专题13隐圆问题3种模型（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 13 隐圆问题 3 种模型 通用的解题思路： 隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心， 等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角 转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四 边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。 类型1：定点定长 1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，OAOBOC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若AOB70，则ACB ． 如图，RtABC中，ABC 90，BCA30，AB2． （2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分 别为点D、E、F ，求四边形BDFC的面积和BEA的大小． （3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满 足BQA45且此时四边形BADF 的面积最大？若存在，求出四边形BADF 面积的最大值及平移距离a， 若不存在，说明理由．2．（2024•兰州模拟）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问 题，如图，在ABC 中，AB AC，BAC 90，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），AE 为ABD的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE至点M ，使得ME AE ，连接DM ．始终存在以下两 个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①DM  AC ；②MDADAB180； 【类比探究】（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考 1 进一步探究后发现：AE CF ，请你帮他证明； 2 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半 径的圆上运动(AD AB)，直线AE与直线CF 相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大 值．若AB4，请直接写出BG的最大值．3 3．（2022•番禺区二模）已知抛物线yax2 bx (a0)与x轴交于点A，B两点，OAOB，AB4．其 2 顶点C的横坐标为1． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点D在抛物线第一象限的图象上，DE AC垂足为E，DF //y轴交直线AC于点F ，当DEF 面 积等于4时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B运动到达点C，FM FN 交直线BD于点 N，延长MF与线段DE的延长线交于点H ，点P为N，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P经过的 路线长． 4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何 问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图 1，在ABC 中， AB AC，BAC 80，D是ABC 外一点，且 AD AC，求BDC的度 数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆 A，则点C、D必在 A上，BAC是 A的圆心角，而BDC    是圆周角，从而可容易得到BDC  ． （2）问题解决： 如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC 25，求BAC的度数． （3）问题拓展： 1 抛物线y (x1)2 3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线 4 PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ． ①若含45角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在 PQ上，求Q的坐标；②若含30角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点 B，点Q不重合，求点P的坐标． 类型2：定弦定角 1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出 （1）如图①，已知ABC 为边长为2的等边三角形，则ABC 的面积为 ； 问题探究 （2）如图②，在ABC 中，已知BAC 120，BC 6 3，求ABC 的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB20米，长BC 24米，为了能够监控到 礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端 墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角AMB45，请你通过所学知识 进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理 由．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC 为等腰三角形，C 120，AC BC 8，D 是AB上一点，且CD平分ABC 的面积，则线段CD的长度为 ． 问题探究：（2）如图②，ABC 中，C 120，AB10，试分析和判断ABC 的面积是否存在最大值， 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会 场旁规划一个四边形花圃ABCD，满足BC 600米，CD300米，C 60，A60，主办方打算过 BC的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边 上一点，通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供 影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存 在，请说明理由．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A与点B的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P是该直角坐标系内的一个 动点． （1）使APB30的点P有 个； （2）若点P在y轴上，且APB30，求满足条件的点P的坐标； （3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由； 若没有，也请说明理由．类型3：四点共圆 1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点 作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）． 某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理． 如图（1），已知ABC 内接于 O，点P在 O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作   AB，BC， AC的垂线，垂足分别为点D，E，F ．求证：点D，E，F 在同一条直线 上． 如下是他们的证明过程（不完整）: 如图（1），连接PB，PC，DE，EF ，取PC的中点Q，连接QE．QF ， 1 则EQFQ PC PQCQ，（依据1) 2 点E，F ，P，C四点共圆，  FCPFEP180．（依据2) 又 ACPABP180，  FEPABP． 同上可得点B，D，P，E四点共圆，  任务： （1）填空： ①依据1指的是中点的定义及 ； ②依据2指的是 ． （2）请将证明过程补充完整． （3）善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BDCF，请你利用图（2）证明该结论的正确性．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以 使问题变得非常容易． 例如：如图 1，在ABC 中， AB AC，BAC 90，D是ABC 外一点，且 AD AC，求BDC的度 数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助 A，则点C、D必在 A上，BAC是 A的圆心角，而BDC    是圆周角，从而可容易得到BDC  ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC 25，求BAC的度数． （3）【问题拓展】 如图3，如图，E，F 是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE DF ．连接CF 交BD于点G，连接 BE 交AG于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使BAC 90， 且AB AC，过点C作CD直线l于点D，连接AD． （1）小亮在研究这个图形时发现，BAC BDC 90，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则ADB 的度数为 ，将射线 AD顺时针旋转90交直线l于点E，可求出线段 AD，BD，CD的数量关系 为 ； （2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数 量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若CD长为1，当ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．