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第27讲 机械能守恒定律及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·重庆·统考二模）2022年中国空间站已经全面建成，目前已经转入应用与发展阶段。如图所示，
若该空间站仅在地球引力作用下绕地球沿椭圆轨道运动，则运动过程中不变的物理量是（ ）
A．动量 B．加速度 C．动能 D．机械能
【答案】D
【详解】AC．空间站绕地球做椭圆运动过程中，速度大小和方向不断改变，故动量时刻改变，动能时刻改
变，故A C错误；
B．空间站到地心的距离不断改变，由万有引力提供向心力 可知，加速度时刻改变，故B错
误；
D．空间站仅在地球引力作用下运动，所以机械能守恒，故D正确。故选D。
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图所示，轻弹簧一端连接小球，另一端固定于O点，现将球拉到与
O点等高处，弹簧处于自然状态，小球由静止释放，轨迹如虚线所示，上述运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球的重力势能先减小后增大
C．当球到达O点的正下方时，弹簧的张力最大
D．当球到达O点的正下方时，重力的瞬时功率为0
【答案】B
【详解】A．以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，由于只有重力和弹力做功，故系统的机械能守
恒；小球运动过程中受到弹簧弹力做功，则小球的机械能不守恒，故A错误；
B．下摆过程中小球的重力做正功，重力势能减小；通过最低点后小球上升时重力做负功，重力势能增
大，故B正确；C．下摆过程中，弹簧的伸长量逐渐增大，小球运动的最低点在O点正下方左侧，即张力最大位置在O点
正下方左侧，故C错误；
D．当小球到达O点的正下方时，小球的速度方向为左下方，速度方向与重力方向不垂直，则重力的瞬时
功率不为零，故D错误。故选B。
3．（2023·山东·模拟预测）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最高、设施最完善的大型滑雪
场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角 ，示意图如图所示。运动员从a点由静止自
由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计
一切阻力，若要求运动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差
（ ）
A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
【答案】A
【详解】运动员从a点到b点，根据机械能守恒有 在b点，由圆周运动规律有
联立解得 故选A。
4．（2022·河北·校联考模拟预测）如图甲所示，倾角为30°足够长的斜面固定在水平地面上， 时刻质
量为m的光滑物块由斜面底端以一定的初速度v冲上斜面。以水平地面为零势能面，物块的重力势能E 随
p
位移x变化的关系如图乙所示。已知物块位移为x=2.5m时速度为0，取 ，则（ ）
A．物块的质量为0.3kg
B．当x=1.5m时，物块的速度大小为
C．物块的重力势能与动能相等时，物块的位移大小为0.75m
D．当x=2m时，物块的动能为3J
【答案】B
【详解】A．根据 物块的重力势能E 随位移x变化的关系中斜率 求得
p
，A错误；B．对物体从x=1.5m到x=2.5m，由动能定理可得 求得 ，B正
确；
C．设位移x处物块的重力势能与动能相等， 又机械能守恒
求得 ，C错误；
D．当x=2m时， 求得 ，D错误。故选B。
5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，一半径为 、内壁光滑的四分之三
圆形管道竖直固定在墙角处， 点为圆心， 点为最低点，A、B两点处为管口， 、A两点连线沿竖直方
向， 、B两点连线沿水平方向。一个质量为 的小球从管道的顶部A点水平飞出，恰好又从管口
B点射入管内，重力加速度 取 ，则小球从A点飞出时及从B点射入管内经过 点时对管壁的压力大
小之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小球从A点做平抛运动到 点，则有 ， 解得 在A点若小球对上、下管壁
均无压力，则 解得 因为 所以管壁对小球有向上的支持力，则
解得 由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力 小球到 点时竖直方向的速度
在 点与管壁碰撞，水平速度减为零，从 点到 点的过程由机械能守恒定律得
在 点对小球由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律
可知小球对管壁的压力 则小球从A点飞出时及从 点射入管内经过 点时对管壁的压力大
小之差为 故选B。
6．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。
小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图所示。重力加速度g取10m/s2，则（ ）
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点时的速度为2 m/s
【答案】B
【详解】A．由题图乙可知，当h＝0时，绳的拉力为F＝41 N，当h＝1.0 m时绳的拉力为F＝11 N，可知
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小球做圆周运动的半径 ，A错误；
BD．设小球通过最高点时的速度为v，通过最低点时的速度为v，由机械能守恒定律可得
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在最高点，根据牛顿第二定律可知 在最低点，根据牛顿第二定律可知
联立解得m＝0.5 kg；v＝4 m/s，B正确，D错误；
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C．设轻绳转至水平时小球的速度为v，从最高点到水平时，由机械能守恒定律可得
解得 由牛顿第二定律可知，轻绳转至水平时拉力 ，C错误。故选B。
7．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，跨过轻质滑轮a、b的一根轻质细绳，一端接在天花板上，另
一端与小物块A相接，A放在长为L、倾角为 的光滑斜面体上。物块B用细线悬挂在滑轮a的下方，细
线Ab段与斜面平行，动滑轮两侧细线均竖直。A与B的质量分别为m、2m，重力加速度大小为g，不计动
滑轮与绳之间的摩擦以及空气阻力，忽略A的大小。现将A从斜面底端由静止释放，一段时间后，A沿斜
面匀加速上滑到中点，此时B尚未落地，整个过程中斜面体始终静止在水平地面上。下列说法正确的是（
）
A．该过程中，B的机械能不变B．该过程中，地面对斜面体的摩擦力大小为
C．A到达斜面中点的速率为
D．该过程中，细线的拉力大小为
【答案】B
【详解】A．由于B沿竖直方向匀加速下降，除重力以外还有绳子拉力做功，所以B机械能不守恒，故A
错误；
B．A对斜面的压力大小为 对于斜面，在水平方向由平衡条件可得，地面对斜面的摩擦
力大小为 故B正确；
C．A沿斜面匀加速上滑到斜面中点的过程中，A、B机械能守恒可得
又 联立解得 ， 故C错误；
D．设细线上的拉力大小为F，设A的加速度大小为a，由于B的加速度为A的加速度的一半，对
A、B分别由牛顿第二定律可得 ； 联立解得 ， 故D
错误。
故选B。
8．（2023·山东威海·统考二模）如图所示，A、B两小球由绕过轻质光滑定滑轮的细线相连，A放在固定
的倾角为30°的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平
地面上。现用手控制住A，使细线恰好伸直，保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知B、C
的质量均为m，重力加速度为g。松手后A由静止开始沿斜面下滑，当A速度最大时C恰好离开地面，则
A下滑的最大速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对A、B整体，由平衡条件可得 ，F为此时弹簧的弹力，因此时C恰好离开地面，则有 联立解得 ，C恰好离开地面时，对C则有 解得 此时A、B
有最大速度，且A、B速度大小相等。开始时系统静止，弹簧被压缩，绳上无拉力，对B则有
解得 从释放A到C恰好离开地面的运动中，弹簧的弹性势能变化量是零，在此运动中A、B、C组
成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可得 解得
故选A。
9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图所示，两个完全相同的轻质小滑轮P、Q固定在
天花板上，一段不可伸长的轻质细绳通过滑轮，两端分别系住小球A、B，现用一轻质光滑小挂钩将小球C
挂在滑轮PQ之间的水平细绳的中间位置上，静止释放小球C，在小球C下降的某时刻，拉小球C的细绳
与水平方向成 角。已知三小球ABC的质量均为m，A、B小球始终没有与P，Q相撞，忽略一切阻力，
， ，则下列关于小球C在下降过程中说法正确的个数为（ ）
①ABC三小球组成的系统机械能守恒
②小球C重力做功的瞬时功率先变大后变小
③ABC三小球的速度大小的关系为
④当 时小球C下降到最低点
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】①忽略一切阻力，ABC三小球组成的系统，机械能没有向其他形式能量转化，机械能守恒。①正
确；②小球C在下降过程中，小球C速度先增大后减小，由 可知，小球C重力做功的瞬时功率先
变大后变小。②正确；③由小球C速度分解如图所示由对称性可知 ，又 得 ③正确；④设滑轮PQ之间的水平细绳的长度为
，小球C下降到最低点时，下降的高度为 ，滑轮与小球C之间长度为 ，如图所示
小球C下降到最低点过程中，三球组成的系统机械能守恒 又 解得 此时
得 ④正确。说法正确的个数为4个。故选A。
10．（2023·四川成都·统考三模）如图，圆心为O 的光滑半圆环固定于竖直面，轻弹簧上端固定在O 正上
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方的O 点，c是OO 和圆环的交点；将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在
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a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长，在c点时弹簧被压缩， 。则下列判断正确的
是（ ）
A．小球在b点受到的合力为零
B．弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量
C．弹簧处于原长时，小球的速度最大
D．在a、b之间，小球机械能最大的位置有两处【答案】D
【详解】A．套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动，表明小球在a点的合力
不等于零，合力的方向沿着a点的切线向上；因为系统的机械能守恒，a点和b点关于OO 对称，所以小
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球在b点受到的合力不等于零，合力的方向b点的切线向上，A错误；
B．小球从a点到c点运动的过程中，小球在a点时动能最小等于零，小球在a点时位置最低，小球在a点
时的重力势能最小，那么，小球在a点时的机械能最小；又因为小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以
小球在a点时，弹簧的弹性势能最大，那么，小球在a点时弹簧的形变量最大，所以弹簧在a点的伸长量
一定大于弹簧在c点的压缩量，B错误；
C．小球受到重力、弹簧的拉力、圆环的支持力，这三个力的合力为零时，小球的速度最大，此时弹簧处
于伸长状态，C错误；
D．因为系统的机械能守恒，所以弹簧处于原长时，小球的机械能最大；在a、b之间，弹簧处于原长的位
置有两处，一处位于a、c之间，另一处位于c、b之间，这两点关于OO 对称，D正确。
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故选D。
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考三模）如图甲，倾角为 的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下
端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过
程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，
下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在 处，滑块的机械能最大
C．在 和 两段过程中， 图线斜率的绝对值均等于
D．在 和 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
【答案】C
【详解】A．由图可知，当小球下落到 时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为
，则有 解得 ，A错误；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性
势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此
时小滑块的机械能最大，B错误；C．在 的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有 又由A项可知
联立解得 由图可知，当 时 联立解得 即为该段图
线的斜率绝对值；在 过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有 又
联立解得 由图可知，当 时 联立解得 即为该
段图线的斜率绝对值，故可得在 和 两段过程中， 图线斜率的绝度值均等于 ，C
正确；
D．由图可知， 的距离差小于 两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。
故选C。
12．（2022·重庆·模拟预测）如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有
长度为a的一段下垂， ，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得 故ABC错误，D正确。故选D。
13．（2022·山东烟台·统考一模）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，
A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径
稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰
动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）A．小球不能返回到A点
B．小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大
C．小球在C点时的机械能为2mgRsinθ
D．小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
【答案】BD
【详解】A．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球能返回到A点，故A错误
B．小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，小球从A到B的过程中，速度逐渐增大，速度沿斜面
的分量（v）也逐渐增大，根据瞬时功率表达式 可知小球自A点到B点的过程中，重力的瞬
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时功率一直增大，故B正确；
C．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球在C点时的机械能为mgRsinθ，故C错误；
D．根据机械能守恒可得小球到达D点时的速度为 根据牛顿第二定律可得侧壁对小球的支
持力为 解得 管的底部对小球的支持力为 小球到达D点时，细管对小球
的作用力大小为 故D正确。故选BD。
14．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，不计质量的细杆两端分别通过铰链固定有可视为质点的小球A、
B，质量均为m，杆的长度为l。开始时A、B均靠在光滑竖直墙面上并处于静止状态，A在光滑水平地面
上。当有轻微扰动后，可能A球开始沿水平面向右滑动，B球随之下降，也可能B球先向右运动。两球始
终在同一竖直平面内运动，细杆与水平方向的夹角为 （ ），重力加速度大小为g。下列说法正确
的是（ ）
A．不管A先向右运动还是B先向右运动，当 时，A和B的动能都达到最大
B．不管A先向右运动还是B先向右运动，当 时，都会离开竖直墙面
C．A先向右运动时，A球的机械能先增大后减小
D．B先向右运动时，B球的机械能先增大后减小
【答案】BC
【详解】B．若A先向右运动时，假设小球B能一直沿着墙面向下运动，设细杆与水平方向的夹角为
时，两小球的速度大小分别为 、 ，根据连接体关联速度之间的关系可得 即则由动能定理有 整理结合数学知识可得 当
时取等号，说明小球A的动能先增大后减小，即杆中先存在挤压的内力，之后出现拉伸的内力，
故此后B会离开墙面，直至B落地，B的重力始终对AB组成的系统做正功，因此B的动能始终增大；若
B先向右运动时，当杆与水平方向成 角时，球B的速度大小为v，根据机械能守恒定律有
解得 对于小球B，由牛顿第二定律有 由上两式解得
当 时 ，即此时A离开墙面，此后AB及杆组成的系统机械能守恒，B的动能继续增大，但B
的机械能减小，一部分机械能转化成了A的动能，故B正确；
A．根据以上分析可知，B的动能一直在增大，直至落地时动能达到最大，故A错误；
C．根据以上分析可知，杆对A的作用力对A先做正功后做负功，故A球的机械能先增大后减小，故C正
确；
D．根据以上分析可知，当B先向右运动时，B球机械能先不变后减小，故D错误。故选BC。
15．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校三模）如图所示，长度为 的轻杆上等距离固定质量均为 的
个小球，轻杆一端连接转动点O，将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放，忽略一切阻力，
重力加速度为 ，则从释放到轻杆摆至竖直位置的过程中是（ ）
A． 时，轻杆对小球不做功
B． 时，轻杆对第1个小球做功为
C． 时，轻杆对第7个小球不做功
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
【答案】ACD
【详解】对整体由机械能守恒有线速度关系 ； 对第k个小球由动能定理有
联立解得
A．当 时， ，故A正确；
B．当 、 时 故B错误；
C．当 ， 时 故C正确；
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足 解得 故D正确。
故选ACD。
16．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C、D、E处于竖直平面
上，各段轻杆等长，其中小球A，B的质量均为2m，小球C、D、E的质量均为m现将A、B两小球置于
距地面高h处，由静止释放，假设所有球只在同一竖直平面内运动，不计一切摩擦，则在下落过程中（
）
A．小球A、B、C、D、E组成的系统机械能守恒
B．小球A、B、C、D、E组成的系统动量守恒
C．小球B落地的速度大小为
D．当小球A的机械能最小时，地面对小球C的支持力大小为mg
【答案】ACD
【详解】AB．小球A、B、C、D、E组成的系统机械能守恒但动量不守恒，故A正确，B错误；
C．由于D球受力平衡，所以D球在整个过程中不会动，所以轻杆DB对B不做功，而轻杆BE对B先做
负功后做正功，所以小球B的机械能先减小后增加；当B落地时小球E的速度等于零，根据功能关系
可知小球B的速度为 ，故C正确；
D．当小球A的机械能最小时，轻杆AC没有力，小球C竖直方向上的力平衡，所以支持力等于重力，故D正确，故选ACD。
17．（2022·湖北·统考高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C
通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两
定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与
水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度
为 时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运
动 距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】（1） ；（2）6.5mg；（3）
【详解】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知 解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知 解得
，CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知 解得
F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机
械能守恒定律可知 令对上式求导数可得 当 时解得 即 此时
于是有 解得 此时C的最大
动能为
18．（2021·重庆·高考真题）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的 圆弧轨道，固定在
竖直平面内，地面水平， 、O'为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释
放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】图中 连线与水平方向的夹角 ，由几何关系可得 可得 设小物块通过N
点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，由机械能守恒定律可知 解得
故D正确，ABC错误。故选D。
