
【题型一】功的分析与计算
1．如图所示，利用无人机运送货物。则在无人机匀减速竖直下降过程中（ ）
A．货物的动能保持不变 B．货物受到的重力做负功
C．货物受到的拉力做负功 D．货物受到的拉力功率变大
【答案】C
【详解】A．在无人机匀减速竖直下降过程中，无人机的速度逐渐减小，货物的动能逐渐减小，故A错误；
BC．在无人机匀减速竖直下降过程中，重力方向向下，运动方向向下，则货物受到的重力做正功；货物受
到的拉力方向向上，则货物受到的拉力做负功，故B错误，C正确；
D．以货物为对象，根据牛顿第二定律可得无人机做匀减速运动，所以货物受到的拉力恒定不变，根据
由于速度逐渐减小，所以货物受到的拉力功率变小，故D错误。
故选C。
2．如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，外力F作用在A上使A、B
处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B向下运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A对B不做功 B．B对A不做功
C．B的机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒
【答案】D
【详解】ABCD．撤去推力后，A、B组成的系统机械能守恒，B对A做正功，A对B做负功，A的机械能
增大，B的机械能减小。
故选D。
3．如图所示，物体在力F的作用下沿水平方向发生了一段位移，图中力F对物体做负功的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】力F做功计算公式为 ，其中 表示力F与位移L之间的夹角，位移方向与运动方向相
同，所以，当力与位移的夹角为钝角时，力F对物体做负功。
故选B。4．如图所示，物体先后由静止开始从两斜面的顶端A分别下滑至底端C、D，若物体与两斜面间的动摩擦
因数相同，两个过程中重力对物体做功分别为 、 ，摩擦力对物体做功分别为 、 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】AB．根据
h相同，则重力对物体做功相同，即
故AB错误；
CD．设斜面的倾角为 ，动摩擦因数为 ，则摩擦力对物体做功
所以
故D正确，C错误。
故选D。
5.（多选）某游客领着孩子在贵港市龙潭森林公园游玩时，孩子不小心将手中质量为m的玩具皮球掉落，
皮球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示。重力加速度大小为g。在皮球从A点运动到B点的
过程中（ ）
A．皮球所受重力做的功为B．皮球所受重力做的功为
C．皮球的重力势能减少
D．皮球的重力势能减少
【答案】AC
【详解】AB．重力做功与物体的运动路径无关，只与物体初、末位置的高度差有关，从A到B的高度差是
H，所以皮球所受重力做的功为
故A正确，B错误；
CD．由重力势能和重力做功的关系可知，从A到B重力势能变化为
即皮球的重力势能减少 ，故C正确，D错误；
故选AC。
【题型二】变力做功的求解
1.（多选）力F对物体所做的功可由公式 求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须
是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们
就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做
的功，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为
B．乙图中，全过程中F做的总功为
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是
【答案】AB
【详解】A．因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过
程中力F做的为
故A正确；
B．乙图 的面积代表功，则全过程中F做的总功为
故B正确；
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为
故C错误；
D．图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是
而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误。
故选AB。
2．（多选）放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0~6s内其速度与时间图像和该拉力的功率
与时间图像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．0~6s内物体位移大小为36m
B．0~6s内拉力做的功为70JC．合力在0~6s内做的功与0~2s内做的功不相等
D．滑动摩擦力大小为 N
【答案】BD
【详解】A．由速度与时间图像围成的面积等于物体的位移，则0～6s内物体的位移大小
故A错误；
B．由功率与时间图像围成的面积等于力做的功，则在0～6s内拉力做的功为
故B正确；
C．在0～6s 内与0～2s 内动能变化相同，则根据动能定理可知，合外力在0～6s内做的功与0～2s 内做
的功相等，故C错误；
D．在2～6s内，v=6m/s，P=10W，物体做匀速运动，摩擦力f=F，由
则有
故D正确。
故选BD。
3．（多选）质量为 的物体在水平面上沿直线运动，受到的阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水
平拉力F与运动距离x的关系如图所示， 物体做匀速直线运动。下列对图示过程的说法正确的是（
）A．在 处物体加速度大小为
B． 拉力对物体做功为
C． 物体克服阻力做功为
D． 合力对物体做功为
【答案】BC
【详解】A． 物体做匀速直线运动，可知阻力大小为
在 处，由图像可知拉力为
根据牛顿第二定律可得
解得
故A错误；
B．根据 图像与横轴围成的面积表示拉力做功，可知 拉力对物体做功为
故B正确；
C． 物体克服阻力做功为
故C正确；
D． 合力对物体做功为
故D错误。
故选BC。4.质量为 的物体在水平力F的作用下在水平面上沿x轴由静止开始运动，F随位置x变化的图像如图
所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取 ，则物体从 运动到 的
过程中，合外力做功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】力F是线性变化，可以用平均力求功。则所有力对物体做的功为
故选D。
5.如图所示，用一个大小不变的力 拉着滑块（视为质点）使其沿半径为 的水平圆轨道匀速运动半周，
若力 的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成 夹角，则力 做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将力 分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线
方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力 做的功为
故选A。【题型三】功率的分析与计算
1.如图所示，马拉雪橇沿水平冰面以速度v做匀速直线运动。若马对雪橇的拉力F恒定，与竖直方向夹角
为 ，则拉力F的功率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据功率的公式
故选A。
2.如图所示，甲、乙两同学在水平地面上练习垫排球。甲同学将排球垫过去的轨迹为Ⅰ，乙同学将排球垫
回的轨迹为Ⅱ，两同学的接球点在同一高度，甲同学垫球和接球的位置相同，球可视为质点，不计空气阻
力，关于排球在轨迹Ⅰ、Ⅱ中的运动，下列判断正确的是（ ）
A．运动时间可能相同 B．最小速度大小可能相同
C．最大速度大小可能相同 D．重力的最大瞬时功率可能相同
【答案】C
【详解】A．不计空气阻力，排球做斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，
设最高点到接球点的高度为h，根据竖直方向的运动规律，则运动时间由图可知
则
故A错误；
B．在最高点竖直速度为零，速度最小为水平分速度，水平方向
水平位移大小相同，则
故B错误；
C．接球点的竖直方向速度最大，则此位置速度最大，竖直方向
则
最大速度的大小
所以最大速度大小可能相同，故C正确；
D．重力的最大瞬时功率
则
故D错误。
故选C。
3．为庆祝元宵佳节，某地进行无人机燃放表演。如图所示，无人机上升至高度 处悬停后，开始沿同一水
平方向喷射烟花弹。已知喷出烟花弹的速度 大小的范围为 ，假定每颗烟花弹的初始质量均为且燃烧速率（单位时间内质量的变化量）相同，烟花弹落地区域为危险区域，忽略空气阻力，重力加速度
为 ，下列说法正确的是（ ）
A．速度为 的烟花弹在空中飞行的时间最短
B．危险区域的宽度为
C．每颗烟花弹落地前瞬间重力的功率都相同
D．每颗烟花弹落地前瞬间的机械能都相同
【答案】C
【详解】A．烟花弹做平抛运动，竖直做自由落体运动，则有
可得烟花弹在空中飞行的时间为
可知烟花弹在空中飞行的时间一定，与水平初速度无关，故A错误；
B．根据
可得危险区域的宽度为
故B错误；
C．根据已知每颗烟花弹的初始质量均为 ，且燃烧速率相同，由于下落时间相同，所以每颗烟花弹落地前瞬间质
量相同，则每颗烟花弹落地前瞬间重力的功率都相同，故C正确；
D．每颗烟花弹落地前瞬间，竖直分速度相等，但水平分速度不相等，所以落地前瞬间的速度大小不相等，
则每颗烟花弹落地前瞬间的机械能并不相同，故D错误。
故选C。
【题型四】机车启动
1.某学校师生参加建模大赛制作了一辆由清洁能源驱动的小车，模型展示环节小车能在平直轨道上由静止
开始沿直线加速行驶，经过时间t速度刚好达到最大值 。设在此加速过程中小车电动机的功率恒为P，
小车质量为m，运行中所受阻力恒定，则下列说法中正确的是（ ）
A．加速过程中小车所受合外力恒定不变B．加速过程中小车前进的距离为
C．加速过程中小车所受阻力恒为 D．加速过程中小车合外力做功为Pt
【答案】C
【详解】A．这一过程中电动机的功率恒为P，根据
可知随着小车速度的增加，小车受到的牵引力逐渐减小，而阻力恒定，故加速过程中小车所受合外力发生
变化，故A错误；
C．当牵引力等于阻力时，速度最大，则加速过程中小车所受阻力为
故C正确；
BD．加速过程中，根据动能定理可得小车受到的合外力所做的功为
可得小车受到的牵引力做的功为
解得故BD错误。
故选C。
2．2022年6月，中国海军第三艘航母“福建”号已经下水了。新航母采用了大量的造船新科技、新材料
和新工艺。舰上拥有三条电磁弹射器，大大提高了脱载机的起飞速度。如图所示，“福建舰”正在沿直线
航行，某时刻速度为 ，加速度为 ，一段时间t后速度变为 ，加速度为 ，且 、 均不为零。
在这段时间内位移为s。设其质量为m，发动机的输出功率恒为P，所受阻力恒为f，则下列关系式正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．发动机的输出功率恒为P，所受阻力恒为f，根据动能定理有
故A正确；
B．速度为 ，加速度为 ，则有
，
解得故B错误；
C．发动机的输出功率一定，速度增大，牵引力减小，加速度减小，航母做加速度减小的变加速直线运动，
根据速度时间图像，其图像与时间轴所围几何图形的面积大于对应匀加速直线运动的位移，可知
故C错误；
D．速度为 ，加速度为 ，则有
，
解得
故D错误。
故选A。
3．如图甲所示，在水平路段AB上有一质量 的汽车，正以 的速度向右运动，汽车前
方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图象如图乙所示，t时刻汽车到达C点，速度
。已知运动过程中汽车发动机的输出功率保持 不变，BC的长度 ，汽车在AB、
BC路段上运动时所受阻力分别为 、 。求：
（1） 、 的大小；
（2）汽车通过BC段的时间。
【答案】（1）2500N，5000N；（2）9s
【详解】（1）根据
汽车匀速行驶时牵引力等于阻力，则汽车在AB、BC路段上运动时所受阻力分别为：（2）设在BC段经历的时间为 由动能定理
解得
1．某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，经过转折点B后进入水平滑
垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为 点，该过程简化示意图如图所示。已知人
与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为 ， 、B两点间的距离为 ，B、 两点间的距离为 ，人
的质量为 ，重力加速度大小为 ，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（ ）
A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于
B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为
C．人从A点运动到 点的过程中克服摩擦力做的功为
D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功
【答案】C
【详解】AB．设倾斜滑垫的倾角为 ，对人分析有故 错误；
CD．人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功
故C正确；D错误。
故选C。
2．如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面底端挡板上，上端与
质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始
时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为
2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力
F做功为（ ）
A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J
【答案】B
【详解】初始时系统处于静止状态，设此时弹簧压缩量为x，对小滑块A和B组成的系统，根据胡克定律
0
和平衡条件得
解得弹簧压缩量
小滑块A、B分离瞬间，两者之间的弹力恰好为零，且有相同的加速度a，设此时弹簧的压缩量为x，则对
1
小滑块A由牛顿第二定律得
解得
在小滑块A、B分离之前，设A、B的位移为x，对A、B整体，根据胡克定律和牛顿第二定律有解得
则拉力做功
将各量代入上式可解得
故B正确。
故选B。
3．质量为 的小物块，在水平拉力F的作用下在水平面上直线运动1m距离，此过程中拉力F随位
移x变化的关系如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数 ，重力加速度 。则物块在
内所受合力做功为（ ）
A．3J B．4J C．5J D．6J
【答案】A
【详解】小物块所受的摩擦力
由图可知，拉力的最小值都大于小物块所受的摩擦力，所以从拉力 作用开始，小物块就开始运动，根据
可知 图像的面积为 对小物块做的功为
摩擦力对小物块做的功为
物块在 内所受合力做功为故选A。
4．过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，示意
图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力 ，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径 ，驴拉磨转动
一周的时间为7s， ，则下列说法正确的是（ ）
A．磨杆上各点的线速度均相等 B．驴转动一周拉力所做的功为1680J
C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为0.3m/s
【答案】C
【详解】A．磨杆上各点的角速度相等，根据 可知，半径不同，则线速度不同，故A错误；
B．驴转动一周拉力所做的功为
故B错误；
C．驴转动一周拉力的平均功率为
故C正确；
D．磨杆末端的线速度大小为
故D错误。
故选C。
5．如图所示，将质量为m的小球从高为h处以初速度水平抛出，落地时速度大小为v，方向与水平面成
角，空气阻力不能忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）A．重力对小球做的功为
B．落地时小球重力的功率为mgv
C．合外力对小球做的功为
D．空气阻力对小球做的功为
【答案】D
【详解】ACD．根据动能定理
其中重力做功为
设空气阻力做功为 ，则
解得
故AC错误，D正确；
B．落地时小球重力的功率为
故B错误。
故选D。6．如图（a）所示，从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由
静止释放分别沿某一轨道滑到N点，小物块甲、乙的速率v与时间t关系如图（b）所示。由图可知，两物
块在分别在M点到N点的下滑过程中（ ）
A．甲沿Ⅰ下滑且甲的重力功率一直增大
B．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直不变
C．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
D．乙沿Ⅰ下滑且同一时刻乙的动能比甲的大
【答案】D
【详解】AB．由图（b）可知，甲下滑过程中，甲做匀加速直线运动，则甲沿Ⅱ下滑，其下滑过程中，速
度增大，竖直方向的分速度增大，根据瞬时功率公式
则重力功率一直增大；乙做加速度逐渐减小的加速运动，则乙沿I下滑，其初速度为0，则重力的功率一开
始为0，滑到N点后，其速度水平，竖直方向的分速度为0，则重力的功率为0，由于在滑动过程中，存在
竖直方向的分速度，则在滑动过程中，乙重力的功率不为0，则乙沿Ⅰ下滑过程中重力功率先增大后减小，
故AB错误；
CD．图（b）为 图像，乙沿I下滑，由图（b）可知任意时刻甲的速度大小都小于乙的速度大小，由动
能公式
可知同一时刻乙的动能比甲的大，故C错误，D正确；
故选D。
7．（多选）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动，已知圆轨
道的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k倍，重力加速度为g， P、Q为圆轨道上同
一竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可得
A错误；
BC．在PQ两点的受力如图所示
在Q点，由向心力公式有在P点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N段，在轨道上下关
于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为 ，则在A、B两小段的压力可视为恒力，
摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低点到最高点克服摩擦力做功为
BC正确；
D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
D错误。
故选BC。
8（多选）．如图甲所示，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的
倾角θ=37°，每次从大坝底端由静止向上拉建材的过程中，发动机所做的功W与建材的位移x的关系如图
乙所示。图乙中图线为直线，当x=6m时发动机达到额定功率。已知每个建材的质量m=100kg，重力加速
度。g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（ ）A．建材做变加速运动
B．x=6m时，建材的速度大小为12m/s
C．发动机的额定功率为5400W
D．从x=0到x=6m过程中，发动机的平均功率为2700W
【答案】CD
【详解】A．根据图乙，发动机所做的功W与建材的位移x的函数关系表达式为
根据功的定义式有
可知，发动机的牵引力为
可知，建材向上做匀加速运动，故A错误；
B．x=6m时，根据动能定理有
其中
解得
故B错误；
C．根据题意，当x=6m时发动机达到额定功率，则额定功率为故C正确；
D．从x=0到x=6m过程中，发动机的平均功率为
故D正确。
故选CD。
9．（多选）近年来，国产新能源汽车技术进步明显，比亚迪秦 搭载第五代DM技术的混动“双引
擎”小汽车在实测中，百公里油耗小于2.5L，综合续航里程超过2300km，续航实现了巨幅提升，远超传
统燃油车。若质量 的“双引擎”小汽车，当行驶速度 时靠电动机输出动力；当行驶
速度在 范围内时靠汽油机输出动力，同时内部电池充电；当行驶速度 时
汽油机和电动机同时工作，这种汽车更节能环保。若该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵
引力F随运动时间t变化的图像如图所示，若小汽车行驶过程中所受阻力恒为1250N。已知汽车在 时刻
第一次切换动力引擎，以后保持恒定功率行驶至第 时刻。下列判断正确的是（ ）
A． 阶段汽车的加速度为
B．汽车第一次切换动力引擎时刻
C．电动机输出的最大功率为90kW
D． 时刻后若要继续加速将是“双引擎”同时工作模式
【答案】AD
【详解】A．开始阶段，牵引力F=5000N，根据牛顿第二定律
1
解得开始阶段的加速度故A正确；
B．汽车第一次切换动力引擎时v=54km/h=15m/s，运动的时间
1
s
故B错误；
C． 时刻，电动机输出功率最大
P = =75kW
m
故C错误；
D．汽油机工作期间，功率
W=90000W 时刻汽车的速度为
=90km/h
根据题意，若要继续加速将是“双引擎”同时工作模式，故D正确；
故选AD。
10．（多选）某同学将一个质量为m的乒乓球以初速度 竖直向上抛出，若上升过程中乒乓球的加速度大
小a随速率v的变化关系如图所示，乒乓球上升到最高点后又落回到抛出点，落回到抛出点前已经开始做
匀速运动。已知乒乓球受到的空气阻力与乒乓球的速度大小成正比，重力加速度大小为g。关于乒乓球从
开始上抛到再次回到抛出点的运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球上升过程中，当速度减到 时，受到的空气阻力大小为2mg
B．乒乓球回到抛出点时的速度大小为C．乒乓球上升过程中，乒乓球减少的机械能为
D．乒乓球下降过程中，乒乓球克服空气阻力做的功小于
【答案】BD
【详解】A．由题图可知，加速度与速度成一次函数关系，有
对上升阶段乒乓球受力分析有
整理有
由于 ，所以解得
故A项错误；
B．由上述分析可知，当其速度为 时，其阻力的大小为mg，又因为乒乓球在回到抛出点前已经匀速，有
解得
即此时乒乓球的速度大小为 ，故B项正确；
C．由之前的分析可知，有
即阻力关于v均匀变化，则上升过程的平均阻力为则上升过程中克服阻力做功为
动能定理有
解得
由功能关系可知，阻力做负功机械能减少，有上述分析可知，机械能减少 ，故C项错误；
D．整个过程分析有
解得
又由于上升过程其做空气阻力做功为
所以下降阶段空气阻力做功为
则下降阶段克服空气阻力做功为 小于 ，故D项正确。
故选BD。
11．随着科学技术的不断发展进步，无人机已广泛应用于生产和生活。某厂家在无风的天气做无人机飞行
测试，让无人机从地面由静止开始竖直上升，上升过程的速度与时间关系如图所示，其中0~2s内图像为直
线，2s末电动机功率达到额定值，此后保持额定功率运动。已知无人机总质量m=2.0kg，空气阻力恒为无
人机总重力的0.1倍，g取10m/s2，求：（计算结果均保留两位有效数字）（1）无人机在0~2s内电动机提供的牵引力F；
（2）无人机竖直向上运动过程能够达到的最大速度v ；
m
（3）无人机2~6s内上升的高度H。
【答案】（1）28N；（2）7.6m/s；（3）30m
【详解】（1）由图可知 内无人机做匀加速直线运动，其加速度
空气阻力恒为无人机总重力的0.1倍，则空气阻力
根据牛顿第二定律
代入数据解得
（2）2s末电动机功率达到额定值，此时速度 ，根据功率公式
当无人机速度最大时，无人机加速度为零，可得
又因为
代入数据解得
（3）2-6s内，时间间隔 ，由动能定理可得代入数据解得
12．图甲是我国自主设计开发的全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机
打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t=0
时刻由静止开始提升质量为m=200kg的物体，其a-t图像如图乙所示，5~10s内起重机的功率为额定功率，
不计其它阻力，g取10m/s2。求：
（1）起重机的额定功率；
（2）10s内起重机对物体做的功。
【答案】（1）2.4×104W；（2）1.8×105J
【详解】（1）由a-t图像可知，0～5s物体做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
解得
5s末物体的速度为
解得
起重机的额定功率为
解得（2）0～5s物体位移为
0～5s内起重机对物体做的功为
5~10s内起重机对物体做的功为
10s内起重机对物体做的功为
13．图甲是某科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最
短的轨道叫做最速降线轨道。取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道
的起点M高度相同，终点N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于N点，轨道Ⅱ末端与水平面平滑连
接。若将两个完全相同的小球a和b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上
的小球a先到达终点。已知M距离地面的高度为H，两个小球的质量都为m，重力加速度为g，不考虑小
球的滚动影响；
（1）忽略各种阻力，求小球沿Ⅰ轨道运动到最N点的速度大小；
（2）若考虑轨道摩擦力的影响，设小球和轨道间的滑动摩擦因数为 ，
a.求小球沿Ⅱ轨道下落到N点的过程中，克服摩擦力做的功；
b.试比较两小球从M运动N过程中克服摩擦力做功的大小；
c.请设计出可行的实验方案来验证你上一问的结论，简要说明实验方案的思路以及对应的实验结果。
【答案】（1） ；（2）a. ；b. ；c.见解析
【详解】（1）由动能定理可得解得
（2）设轨道Ⅱ与水平面的夹角为 ，斜面长s。
a.由受力分析可知，小球受到的摩擦力
则从M滑到N过程中，克服摩擦力做功为
b.小球从轨道Ⅰ下落过程中，所受摩擦力为变力，求摩擦力做功可以通过微元法，把Ⅰ轨道分成很多段，
每一段f可认为是恒力。在第i段轨道中，设该段轨道的延长线和地面的夹角为 ，对应的曲率半径为 ，
由受力分析可知，
则
小球克服摩擦力做功
c.由动能定理可知，小球滑到最底端的动能为
因此可以把比较 转换成比较 的大小，只需设计实验方案比较小球运动到N点的速度大小即可。比如
在N点安装光电门。
