文档内容
重难点 02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】............................................................................................2
【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】.........................................................................................3
【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】.....................................................................................3
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】.................................................................................................4
【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】.................................................................................................5
【题型6 一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】.................................................................................6
一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内
容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法
灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、
“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力
都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用.
【知识点1 一元二次不等式恒成立、能成立问题】
1．一元二次不等式恒成立、能成立问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集
为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为
2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集 R上恒成立，二是在某给定区间上恒成
立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的
范围，谁就是参数.
①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.
②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求
谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.
4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立 a>f(x) ；
max
若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解 a>f(x) ；
min
若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解 a≤f(x) .
min
(2)对任意的x∈[m,n]，a0恒成立，则k的取值范围
是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,−4) C．(−4,4) D．(−2,2)
【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“b∈(−2,2)”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数 ．
f(x)=−x2+ax−4
(1)当a=5时，解不等式f(x)<0;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为R，求实数a的取值范围．
【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数 ．
f (x)=(a2−2a)x2+(2a−2)x+1
(1)若对∀x∈R，都有f (x)>−1成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式f (x)>0．【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】
【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(−8,8) B．(−∞,8] C．(−∞,8) D．(8,+∞)
【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知∀x∈[1,2]，∀y∈[2,3]，y2−xy−mx2≤0，
则实数m的取值范围是（ ）
A．[4,+∞) B．[0,+∞) C．[6,+∞) D．[8,+∞)
【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数f (x)=x2−2tx+2，其中t∈R.
(1)若t=1，且对任意的x∈[a,a+2]，都有f (x)≤5，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
x ,x ∈[0,4] |f (x )−f (x )|≤8 t
1 2 1 2
【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数 ．
f(x)=mx2−mx−1
(1)若对于x∈[−1,1],f(x)<−m+5恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于m∈[−2,2],f(x)<−m+5恒成立，求x的取值范围．
【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】
【例3】（2022下·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知当−1≤a≤1时，x2+(a−4)x+4−2a>0恒成
立，则实数x的取值范围是（ ）
A．(−∞,3) B．¿
C．(−∞,1) D．(−∞,1)∪(3,+∞)【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“∃−1≤a≤3，ax2−(2a−1)x+3−a<0
”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式ax2−3x+2>5−ax(a>0)；
（2）若对于−2≤m≤2，不等式mx2−mx−1<−m+5恒成立，求x的取值范围．
【变式3-3】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知关于 的不等式 .
x 2x−1>m(x2−1)
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[−2,2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求m的取值范围.
【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】
【例4】（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若命题“∃x∈R，x2−2mx+m+2<0”为真命题，则实
数m的取值范围是（ ）.
A．m<−1或m>2 B．m≤−1或m≥2
C．−1≤m≤2 D．−10
0 0 0
则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2) B．(−∞,4) C．(−2,+∞) D．(4,+∞)
【变式5-1】（2023上·福建·高一校联考期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式
3−|3x−a|>x2+2x成立，则实数a的取值范围是（ ）
( 37 ) ( 13) ( 37 13)
A． − ,3 B． −3, C． − , D．(−3,3)
4 4 4 4
【变式5-2】（2023上·重庆·高一校联考阶段练习）已知函数f (x)=2x2−2ax+1．
(1)解关于x的不等式f (x)>a+1−x；
(2)若不等式f (x)<0在x∈[−2,0)上有解，求实数a的取值范围．
【变式5-3】（2023上·山东淄博·高一校考期中）设函数f (x)=mx2−mx−1.
(1)若命题：∃x∈R,f (x)>0是假命题，求m的取值范围；
(2)若存在x∈(−4,0),f (x)≥(m+1)x2+3成立，求实数m的取值范围.【题型6 一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】
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【例6】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数f (x)=2x2−ax+a2−4，g(x)=x2−x+a2− ，
4
(a∈R)
(1)当a=1时，解不等式f (x)>g(x)；
(2)若任意x>0，都有f (x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
∀x ∈[0,1] ∃x ∈[0,1] f (x )>g(x ) a
1 2 1 2
【变式6-1】（2022上·重庆渝中·高一校考阶段练习）若命题p：存在1≤x≤2,x2−x+3−a<0，命题q：
二次函数y=x2−2ax+1在1≤x≤2的图像恒在x轴上方
(1)若命题p,q中至少有一个真命题，求a的取值范围？
(2)对任意的−1≤a≤1，存在0≤b≤2，使得不等式x2−2ax+a≥|b−1|+|b−2|成立，求x的取值范围？
【变式6-2】（2023下·浙江·高二统考学业考试）设二次函数 ．
f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)
(1)若c=b，且f(x)在[0,2]上的最大值为c+2，求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的实数b，都存在实数x ∈[1,2]，使得不等式|f(x )|≥x 成立，求实数c的取值范围．
0 0 0【变式6-3】（2023上·天津北辰·高一校考阶段练习）已知函数 和 .
y =x+m y =ax2+bx+c
1 2
（1）若c=2−a，关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是¿.求实数a，b的值；
（2）若c=2−a，b=2，a≥0，解关于x的不等式ax2+bx+c>0；
m2
（3）若a=1，b=−m，c= +2m−3，对∀x ∈¿，总∃x ∈¿，使得y (x )>y (x )，求实数m的
2 1 2 1 1 2 2
取值范围､（注：
y (x )
表示的是函数
y =x+m
中
x
对应的函数值，
y (x )
表示的是
y =ax2+bx+c
中
x
1 1 1 1 2 2 2 2
对应的函数值.）
1．（2005·辽宁·高考真题）定义在R上的运算：x∗y=x(1−y).若不等式(x−a)∗(x+a)<1对任意实数
x都成立，则（ ）
3 1 1 3
A．− a >a >0 (1−a x) 2<1(i=1,2,3) x
1 2 3 i
）
A．( 1 ) B．( 2 ) C．( 1 ) D．( 2 )
0, 0, 0, 0,
a a a a
1 1 3 3
3．（2014·江苏·高考真题）已知函数 ，若对于任意的 都有 ，则实
f(x)=x2+mx−1 x∈[m,m+1] f(x)<0
数m的取值范围为 .
4．（2007·山东·高考真题）当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是 ．
5．（2012·福建·高考真题）已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是
．
1
6．（2010·天津·高考真题）设函数f(x)=x- ，对任意x∈[1,+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数
xm的取值范围是 .
