文档内容
第 1 节 功和功率
目录
【学习目标】...............................................................................................................................................................1
【思维导图】...............................................................................................................................................................2
【知识梳理】...............................................................................................................................................................2
知识点1：功的理解和计算................................................................................................................................2
知识点2：变力做功............................................................................................................................................9
知识点3：功
率....................................................................................................................................................15
知识点4：机车起动的两种方
式........................................................................................................................20
【方法技巧】.............................................................................................................................................................26
方法技巧 机车起动...........................................................................................................................................26
【巩固训练】.............................................................................................................................................................26
【学习目标】
1．理解功和功率，明确正功和负功的含义，能正确区分平均功率和瞬时功率。
2．会应用公式W＝Flcos α求各力的功和总功。
W
3．能够应用P＝ 、P＝Fv进行有关计算。
t
4．掌握机车的两种启动方式。
重点：
1．掌握功和功率的计算方法。
2．理解正功与负功，能计算平均功率与瞬时功率。
3．会分析机车起动中各物理量的变化。
难点：
1.求变力做功。
2.熟练掌握机车的两种启动方式。【思维导图】
【知识梳理】
知识点 1：功的理解和计算
1．正功、负功的理解
（1）对功的理解
①功的定义：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 的余弦这三者的 。
②功的两个必要因素是力和物体在 的方向上发生的 。
③功是 ，在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。
④对功的理解：功是过程量，对应一段时间或位移，是力对 积累。故计算功时一定要指明是哪个力
在哪个过程对物体做的功；公式W＝ 只适用于计算 做功。
（2）正功和负功①力对物体做正功或负功的条件：由W＝Flcos α可知
π π
当0≤α＜ 时，W 0，力F对物体做 ；当 ＜α≤π时，W 0，力F对物体
2 2
π
做 ；当α＝ 时，W＝0，力F对物体
2
②正、负功的物理意义：功是标量，功的正负既不表示方向，也不表示大小，只表示力做功的效果。力对物体
做正功表示该力是 ；力对物体做负功表示该力是 。
③说明：
一个力对物体做了负功，常常说成物体克服这个力做了功，例如摩擦力对物体做了-3 J的功，可以说成物体克
服摩擦力做了3 J的功；
比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负，例如，−7 J的功要比5 J的功多。
2．功的计算
（1）恒力做功
①公式：W＝
②对公式W＝Flcosα可以有两种理解：
一种是力F在位移l方向上的分力Fcosα与位移l的乘积；另一种是力F与在力F方向上的位移lcosα的乘
积。
（2）总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，计算这几个力对物体所做的总功，通常有以下两种方
法：
①总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。若以W 、W 、W …分别表示力F 、F 、F …所做的功，
1 2 3 1 2 3
则这些力所做的总功为W ＝ (负功连同负号一起代入计算)。
总
②总功等于这几个力的合力对物体所做的功。若以F 表示这几个力的合力，则这些力所做的总功为W
合 总
＝ 。α为F 的方向与l的方向间的夹角。
合
【典例1】关于功的概念下列说法正确的是（ ）
A．由于功是标量，所以+5J的功大于-8J的功B．若一个力对物体做功为零，则该物体一定处于静止状态
C．两物体间的一对滑动摩擦力做功之和一定等于零
D．物体所受多个力做功的代数和等于这几个力的合力做的功
【变式1】如图所示，有两箱相同的货物，现要用电梯将它们从一楼运送到二楼。其中图甲为用扶梯台式
电梯匀速运送货物，图乙为用履带式自动电梯匀速运送货物，货物均相对扶梯静止。下列关于做功的判断
中正确的是（ ）
A．图甲中支持力对货物做正功 B．图甲中摩擦力对货物做负功
C．图乙中支持力对货物做正功 D．图乙中摩擦力对货物做负功
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．－10 J的功大于＋5 J的功
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D．功是矢量，正、负表示方向
【变式3】神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面
十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功
【典例2】如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m=20kg，斜面倾角α=37°，斜面的长度
l=0.5m，货物与斜面间的动摩擦因数μ=0.2，货物从斜面顶端滑到底端的过程中（取g=10m/s2，sin37°=0.6
，cos37°=0.8），下列说法正确的是（ ）A．重力做功100J B．支持力做功80J
C．摩擦力做功16J D．合力做功44J
【变式1】如图所示，物体由静止开始分别沿不同的斜面Ⅰ和Ⅱ由顶端至底端B，两次物体与斜面间两次
下滑的路径分别为图中的动摩擦因数相同，且不计路径Ⅱ中转折处的能量损失，则物体到达B点的过程中
摩擦力做功（ ）
A．第一次小 B．第二次小
C．两次一样大 D．无法确定
【变式2】如图所示，将小物块放在向右运动传送带的A点，一段时间内小物块向右运动了S ，此时传送
1
带的A点与小物块间距离为S ，且小物块的速度仍小于传送带速度，小物块与传送带间的滑动摩擦力为f
2
，则（ ）
A．摩擦力对小物块做功为-fS
1
B．摩擦力对小物块做功为-fS
2
C．摩擦力对传送带做功为-（f S +S）
1 2D．摩擦力对传送带做功为-fS
2
【变式3】质量为2kg的物体置于水平面上，在运动方向上受拉力作用沿水平方向做匀变速直线运动，拉
力作用2s后撤去，物体运动的速度图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．拉力F 做功250J B．拉力F 做功175J
C．物体克服摩擦力做功250J D．物体克服摩擦力做功175J
知识点 2：变力做功
1．微元法
（1）方法：把运动过程无限微分，每一小段上都可看为 做功，每小段恒力做功之和就等于全程变
力所做的功。
（2）适用条件：常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
2．图像法
方法：在F－x图像中，图线与x轴所围“ ”表示力F在这段位移所做的功。位于x轴上方的
“ ”为正，代表变力做 ；位于x轴下方的“ ”为负，代表变力
做 。
3．平均值法
F ＋F
（1）方法：当力方向不变、大小随位移线性变化时，可先求该变力对位移的平均值F＝ 1 2，F 、F 分
1 2
2
别为物体初、末态所受的力，然后用公式W＝Flcos α求此力所做的功。
（2）适用条件：常应用于求解方向不变、大小随位移线性变化的变力做功问题。
4．转换研究对象法方法：在以恒力拉轻绳、轻绳通过定滑轮拉物体的问题中，绳拉物体的力是个变力（大小不变，方向改
变），绳子拉力对物体做的功不易求解，但人拉绳的力是个恒力，人拉绳的力和绳拉物体的力做功相同，
就可转换研究对象，将求变力做的功转化为计算恒力做的功。
【典例3】石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上
盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10N的水平力作用使石磨上
盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为
（ ）
A．0 B．-3J C．-6J D．-18J
【变式1】如图所示，用一个大小不变的力F 拉着滑块（视为质点）使其沿半径为R的水平圆轨道匀速运
动半周，若力F 的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则力F 做的功为（ ）
FpR
A． B．2FR C．FR D．FpR
2
【变式2】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆
弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（ ）A．重力做功为0 B．悬线的拉力做功为mgL
1
C．空气阻力做功为- fpL D．摆球克服空气阻力做功为fL
2
【变式3】某人利用如图所示的装置,用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端,将物体从水平面上的
A点移到B点。已知α =30°,α =37°,h=1.5 m,不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的
1 2
功（sin 37°=0.6,cos 37°=0.8）。
【典例4】如图甲所示，质量为4kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F 随位移大小x变化的
情况如图乙所示，则力F 所做的功为（ ）
A．200J B．400J C．800J D．无法确定
【变式1】如图甲所示，在水平地面上放置一木块，其质量m=10kg，木块在水平推力F作用下运动，推
力F的大小随位移x变化的图像如图乙所示。已知木块与地面间的动摩擦因数m=0.2，重力加速度g取
10m s2，下列说法正确的是（ ）A．木块先做匀变速直线运动，后做匀速直线运动
B．木块运动0 5m的过程中，其克服摩擦力所做的功为100J
:
C．木块运动0 5m的过程中，合力做的功为50J
:
D．木块在运动过程中的加速度一直变小
【变式2】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F =kh+F （k，F 已知），石头
0 0
沿竖直方向做直线运动，当h=h 时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ ）
0
A．Fh B．kFh
0 0 0 0
1 1
C．Fh + kh2 D． kh +F h
0 0 2 0 2 0 0 0
【变式3】木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所受阻力与其进入木梁
中的深度成正比，木匠砸击4次，就把一枚长为L的钉子全部砸进木梁，那么他第1锤将铁钉砸进木梁的
深度是（ ）
L L 3L L
A． B． C． D．
4 2 4 8
知识点 3：功率
1.功率
（1）定义：力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。
W
P=
（2）定义式： t ，适用于任何情况下功率的计算。
（3）物理意义：功率是描述做功 的物理量。
（4）功率是 ，只有大小，没有方向。
2.平均功率与瞬时功率（1）平均功率：反映一段时间内做功的平均快慢，一般用公式 计算平均功率。
P= Fvcos
（2）瞬时功率：反映某时刻做功的快慢，一般用公式 （𝜃为𝐹与𝑣的夹角），𝑣表示 速
度。
求功率时，一定要先判断要求的功率是平均功率还是瞬时功率，再明确要求的力是在哪段
时间或哪一时刻的功率。
【典例5】如图所示，水平地面上有一质量为m的木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ，现对木箱施
加一与水平方向成θ角的拉力F，使木箱从静止开始沿直线匀加速前进距离l时速度为v，则在该过程中下
列说法正确的是（ ）
A．力F做功为Flsinθ
B．力F的功率一直增大
C．木箱克服摩擦力做功为μmgl
D．力F的平均功率是Fvcosθ
【变式1】关于功率，下列说法正确的是（ ）
A．由P=Fv可知，物体运动越快，功率越大
B．由P=Fvcos可知，某一时刻，力大、速率也大，而功率不一定大
W
C．由P = 可知，力做功越多，功率就越大
t
D．由W= Pt可知，功率越大，力做功越多
【变式2】《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：
两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无
相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地
的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）2nmgw2RH 3nmgwRH 3nmgw2RH
A． B． C． D．nmgωRH
5 5 5
【变式3】如图所示，将完全相同的小球1、2、3分别从同一高度由静止释放（图甲和图丙）或平抛（图
乙），其中图丙是一固定在地面上的光滑斜面，每个小球从开始运动到落地过程，不计空气阻力，下列说
法正确的是（ ）
A．小球3落地瞬间的重力的功率最小
B．3个小球落地瞬间的速度大小相等
C．该过程中，小球3的重力做功最多
D．该过程中，3个小球的重力做功的平均功率相等
知识点 4：机车起动的两种方式
1.以恒定的功率启动
（1）过程分析OA段：v ↑→F＝P 额 ↓→a= F－F 𝑓 ↓ ，机车做加速度 的加速直线运动。
v m
AB段：F＝F→a＝0→以v＝P 额 匀速运动。
f m
F
f
（2）P-t图像和v-t图像
2.以恒定的加速度启动
（1）过程分析
OA段：a＝
F－F
f（不变）→F不变→P＝Fv↑直到𝑃 =𝐹𝑣 ，机车做 直线运动，匀加速运动的时
m 额 1
间 。
AB段：v↑→F= P 额↓→a= F－F 𝑓↓ ，机车做加速度 的加速运动。
v m
BC段：F＝F→a＝0→以v＝P 额 匀速运动。
f m
F
f
（2）P-t图像和v-t图像
1.在用公式P=Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力。
【典例6】一辆汽车在平直的公路上以恒定功率P启动，其运动的v-t图像如图所示，已知t 时刻速度大
1
小为v ，t 时刻速度恰好达到最大值v 。下列说法正确的是（ ）
1 2 2A．汽车先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动
𝑃
B．t 时刻汽车受到的牵引力大小为
2 𝑣
2
C．加速过程中牵引力做功为𝑃(𝑡 −𝑡 )
2 1
𝑃
D．汽车受到的阻力大小为
𝑣
1
【变式1】如图甲为我国自主研制的全球首款轮式起重机，将120吨的风力发电机组吊至高空，若该起重
机由静止开始竖直向上提升机组，加速度和速度的倒数图像如图乙所示，不计其他阻力，𝑔=10m/s2
，下
列说法正确的是（ ）
A．重物上升的最大速度𝑣
m
=10m/s B．起重机的额定功率为𝑃=1.2×107 W
C．重物在0∼6s内做匀加速直线运动 D．第6s内起重机对重物做的功为𝑊=1.44×107 J
【变式2】一辆轿车在平直公路上由静止开始匀加速运动，达到额定功率后保持功率不变，最终做匀速运
动．轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速度𝑣，功率𝑃随时间𝑡的变化规律正确的是（ ）A． B．
C． D．
【变式3】质量为𝑚=8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，先做匀加速直线运动；然后变加速
；达到的最大速度为𝑣 =30m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力𝐹与对应的速度𝑣，
m
并描绘出如下图像（图中均为直线），若电动车行驶过程中所受的阻力恒定，求：
(1)汽车的额定功率P；
(2)匀加速直线运动的时间t。
【方法技巧】
方法技巧 机车起动
1.机车启动的核心公式：当机车在水平路面上启动时，发动机功率P＝Fv ；牛顿第二定律，牵引力F与阻力
F 有F－F ＝ma，应用这两个公式对运动过程进行分析。
f f
2.机车启动时几个物理量的求法
P P
（1）最大速度v ：机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力F ，故v = 额 = 额
m 阻 m F F
阻P v'
（2）匀加速启动持续的时间：牵引力F=ma+F ，匀加速的最后速度v' = 额 ，则持续的时间t = m
阻 m ma+F a
阻
P F -F
（3）瞬时加速度：根据F = ，可求出牵引力，则加速度a = 阻
v m
【巩固训练】
1.下列有关功和功率的说法，正确的是 （ ）
A．做功越多，功率越大
B．功的正负是由位移和力的方向共同决定的
C．功是标量，做功-3J比-5J多
D．汽车的最大行驶速度只由汽车的额定功率决定
2.如图，在大小为F =10N的方向向右的水平恒力作用下，受到滑动摩擦力大小为 f =6N。物体向右发生
位移为5m的过程中，以下说法不正确的是（ ）
A．恒力F对物体做功50J B．滑动摩擦力f对物体做功30J
C．合力对物体做功20J D．物体克服f做功30J
3.早在二千多年前，我国劳动人民就发明了汉石磨盘，如图甲所示。它是一种可使谷物脱壳、粉碎的加工
工具，凝聚着人类的高度智慧。后来人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉。将此过程用俯视角度看，示意
图如图乙所示，假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，驴对磨杆末端的平均拉力F =800N，拉力方向始终
沿圆周切线方向，磨杆半径r=0.7m，驴拉磨转动一周时间为7s，圆周率π»3，则下列说法正确的是（
）A．磨杆末端的向心加速度大小为0.4m/s2
B．磨杆末端的线速度大小为0.3m/s
C．驴转动一周拉力所做的功为零
D．驴转动一周拉力的平均功率为480W
4.一小物块在水平拉力F 的作用下向右运动，拉力F 随小物块的位置坐标x变化的F-x图像如图所示，则
在0~40m内，拉力F 做的功为（ ）
A．900J B．800J
C．1400J D．1200J
5.两节动车的额定功率分别为P和P ，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v 和v 。现将它们编成动
1 2 1 2
车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
Pv +Pv Pv +Pv P +P vv P +P vv
A． 1 1 2 2 B． 1 2 2 1 C． 1 2 1 2 D． 1 2 1 2
P +P P +P Pv +Pv Pv +Pv
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
6.如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡
路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下
列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小 B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
7.如图所示，小物块与斜面体一起沿水平面向右做匀速直线运动。关于斜面体对物块做功，下列说法正确
的是（ ）A．支持力不做功
B．支持力做正功
C．摩擦力做正功
D．摩擦力与支持力做功代数和不为零
8.某学校为了封闭式管理，正在修建一栋宿舍楼，修建过程中要用到起重机，如图甲是起重机某次从𝑡=0
时刻由静止开始提升质量为𝑚=200kg的物体，其𝑎−𝑡图像如图乙所示，5~10s内起重机的功率为额定功率
，不计空气阻力，重力加速度为𝑔=10m/s2
，则以下说法正确的是（ ）
A．6秒末速度为10m/s
B．起重机的额定功率为2400W
C．5~10s内重物所受起重机的拉力在减小
D．5~10s物体减速上升
9.一辆起重机某次从𝑡=0时刻由静止开始竖直提升质量为500kg的物体，物体的𝑎−𝑡图像如图所示，2s后
起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小𝑔=10m/s2
，下列说法正确的是（ ）
A．物体在匀加速阶段的位移大小为2mB．该起重机的额定功率为5.25kW
C．物体的最大速度大小为2.1m/s
D．0~2s和2s~8s时间内牵引力对物体做的功之比为1:8
10.如图所示，质量为m=4kg的木块在倾角=37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间
的动摩擦因数为m=0.5，已知：sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2，求：
（1）前3s内重力做的功；
（2）前3s内重力的平均功率；
（3）3s末重力的瞬时功率。
11.一辆质量为2×103kg的汽车，发动机的最大牵引功率为80kW，汽车在平直公路上行驶所受阻力f大小
恒为4×103N，求：
(1)汽车行驶的最大速度多大；
(2)若汽车以最大牵引功率启动，当汽车速度达到5m/s时，加速度多大；
(3)若汽车以2m/s2的加速度匀加速启动，求匀加速运动的时间；
(4)汽车以2m/s2的加速度匀加速启动，求6秒钟内汽车牵引力做的功。
