文档内容
第 22 讲 功能关系 能量守恒定律
目录
01 模拟基础练
【题型一】常见的功能关系
【题型二】能量守恒定律的应用
【题型三】功能关系的综合应用
02 重难创新练
【题型一】常见的功能关系
1．翼装飞行是一项极具刺激的娱乐项目，亚洲翼装飞行第一人张树鹏的飞行梦始于张家界天门山。如图
所示为张树鹏完成比赛时的情景，张树鹏由高空静止跳下，在空中滑行一段距离后安全地着陆在山脚下。
则张树鹏在空中下落的过程中（ ）。
A．机械能守恒 B．重力势能的减少大于动能的增加
C．合力做的功等于重力势能的减少量 D．重力做的功等于机械能的减少量
【答案】B
【详解】A．张树鹏在下落的过程中，重力做正功，空气的阻力做负功，所以机械能不守恒，故A错误；
B．由动能定理可知所以重力做的功大于动能的增加，即重力势能的减少大于动能的增加，故B正确；
C．由动能定理可知合力的功等于动能的增加量，故C错误；
D．阻力的功等于机械能的减少量，故D错误。
故选B。
2．如图所示，水平粗糙杆 和光滑竖直杆 均固定。质量均为 的带孔小球 和 穿在两杆上，两小
球 和 用轻质细线相连， 与横杆间的动摩擦因数为 。 在水平拉力作用下向右运动， 上升的速度
恒为 ，在 向右运动位移为 的过程中， 的重力势能增加 ， 与横杆间由于摩擦而产生的热量为
，拉力做功为 ，不计空气阻力，重力加速度为 ，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．小球 做加速运动
【答案】A
【详解】A．因Q沿竖直光滑杆匀速直线运动，所以绳子对Q竖直向上的拉力等于Q的重力。由相互作用
力可知，绳子对P竖直向下的拉力大小等于Q的重力，由滑动摩擦力公式
所以
故A正确；
BCD．由运动学分析可知，两小球运动过程中沿绳子方向的分速度相同，设绳子与竖直方向夹角为
因小球Q做匀速直线运动，所以小球P做减速运动，动能减小。
故BCD错误，故选A。
3.一倾斜传送带顺时针匀速转动，一物块从底端冲上传送带，如图甲所示。物块在传送带上运动时，物体
的速度 与时间 的关系如图乙。设沿斜面向上为正方向，传送带底端为零势能面，则物体的机械能 与物
块沿传送带运动位移 的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图可知0~ 时间内，图像斜率较大，则加速度较大，此时物块速度较大，摩擦力沿斜面向下，
大小为
~2 时间内，加速度变小，则此时摩擦力沿斜面向上，大小为
根据功能关系可知，摩擦力做功代表机械能的变化，则 图像的斜率代表摩擦力，则斜率的绝对值应相
等；
图像与坐标轴围成的面积代表位移，可知 。
故选B。
4.工人为了提升货物搬运效率，在工厂楼层窗台和卡车之间紧绑一布匹，将货箱从布匹顶端由静止滑至底
端，该过程中说法正确的是（ ）A．货箱的重力势能全部转化为动能
B．货箱重力做的功等于货箱动能的增加量
C．货箱重力做的功等于货箱重力势能的减少量
D．货箱所受合力做的功等于货箱机械能的减少量
【答案】C
【详解】AB．根据动能定理可知，重力与摩擦力做功等于动能的改变，货箱的重力势能转化为动能和摩擦
生热，故AB错误；
C．根据重力做功与重力势能的变化的关系可知，重力做功等于货箱重力势能的减小量，故C正确；
D．根据动能定理可知，货箱所受合力做的功等于货箱动能的减少量，故D错误。
故选C。
【题型二】能量守恒定律的应用
1.电梯的钢索发生断裂后向下坠落，为了尽量保证内部人员安全，会启动电梯安全钳加大阻力，同时在井
底安装有缓冲弹簧，如图所示.已知电梯总质量为2400kg，下落过程安全钳提供给电梯的滑动摩擦力大小
为 ，弹簧的劲度系数 .整个过程的摩擦力仅考虑安全钳提供的，安全钳提供的滑
动摩擦力等于最大静摩擦力，不考虑弹簧自重及其他阻力，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度
。则下列说法正确的是（ ）A．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能的减少量之和与弹簧的弹性势能增加
量大小相等
B．电梯从开始坠落至压缩弹簧到最低点的过程，重力势能与动能减少量之和的大小大于弹簧的弹性势
能增加量
C．电梯与弹簧刚接触时的动能最大
D．电梯下落过程速度最大时，弹簧的压缩量为40cm
【答案】BD
【详解】AB．根据能量守恒，重力势能与动能减少量应等于弹性势能与内能的增加量，A错误，B正确；
CD．动能最大时，速度最大，即加速度为零，由平衡条件有
解得
C错误，D正确。
故选BD。
2．如图所示，一半径为 ，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定旋转，直径 水平.轨道上的 点
离 的距离为 ，一质量为 的质点自 点上方某处由静止开始下落，从 点进入轨道后刚好能到达
点并能再次返回经过 点。已知质点第一次滑到轨道最低点 时速率为 ，第一次到达 点时速率为 ，
选定 点所在的水平面为重力势能的零势能面，则（ ）
A．
B．
C．从 到 的过程中，动能与势能相等的点在 点上方，从 到 的过程中，动能与势能相等的点
在 点下方
D．从 到 的过程中，动能与势能相等的点在 点下方，从 到 的过程中，动能与势能相等的点在 点上方
【答案】BC
【详解】AB．质点从N点运动到Q点的过程中，设质点克服摩擦力做的功为 ，由能量守恒定律得
质点从A点运动到Q点的过程中，设质点克服摩擦力做的功为 ，由能量守恒定律得
质点从N点运动到Q点的过程中，速度减小，所受的摩擦力减小，故
由以上三式解得
故A错误，B正确；
CD．设质点的动能和势能相等的位置到零势能面的距离为h，质点从N点到动能和势能相等的位置的过程
中，由能量守恒定律得
解得
则
质点从Q到动能和势能相等的位置的过程中
则
解得故C正确，D错误。
故选BC。
3．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在粗糙固定直杆A处质量为m
的小球（可视为质点）相连。 A点距水平面的高度为h，直杆与水平面的夹角为30°，OA=OC，B为AC的
中点， OB等于弹簧原长。 小球从A处由静止开始下滑，经过 B处的速度为v，并恰能停在C处。已知
重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球通过B点时的加速度为 B．小球通过 AB段比 BC段摩擦力做功少
C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．A到C过程中，产生的内能为mgh
【答案】CD
【详解】A．小球通过B点时，弹簧的弹力为零，小球受到重力、杆的支持力和滑动摩擦力，由牛顿第二
定律得
可知
故A错误；
B．根据对称性知，小球通过AB段与BC段关于B点对称位置受到的弹簧弹力大小相等，小球对直杆的正
压力大小相等，小球与直杆的间的滑动摩擦力大小相等，则两段过程中摩擦力做功相等，故B错误；
C．小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为W，AB间的竖直高度为 ，小球的质量为m，设弹簧具
f
有的最大弹性势能为E。对于小球从A到B的过程根据能量守恒定律得
p
从A到C的过程根据能量守恒定律得解得
，
故C正确；
D．从A到C过程中，产生的内能为
故D正确。
故选CD。
4．如图所示，粗糙的水平面上有一根右端固定的轻弹簧，其左端自由伸长到b点，质量为2kg的滑块从a
点以初速度v＝6m/s开始向右运动，与此同时，在滑块上施加一个大小为20N，与水平方向夹角为 的
0
恒力F，滑块将弹簧压缩至c点时，速度减小为零，然后滑块被反弹至d点时，速度再次为零，已知ab间
的距离是2m，d是ab的中点，bc间的距离为0.5m，g取10m/s ，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则下列说法
中正确的是（ ）
A．滑块运动至b点时，一接触弹簧就开始减速
B．滑块从c点被反弹至d点的过程中因摩擦产生的热量为36J
C．滑块与水平面间的摩擦因数为0.5
D．弹簧的最大弹性势能为36J
【答案】AD
【详解】AC．设滑块与水平面间的摩擦因数为μ，滑块从a出发到最终d停止，由能量守恒可得
解得则在a到b过程中有
滑块所受合力为零，因此一接触弹簧，所受合力向左，滑块开始减速，故A正确，C错误；
B．滑块从c点被反弹至d点的过程中因摩擦产生的热量为
故B错误；
D．滑块从c点被反弹至d点的过程中，由能量守恒可得
故D正确。
故选AD。
【题型三】功能关系的综合应用
1．如图所示，倾角为 的固定粗糙斜面上有一A点，长度为 的木板质量分布均匀，其质量为
，开始用外力使木板下端与A点对齐，如图。木块质量为 ，两者用一轻质细绳绕过光滑定
滑轮连接在一起，木板与斜面的动摩擦因数为 。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，
此过程中，下列说法正确的是（ ）（ ）
A．木板M和木块m组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为【答案】BC
【详解】A．由于斜面是粗糙的，木板M和木块m组成的系统在运动中会有摩擦生热，所以木板M和木块
m组成的系统机械能不守恒，故A错误；
B．木板M和木块m组成的系统由能量守恒有
解得
故B正确；
C．根据能量守恒可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，故C正确；
D．系统产生的热量为
故D错误。
故选BC。
2．某同学用如图1所示装置研究带电小球在重力场和电场中具有的势能 （重力势能、电势能之和）情况。
两个带同种电荷的小球1、2放在竖直放置的绝缘圆筒中，1固定在圆筒底部，2从靠近1位置处释放，测
出 的位置 和速度，利用能量守恒可以得到势能 图像。图2中Ⅰ图是小球 图像，Ⅱ图是计算
机拟合的图线Ⅰ的渐近线，实验中一切摩擦可忽略，小球的电荷量不会发生变化， ，则2小球
（ ）
A．上升过程速度一直变大B．上升过程速度先变大后变小
C．质量为
D．从 处运动至 处电势能减少
【答案】BCD
【详解】AB．上升过程系统能量守恒
结合图像可知，上升过程中势能先变小后变大，因此，小球2的动能先变大后变小，速度也先变大后变小，
A错误，B正确；
C．根据库仑定律
可知，当 时， ，系统势能的变化量主要取决于重力做功
即
由此可知小球2的重力等于图中渐近线的斜率，结合图像可知
解得
C正确；
D．从 处运动至 过程中，根据系统能量守恒
根据动能定理可得
又因为解得
从 处运动至 过程中，电场力做的正功 ，电势能减少 ，D正确。
故选BCD。
3.如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。若子弹受到的平均阻力为f，射入深度为
d，在此过程中木块的位移为s，则（ ）
A．子弹的动能减少了 B．木块的动能增加了
C．系统产生的热量为 D．子弹克服阻力做功为
【答案】BC
【详解】AD．对子弹，根据定理定律可得
可知子弹克服阻力做功为 ，子弹的动能减少了 ，故AD错误；
B．对木块，根据定理定律可得
可知木块的动能增加了 ，故B正确；
C．子弹与木块发生的相对位移为 ，根据功能关系可知子弹与木块组成系统产生的热量为
故选C正确。
故选BC。
4．如图，倾角为37°的光滑斜面固定放置，一轻绳跨过两定滑轮，两端分别与质量为M的物块和质量为m
的沙袋连接（二者均视为质点）。物块从斜面上由静止下滑至A点时速度大小为 ，此时细绳恰好与斜面垂直。当物块滑至B点时，轻绳与斜面的夹角为37°。已知M＝40 kg，m＝20 kg，A、B两点之间的
距离为L＝3.3 m，重力加速度 ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块下滑过程中始终未离开斜面，
与沙袋总在同一竖直面内运动。不计一切摩擦，轻绳一直处于伸直状态，则（ ）
A．从A点运动到B点，物块的机械能增加
B．从A点运动到B点，物块重力势能的减少量大于沙袋重力势能的增加量
C．从A点运动到B点，物块重力势能的减少量等于沙袋重力势能的增加量
D．在B点时，物块的动能为370 J
【答案】BD
【详解】A．从A点运动到B点，除重力以外其他力做的功等于拉力做的功，拉力与运动方向成钝角，故
拉力做负功，物块的机械能减小，故A错误；
B C．从A点运动到B点，物块重力势能的减少量
沙袋重力势能的增加量
因为
所以从A点运动到B点，物块重力势能的减少量大于沙袋重力势能的增加量，故B正确，C错误；
D．如图所示将物块到达B点的速度 分解为沿着绳子的分速度和垂直与绳子的分速度，可得此时沙袋的速度大小等于
物块沿着绳子的分速度 。从A点运动到B点，物块和沙袋组成的系统机械能守恒，可得
解得
在B点时，物块的动能为
故D正确。
故选BD。
1．机械臂广泛应用于机械装配。如图所示，某质量为m的工件（视为质点）被机械臂抓取后，在竖直平
面内由静止开始斜向上做加速度为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向间夹角为 。在将工件提升
竖直高度为h的过程中（ ）A．所用时间为
B．工件重力的瞬时功率保持不变
C．工件的机械能不变
D．机械臂对工件做的功大于工件动能的增加量
【答案】D
【详解】A．根据题意，由运动学公式有
解得
故A错误；
B．根据题意可知，工件在竖直方向上同样做匀加速直线运动，则工件重力的瞬时功率逐渐增大，故B错
误；
CD．将工件提升竖直高度为h的过程中，机械臂对工件做正功，工件的机械能增加，则机械臂对工件做的
功等于工件动能的增加量和重力势能增加量之和，即机械臂对工件做的功大于工件动能的增加量，故C错
误，D正确。
故选D。
2．如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运
动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加
速度 ，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了
【答案】D
【详解】A．运动员下落h，则重力做功为
故A错误；
B．根据
得
则运动员克服阻力做功为
故B错误；
C．运动员的动能增加量等于合外力做功，则
=
故C错误；
D．运动员的机械能减少量等于克服阻力做功，即
故D正确。
故选D。
3．从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 等于动能 与重力势能 之和。取地面为重力势能零点，
该物体的 和 随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取 。由图中数据可得（ ）A．物体的质量为1kg
B．h＝0时，物体的速率为20m/s
C．物体上升4m过程中，物体的动能减少了80J
D．物体上升2m过程中，克服阻力做功10J
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式 结合图像可得，物体的质量为
故A错误；
B．h＝0时，物体的重力势能为0，则有
解得
故B错误；
C．由图可知，物体上升到4m时
此时物体的动能为0，则物体的动能减少了
故C错误；D．由图可知，物体上升到2m时
，
则此时的动能为
由动能定理有
解得
故D正确。
故选D。
4．（多选）如图所示，AB为固定水平长木板，长为 ，C为长木板的中点，AC段光滑，CB段粗糙，一
原长为 的轻弹簧一端连在长木板左端的挡板上，另一端连一物块，开始时将物块拉至长木板的右端B
点，由静止释放物块，物块在弹簧弹力的作用下向左滑动，已知物块与长木板CB段间的动摩擦因数为 ，
物块的质量为 ，弹簧的劲度系数为 ，且 ，物块第一次到达C点时，物块的速度大小为 ，
此时弹簧的弹性势能为 ，不计物块的大小，弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
则下列说法正确的是（ ）
A．物块可能会停在CB面上某处
B．物块最终会做往复运动
C．弹簧开始具有的最大弹性势能为
D．最终物块和弹簧系统损失的总机械能为
【答案】BD
【详解】A．由于由此
由此，物块不可能停在CB面上某处，故A错误；
B．只要物块滑上BC段，就要克服摩擦力做功，物块的机械能就减小，所以物块最终会在AC段做往复运
动，故B正确；
C．物块从开始运动到第一次运动到C点的过程中，根据能量守恒定律得
故C错误；
D．物块第一次到达C点时，物块的速度大小为 ，物块最终会在AC段做往返运动，到达C点的速度为
0，可知物块克服摩擦做的功最大为
故D正确。
故选BD。
5．（多选）如图甲所示，一物块（可视为质点）沿倾角为 足够长的粗糙斜面从斜面底端以某一初速度
开始上滑。以斜面底端为零势能面，该物块动能 随上滑位移 变化的图像如图乙中图线 所示，该物
块的机械能 随上滑位移 变化的图像如图乙中图线 所示。取重力加速度 ，
。下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量
B．物块上滑到最高点时重力势能为C．物块与斜面之间的动摩擦因数为0.5
D．物块上滑到最高点后能静止在斜面上
【答案】BC
【详解】A．物块上滑位移3m时的机械能为38J，动能为20J，则重力势能为18J，根据
可得
选项A错误；
B．由图像可知，当动能减为零时，物块上滑的位移为5m，则此时物块的机械能为30J，即此时物块的重
力势能为30J，选项B正确；
CD．根据
可得
因
则物块上滑到最高点后不能静止在斜面上，选项C正确，D错误。
故选BC。
6．如图所示，材质相同的双斜面轨道在最低点平滑连接，与水平方向倾角均为 ，将质量为m的物体从
右侧斜面上的A点静止释放，A点与最低点间距离为L，之后冲上左侧轨道，在左侧轨道上距离最低点
处的B点速度减到为零，释放后的运动过程中， ，重力加速度为g，以下分析正确
的是（ ）A．A点运动到B点的过程机械能减少了
B．物体与斜面动摩擦因数为0.5
C．物体在两斜面上滑行的总路程为
D．第三次冲上左侧斜面时，能在左侧斜面上滑
【答案】CD
【详解】A．A点运动到B点的过程，动能不变，机械能减少量等于重力势能减少量，则有
故A错误；
B．根据功能关系可知，摩擦力做功代表机械能的变化，则
解得
故B错误；
C．根据功能关系可知
解得
故C正确；
D．根据功能关系可知从B点滑到右侧斜面时有
第二次滑到左侧斜面有
滑到右侧斜面有第三次滑到左侧斜面有
解得
故D正确；
故选CD。
7．（多选）如图甲所示，倾角为 的足够长斜面固定在水平地面上，一小物块以一定的初速度从底
端冲上斜面，以斜面底端为起点，小物块沿斜面上滑0~10m过程中，小物块的机械能和动能随位移变化的
关系图线如图乙所示，已知重力加速度大小 ，sin37°＝0．.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的
是（ ）
A．小物块上滑过程中，重力势能增加了300J
B．小物块受到的摩擦力大小为40N
C．小物块的重力大小为60N
D．小物块与斜面间的动摩擦因数为0.25
【答案】AD
【详解】A．上滑过程中，摩擦力对小物块傲负功，小物块的机械能要减少，由图乙可知小物块的机械能
减少了
动能减少了
由能量守恒知小物块的重力势能增加了故A正确；
B．设小物块质量为m，由图乙可知小物块上滑的距离为10m，则根据功能关系有
则小物块受到的摩擦力大小为
故B错误；
C．小物块上滑过程中，小物块的小物块的重力势能增加了
则小物块的重力大小为
故C错误；
D．根据B项分析知
故小物块与斜面间的动摩擦因数为
故D正确。
故选AD。
8．（多选）如图所示，质量为 长度为 的小车静止在光滑水平面上，质量为 的小物块（可视为质
点）放在小车的最左端。现用一水平恒力 作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小
物块和小车之间的滑动摩擦力为 ，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为 。此过程中，以下
结论正确的是（ ）A．小物块到达小车最右端时具有的动能为
B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为
C．小物块和小车组成的系统因摩擦产生的热量为
D．小物块和小车增加的机械能为
【答案】ABD
【详解】A．小物块水平方向受到拉力 和摩擦力 的作用，根据动能定理得
即小物块到达小车最右端时具有的动能为 ，故A正确；
B．小车相对地面的位移为 ，水平方向仅受小物块对小车的摩擦力作用，根据动能定理得
故B正确；
C．小物块相对小车的位移为 ，则产生的热量为
故C错误；
D．外力做的功转化为了系统的机械能还有摩擦产生的内能，所以小物块和小车增加的机械能为
故D正确。
故选ABD。
9．（多选）如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，
最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是（ ）
A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量
C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和
D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和的绝对值等于系统内能的增加量
【答案】CD
【详解】A．物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，B减速运动，A加速运动，根据能量守恒定
律，物体B动能的减少量等于A增加的动能和产生的热量之和，故A错误；
B．根据动能定理，物体B克服摩擦力做的功等于B损失的动能，故B错误；
C．由能量守恒定律可知，物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和，故C正
确；
D．物体摩擦力对B克服做的功等于B动能的减少量，摩擦力对木板A做的功等于A动能的增加量，由能
量守恒定律，摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和的绝对值等于系统内能的增加量，故D正确。
故选CD。
10．如图所示，固定在竖直面内的粗糙圆弧轨道BC与水平地面相切于C点，半径OB与水平方向的夹角
。质量 的物块（视为质点）从O点正上方的A点以大小 的速度水平向左抛出，恰
好沿B点的切线方向进入并沿圆弧轨道运动，到达C点后沿地面滑行距离 停下。物块与地面间的
动摩擦因数 ，取重力加速度大小 ， ， ，不计空气阻力。求：
（1）A、B两点的高度差h以及圆弧轨道的半径R；
（2）物块通过C点时对圆弧轨道的压力大小 ；
（3）物块通过B点时的速度大小 以及在物块从B点运动到C点的过程中，物块与圆弧轨道之间因摩擦
产生的热量Q。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）设物块通过B点时的竖直分速度大小为 ，根据几何关系有又
解得
设物块抛出后在空中做平抛运动的时间为t，有
又
解得
（2）设物块通过C点时的速度大小为 ，对物块沿地面滑行的过程，根据动能定理有
解得
设物块通过C点时所受圆弧轨道的支持力大小为 ，有
根据牛顿第三定律有
解得
（3）物块通过B点时的速度大小解得
对物块从B点滑至C点的过程，根据能量守恒定律有
解得
11．如图所示，半径为R的半圆弧轨道ABCD竖直放置，D点在圆心O点的正上方，是圆弧的最高点，固
定圆管轨道NA与半圆弧轨道在最低点A平滑对接，管口N点的切线水平且N、O、B三点等高，劲度系数
为k的轻质弹簧放置在光滑的水平面PN上，一端固定在P点，当弹簧处于原长时，另一端正好处在N点。
一质量为m、可视为质点的小球置于N点（与弹簧不粘连），现移动小球压缩弹簧至Q，然后由静止释放
小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知QN=s，弹性势能的表达式为 （k为弹簧的劲
度系数，x为弹簧的形变量），不计所有摩擦，重力加速度为g。
（1）求C点与B点的高度差h；
（2）求小球在A点时对半圆轨道的压力；
（3）若只改变小球的质量，使小球能够到达半圆轨道最高点，求小球质量的取值范围。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球运动到C点时恰好脱离半圆轨道，轨道对小球的弹力刚好为0，设重力与O的夹角为
θ，则有
由几何关系可得从Q点到C点，由能量守恒定律可得
解得
从Q点到C点，由能量守恒定律可得
解得
（2）小球由Q运动到A，由能量守恒定律可得
在A点时有
由牛顿第三定律可得
方向垂直轨道向上
（3）小球能完整通过D点，则有
从Q到D，由能量守恒定律有可得
