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第32讲 三大基本观点的综合应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山东聊城·统考三模）面对能源紧张和环境污染等问题，混合动力汽车应运而生。混合动力汽车，
是指拥有两种不同动力源（如燃油发动机和电力发动机）的汽车，既节能又环保。汽车质量为M，静止在
平直路面，只采用电力驱动，发动机额定功率为 启动，达到的最大速度 后，再次提速，两种动力同时
启动，此时发动机的总额定功率为 ，由 经时间 达到最大速度 （未知）；运动一段时间后，开始
“再生制动”刹车，所谓“再生制动”就是车辆靠惯性滑行时带动发电机发电，将部分动能转化为电能储
存在电池中。加速过程中可视为阻力恒定；“再生制动”刹车过程中阻力的大小可视为与速度的大小成正
比，即 。求：
（1）汽车速度由 到 过程中前进的位移 ；
（2）汽车由速度 减到零过程中行驶的距离 。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）发动机额定功率为 启动，达到的最大速度 时有 所以汽车加速过程中的阻力
同理发动机的总额定功率为 ，达到最大速度 时有 解得 汽车速度由 到 过程中根据动
能定理有 解得前进的位移
（2）“再生制动”刹车过程即速度由 减到零的过程，根据动量定理有
解得汽车由速度 减到零过程中行驶的距离
2．（2023·山东济南·统考三模）如图所示，水平传送带以v=2m/s的速度顺时针匀速转动，传送带的长度
0
L=6.2m，每隔Δt=0.5s将物块（可视为质点）P、P、P、P……依次无初速度放置于传送带左端A点，一
1 1 2 3 4
段时间后物块从传送带右端B点离开传送带做平抛运动，最后落入货车车厢，货车始终保持静止。已知每
个物块的质量均为m=1kg，物块与传送带间的滑动摩擦因数为μ=0.1，B点与货车车厢底板间的竖直高度
h=0.8m，物块从接触车厢底板到减速为0（忽略物块的反弹和相对车厢的滑动）的时间为Δt=0.1s，重力加
2
速度g=10m/s2，求：
（1）物块P 从A点运动到刚接触车厢底板瞬间的时间t；
1
（2）传送带上相邻两物块间的最大距离Δx 和最小距离Δx；
1 2
（3）物块P 刚到达B点时传送带克服摩擦力做功的瞬时功率P；
1（4）物块P 从接触车厢底板到减速为0的过程中对车厢底板的平均作用力 的大小。
1
【答案】（1）4.5s；（2）1m；0.125m；（3）8W；（4）
【详解】（1）小物块在传送带上加速的过程满足 解得a=1m/s2由v=at 解得t=2s；
0 1 1
解得x=2m小物块在传送带上匀速的过程满足 解得t=2.1s在平抛运动中 解得t=0.4s
1 2 3
则
（2）当相邻两个物块相对静止时距离最大 解得 当物块刚被放上传送带上时与上一个物
块距离最小
（3）当P 刚到B点时，已经静止的物块个数为 即有5个木块与传送带间的摩擦力为零，仍在
1
加速的物块的个数为 即有4个木块与传送带间的摩擦力为滑动摩擦力，传送带克服摩擦力做功
的功率， 解得P=8W
（4）物块从接触车厢底到减速为零的过程中，在竖直方向满足 ；
解得F=50N在水平方向满足 ；F=20N；
y x
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图所示，滑块A（可视为质点）位于小车B的最左端，二
者一起以 的初速度向右匀速运动，木块C静止在小车B的正前方，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰
撞时间极短可忽略不计。已知A、B、C的质量分别为 ，A与B之间、C与
水平地面之间的摩擦因数均为 ，不计小车B与地面之间的摩擦，小车的表面水平且足够长，重力加
速度 。求：
（1）小车B和木块C第1次碰撞后，A、B、C的加速度大小；
（2）小车B和木块C第2次碰撞前，滑块A与小车B摩擦产生的热量 ；
（3）小车B和木块C第3次碰撞前，木块C运动的位移 的大小。
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）【详解】（1）设小车B和木块C第1次碰撞后速度分别为 和 ，弹性碰撞满足 ；
解得 ， 滑块 速度不变，滑块 和小车B发生相对滑动，由牛顿
第二定律得， ， ， 解得 ， ，
（2）小车B和木块C第1次碰撞后，滑块 匀减速，小车B匀加速，木块C匀减速，在小车B和木块C
第2次碰撞前，设滑块 和小车B已经达到相同速度 一起匀速运动，对滑块 和小车B系统，由动量守
恒得 解得 由能量守恒得 解得
（3）滑块 和小车B以速度 一起匀速运动，在小车B和木块C第2次碰撞前，假设木块C未停止运动，
速度为 ，两次碰撞之间小车B和木块C的位移均为 ，由运动学关系得 ，
解得 或 （舍）所以假设成立，小车B和木块C第2次碰撞前木块C未停止运动
设小车B和木块C第2次碰撞后速度分别为 和 ，弹性碰撞满足 ；
解得 ， 设在小车B和木块C第3次碰撞前，
滑块 和小车B已经达到相同速度 一起匀速运动，对滑块 和小车B系统，由动量守恒得
解得 设小车B和木块C第2次碰撞后到第3次碰撞前的过程中，小车B
和木块 C 的位移均为 ，第 3 次碰撞前 C 的速度为 ，由运动学关系得 ，
解得 或 （舍）， 同理，小车B和木块C第3次碰撞前木块C未停止运动
解得
4．（2023·安徽·模拟预测）如图，长为 的传送带以大小为 的速度沿顺时针方向匀速转动，一足够长的
长木板紧靠传送带右端 放在光滑的水平面上，长木板的上表面与传送带的上表面在同一水平面上，水平
地面右侧有一竖直固定的弹性挡板。一可视为质点、质量为 的物块轻放在传送带的左端A，随传送带运
动到 端，以速度 滑上长木板，并与长木板一起向右运动，长木板与挡板第一次碰撞前物块与长木板已
达到共同速度。已知长木板的质量为 ，物块与长木板间的动摩擦因数为0.4，长木板与挡板碰撞是弹
性碰撞，重力加速度为 。求：
（1）物块与传送带的动摩擦因数至少为多少；物块在传送带上运动的时间最长为多少；
（2）开始时，长木板的右端离挡板的距离至少为多少；
（3）长木板与挡板第 次碰撞前一瞬间，长木板的速度为多大。【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）物块以速度v滑上长木板，设物块与传送带的动摩擦因数至少为 ，由牛顿第二定律及匀
变速直线运动规律得 ； 解得 物块在传送带上一直加速时运动的时间最长，最
长时间为
（2）物块第一次在木板上滑动的过程中，由动量守恒定律得 设此过程中木板的位移为
x，对木板由动能定理得 解得 即开始时长木板的右端离挡板的距离至少为
（3）长木板与挡板第一次碰撞到第二次碰撞，由动量守恒定律得 ；
长木板与挡板第二次碰撞到第三次碰撞，由动量守恒定律得
； 可知，长木板与挡板第 次碰撞前一瞬间，长木板的
速度为
5．（2023·山东·模拟预测）利用示踪原子来探测细胞间的亲和程度是生物技术中的重要手段之一，其过程
的一部分与下列物理过程极为相似：如图甲所示，光滑水平面上固定有一个发射装置，利用该装置向正对
装置方向滑来的物块A和B（A、B相对静止）发射一个示踪滑块C，示踪滑块C将记录下它与发射装置
之间的距离x。已知物块B叠放在物块A上，物块A的质量为3kg，示踪滑块C的质量为1kg，每次发射速
度大小均为10m/s，与物块A之间的碰撞均为弹性碰撞，且物块A足够长，每次A、C相碰前，A、B间均
已相对静止，某次测量的滑块C的 图像如图乙所示。滑块C和物块B均可视为质点，重力加速度
。求：
（1）第一次碰后滑块C的速度大小；
（2）物块B的质量；
（3）物块A、B间的动摩擦因数。
【答案】（1）8m/s；（2）6kg；（3）0.4
【详解】（1）由 图像可知， 时滑块C与A相碰，此时C与发射装置之间的距离
时滑块C返回到发射装置处，设第一次碰后C的速度大小 ，则（2）设A、B在第一次与C碰撞前的速度大小为 ，以滑块C的初速度方向为正，第一次碰撞后瞬间A
的速度大小为 ，对A、C由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有
解得 之后A、B相对静止，设共同速度大小为
，对A、B由动量守恒定律有 同理第二次碰撞前滑块C到发射装置之间距
离 第三次碰撞后C的速度大小为 设第二次碰撞后瞬间A的速度为
，则 ； 联立以上各式，解得
（3）由（2）分析可知第一次A、C相碰时A距离发射装置10m，第二次A、C相碰时A距离发射装置
11m，且A、B处于静止状态，即A向右运动了 对物块A由动能定理有 解得
6．（2023·山东威海·统考二模）如图所示，足够长的倾角为θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底
端固定有垂直于斜面的挡板P。质量为M=1kg的“L”形木板A被锁定在斜面上，木板下端距挡板P的距离
为x=40cm。质量为m=1kg的小物块B（可视为质点）被锁定在木板上端，A与B间的动摩擦因数 。
0
某时刻同时解除A和B的锁定，经时间t=0.6s，A与B发生第一次碰撞，在A与P发生第二次碰撞后瞬间
立即对B施加沿A向上的恒力F=20N。当B速度最小时再一次锁定A。已知A与P、A与B的碰撞均为弹
性碰撞，且碰撞时间极短，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g=10m/s2.求：
（1）A与P发生第一次碰撞前瞬间B的速度大小；
（2）从开始运动到A与B发生第一次碰撞的时间内，系统损失的机械能；
（3）A与P第二次碰撞时，B离挡板的距离；
（4）B从开始运动到离开A所用的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）刚解锁时AB相对静止，对AB整体根据牛顿第二定律
根据匀加速直线运动公式 解得
（2）A与P相撞所用的时间 解得 ，B滑动后撞A的时间 可得木板与挡板第一次碰撞后，对A： 解得
对B： 解得 木板与挡板第一次碰撞后,A运动的位移
B运动的位移 木板的长度 根据摩擦生热
（3）A、B碰前的速度 ； ，A、B碰时动量、能量守恒 ；
解得 ； ，AB碰后，对A： ；对B：
根据 解得 这段时间B运动的位移 ，B离挡板的距离
（4）木板与档板第二次碰撞时木块B的速度 ，对A：
解得 ，对B： 解得 ，B减速到零所用时间为t，则
4
解得 ，A经过这段时间后的速度 这段时间AB的位移
； 此时，AB间距离 ，B离木板右端的距
离 木板锁定后，对B： 解得 其中
解得 ，B从开始运动到离开A所用的时间 ；
7．（2023·山东青岛·统考二模）如图，足够大光滑水平桌面上静置质量 、长 的长木板
A，距离木板A左端 处有一与木板等高的表面光滑平台B，平台B固定在桌面上，质量 ，
轻弹簧连接质量 、 的滑块C、D并静置于平台B上，用细线拴连两滑块使弹簧处于压缩
状态。另一质量 的滑块E在桌子右侧斜下方某点获得竖直向上 的初速度，上升过程中除
重力外还受到一个水平恒力F作用，使滑块E恰好从木板右端水平滑上A，同时撤去F，滑块E滑上木板
时的速度 。一段时间后木板与平台碰撞并粘在一起，滑块E继续向左运动并滑上平台。木板与平
台碰撞的瞬间，连接C、D的细线断开，C、D两滑块在平台上振动。以向右为正方向，滑块C的v-t图像
如图乙。滑块E与木板A间动摩擦因数 ，忽略所有滑块大小及空气阻力，C、D始终在平台B上，
重力加速度 。求：
（1）水平恒力F的大小；
（2）滑块E滑上平台B时的速度大小；
（3）滑块E滑上平台B后，与C发生碰撞，并立即结合在一起，考虑所有可能的碰撞情形，求碰后的运
动过程中，E、C、D系统动能的最大值与最小值之差；
（4）若平台B不固定，其他条件不变，A与B碰撞后仍粘在一起，请判定E能否滑上B；若能滑上B，求
E滑上B时的速度大小；若不能滑上B，求E最终离A右端的距离。【答案】（1）F=7.5N；（2） ；（3） ；（4）能，
【详解】（1）设恒力F斜向上，与水平方向的夹角为θ，根据动量定理得，竖直方向
水平方向 整理得
（2）对E、A相互作用过程，设它们能够达到共同速度 ，根据动量守恒和能量守恒可得
；
2解得 ； 对A在该过程，根据动能定理可得
解得 所以E、A相互作用能够达到共同速度，假设正确。对A在该过程，
根据动能定理可得 解得
（3）对E与C、D作用过程，系统外力为零，动量守恒，因此，不论E、C两物体何时何处相碰，三物体
速度相同时的速度是一个定值，此时系统具有最大弹性势能，总动能最小。设三个物体速度相同时的速度
为 ，由动量守恒定律得 解得 ； ；
当C物体具有向左大小为 的速度时，E与C粘在一起，ECD系统动能最大，有 ；
； 最大动能与最小动能之差
（4） A与B碰撞由动量守恒 解得 设EAB能共速，由动量守恒得
解得 由能量转换与守恒定律
解得 所以E能滑上B。对E、A、B根据动量
守恒和能量守恒可得 ；
解得
8．（2023·全国·模拟预测）如图所示，A、B、C的质量分别为 、 、 ，轻弹簧
的左端固定在挡板上，C为半径 的 圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为 时由静止释放小球A，小球A与弹簧分离后与静止的小球B
发生正碰，小球B到圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设
所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取 。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）小球B返回圆轨道底端时对圆轨道的压力
（3）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。
【答案】（1） ；（2）63N；（3）不能
【详解】（1）设碰前小球A的速度为 ，从释放小球A到分离的过程，由能量守恒定律得
代入数据解得 ，A、B碰撞的过程，A、B组成的系统机械能守恒、动量守恒，设A、B碰撞后
的速度分别为 、 ，则有 ； 带入数据解得 ，
小球与圆轨道在水平方向上共速时上升的高度最高，设共同的速度为 ，小球与圆轨道组成的系统在水平
方向上动量守恒，有 小球与圆轨道组成的系统能量守恒，有
代入数据解得 ，
（2）设小球返回圆轨道底端时小球与圆轨道的速度分别 ，由动量守恒定律和能量能守恒定律可得
； 联立带入数据解得 ， 在圆轨道底端对小
球由牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律 ，方向竖直向
下
（3）球A与球B第一次碰后以 的速度向左运动，再次压缩弹簧，根据能量守恒定律，球A与弹
簧分离后的速度大小为 ，经过一段时间，球A与球B发生第二次碰撞，设碰后球A和球B的速
度分别为 、 ，根据动量守恒定律和能量能守恒定律得 ；
联立带入数据解得 ， 因为 ，所以小球B无法第二次进入圆轨道。
9．（2023·湖北·模拟预测）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上，物
块B向A运动，t=0时与弹簧接触，到t=2t 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v-t图像如图（b）
0
所示。已知从t=0到t=t 时间内，物块A运动的距离为0.36vt。A、B分离后，A滑上粗糙斜面
0 00
（μ=0.45），然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，斜面倾角为θ（sinθ=0.6），与水平面光滑
连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求：
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）第一次碰撞后A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B第二次碰撞后A、B的速度
分别为多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时A、B速度相等，即 时刻，根据动量
守恒定律 得m =5m；v =v 根据能量守恒定律
B 共 0
联立解得
（2）B接触弹簧后，压缩弹簧的过程中，A、B动量守恒 对方程两边同时乘
以时间 ，有 ，0-t 之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得
0
将 代入可得 则第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
（3）第一次碰撞后，设A在斜面上滑行的长度为 ，上滑过程，根据动能定理可得
下滑过程，设物块A第一次滑下斜面的速度大小为 ，根据动能定
理可得 联立解得 ，A滑下后，与一直在水平面上运动的B第二次
碰撞，设向右为正方向，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒定律可得
联立解得 ；
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，足够长的光滑水平地面上有2023个大小相同的小球排成一排，相邻小球间的间距均为L，将其从左到右依次编号。一半径为H的四分之一光滑圆弧轨道（固定在水平地
面）与各小球处于同一竖直面内，圆弧轨道的最低点在1号小球处与水平地面平滑连接。已知1号小球的
质量为m，2~2023号小球的质量均为 （k为小于1的正比例常数）。现将1号小球从圆弧轨道最低点拿
到轨道上与圆心等高处由静止释放，题中所有小球之间的碰撞均可视为弹性正碰。（已知重力加速度为
g，不计空气阻力，小球大小忽略不计）
（1）求1号小球在运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小；
（2）求1号小球与2号小球在第一次碰撞中给2号小球的冲量大小以及对2号小球所做的功；
（3）在1、2号小球间第一次碰撞后立即给1号小球施加水平向右的恒定外力F（图中未画出），使1号
小球以后每次碰撞前瞬间的速度都与第一次碰撞前瞬间的速度相等，直到所有小球速度第一次相等时撤去
外力，求外力F的大小以及最终1号和2023号小球间的距离。
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ，
【详解】（1）1号小球释放后在圆弧轨道上运动到最低点的过程中，由动能定理，有
1号小球运动到最低点时，由牛顿第二定律有 联立解得 由牛顿第三定律知，此时
小球对轨道的压力 与轨道对小球的支持力 为一对相互作用力，故
（2）1、2号小球碰撞前后动量和机械能守恒，分别有 ；
解得： ； 对2号小球，由动量定理有 解得
对2号小球，由动能定理有 解得
（3）1，2号小球碰后，2号小球以速度 向右运动一个L，与3号小球碰撞后速度交换。1号小球由速度
开始匀变速运动，经位移L，以速度 与2号小球发生下一次碰撞。这一过程，对1号小球由动能定理
有 解得： 最终所有小球的速度均为 ，F作用的总时间记为t，对整体，
由动量定理有 即：F作用的总位移记为x，对整体，由动能定理有
即 。2号小球第一次碰后的速度 向右依次碰撞传递，最后作为2023
号小球的最终速度。最终1号和2023号小球间的距离为
代入数据，得
11．（2023·湖南·统考高考真题）如图，质量为 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆
形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为 和 ，长轴水平，短轴竖直．质量为 的小球，初始时刻
从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固
定于地面的直角坐标系 ，椭圆长轴位于 轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系 中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若 ，求小球下降 高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用 及 表示）。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正
小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒 联立解得 因水平方向在任
何时候都动量守恒即 两边同时乘t可得 且由几何关系可知 联立得
（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为 时，此时凹槽水平向右运动的位移为 ，
根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得 （ ）（3）将 代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以 为圆
心，b为半径的圆，则当小球下降的高度为 时有如图
此时可知速度和水平方向的的夹角为 ，小球下降 的过程中，系统水平方向动量守
系统机械能守恒 联立得
12．（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy
平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边
1 2
界与x轴重合。位于 处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离
子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t；
1
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度v；
2
（3）若 ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。【答案】（1） ； （2） （3）60
%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得r=2L根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间
1
（2）若B=2B，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设OO 与磁场边界夹角为α，由几
2 1 1 2
何关系 ； 解得r=2L； 根据 解得
2
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中
解得 则速度在 ~ 之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在
~ ，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的
比例为η=60%
