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6.3 机械能守恒定律
考点一 机械能守恒定律的判断........................................................................................................................................1
题组1：机械能的概念与守恒条件的理解..............................................................................................................1
题组2：单个物体机械能守恒判断........................................................................................................................... 2
题组3：多个物体机械能守恒判断........................................................................................................................... 4
考点二 单个物体机械能守恒定律的应用.....................................................................................................................5
题组1：单个物体单过程..............................................................................................................................................5
题组2：单个物体多过程..............................................................................................................................................6
考点三 多物体系统机械能守恒........................................................................................................................................8
题组1：速度大小相等多物体系统........................................................................................................................... 8
题组2：角速度相等的多物体模型........................................................................................................................... 9
题组3：速度分解的多物体模型.............................................................................................................................10
考点四 非质点类机械能守恒问题.................................................................................................................................11
题组1：链条液体类.................................................................................................................................................... 11
题组2：多个小球类.................................................................................................................................................... 12
6.3 机械能守恒定律
考点一 机械能守恒定律的判断
题组1：机械能的概念与守恒条件的理解
1. （单选）如图所示，以桌面处的重力势能为0，不计空气阻力，将小球从距桌面高H处静止释放，则小
球落地时的机械能为( )
A. 0
B. mg( H +h)
C. mgH D. −mgh
【答案】C
【解答】解：以桌面为零势能面，小球在最高点时机械能E =mgH， 小球下落过程中机械能守恒，则小球
落到地面前瞬间的机械能为mgH，故选C。
2. （单选）物体的运动如图甲、乙、丙所示，均不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A. 甲图中，小球从某一高度由静止落入光滑半圆形固定轨道，全过程小球的机械能一定守恒
B. 乙图中，物体所受的合外力为零时，机械能一定守恒
C. 丙图中，弹簧越长，弹性势能越大
1
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D. 丙图中，光滑水平面上，被压缩的弹簧将小球向右弹出的过程中，小球的机械能守恒
【答案】A
【解析】A.小球由静止沿光滑半圆形固定轨道下滑，轨道对小球的支持力不做功，只有重力做功，小球的
机械能守恒，故A 正确；
B.乙图中，物体所受的合外力为零时，物体沿斜面下滑，重力势能减小，动能不变，机械能等于重力势能
与动能之和，故机械能减小，机械能一定不守恒，故B 错误；
C.丙图中，如果弹簧开始时被压缩，弹簧恢复原长的过程中，弹簧越长，弹性势能越小，故C 错误；
D.丙图中光滑水平面上，被压缩的弹簧将小球向右弹出的过程中，小球受到弹簧弹力的作用，弹簧弹力对
小球做正功，故小球的机械能增加，故D 错误。
故选A。
3. （多选）下列物体中，机械能守恒的是( )
A. 做平抛运动的物体
B. 被匀速吊起的集装箱
C. 光滑曲面上自由运动的物体
D. 以4 g
5 的加速度竖直向上做匀减速运动的物体
【答案】AC
【解答】A.平抛运动的物体只受到重力的作用，所以机械能守恒，故A 正确；
B.被匀速吊起的集装箱，动能不变，重力势能增大，故机械能增大，故机械能不守恒，故B 错误；
C.光滑曲面上自由运动的物体，曲面的支持力不做功，只有重力做功，物体的机械能守恒，故C 正确；
D.物体以a= 4
5 g的加速度竖直向上做匀减速运动，因a<g，根据牛顿第二定律得知，物体受到的合力小于
重力，必定受到向上的作用力，此作用力做正功，则知物体的机械能增加，机械能不守恒，故D 错误。
故选AC。
题组2：单个物体机械能守恒判断
4. （多选）以下说法中正确的是( )
A. 物体做匀速直线运动，它的机械能一定守恒
B. 物体所受合力的功为零，它的机械能一定守恒
C. 物体所受合力不等于零，它的机械能可能守恒
D. 物体所受合力等于零，它的机械能可能守恒
【答案】CD
【解析】解：A、物体做匀速直线运动，可能有除重力或者是弹簧的弹力做功以外的力做功，机械能不一
定守恒，比如物体在竖直方向上做匀速直线运动时，机械能不守恒．故A 错误．
B、物体所受合力的功为零，根据动能定理可知物体的动能不变，但重力势能可能改变，机械能就可能改
变，比如竖直平面内的匀速圆周运动，故B 错误．
C、物体所受合力不等于零，可能除重力以外不受其他外力，比如自由落体运动，机械能守恒，故C 正确．
D、物体所受合力等于零，物体在水平面做匀速直线运动时，动能和重力势能均不变，机械能守恒，故D
正确．
故选：CD
5. （多选）如图所示，三角形支架放在水平台秤上，剪断斜面上固定小球的细绳，小球沿着斜面滚下。在
小球滚下的过程中( )
2
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A. 小球的机械能守恒B. 小球的机械能减少C. 台秤的示数增大
D. 台秤的示数减小
【答案】BD
【解析】AB.在小球滚下的过程中，要克服摩擦力做功，机械能减少，故A 错误，B 正确；
CD .小球沿着斜面向下加速运动，处于失重状态，台秤的示数减小，故C 错误，D 正确。
故选BD。
6. （多选）一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，至最低点时距水面还有数米距离。假定
空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小
B. 蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C. 蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D. 蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
【答案】ABC
【解答】A.运动员到达最低点前高度始终减小，重力势能始终减小，选项A 正确；
B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力与运动员下落方向相反，弹力做负功，蹦极绳被拉伸，弹性势能增加，
选项B 正确；
CD .蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统只受重力、弹力，因此机械能守恒，重力势能的改
变与重力势能零点的选取无关，选项C 正确，D 错误。
故选ABC。
题组3：多个物体机械能守恒判断
7. （单选）在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑
支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为
轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把
用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判
断中正确的是( )
A. 甲图中小球机械能守恒B. 乙图中小球A机械能守恒
C. 丙图中小球机械能守恒D. 丁图中小球机械能守恒
【答案】A
【解答】A、甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，故A 正确；
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B、乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组
成的系统机械能守恒，故B 错误；
C、丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故C 错误；
D、丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹
不是圆弧，细绳会对小球做功，故D 错误。
8. （单选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现
让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正
确的是( )
A. 小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B. 小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C. 小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D. 小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
【答案】C
【解析】小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但由于墙壁对半圆
形槽的作用，半圆形槽实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；
小球过了半圆形槽的最低点以后，小球对槽的作用力斜向右下方，对槽做正功，槽向右运动，槽对小球的
作用力斜向左上方，槽对球做负功，该过程中除了重力做功外，槽对小球的弹力也做功，故小球的机械能
不守恒，A、D 错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，在A点，小球竖直方向上只受重力
作用，加速度方向竖直向下，处于失重状态，在最低点，小球的加速度方向竖直向上，处于超重状态，所
以小球先失重，后超重，B 错误；小球与槽组成的系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，
所以系统的机械能守恒，C 正确。
考点二 单个物体机械能守恒定律的应用
题组1：单个物体单过程
1. （单选）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速
度为10m/ s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10m/ s
2)( )
A. 4 m
B. 5m
C. 6m
D. 7m
【答案】B
【解析】在理论上：当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能
守恒定律有 1
2 m v
2=mgh
4
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可得其理论的最大高度 h=5m
故选B。
2. （多选）如图所示，倾角为53°的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧(劲度系数未知)一端悬挂在O点，
另一端与质量为m的小球(视为质点)相连，B点在O点的正下方。小球从斜面上的A点由静止释放，沿着斜
面下滑，已知OA与斜面垂直，且O、A两点间的距离为L，重力加速度大小为g，小球刚到达B点时，对
斜面的弹力刚好为0，弹簧的原长为L，且始终处于弹性限度内，劲度系数为k的轻质弹簧的弹性势能E p与
弹簧的形变量x的关系式为E p= 1
2 k x
2，sin53° =0.8，cos53° =0.6，下列说法正确的是( )
A. 弹簧的劲度系数为mg
3 L
B. 小球在B点时弹簧的弹性势能为mgL
3
C. 小球到达B点时的动能为6
5 mgL
D. 小球从A点运动到B点的过程中，弹簧的弹性势能一直增大
【答案】BD
【解析】：A、小球在B点时弹簧的伸长量为x =
L
cos53
∘−L= 2
3 L。小球刚到达B点时，根据小球在垂直
于斜面方向受力平衡有kxcos53° =mgcos53°，解得弹簧的劲度系数为k = 3mg
2 L ，故A 错误；
B、小球在B点时弹簧的弹性势能为E p= 1
2 k x
2，解得E p= mgL
3
，故B 正确；
C、设小球到达B点时的动能为Ek。根据小球和弹簧组成的系统机械能守恒得
mgLtan53°⋅sin53° = Ek + E p，解得Ek = 11
15 mgL，故C 错误；
D、小球从A点运动到B点的过程中，弹簧的伸长量不断增大，由E p= 1
2 k x
2可知，弹簧的弹性势能一直增
大，故D 正确。
故选：BD。
题组2：单个物体多过程
3.如图所示，将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v０水平抛出，小球飞离平台后由A
点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C。圆轨道ABC的形状为半径R =2.5m的
圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，(sin53° =0.8, g=10m/ s
2)求：
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(1)小球经过C点的速度大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
【答案】(1)恰好运动到C点，有重力提供向心力，即mg= mvc
2
R
解得vc =5m/ s；
(2)从B点到C点，由动能定理有：−mghBC = 1
2 mvc
2−1
2 mvB
2
代入数据解得vB=√125m/ s
对B点进行受力分析：F N −mg = m vB
2
R
代入解得F N =6.0 Ν；
(3)小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道，从A到B由机械能守恒定律有：
1
2 m v A
2+mgR(1−cos53
0)= 1
2 m vB
2，
解得v A =√105m/ s，
在A点速度进行分解v y = v A·sin53
0
H = v y
2
2g =3.36m。
4.如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径R =0.2m的半圆形轨
道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为m=0.2kg的小球，小球沿轨道运动至D点后，
沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度h=0.8m，重力加速度g取
10m/ s
2，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小vB；
(2)小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小F N；
(3)C、E两点的距离x。
【答案】(1)根据题意，小球从 A 到 B 的过程中，由机械能守恒定律有 mgh= 1
2 m vB
2
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解得 vB=√2gh= 4 m/ s
(2)根据题意，小球从 B 到 D 的过程中，由机械能守恒定律有 1
2 m vB
2 =mg⋅2 R+ 1
2 m v D
2
解得 v D=2√2m/ s
在 D 点，由牛顿第二定律有 F N +mg=m v D
2
R
解得 F N =6 N
(3)小球从 D 点飞出后做平抛运动，飞行时间为 t =√
2×2 R
g
= √2
5 s
C、E两点的距离 x = v Dt =0.8m
考点三 多物体系统机械能守恒
题组1：速度大小相等多物体系统
1. （单选）如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静
置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放，则b球着地瞬
间a球的速度大小为( )
A. √gh B. √2gh
C. √
gh
2
D. 2√gh
【答案】A
【解答】对a、b单个球来说，机械能不守恒，但是对于ab组成的系统来说，绳的拉力是内力，ab系统只
有重力做功，所以机械能守恒，
取地面为零势能面，由机械能守恒得，3mgh=mgh+ 1
2 m v
2+ 1
2 ×3m v
2，
解得v =√gh，故A 正确，BCD 错误。
故选A。
5. （多选）如图所示，水平桌面上的物体甲，用细绳与物体乙连接，甲、乙质量分别为m、2m。细绳绷
紧后静止释放物体乙，物体乙下降的高度为h。不计滑轮和细绳的质量，忽略摩擦，该过程中( )
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A. 乙的机械能守恒
B. 甲和乙总的机械能守恒
C. 乙的重力势能减少了2mgh
D. 甲的动能增加了2mgh
【答案】BC
【解析】A.乙下降过程，绳对乙的拉力对乙做负功，可知乙的机械能减小，故A 错误；
B.对甲、乙构成的系统，系统所受外力只有重力做功，甲和乙总的机械能守恒，故B 正确；
C.乙所受重力做正功，则乙的重力势能减少了2mgh，故C 正确；
D.对甲、乙构成的系统进行分析有 2mgh= 1
2 mv
2+ 1
2 ×2mv
2，解得 1
2 mv
2= 2
3 mgh，即甲的动能增加
了 2
3 mgh ，故D 错误。
故选BC。
题组2：角速度相等的多物体模型
3.（单选）A、B两小球分别固定在轻杆的正中间和一端，轻杆的另一端固定在水平光滑转轴O上，让轻杆
在竖直平面内转动，如图所示。两球质量均为m且可视为质点，轻杆长度为2l，重力加速度为g，若系统
恰能在竖直平面内做圆周运动，那么( )
A. 小球B经过最低点时的动能为4 mgl
B. 从最低点运动到最高点，轻杆对小球A做的功为4
5 mgl
C. 转动中小球B的机械能守恒
D. 通过最低点时OA段轻杆的弹力为23
5 mg
【答案】B
【解析】A.设A、B在最低点时的速度大小分别为v A、vB，转动中系统只有重力做功，机械能守恒，因此
A、B从最低点转到最高点时有1
2 m v A
2 + 1
2 m vB
2 =mg·2l+mg·4l，
又两球做同轴转动，且B球做圆周运动半径为A球的2倍，有vB=2v A，
解得B在最低点时的动能EkB = 24
5 mgl，故A 错误；
B.从最低点运动到最高点，对A，由动能定理得W −mg·2l =0−1
2 mv A
2 ，
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解得杆对A做的功W = 4
5 mgl，故B 正确；
C.转动中除重力外，轻杆也对小球B做功，因此小球B的机械能不守恒，故C 错误；
D.通过最低点时，以A、B为整体，其所受合力等于其做圆周运动所需的向心力，即
F −2mg=m v A
2
l +m vB
2
2l
，
解得OA段轻杆中的弹力F = 46
5 mg，故D 错误。
故选B。
题组3：速度分解的多物体模型
2. （单选）如图所示，倾角为45°的光滑斜面与光滑的水平地面在C点连接，质量均为m的小球A、B(均
可视为质点)用长为L的轻质硬杆连接，现把小球B放置在水平面上的C点，小球A由静止释放，在小球A
下滑的过程中，小球B始终在水平地面上运动，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A. 小球A下滑的过程中，小球B动能的增加量等于小球A重力势能的减少量
B. 小球A下滑的过程中，轻质硬杆对小球A先做负功后做正功
C. 小球A刚到达C点前瞬间，小球A、B的速度大小相等
D. 小球A刚到达C点前瞬间，小球B的动能为√2
6 mgL
【答案】D
【解析】A.在小球A下滑的过程中，根据系统机械能守恒可知，小球A重力势能的减少量等于小球A、B动
能的增加量之和，故A 错误；
B.在小球A下滑的过程中，轻质硬杆对小球B的作用力与小球B的运动方向始终成锐角，故轻质硬杆对小球
B始终做正功，则小球B的机械能一直增加，小球A的机械能一直减小，所以轻质硬杆对小球A一直做负功，
故B 错误；
CD.设小球A下滑时杆与地面的夹角为θ、与斜面的夹角为α，则v Acosα = vBcosθ，可得vB= v A cosα
cosθ
，
小球A刚到达C点还未与地面接触时θ =0
∘，α = 45
∘，此时vB= √2
2 v A，由系统机械能守恒定律可得
mgLsin 45
∘= 1
2 m v A
2 + 1
2 m vB
2，联立解得v A =√
2√2gL
3
， vB=√
√2 gL
3
，小球B的动能为
EkB= 1
2 m vB
2 = √2
6 mgL，故C 错误，D 正确。
故选D。
3. （单选）如图所示，质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P置于倾角为30°的
光滑固定斜面上，Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接Q。初始时，
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控制P使轻绳伸直且无拉力，轻绳的OP段与斜面平行，OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放，Q在
运动过程中经过M点，OM与杆垂直，长为1.5 L。P、Q均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，劲度系
数k = mg
L ，重力加速度为g，sin37° =0.6，cos37° =0.8。Q经过M点时的速率为( )
A. √2 gL
B. 2√gL
C. √
2gL
7
D. 2√
gL
7
【答案】A
【解析】解：未释放P前，对Q有mg=kx，解得弹簧压缩量x = L，当Q经过M点时，几何关系可知
QM = 1.5 L
tan37
∘=2 L，可知在M点时，弹簧拉伸量为L，弹性势能与开始时相同，由于OM与杆垂直，可知
此时P的速度为0，对P、Q和弹簧构成的系统，由机械能守恒有
6mgsin30°( 1.5 L
sin37
∘−1.5 L)+ E p−1.5 L
tan37
∘mg= 1
2 m v M
2 + E p，解得v M =√2 gL，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
考点四 非质点类机械能守恒问题
题组1：链条液体类
1. （单选）如图所示，长度为L的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由
静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为g，当链条全部离开桌面时，其速度大小为( )
A. √3 gL
2
B. √gL C. √3 gL
D. √5 gL
2
【答案】A
【解析】设链条的质量为m，重力势能的减小量为△E p= mg
2 ( L
2 + L
4 )，由机械能守恒定律可得
△E p= 1
2 m v
2，解得v = √3 gL
2
，A 正确．
2. （单选）如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度
差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，
则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是()(重力加速度为g)
10
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A. √
gh
8
B. √
gh
10
C. √
gh
2
D. √gh
【答案】B
【解析】设管子的横截面积为S，液体的密度为ρ，则右侧高出左侧的液柱的体积为Sh，
所以其质量为：m= ρSh，全部的液柱的质量：M = ρS·5h，
拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧高为h液柱重心下降了1
4 h，
根据机械能守恒定律得mg⋅1
4 h= 1
2 M v
2，
解得v =√
gh
10
。
故选B。
题组2：多个小球类
3. （多选）如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接
在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r ≪R)的光滑小球(小球无明显形变)，小球恰好
将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿
走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是( )
A. N个小球在运动过程中始终不会散开
B. 第1个小球从A到B过程中机械能守恒
C. 第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D. 第1个小球到达最低点的速度v <√gR
【答案】AD
【解析】在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球
对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上
压，所以小球之间始终相互挤压，故N个小球在运动过程中始终不会散开，A 正确；第一个小球在下落过
程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，B 错误；由于小球在下落过程中速度发生
变化，相互间的挤压力变化，所以第N个小球不可能做匀加速运动，C 错误；当重心下降R
2 时，根据机械
能守恒定律得：1
2 m v
2=mg· R
2 ，解得：v =√gR，但整体在AB段时，重心低于R
2 ，所以第1个小球到达最
低点的速度v <√gR，D 正确。
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4. （单选）如图所示，露天娱乐场中过山车是由许多节完全相同的车厢组成，过山车先沿水平轨道行驶，
然后滑上一固定的半径为R的空中圆形轨道，若过山车全长为L( L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高
度，为使整个过山车安全通过固定的圆形轨道，那么过山车在运行到圆形轨道前的速度至少为(车厢间的距
离不计，忽略一切摩擦)( )
A. √gR B. √3 πgL
C. √gR(1+ 4 πR
L
)
D. √gR(1+ πR
L )
【答案】C
【解析】当过山车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，
设此时的速度为v，过山车的质量为M，圆形轨道上那部分过山车的质量M
'= M
L ⋅2πR，由机械能守恒
定律可得1
2 Mv 0
2= 1
2 M v
2+ M
'
gR，，又因圆形轨道顶部车厢应满足mg=m v
2
R
，联立解得
v0=√gR(1+ 4 πR
L
)，故ABD 错误，C 正确。
故选C。
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