重难点 06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数的切线问题】......................................................................................................................................3
【题型2 （含参）函数的单调性问题】..................................................................................................................4
【题型3 函数的极值、最值问题】..........................................................................................................................5
【题型4 函数零点（方程根）问题】......................................................................................................................6
【题型5 不等式的证明】..........................................................................................................................................7
【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】........................................................................................................9
【题型7 利用导数研究能成立问题】....................................................................................................................10
【题型8 双变量问题】............................................................................................................................................11
【题型9 导数中的极值点偏移问题】....................................................................................................................12
【题型10 导数与三角函数结合问题】..................................................................................................................13
【题型11 导数与数列不等式的综合问题】..........................................................................................................14
导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试
题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、
不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，
解题时要灵活求解．
其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压
轴题的热点方向．
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x 处的导数，即曲线y=f(x)在点(x,f(x))处切线的斜率；
0 0 0
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y+f'(x)(x-x).
0 0 0
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x,f(x))(不出现y)；
0 0 0
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x)+f'(x)(x-x)；
0 0 0
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4 导数的综合应用】
1．导数中的函数零点（方程根）问题
利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题.
2．导数中的不等式证明
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点
处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
3．导数中的恒成立、存在性问题
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另
一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分
类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
4．导数中的双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
5．极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性．
y=f (x) (a,b) x f (x)
极值点偏移的定义：对于函数 在区间 内只有一个极值点 0，方程 的解分别为
x 、x a<x <x <b
1 2，且 1 2 .
x +x
(1)若
1
2
2 ≠x
0，则称函数y=f (x)在区间(x 1 ,x 2 )上极值点 x 0偏移；
x +x
(2)若
1
2
2 >x
0，则函数y=f (x)在区间(x 1 ,x 2 )上极值点 x 0左偏，简称极值点 x 0左偏；
x +x
(3)若
1
2
2 <x
0，则函数y=f (x)在区间(x 1 ,x 2 )上极值点 x 0右偏，简称极值点 x 0右偏．
【题型1 函数的切线问题】
【例1】（2023·河南·统考模拟预测）已知函数 .
f (x)=a(ex−1)−lnx
(1)当a=1时，求f (x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a≥1时，证明：f (x)>sinx.【变式1-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数 在 时有极小值.曲线
f(x)=aex+bx+c x=ln2 y=f(x)
在点(0,f(0))处的切线方程为x+ y=0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x,f(x)≥(e−2)x+m恒成立，求实数m的取值范围.
2
【变式1-2】（2023·广东·东莞市校联考一模）函数f(x)= +lnx在x=4处的切线方程为y= ℎ(x).
x
(1)求ℎ(x)；
1
(2)已知 <a<1，过(a,b)可作f(x)的三条切线，证明： ℎ(a)<b<f(a).
3
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=alnx− (1 a−1 ) x2−2x+ 1 a+1.
2 2
(1)当 时，求 的极值及曲线 在点 处的切线方程；
a=4 f (x) y=f (x) (1,f (1))
(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.
【题型2 （含参）函数的单调性问题】
【例2】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数f (x)=xlnx−ax2.(1)当a=1时，讨论函数f (x)的单调性；
(2)若不等式f (x)>aex+(1−a)x2−x恒成立，求实数a的取值范围.
【变式2-1】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知函数f (x)=xex,x∈R．
(1)求函数f (x)=xex单调区间；
(2)若过点P(1,t)(t∈R)可以作曲线y=f (x)的3条切线，求实数t的取值范围．
【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）已知函数f (x)=2ex−ax,a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)当a=e时，求证：f (x)>e(1−cosx)．
【变式2-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知函数 （a是非零常数，e
f(x)=a(ex+e−x)−1
为自然对数的底数）
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
a>0 f(x)−1≥x2 R
【题型3 函数的极值、最值问题】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=xlnx+(t−1)(x−t)(t∈R)．(1)当t=0时，讨论函数f (x)的极值；
ex
(2)若F(x)=f (x)− 有两个不同的极值点，求t的取值范围．
et
【变式3-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数f (x)=ax3+bx2+cx在x=1处取得极大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)求f (x)在[−4,3]上的最值.
【变式3-2】（2023·宁夏固原·宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测）已知实数a>0，函数
， 是自然对数的底数.
f (x)=xlna−alnx+(x−e) 2 e
(1)当a=e时，求函数f (x)的单调区间；
(2)求证：f (x)存在极值点x ，并求x 的最小值.
0 0
【变式3-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考二模）已知函数f (x)=mxe−x+x−lnx(m∈R).
(1)讨论函数f (x)的极值点个数；
(2)若m>0，f (x)的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.【题型4 函数零点（方程根）问题】
alnx
【例4】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2x+ +a．
x2
(1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
1
【变式4-1】（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）已知函数f (x)=lnx+ −1.
x
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)若 ，求函数 的零点个数.
g(x)=x2[f (x)+1−a]−x+a g(x)
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=x+1−alnx．
(1)判断函数f (x)的单调性．
(2)若f (x)=1有两个不相等的实根x ,x ，且x <x ，求证：x +x >a．
1 2 1 2 1 2
1
【变式4-3】（2023·广西·模拟预测）已知函数f (x)=2ln(x+1)+ x2−2x+m有三个零点，m∈R.
2
(1)求m的取值范围；
(2)记三个零点为x ,x ,x ，且x <x <x ，证明：x −x <2.
1 2 3 1 2 3 3 1【题型5 不等式的证明】
【例5】（2023·四川成都·统考一模）已知函数f (x)=2ex−ex.
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)求证：f (x)>e(lnx+cosx).
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=x−mlnx(m∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若存在不相等的实数 ， ，使得 ，证明： ．
x x f (x )=f (x ) 0<m<x +x
1 2 1 2 1 2
【变式5-2】（2023·四川成都·统考二模）已知函数 ，曲线 在 处的
f (x)=ex−asinx(a>0) y=f (x) (0,f (0))
切线也与曲线y=2x−x2相切.
(1)求实数a的值；
3+√3
(2)若x 是f (x)的最大的极小值点，x 是f (x)的最大的极大值点，求证：2<f (x )+f (x )< .
1 2 1 2 2
【变式5-3】（2023·河南新乡·统考一模）已知函数f (x)=xlnx−mx2−1．
1
(1)当m≥ 时，讨论f (x)在(0,+∞)上的单调性；
2(2)已知 是 的两个零点，证明： ．
x ,x f (x) x x >√6e2
1 2 1 2
【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】
1
【例6】（2023·四川内江·统考一模）已知函数f(x)= ax2−lnx．
2
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知f (x)=aex+ln(x+1)，a为任意实数．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)令a=2，对∀x≥0，均有f (x)≥kx+2恒成立，求k的取值范围．
【变式6-2】（2023·云南红河·统考一模）已知函数f(x)=mx−lnx−1(m∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
x ex−1+alnx−(a+1)x+a≥0
【变式6-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数f (x)=aex−e−x，（a∈R）.
(1)若 为偶函数，求此时 在点 处的切线方程；
f (x) f (x) (0,f (0))
(2)设函数g(x)=f(x)−(a+1)x，且存在x ,x 分别为g(x)的极大值点和极小值点.
1 2（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
a∈(0,1) g(x )+kg(x )>0 k
1 2
【题型7 利用导数研究能成立问题】
【例7】（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数f(x)=kx−ln(1+x)(k>0).
(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)如果存在 ，使得当 时，恒有 成立，求 的取值范围.
x ∈(0,+∞) x∈(0,x ) f(x)<x2 k
0 0
【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数f (x)=(e−a)ex+x(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若存在实数a，使得关于x的不等式f (x)≤λa恒成立，求实数λ的取值范围.
1
【变式7-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知f (x)=(x−a−1)ex− ax2+a2x−1．（a∈R）
2
(1)讨论f (x)的单调性；
1
(2)若a=−1，且存在x∈(0,+∞)，使得f (x)≤lnx+ x2+(b+1)x，求b的取值范围．
2
【变式7-3】（2023·北京海淀·统考一模）已知函数 ．
f(x)=eax−x
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
x ,x ∈[−1,1] f (x )⋅f (x )≥9
1 2 1 2
【题型8 双变量问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=(x+t)ln(x+t)+(t−1)x(t∈R)．
(1)当t=0时，讨论函数f (x)的极值；
(2)已知F(x)=f (x)−ex，函数F(x)存在两个极值点x ，x ，证明：x +x <0．
1 2 1 2
【变式8-1】（2023·四川自贡·统考二模）已知函数f (x)=aex−x2有两个极值点x 、x .
1 2
(1)求a的取值范围；
(2)若x ≥3x 时，不等式x +λx ≥2x x 恒成立，求λ的最小值.
2 1 1 2 1 2
1
【变式8-2】（2023·河南·校联考二模）已知函数f (x)= mx2+(m−1)x−lnx(m∈R)，
2
1
g(x)=x2− +1.
2ex
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当 时，若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
m>0 x ∈(0,+∞) x ∈[1,+∞) f (x )≥g(x ) m
1 2 1 2x
【变式8-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数f (x)= +lnx−ax，其中e为自然对数的底数.
eax
(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；
x
(2)若函数g(x)=f (x)− 有两个零点x ,x (x <x )，证明：x ⋅x >e2.
eax 1 2 1 2 1 2
【题型9 导数中的极值点偏移问题】
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数f (x)=(2x+a)lnx−3(x−a),a>0.
(1)当x≥1时，f (x)≥0，求a的取值范围.
1
(2)若函数f (x) 有两个极值点x 1 ,x 2 ，证明： x +x >2e − 2 .
1 2
a
【变式9-1】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数f (x)=xlnx− x2−x+a(a∈R)在其定义域内有
2
两个不同的极值点.
(1)求a的取值范围；
(2)记两个极值点为 ，且 . 若 ，证明： .
x ,x x <x λ≥1 e1+λ<x ⋅xλ
1 2 1 2 1 2
(x+1)(a+lnx)
【变式9-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数f (x)=
x
(1)若函数f (x)在定义域上单调递增，求a的最大值；
(2)若函数f (x)在定义域上有两个极值点x 和x ，若x >x ，λ=e(e−2)，求λx +x 的最小值．
1 2 2 1 1 2【变式9-3】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数f
(x)=x2(
lnx−
3
a
)
，a为实数．
2
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ， ，证明：
f (x) x=e f′(x) f (x) f′ (x )=f′ (x ) x <x
1 2 1 2
2<x +x <e
1 2
【题型10 导数与三角函数结合问题】
【例10】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f (x)=ax3+2sinx−xcosx.
( π π)
(1)若a=0，判断f (x)在 − , 上的单调性，并说明理由；
2 2
(2)当a>0，探究f (x)在(0,π)上的极值点个数.
sinx−sina
【变式10-1】（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数F(x)=(1−λ)cosx+λcosa− ，其
x−a
π
( )
中a∈ 0, .
2
π
( )
(1)若λ=1，讨论F(x)在 a, 上的单调性；
2
π
( )
(2)当x∈ a, 时，不等式F(x)<0恒成立，求实数λ的取值范围.
2【变式10-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f (x)=ax3+2sinx−xcosx（其中a为实数）．
1 π
(1)若a=− ,x∈ ( 0, ) ，证明：f (x)≥0；
2 2
(2)探究f (x)在(−π,π)上的极值点个数．
【变式10-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 是自然对数
f(x)=ex (cosx+√2)−(x+1)sinx e
的底数．
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
f(x) (0,f (0))
(2)若x>−1，求证：f(x)>0．
【题型11 导数与数列不等式的综合问题】
emx
【例11】（2023·山东济南·校考模拟预测）设函数f(x)= (x>−1)，已知f(x) ≥ 1恒成立．
x+1
(1)求实数m的值；
1 n
(2)若数列{a }满足a =lnf( a )，且a =1−ln2，证明：|ea n−1|<( ) .
n n+1 n 1 2
f(x) a(x−1)
【变式11-1】（2023·海南·海口校联考模拟预测）已知函数 =lnx− ．
x+1 x+1
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上只有一个零点，求a的取值范围；(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
a =¿ {a } n S 2S <ln(n2+3n+2)
n n n n
ex−1
【变式11-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数f (x)= ．
x
(1)证明：当x<0时，f (x)<1；当x>0时，f (x)>1．
(2)正项数列 满足： ， ，证明：
{x } ex n+1=f (x ) x =1
n n 1
（i）数列 递减；
{x }
n
n
（ii） 1 ．
∑ x ≥2−
i 2n−1
i=1
【变式11-3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设函数 x2 x3 xn .
f (x)=−1+x+ + +⋯+
n 22 32 n2
(1)求函数 在点 处的切线方程;
f (x) (1,f (1))
3 3
[2 ]
(2)证明:对每个n∈N*，存在唯一的x ∈ ,1 ，满足f (x )=0；
n 3 n n
1
(3)证明:对于任意p∈N∗，由（2）中x 构成的数列{x }满足0<x −x < .
n n n n+p n(1 )
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)= +a ln(1+x)．
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
a=−1 y=f (x) (1,f (x))
(2)若函数f (x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
sinx π
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=ax− ,x∈ ( 0, ) ．
cos2x 2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sinx<0，求a的取值范围．
3．（2023·北京·统考高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
f(x)=x−x3eax+b y=f(x) (1,f(1))
y=−x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
g(x)=f′ (x) g(x)
(3)求f(x)的极值点个数．
(1 )
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)= +a ln(1+x).
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=−1 y=f (x) (1,f (1))
(1)
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f 关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
x(3)若f (x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围.
(1 1)
5．（2023·天津·统考高考真题）已知函数f (x)= + ln(x+1)．
x 2
(1)求曲线y=f (x)在x=2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：f (x)>1；
5 ( 1)
(3)证明： <ln(n!)− n+ ln(n)+n≤1．
6 2
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 ．
f (x)=a(ex+a)−x
(1)讨论f (x)的单调性；
3
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ ．
2
7．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0<x<1时，x−x2<sinx<x；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
f (x)=cosax−ln(1−x2) x=0 f (x)
8．（2022·天津·统考高考真题）已知a，b∈R，函数f (x)=ex−asinx,g(x)=b√x(1)求函数 在 处的切线方程；
y=f (x) (0,f (0))
(2)若y=f (x)和y=g(x)有公共点，
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）求证：a2+b2>e．
1
9．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=ax− −(a+1)lnx．
x
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
10．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ．
f(x)=exln(1+x)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
g(x)=f′ (x) g(x) [0,+∞)
(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
ex
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f (x)= −lnx+x−a．
x
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x ,x ，则x x <1．
1 2 1 212．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
f(x)=ex−ax g(x)=ax−lnx
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
