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第 1 讲 功、功率 机车启动问题
目标要求 1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.2.理解功率的
概念，并会对功率进行分析和计算.3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
基础回扣
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
技巧点拨
1．判断力做功与否以及做功正负的方法
判断依据 适用情况
根据力与位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜
常用于质点做曲线运动时
90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜
做功的判断
α≤180°，力做负功
2.计算功的方法(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合外力做的功．
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
例1 如图1所示，完全相同的四个木块放于水平地面上，在大小相等的恒力 F作用下沿
水平地面发生了相同的位移．关于力F做功，下列表述正确的是( )
图1
A．图甲中，因为木块与地面间没有摩擦力，所以力F做的功最少
B．图乙中，力F做的功等于摩擦力对木块做的功
C．图丙中，力F做的功等于木块重力所做的功
D．图丁中，力F做的功最少
答案 D
解析 由W＝Flcos α可知，F、l相同，α越大，力F做的功越少，D正确．
1．(做功情况的判断)(2020·广东惠州一中月考)图2甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速
上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯
均静止．下列关于做功的判断中正确的是( )
图2
A．图甲中支持力对人做正功
B．图甲中摩擦力对人做负功
C．图乙中支持力对人做正功
D．图乙中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 题图甲中，人匀速上楼，不受摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向的夹
角为锐角，则支持力做正功，故A正确，B错误；题图乙中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力方向与速度方向相同，做正功，故C、D错误．
2．(恒力做功的计算)(2020·宁夏石嘴山市月考)如图3所示，质量为m的小车在与竖直方向
成α角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向左运动一段距离l.在此过程中，小车受到的阻力
大小恒为F，则( )
f
图3
A．拉力对小车做功为Flcos α
B．支持力对小车做功为Flsin α
C．阻力对小车做功为－Fl
f
D．重力对小车做功为mgl
答案 C
解析 根据力做功的公式：W＝Flcos θ，其中θ为力与位移的夹角，所以拉力做功为：W＝
Flsin α，阻力做功为：W＝－Fl，故A错误，C正确．支持力和重力的方向与运动方向垂
f f
直，所以不做功，故B、D错误．
考点二 变力做功的分析和计算
方法 以例说法
应用动能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，
F
则有：W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周
微元法
克服摩擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3
＋…)＝F·2πR
f
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为
x，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0 0
平均值法 当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入
功的公式得W＝·Δx等效转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W
＝F·(－)
图像法求变力做功
例2 如图4甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小 F随位移
大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则( )
图4
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
答案 B
解析 滑动摩擦力F＝μmg＝20 N，物体先加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小
f
为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减
速运动，选项 A、C错误；F－x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝
×100×4 J＝200 J，选项B正确，D错误．
等效转换法求变力做功
例3 如图5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑
轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B
点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则( )
1 2
图5
A．W>W B．WΔl ，故W>W，A正确．
AB BC 1 2
3．(微元法求变力做功)如图6所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB，槽道由半径分别为
和R的两个半圆构成．现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉
力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
图6
A．0 B．FR C.πFR D．2πFR
答案 C
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内
F可以看成恒力，小球的路程为πR＋π·，则拉力做的功为πFR，故C正确．
4．(平均值法求变力做功)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深
度成正比．已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次
相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
答案 B
解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功．由于阻力与深度成正比，
可用阻力的平均值求功，据题意可得
W＝d＝d①
1
W＝d′＝d′②
2
联立①②式解得d′＝(－1)d，故选B.
考点三 功率的分析和计算
基础回扣
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
技巧点拨
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·v ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度．
F F
(3)P＝F·v，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．
v v
例4 (多选)(2019·广东汕头中学检测)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时
间t，则下列说法中正确的是( )
A．t时间内重力对物体做功为mg2t2
B．t时间内重力的平均功率为mg2t
C．前末重力的瞬时功率与后末重力的瞬时功率之比为1∶2
D．前内重力做功的平均功率与后内重力做功的平均功率之比为1∶3
答案 ACD
解析 物体自由下落，t时间内物体下落H＝gt2，W＝mgH＝mg2t2，故A正确；P＝＝＝
mg2t，故B错误；从静止开始自由下落，前末与后末的速度之比为1∶2(因v＝gt∝t)，又有
P＝Fv＝mgv∝v，故前末与后末功率瞬时值之比为P∶P ＝1∶2，C正确；前与后下落的位
1 2
移之比为1∶3，则重力做功之比为1∶3，故重力做功的平均功率之比为1∶3，D正确．
5．(瞬时功率)如图7所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，
小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率的变化情况
是( )
图7A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
答案 A
解析 小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点，对小球受力分析如图，F＝mgtan
θ，由P＝Fvcos θ，可得P＝mgvsin θ，θ逐渐增大，则功率P逐渐增大，A项正确．
6．(平均功率)(2018·天津卷·10)如图8，我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大
型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，飞机在水平跑道上的滑跑
可视作初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度
v＝80 m/s.已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的 0.1倍，重力加
速度g取10 m/s2.求飞机滑跑过程中
图8
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P.
答案 (1)2 m/s2 (2)8.4×106 W
解析 (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，由：v2＝2ax
解得a＝2 m/s2
(2)设飞机滑跑过程中的平均速度为v′，则v′＝；
F－0.1mg＝ma
在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝Fv′
解得P＝8.4×106 W.
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动P－t图和
v－t图
过程 a＝不变⇒F不变⇒P＝Fv↑直到
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
OA段
分析 P＝P
额
＝Fv
1
运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F
阻
⇒a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
分析
AB段
运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F
阻
⇒a＝0⇒以v
m
＝做匀速
BC段
直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝＝(式中F 为
m min
最小牵引力，其值等于阻力大小F )．
阻
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
4W ，W >2W
F2 F1 f2 f1
B．W >4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
C．W <4W ，W ＝2W
F2 F1 f2 f1
D．W <4W ，W <2W
F2 F1 f2 f1
答案 C
解析 根据x＝t得，两过程的位移关系x ＝x ，根据a＝，得两过程的加速度关系为a ＝.由
1 2 1
于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即 F ＝F ＝F，根据牛顿
f1 f2 f
第二定律得，F －F ＝ma ，F －F ＝ma ，所以F ＝F ＋F，即F>.根据功的计算公式W＝
1 f1 1 2 f2 2 1 2 f 1
Fl，可知W ＝2W ，W <4W ，故选项C正确，A、B、D错误．
f2 f1 F2 F1
10．(多选)(2020·河北邢台市摸底)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加速
直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力恒
定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定值，
则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 列车从静止开始做匀加速直线运动阶段，列车所受的空气阻力与速度大小成正比，即F ＝kv＝kat，由牛顿第二定律得F－F－kat＝ma，解得F＝ma＋F＋kat，牵引力F与时间
f空 f f
t为线性关系，发动机的输出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋F)at，功率P与时间t为二次函
f
数关系；当速度达到v ＝200 km/h时，突然减小牵引力为F′，使牵引力大小等于机械阻力
0
和空气阻力之和，即F′＝F＋F ＝F＋kv ，列车开始做匀速直线运动，功率P＝(F＋
f f空 f 0 f
kv)v ，此时功率P突然减小，之后牵引力F和功率P均不随时间t变化，A、C正确，B、
0 0
D错误．
11.(多选)如图7所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数
为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面
体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是( )
图7
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
答案 ACD
解析 支持力方向垂直斜面向上，与位移夹角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦力是
否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，此时物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度
a＝gtan θ.若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于 90°，则做正功；若
a
