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*2.4 一元二次方程根与系数的关系
关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代数
1．掌握一元二次方程的根与系数的关 式的值
系；(重点) 设x，x 是方程2x2＋4x－3＝0的
1 2
2．会利用根与系数的关系解有关的问 两个根，利用根与系数的关系，求下列各式
题．(难点) 的值．
(1)(x＋2)(x＋2)； (2)＋.
1 2
解：根据根与系数的关系，得x ＋x ＝
1 2
－2，xx＝－.
1 2
(1)(x ＋2)(x ＋2)＝xx ＋2(x ＋x)＋4＝
1 2 1 2 1 2
一、情境导入 －＋2×(－2)＋4＝－.
解下列方程，将得到的解填入下面的表 (2)＋＝＝＝＝－.
格中，你发现表格中两个解的和与积同原来 方法总结：先确定a，b，c的值，再求出
的方程有什么联系？ x ＋x 与xx 的值，最后将所求式子做适当
1 2 1 2
(1)x2－2x＝0； 的变形，把x ＋x 与xx 的值整体代入求解
1 2 1 2
(2)x2＋3x－4＝0； 即可．
(3)x2－5x＋6＝0. 【类型二】 利用根与系数的关系求方程
的根或字母系数的值
方程 x x x＋x x·x 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个
1 2 1 2 1 2
根为2，求它的另一根及k的值．
解：设方程的另一个根是x ，则2x ＝
1 1
－，
二、合作探究
∴x＝－.又∵x＋2＝－，
探究点一：一元二次方程的根与系数的 1 1
∴－＋2＝－，∴k＝－7.
关系
利用根与系数的关系，求方程3x2
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系
＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．
数和常数项时，可求得方程的两根之积；当
解：这里a＝3，b＝6，c＝－1，
已知二次项系数和一次项系数时，可求得方
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋
程的两根之和．
12＝48＞0，
【类型三】 判别式及根与系数关系的综
∴方程有两个实数根．
合应用
设方程的两个实数根为x，x，
1 2
已知α、β是关于x的一元二次方
那么x＋x＝－2，x·x＝－.
1 2 1 2
程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实
方法总结：由一元二次方程根与系数的
数根，且满足＋＝－1，求m的值．
关系可求得．如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数
有两个实数根x，x，那么x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2 1 2
根，
探究点二：一元二次方程的根与系数的
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
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又∵＋＝＝＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去．
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根，
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出
字母m的值，但一定要代入判别式验算，字
母m的取值必须使判别式大于0，这一点很
容易被忽略．
三、板书设计
引导学生经历探索，尝试发现根与系数
的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明．
通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题
发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培
养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发
学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索
的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意
识及严谨的治学精神．
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