文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线与构造等腰三角形的解题技巧
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................8
【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】............................................................................................19
【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】..........................................................................................23
【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................28
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................33
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的
中点，点 、 分别在射线 、 上，且 ， 连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或17
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角
形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接 ，即可证明 ；②根据 ，看图即可得出结论；
（2）连接 ，即同（1）可证明 ，根据 看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
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学科网（北京）股份有限公司∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
②∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（2）解：如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即 ,
∵ ,
∴ ,
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学科网（北京）股份有限公司∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（3）如（1）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴ .
②如（2）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了三线合一定理：
（1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于点 ， ，求 的长．
【答案】 ．
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含 的特殊直角三角形的性质．连接 ，利用等边
对等角得 ，在 中，得 ，在 中，得 ，即可求出 的长，熟
练运用三线合一的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：连接 ，
∵ ， ， 为 的中点，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，点P为 边的中点，
于点D．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可；
（2）连接 ，根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知， ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
5．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】
如图①，在 中， ，AD是中线，若 ，则 的度数为_______ ；
【探究2】
如图②，在 和 中， ， ，AD， 分别为 和 的中线，若
， ，则 的度数为 ______ ；
【探究3】
如图③，在 和 中， ， ，AD， 分别为 和 的中线，AD与
交于点 ，若 ，则 的度数为_______ ．
【答案】【探究1】 ；【探究2】 ；【探究3】
【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质，
[探究1]根据等腰三角形的性质得 ，由三角形内角和定理求得 ，利用“三线合一”性质即
可求得答案；
[探究2]由等腰三角形的性质和三线合一性质得 和 ，结合角度之间的关
系即可求得答案；
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学科网（北京）股份有限公司[探究3]由等腰三角形的性质和三线合一性质得 和 ，结合三角形内角和定理
得 和 ，再次结合三角形内角和定理得到 即可求得答案．
【详解】解：[探究1]∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，则 是 的角平分线
∴ ，
故答案为： ．
[探究2] ， ， 、 分别为 和 的中线，
， ，
，
；
故答案为： ．
[探究3]∵ ， ，
∴ 和 是等腰三角形，
∵ 、 分别为 和 的中线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含 角的直角三角形的性质．作 交 于 ，由等腰
三角形的性质可得 ，由含 角的直角三角形的性质得出 ，计算出 即可得到答
案．熟练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 交 于 ，
，
， ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰
长为12m，则底边上的高是 m．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、等边对等角
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作
于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 ，再
根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 于点D，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：6．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在 中， ， ，
，求证 ．
（2）如图2所示，在 中， ， ，延长 至 使 ，求 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明
【分析】（1）作 交 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 ，
由题意得 和 ，利用等角对等边可得 ，利用三线合一的性质得 ，结
合含30°角的直角三角形性质得 ，可证明 ，即可证得结论；
（2）在 上取 ，连接 ，作 平分 ，交 于 ，交 于 ，根据题意得
，利用等腰三角形两腰上的高相等得 ，结合含 角的直角三角形性质得
，由题意得 ，即可求得 ，即可求得答案．
【详解】解：（1）作 交 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作
，如图，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
（2）在 上取 ，连接 ，作 平分 ，交 于 ，交 于 ，如图，
平分 ， ，
， ，
，
，
即 是等腰三角形，
作 ，则 （等腰三角形两腰上的高相等），
，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∵ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含 角
的直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系．
3．如图，点 ， 在 的边 上， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，过点 作 于点 ，如果 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明
【分析】（1）过 作 于点 ，根据三线合一可得： ， ，即可证明；
（2）过 作 于点 ，易证 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图过 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的
判定方法是解题的关键．
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，且
．
(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形
【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论；
（2）过 作 于 ，利用等边三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进
行求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）过 作 交 于点 ，易得 是等边三角形，得到 ，证明 ，
得到 ，等量代换即可得出结论；
（4）过 作 交 的延长线于 ，证明 是等边三角形，得到 ，证明
，得到 ，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
， ，
；
（2）如图，过 作 于 ，
，
．
等边 的边长为6，
，
，
，
，
，
．
．
；
（3）证明：如图2，过 作 交 于点 ．
，
又 ，
是等边三角形．
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
，
．
由（1）得， ，
又 ．
．
．
，
；
（4）（3）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，过 作 交 的延长线于 ，则 ，
，
是等边三角形．
， ．
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
．
又 ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
．
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角
形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键．
5．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点D
是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线
合一证明
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，
根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即
可得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形
性质及线段和差即可得到 ．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
17 / 36
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关
键．
【考点三 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，可得
，据此即可证得；
（2）同理（1）可得 ，根据 的周长 ，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
∵ ， ，
∴ 的周长为：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分 交
于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
(1)求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三
角形的性质和判定
【分析】（1）根据 和 平分 ，可以求出 和 ，然后利用三角形外
角即可求解；
（2）根据条件证明 ，再根据等角对等边即可证明；
（3）根据题意和（1）（2）问的结论证明 ， ， 是等腰三角形即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性
质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交
于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间
有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5， （3）2，
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平
行线性质得到角相等，再进行等量代换得到 ， ，再利用等角对等边，得到
， ，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到 、 、 、 ，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， 的平分线交于O点，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2．
（2）解： ，即 为等腰三角形，
，
， 的平分线交于O点，
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学科网（北京）股份有限公司，
，即 为等腰三角形，
，
， ， ，
， ， ，即 为等腰三角形，
， ，
和 为等腰三角形，
．
综上所述，共有5个等腰三角形，
故答案为：5， ．
（3）解： 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2， ．
【考点四 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形
的判定及性质是解题的关键．
（1）由角平分线得 ．再根据平行线的性质得 ，进而 ．即可
证明结论成立；
（2）由等边对等角及平行线的性质得 ， ，从而 ．由（ ）得
， ，从而 ．
【详解】（1）证明：证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
如图，在 中， ， 为 延长线上的一动点，且 ，交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，求证： 是等腰三角形．
(2)如图2，当 为 的中点时， 与 有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角
形的判定以及等腰三角形的性质．
（1）通过已知条件证明 和 相等就能证明是等腰三角形；
（2）由 ，F是AB的中点可得 ，再根据勾股定理求出 ，过A点作 ，再通过
证明三角形全等得出 ．
【详解】（1）证明： ，
．
，
， ，
．
又 ，
，
，
是等腰三角形；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 于点 ，
由（1）得 ，
∵ ，
．
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学科网（北京）股份有限公司， ，
．
又 为 的中点，
．
在 和 中，
，
，
．
2．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在
边 上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连
接 交于点P，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ，证明见详解
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
（1）根据题意得 ， 和 ，即可证明 ，则有 ；
（2）由题意得， ，进一步得 ，结合等边三角形的性质即可证明 ，
有 ；
（3）作 交AB于H，则 ， ， ，有 为等边
三角形，进一步得 ，即可证明 ，则 ．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
由题意得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2） 成立，
理由如下：由题意得， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
（3） ，
理由如下：作 交AB于H，如图，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【考点五 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
模型解析：：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，
如图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求
证： ．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ；见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，
（1）根据“ ”证明 即可得出结论；
（2）先证 ，再证 得出 ，进而即可得解；
（3）如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，证出 和
，然后进行线段的等量代换即可得解；
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】（1）在 和 中，
，
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（2） ，理由如下：
由（1）得， ，
，即 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3） ．理由如下：
如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，即 ，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分
．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得
，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【答案】（ ） ；（ ） ，理由见解析；（ ） ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、等边对等角
【分析】（ ）延长 交 于点 ，由已知可知 ，再由等腰三角形的在得
，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（ ）延长 交于点 ，证 ，得 ，再由已知可知 ，即
可得出结论；
（ ）延长 交 于 ， 由已知可知 ， ，则 再由三角形面积关系
得 ，即可得出结论．
【详解】（ ）如图 ， 延长 交 于点 ，
由已知可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（ ） ，证明如下：
如图，延长 交于点 ，则 ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由已知可知， ，
∴ ；
（ ）如图，延长 交 于 ，
由已知可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以
及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的
延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
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学科网（北京）股份有限公司例题：（23-24八年级上·山西晋中·期中）【问题提出】在 中， ， 为 的角平
分线，探究线段 ， ， 的数量关系．
【问题解决】如图1，当 ，过点 作 ，垂足为 ，易得 ；由此，如图
2，当 时，猜想线段 ， ， 有怎样的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当 ， 为 的外角平分线时，探究线段 ， ， 又有怎样
的数量关系？直接写出结论，并说明理由．
【答案】【问题解决】 ，证明见解析；【方法迁移】 ，证明见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】问题解决：在线段 上截取 ，连接 ，由角平分线定义和全等三角形的判定证明
，进而证得 ，结合三角形外角性质可证得 ，进而
证得 即可解答；
方法迁移：在 的延长线上截取 ，连接 ，证明 ，进而证得
，结合等角的补角相等和三角形外角性质可证得 ，进而证得
即可解答．
【详解】解：问题解决： ，
证明：如图，在线段 上截取 ，连接 ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
方法迁移： ．
证明：如图，在 的延长线上截取 ，连接 ，
∵ 为 的外角平分线，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质，熟
练掌握相关知识的联系与运用，会添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）问题背景：在 中， ，点 为线段 一动点，
当 满足某种条件时，探讨在线段 、 、 、 四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的
数量关系．
(1)在图1中，当 时，则可得 ，请你给出证明过程．
(2)当 时，如图2，求证： ；
(3)当 是 的角平分线时，判断 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三
角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到 ，证明结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
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（3） ，
理由如下：在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
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