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2023-2024 学年九年级上册 第一单元一元二次方程
B 卷•能力提升卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•古丈县一模）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
【答案】C
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
2．（鞍山）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ 且k≠0 B．k＜ 且k≠0 C．k≤ 且k≠0 D．k＜
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤ 且k≠0．
故选：C．
3．（2023•瑞安市开学）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2时，因式分解结果正确的是
（ ）
A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0
C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0
【答案】C
【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，
9x2﹣（x﹣2）2＝0，
（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，
（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，
故选：C．
4．（2023•下陆区校级开学）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x ，x ，则 的值是（
1 2
）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】C
【解答】解：由题意，x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1• 2
∴ ．
故选：C．
5．（2023春•密云区期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大
位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与
人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有
几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）
时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若
设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2
【答案】D
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
6．（2023春•金安区校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则
m2+2m+n+2022的值是（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n+2022
＝m2+m﹣3+（m+n）+2025
＝0+（﹣1）+2025
＝2024，
故选：C．
7．（2023•荔城区校级开学）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝
﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：根据题意得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．（2022秋•建平县期末）建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要
赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝10 C． D．x（x+1）＝10
【答案】A
【解答】解：∵共有x个班参赛，
∴每个班需要比赛（x﹣1）场，
又∵每两个班之间都要赛一场，共赛10场，
∴ ，
故选：A．
9．（2023•锡林浩特市三模）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代
数式m2+2m+n的值等于（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m＝6，
∴m2+2m+n
＝m2+m+（m+n）
＝6﹣1
＝5，
故选：B．
10．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
x ＝ 或x ＝
0 0
∴2ax +b＝ 或2ax +b＝﹣
0 0
∴
故④正确．
⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确．
故选：B．
二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。
11．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0
的根，则k的值为 ± 3 或﹣ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
12．（2023•威远县校级二模）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）
（n2+3n+3）＝ 1 6 ．
【答案】16．
【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，
（m2+3m+3）（n2+3n+3）（1+3）（1+3）
＝4×4
＝16，
故答案为：16．
13．（2023•荔城区校级开学）设x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则
1 2
+2x +x ＝ 202 2 ．
1 2
【答案】2022．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝﹣1， +x ＝2023，
1 2 1
∴ +2x +x ＝ +x +x +x ＝2023﹣1＝2022．
1 2 1 1 2
故答案为：2022．
14．（2023春•蔡甸区月考）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就
会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝ 1 0 ．
【答案】10．
【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
列方程得：1+x+x（1+x）＝121，
∴x2+2x﹣120＝0，
解得：x ＝﹣12（舍去），x ＝10．
1 2
答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．
故答案为：10．
15．（2023•岳阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为
、 ，且 +2 ＝5，则m的值为 1 或﹣ 1 ．
【答案】1或﹣1．
α β α β
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为 、 ，
∴ + ＝2， ＝﹣3m2，
α β
∵ +2 ＝5，
α β αβ
∴ ＝5﹣2＝3，
α β
∴ ＝2﹣3＝﹣1，
β
α∴ ＝﹣3，
∵ ＝﹣3m2，
αβ
∴﹣3＝﹣3m2，
αβ
解得m＝1或﹣1．
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，
故m的值为1或﹣1．
故答案为：1或﹣1．
16．（2023春•肇源县月考）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0，若方程的两根分别
是x ，x ，且满足x +x ＝x •x ，则k＝ 1 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的两根分别是x ，x ，
1 2
∴x +x ＝﹣k，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
∵x +x ＝x •x ，
1 2 1 2
∴﹣k＝﹣1，
解得k＝1．
故答案为：1．
三、解答题（本题共5题，共52分）。
17．（10分）（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根x ，x ，求m的取值范围；
1 2
（2）若此方程的两根互为倒数，求 的值．
【答案】（1） ；
（2）7．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣3）＞0，即9﹣4m+12＞0，
∴ ；
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0的两个实数根，x ，x 且互为
1 2 1 2
倒数，
∴x +x ＝3，x x ＝1，
1 2 1 2∴ ．
18．（10分）（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了
流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x ＝8，x ＝﹣10（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
19．（10分）（2023春•江州区期末）某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每
件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2
件．
（1）若每件服装降价x元，求用含x的代数式表示商场平均每天可售的件数；
（2）若使商场每天盈利1200元，每件服装应降价多少元？
【答案】（1）（20+2x）件；
（2）应降价20元或10元．
【解答】解：（1）若每件服装降价x元，
则商场平均每天可售的件数为：（20+2x）件；
（2）根据题意得：
（40﹣x）（20+2x）＝1200．
解得x ＝20，x ＝10．
1 2
答：应降价20元或10元．
20．（10分）（2023•湟中区校级开学）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于
改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元，假设该公司2、3、4月
每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）20%；
（2）204.8万元．
【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2＝256，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝1.8（不合题意，舍去）．
1 2
答：每个月生产成本的下降率为20%．
（2）256×（1﹣20%）＝204.8万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为204.8万元．
21．（12分）（2023春•蓬莱区期中）（一）阅读：求x2+6x+11的最小值．
解：x2+6x＝11，
＝x2+6x+9+2，
＝（x+3）2+2，
由于（x+3）2的值必定为非负数，所以（x+3）2+2，即x2+6x+11的最小值为2．
思想总结：等式变形的关键是将“11”拆分成
“9+2“，形成完全平方式“x2+6x+9”再逆用公式
变形为平方形式．
（二）解决问题：
（1）若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求（ ）﹣3的值；
（2）对于多项式x2+y2+2x﹣2y+6，当x，y取何值时有最小值，最小值为多少？
【答案】（1）﹣1；
（2）当x＝1，y＝﹣1时，x2+y2﹣2x+2y+6有最小值，最小值为4．
【解答】解：（1）解：原式可变为m2+2mn+n2+n2﹣4n+4＝0，
∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+n＝0且n﹣2＝0，
∴m＝﹣2，n＝2，
∴（ ）﹣3＝（ ）﹣3＝（﹣1）﹣3＝﹣1；
（2）原式＝x2+y2﹣2x+2y+1+1+4＝（x2﹣2x+1）+（y2+2y+1）+4
＝（x﹣1）2+（y+1）2+4，
因为（x﹣1）2和（y+1）2的值必定为非负数，
所以当x＝1，y＝﹣1时，x2+y2﹣2x+2y+6有最小值，最小值为4．
