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第 05 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线
目录
【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】.................................................................................................................1
【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................................15
【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】...............................................................................................29
【考点 一等腰三角形中底边有中点时，连中线】
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的中
点，点 、 分别在射线 、 上，且 ，连接 ．
(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司①证明： ．
②直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于点 ， ，求 的长．
4．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图， 是等腰直角三角形， ，D为斜边 的中点，E，
F分别为 边上的点，且 ．若 ， ．求 的长．
5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，点P为 边的中点，
于点D．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求证： ．
6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在
的延长线上，点 在 的延长线上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图， 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，
，点 ， 在 ， 上．
(1)求证： ．
(2)连接 ，则 、 、 之间有什么数量关系？请说明理由．
8．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】
如图①，在 中， ， 是中线，若 ，则 的度数为_______ ；
【探究2】
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学科网（北京）股份有限公司如图②，在 和 中， ， ， ， 分别为 和 的中线，若
， ，则 的度数为 ______ ；
【探究3】
如图③，在 和 中， ， ， ， 分别为 和 的中线， 与
交于点 ，若 ，则 的度数为_______ ．
9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角 中， 、 分别是边 、 上的高，
M、N分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，猜想 与 之间的关系，并说明理由．
10．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在 中， ， 且 的顶点E在边
上移动，在移动过程中，边 ， 分别与 ， 交于点M，N，
(1)当 且M与A重合时，求证：
(2)当E为 中点时，连接 ，求证：
【考点 二等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为
12m，则底边上的高是 m．
2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ，D为 上一点，连接 ，
且 ，则 为 ．
3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知 ， ， 与
的面积和为10，则 的平方 ．
4．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形 中， ， ，点P是底边
上一动点， 、 分别与 、 两边垂直，垂足分别为D、E，则 的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在 中， ， ，
，求证 ．
（2）如图2所示，在 中， ， ，延长 至 使 ，求 ．
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点 ， 在 的边 上， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，过点 作 于点 ，如果 ，求 的值．
7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，且
．
(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
8．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点D
是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【考点 三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
模型解析：：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得
即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如
图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证：
．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分
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学科网（北京）股份有限公司．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得
，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述构
造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
如图1，点 在 的角平分线上，过点 作 的垂线分别交 、 于点 、 ．求证：
．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（1）将图1沿着过点 的直线折叠，得到图2，使点 正好与边 上的点 重合，此时测得
．求 的度数．
（2）如图3， ， 平分 交 于 ，若 ， ，求边 的长度．
【拓展提升】
（3）如图4， 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 ， 米， 米．该
绿化带中修建了健身步道 、 、 、 、 ，其中入口 、 分别在 、 上，步道 、
分别平分 和 ， ， ．现要用围栏完全封闭 区域，修建地下排水和
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学科网（北京）股份有限公司地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）
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