文档内容
第 21 讲 机械能守恒定律
目录
01 模拟基础练
【题型一】机械能守恒的判断
【题型二】机械能守恒定律的表达式
【题型三】机械能守恒定律在绳、杆、弹簧模型中的应用
【题型四】机械能守恒定律在曲线运动中的应用
02 重难创新练
【题型一】机械能守恒的判断
1．如图所示，光滑圆弧轨道AB与粗糙水平面BC平滑连接，一个小球从圆弧轨道的A点释放，经圆弧轨
道AB和平面BC后从C点水平飞出，落在地面上D点，不计空气阻力，在此过程中下列说法正确的是（
）
A．从A到B的过程机械能不守恒
B．从B到C的过程机械能不守恒
C．从C到D的过程机械能不守恒
D．从A到D的整个过程机械能守恒
2．下列关于如图的说法正确的是（ ）A．图甲中“蛟龙号”被吊车匀速吊下水的过程中它的机械能守恒
B．图乙中物块在恒力F作用下沿固定粗糙斜面匀加速上滑过程中，物块的机械能减少
C．图丙中物块沿固定斜面匀速下滑过程中，物块机械能保持不变
D．图丁中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能增加
3．羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行规律，记录下了如图所示的羽
毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，若空气阻力方向始终与速度
方向相反，则羽毛球在该次飞行中（ ）
A．经过A点时速度等于经过B点时速度
B．经过A点时速度小于经过B点时速度
C．落地前瞬间的速度方向不可能竖直向下
D．落地前瞬间的速度方向有可能竖直向下
【题型二】机械能守恒定律的表达式
4．运动员某次投篮时，篮球的运动过程可简化为如图所示，已知篮球的质量为m，投出时篮球的初速度为
，距离篮框的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气阻力，取篮框所在的平面为零势能面，重力加
速度为g，篮球可看成质点，则下列说法正确的是（ ）A．篮球抛出后在空中做平抛运动
B．篮球在投出点的重力势能为mgh
C．篮球刚进入篮框时的机械能为
D．从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为mgh
5．一个弹性很好的橡胶球从距离地面高为h处被竖直抛下，落到坚硬的水平地面上被弹回，回跳的高度比
抛出点高h，已知重力加速度为g，不计空气阻力和球与地面碰撞时的能量损失，则在抛出点必须以多大
0
的速度将球向下抛出（ ）
A． B． C． D．
6．在距离地面4m的某楼层的墙外侧，以1m/s的速度竖直向上抛出一个质量为50g的小石子（小石子可看
成质点），忽略空气阻力，g取 。求：
（1）石子落地时速度大小v；
（2）石子经过多长时间t落地；
（3）从抛出到落地这段时间内重力做功的平均功率P。
7．如图所示，一倾角 的光滑倾斜轨道与水平轨道 平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右
侧粗糙且足够长。质量均为 的滑块A和B，用长 且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾
斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、 两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为
。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取 。现同时静止释
放A、B，求：
（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量；
（2）A从释放运动到P点过程中，轻杆对B做的功；
（3）A停止运动时的位置与M点的距离。【题型三】机械能守恒定律在绳、杆、弹簧模型中的应用
1．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，
A的质量为B的5倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，A下落到地面时不再弹
起，（不计空气阻力）则B上升的最大高度是（ ）
A．2R B． C． D．
2．如图所示，带孔物块A穿在光滑固定的竖直细杆上与一不可伸长的轻质细绳连接，细绳另一端跨过轻
质光滑定滑轮连接物块B，A位于与定滑轮等高处。已知物块A的质量为m、物块B的质量为 ，定滑
轮到细杆的距离为L，细绳的长度为2L。现由静止释放物块A，不计一切摩擦、空气阻力及定滑轮大小，
重力加速度大小为g，两物块均可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．物块A的机械能一直增大
B．物块A的速度始终小于物块B的速度
C．物块A、B等高时物块B的速度大小为0D．物块A下落到最低点时物块B的速度为0，A下落的最大距离为
3．如图所示，有一光滑轨道 ， 部分竖直， 部分水平， 部分是半径为 的四分之一圆弧，
其中 与 、 相切。质量均为 的小球 、 （可视为质点）固定在长为 的竖直轻杆两端，开始
时 球与 点接触且轻杆竖直，由静止释放两球使其沿轨道下滑，重力加速度为 。下列说法正确的是（
）
A． 球下滑过程中机械能减小
B． 球下滑过程中机械能增加
C． 球滑到水平轨道上时速度大小为
D．从释放 、 球到两球均滑到水平轨道的过程中，轻杆对 球做功为
4．如图所示，倾角 、足够长的固定光滑斜面顶端，质量为 的球 与质量为 的球B用绕过轻质
定滑轮的细线相连，球B与质量为 的球C通过劲度系数为 的轻质弹簧相连，球B距滑轮足够远，球C
放在水平地面上。起始时使整个系统处于静止状态，细线刚好拉直但无张力，滑轮左侧细线竖直、右侧细
线与斜面平行，不计细线与滑轮之间的摩擦，重力加速度为 ，由静止释放球A，当球C刚要离开地面时，
球B恰达到最大速度，从释放球A至弹簧第一次伸长到最长的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球A的质量
B．球C离开地面后，与球B、弹簧组成系统机械能守恒
C．球A沿斜面下滑的最大速度为D．当弹簧第一次伸长至最长时球C的速度为
5．如图所示，一个与水平方向成 角的斜面底端固定一根轻质弹簧，原长时弹簧上端位于图中B点，劲度
系数为k，现从斜面A点由静止释放一个质量为m的小物块（可视为质点），小物块运动到C点时速度为
零，其中 ，AB段光滑，BC段粗糙，动摩擦因数为 ，下列说法正确的是（ ）
A．小物块的最大速度 B．系统最大弹性势能
C．小物块最终停在B点 D．小物块的加速度可能大于
6．如图所示，一质量为m的小球（视为质点）固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小
球拉至A处，此时弹簧恰好无形变。现由静止释放小球，小球运动到O点正下方B点时的速度大小为v，
此时小球与A点的竖直高度差为h。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动到B点的过程中重力势能的减少量为mgh
B．小球从A点运动到B点的过程中机械能守恒
C．小球到达B点时，弹簧的弹性势能为
D．小球从A点运动到B点的过程中克服弹簧弹力做的功为
7．如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，
P点到O点的距离为L， 与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为 。已知弹簧的劲度系数为k，
原长为L，重力加速度为g，现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是（ ）A．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
B．小球通过N点时速率为
C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D．小球从M运动到N的过程中，小球的动能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
8．如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为 的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在
竖直面内自由转动。已知O与A球间的距离 ，O与B球间的距离 ，重力加速度g取 ，
将杆以水平位置由静止释放。求：
（1）杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小；
（2）杆转动到竖直位置的过程中，杆对B球做的功。
【题型四】机械能守恒定律在曲线运动中的应用
1.如图所示，竖直平面内一倾斜光滑直轨道与水平地面在A点平滑连接，一半径 的光滑半圆轨道
BDC与水平地面相切于B点。小滑块从斜面上距水平地面高度为h处由静止下滑，经过水平地面后进入圆
轨道。已知小滑块质量 ，AB段长度 ，小滑块与水平地面间的动摩擦因数 ，重力加
速度g取 ，不计空气阻力。
（1）若小滑块释放后恰好能到达最高点C，求h；
（2）若 ，求：
（ⅰ）小滑块经过与圆心等高的D点时对轨道的压力；
（ⅱ）小滑块刚要脱离半圆轨道时距地面的高度。2.如图所示，水平地面上固定一装置。质量m＝0.1kg的小滑块从距地面高H处静止释放，沿弧形轨道、竖
直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ＝37°的斜轨道BC运动，小滑块第一次运动到A点时速度大小为
m/s。已知竖直圆轨道半径R＝0.2m，小滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ＝0.5，不计其他摩擦，不考虑
滑块在B处的能量损失。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8， ，求：
（1）H的大小；
（2）小滑块运动到圆轨道最高点D时对轨道的压力大小F；
（3）小滑块在斜面BC上的最大高度h。
1．蹦极运动以其惊险刺激深得年轻人的喜爱，图示为某次蹦极运动中的情景，原长为l、劲度系数为k的
轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为m的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当
蹦极者距离机臂h时，下落至最低点。空气阻力恒为重力的 ，重力加速度为g。此过程中（ ）A．蹦极者的最大动能为
B．蹦极者减少的机械能为
C．弹性绳增加的弹性势能为
D．蹦极者和弹性绳组成的系统减少的机械能为
2．如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O点，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原
长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置由静止释放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹
性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物块运动到A点时的动能最大
B．物块从A点运动到B点过程中机械能守恒
C．物块运动到B点后将在B点保持静止状态
D．弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量
3．如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，已知小球A的质量为
m，用手托住B球，轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于水平地面上。现释放B球，落
地时的速度为 。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（
）
A．B球的质量为4mB．A球上升h的过程中，轻绳对A球的拉力做的功为mgh
C．B球从释放至落地，运动的时间为
D．A球从地面开始上升的最大高度为1.6h
4．如图所示，物体Q锁定在水平地面上，不可伸长的轻质细线一端连接在Q上，另一端绕过三个光滑轻
质小滑轮后固定在地面上。物体P与滑轮2相连，系统静止，四段细线都竖直，现解除对物体Q的锁定，
物体P触地后静止不动，物体P触地瞬间连接物体Q的绳子断开。已知物体P与地面间高度差为h，物体
P、Q质量分别为3m、m，重力加速度为g，天花板离滑轮1和3足够高，物体P、Q均可视为质点，不计
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．物体Q上升过程中的最大速度为
B．物体Q上升过程中的最大速度为
C．物体Q上升的最大高度为
D．物体Q上升的最大高度为
5．如图所示，一质量为m的物块a穿在固定竖直杆上，轻绳一端系于物块a上，绕过轻质定滑轮O后，
另一端系于质量为3m的物块b上。初始时a在外力作用下保持静止，且Oa连线水平、长为L。现撤去外
力，全过程a未落地，b未触碰定滑轮，不计一切阻力和摩擦，重力加速度为g。在物块a下降过程中，下
列说法正确的是（ ）A．物块a刚释放时的加速度为g B．物块a在最低点的加速度为0
C．物块a下降的最大高度为 D．物块a的机械能先增大后减小
6．如图所示，悬点O下方固定一光滑小圆环，水平光滑细长杆左侧套有一物块Q。现用一轻质细绳跨过
小圆环，细绳一端连接物块Q，另一端悬挂一物块P，物块Q在外力作用下静止时到圆环部分的细绳与长
杆的夹角 ，小圆环下端到长杆的距离为h。现将P、Q由静止释放，已知物块P、Q的质量之比为
，取重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力。对于物块Q从开始运动到速度第一次为0的过程，物
块Q不与竖直细绳接触，下列说法正确的是（ ）
A．物块Q的位移大小为
B．该过程中物块P的机械能一直在减小
C．该过程中物块Q的最大速度为
D．该过程中物块P一直处于失重状态
7．如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成 角，B套在固
定水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的
刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成 角）连接，A、B从静止释放，B沿水平面向右运动，不计一切摩擦，
滑块A、B均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（ ）A．当A到达B所在水平面时
B．当A到达B所在水平面时，B的速度为
C．滑块B到达最右端时，A的速度为
D．滑块B的最大动能为
8．如图所示，质量均为m的物体A、B用跨过滑轮O的轻绳连接，A穿在固定的竖直光滑杆上，B置于倾
角 的光滑固定斜面上。一劲度系数 的轻质弹簧的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连
接B。初始时，施加外力将A置于N点，轻绳恰好伸直但无拉力， 段长为 ，与杆垂直， 段与斜面
平行。现将A由静止释放，沿杆下滑到最低点 ， 为 中的一点，且 。A、B均可视为质点，
运动过程中B不会与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计一切阻力。则A从N点下
滑到M点的过程中（ ）
A．B沿斜面运动的距离为 B．A、B组成的系统机械能守恒
C．经过M点时A的速度大小为 D．轻绳对A做的功为
9．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在光滑固定直杆A处质量为m
的小球（可视为质点）相连。A点距水平面的高度为h，直杆与水平面的夹角为30°，OA＝OC，B为AC的
中点，OB等于弹簧原长。小球从A处由静止开始下滑，经过B处的速度为v。已知重力加速度为g，下列
说法正确的是（ ）A．小球在C点时的动能 B．小球通过B点时的加速度为
C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．小球下滑过程机械能守恒
10．篮球气压过高或过低都会影响篮球的弹性和手感，从而影响球员的技术发挥。简易的测试方法是在平
坦的硬质水平地面上，让篮球从180cm的高度自由落下，反弹高度在125cm至140cm之间即表示篮球气压
正常。某次检测中，运动员使篮球从距水平地面高度为h=1.8m处由静止自由落下，反弹高度为
1
h=1.25m。设篮球始终在竖直方向做一维运动，已知篮球质量为m=0.60kg，重力加速度g=10m/s2，不计空
2
气阻力。
（1）求此次碰撞过程中篮球损失的机械能∆E；
（2）篮球每次因碰撞损失的机械能会随着碰前动能的减小而减小，设篮球每次与地面碰撞前后的动能的
比值不变。若使篮球从距地面h=1m的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下拍球，球落地后反弹的
3
高度也为1m。求拍球过程中人对篮球做的功W；
（3）在实际拍球过程中，篮球上升到某高度时，手就会接触篮球并对球施加一个向下的阻力F，球和手
1
一起运动距离s后上升到最高点。然后手对球施加向下的动力F，通过相同的距离s后，篮球与手分开。
2
手对球的两次作用力均视为恒力，拍球过程中篮球距离地面的最大高度相同。通过分析比较F、F 大小关
1 2
系。
11．如图所示，倾角 的固定光滑斜面上固定着挡板，轻弹簧下端与挡板相连，弹簧处于原长时上端
位于D点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑定滑轮连接物体A和B，使滑轮左侧绳子始终与斜面平行，
初始时用手按住物体A，使其静止在斜面的C点，C、D两点间的距离为L，现由静止释放物体A，物体A
沿斜面向下运动，将弹簧压缩到最短的位置为E点，D、E两点间距离为 ，若物体A、B的质量分别为
4m和m，不计空气阻力，重力加速度为g，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：
（1）物体A从静止释放后下滑到D点时的速度大小；
（2）弹簧被压缩后的最大弹性势能；
（3）查阅资料可知弹性限度内，弹簧弹性势能的表达式为 ，其中k为劲度系数，x为弹簧的形变
量。若物体A下滑到E点时剪短细绳，请通过计算判断物体A能否回弹，若能回弹，求回弹的最大距离；
若不能回弹，求需要把弹簧再压缩的距离。12．在某星球表面，宇航员在离地面 高处将一小球以 的速度水平抛出，小球落地时距抛
出点的水平距离为 ，已知该星球的半径 ，求：
（1）该星球表面的重力加速度g大小；
（2）该星球的第一宇宙速度 大小；
（3）在该星球上进行如下实验，实验装置如图所示，竖直平面内的光滑轨道由斜面轨道AB和圆弧轨道
BC组成，将质量 的小球从轨道AB上高 处由静止释放，用力传感器测出小球经过最高
点C时对轨道的压力F恰好为0，求该圆弧轨道BC的半径r的大小。
13．如图，一半径为R，质量为M的光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，O点为圆环圆心。
在大圆环上套着两个质量均为m的a，b小环。当两小环由大圆环的最高点同时静止释放，分别沿大圆环
逆时针和顺时针下滑。设 为b环和圆心连线与竖直方向的夹角，在小环下滑的过程中，已知重力加速度
为g，不计空气阻力，求：
（1）大圆环对小环的作用力为0时， 的值；
（2）若 时，地面对大圆环作用力恰好为0，求 的值。14．如图所示，一游戏装置由安装在水平台面上的轻质弹簧、水平直轨道AB，两个圆心分别为O、O 的
1 2
半圆轨道BCD、EFG，水平直轨道HI及弹性板组成。弹右端固定，O、O 在同一竖直线上，C、F分别与
1 2
O、O 等高，轨道各部分平滑连接，且处于同一竖直面上。游戏时，压缩的弹簧将小滑块向左弹出，弹簧
1 2
的弹性势能完全转化为滑块的动能，滑块沿轨道运动，滑块与弹性板碰后以等大速率弹回。已知弹簧的弹
性势能最大值E =1.0J，轨道BCD的半径R=0.9m，EFG的半径R=0.5m，HI的长度l=1m，滑块质量
pm 1 2
m=0.02kg（可视为质点），滑块与轨道HI间的动摩擦因数μ=0.5，其余各部分轨道均光滑。在某次游戏中
滑块第1次运动到B点时的速度大小v=10m/s。
1
（1）求此次游戏开始时弹簧的弹性势能E ；
p1
（2）求此次游戏过程中滑块第1次经过D时受到轨道BCD的弹力大小F ；
N
（3）要使滑块在游戏过程中不脱离轨道，求弹簧的弹性势能E 的取值范围。
p
