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2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题 12 相似（比）、图形的运动、向量、新定义
一．填空题（共15小题）
1．（嘉定区）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果△AOD、△BOC的面积
分别是1cm2、4cm2，那么梯形ABCD的面积等于 9 cm2．
【分析】设点B到AC的距离为h，将S 和S 用含h的式子表示，推导出 ＝ ，
△BOA △BOC
同理得 ＝ ，再由AD∥BC证明△AOC∽△BOC，根据“相似三角形面积的比等于相似
比的平方”求出 ＝ ＝ ，再分别求出S 、S 的值，由S ＝
△BOA △DOC 梯形ABCD
S +S +S +S 求出梯形ABCD的面积即可．
△AOD △BOC △BOA △DOC
【解答】解：如图，设点B到AC的距离为h，则 ＝ ＝ ，
同理 ＝ ，
∵AD∥BC，
∴△AOC∽△BOC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴S ＝ ×4＝2（cm2），S ＝ ×4＝2（cm2），
△BOA △DOC
∴S ＝S +S +S +S ＝1+4+2+2＝9（cm2），
梯形ABCD △AOD △BOC △BOA △DOC
故答案为：9．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平
方”求出OA与OC、OD与OB的比值是解题的关键．
2．（虹口区）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三
角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个
格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是 ．
【分析】根据表格求出AB，BC，AC的长，由题意画出△DEF与△ABC相似，且面积最大，求出
相似比即可．
【解答】解：由表格可得：AB＝ ，BC＝2，AC＝ ，
如图所示：作△DEF，DE＝ ，DF＝ ，EF＝5，
∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴△DEF∽△ABC，
则△DEF与△ABC相似比的值是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解本
题的关键．
3．（普陀区）如图，已知点D、E分别在线段AB和AC上，点F是BE与CD的交点，∠B＝∠C，
如果DF＝4EF，AB＝6，AC＝4，那么AD的长等于 2 ．
【分析】证明△DBF∽△ECF，由相似三角形的性质得出 ，证明△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质得出 ，设CE＝x，则BD＝4x，得出方程 ，求出x＝1，
则可得出答案．
【解答】解：∵∠DFB＝∠EFC，∠B＝∠C，
∴△DBF∽△ECF，
∴ ，
∵∠B＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵AB＝6，AC＝4，
∴ ，
设CE＝x，则BD＝4x，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣x，AD＝AB﹣BD＝6﹣4x，
∴ ，
∴x＝1．
∴AD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△ACD是解题的关键．
4．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果 ＝ ， ＝ ，那么 ＝
+ ．（用含向量 、 的式子表示）
【分析】由重心的性质可得 ， ，利用三角形法则，即可求得 的长，又由中线的性质，
即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，
∴点G为△ABC的重心，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝2 ＝ + ．故答案为： + ．
【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结
合思想的应用．
5．（徐汇区）如图，已知点A是抛物线y＝x2图象上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再
把点A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是
（﹣ ， 3 ） ．
【分析】延长AB交x轴于D，过C点作CE⊥AD于E，解直角三角形求得CE＝ ×2＝ ，
CE＝ AC＝1，设A（m，m2），则CC（ +m，m2﹣3），代入y＝x2得到关于m的方程，解方
程求得m的值，即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，延长AB交x轴于D，过C点作CE⊥AD于E，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EBC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝2，
∴BC＝AB＝2，
∴BE＝1，CE＝ ×2＝ ，CE＝ AC＝1，
设A（m，m2），则C（ +m，m2﹣3），
∵点C也在该抛物线上，
∴m2﹣3＝（ +m）2，
解得m＝﹣ ，
∴A（﹣ ，3），
故答案为：（﹣ ，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣旋转，表示出C的坐
标是解题的关键．
6．（黄浦区）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点
D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于 ．
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，根据全等三角形的性
质得到∠C＝∠E，DE＝BC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，AB＝4，
AC＝5，
∴AD＝AB＝4，AE＝AC＝5，∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴∠C＝∠E，DE＝BC，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟
练掌握旋转的性质定理是解题的关键．7．（宝山区）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P在CD边上，联结AP．如果将△ADP沿
直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么 的值为 ．
【分析】根据折叠性质，用勾股定理列方程，求出CP和PD的长度，即可得到S ＝ 和S
△ADP
＝ ，从而可得答案．
四边形ABCP
【解答】解：如图：
∵将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的D'，
∴AD'＝AD＝5，PD＝PD'，∠AD'P＝∠D＝90°，
在Rt△ABD'中，BD'＝ ＝ ＝4，
∴CD'＝BC﹣BD'＝5﹣4＝1，
设CP＝x，则PD＝PD'＝3﹣x，
在Rt△CPD'中，CD'2+CP2＝PD'2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝ ，
∴CP＝ ，PD＝ ，
∴S ＝ AD•PD＝ ×5× ＝ ，
△ADP
S ＝S ﹣S ＝3×5﹣ ＝ ，
四边形ABCP 矩形ABCD △ADP
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质及熟练运用勾股定理．8．（奉贤区）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大
小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的
意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，
且ME＝100步，NF＝225步，那么该正方形城邑边长AD约为 30 0 步．
【分析】根据题意，可知Rt△AEM∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得
正方形的边长．
【解答】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝ AD，AN＝ AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴ ，
即AM2＝100×225＝22500，
解得：AM＝150（步），
∴AD＝2AM＝300（步）；
故答案为：300．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题
意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
9．（长宁区）定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE∥BC，点D、点E之
间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC中，BC＝4，
BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE＝ ．
【分析】先证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵DE关于BC的横纵比为2：3，
∴设点D、点E之间距离为2x，直线DE与直线BC间的距离为3x，DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴DE＝2x＝ ，故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键．
10．（青浦区）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分
线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB＝ ，AF＝2BF，那么GB＝
．
【分析】证明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，根据平行线的性质和角平分
线的定义可得CD＝DE＝AB＝3 ，CE＝CG＝ CD＝ × ＝6，从而得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△BFG，
∴ ，
∵AF＝2BF，
∴AE＝2BG，
设BG＝a，则AE＝2a，
∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，
∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥CG，
∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠ECG，
∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，
∴CD＝DE＝AB＝3 ，CE＝CG＝ CD＝ × ＝6，
∴a+2a+3 ＝6，
∴a＝2﹣ ，
∴GB＝2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，
等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
11．（杨浦区）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分
别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角
形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为 3 ．【分析】过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，根据全等三
角形的判定得出△CDA≌△AEB，根据全等三角形的性质得出AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，求出
CF＝DE＝AE+AD＝3d，再解直角三角形求出答案即可．
【解答】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则
∠CDA＝∠AEB＝90°，
∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两条平行线间的距离相等（设为d），
∴BF⊥直线c，CD＝2d，
∴BE＝BF＝d，
∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，
∴∠DCA＝∠EAB，
在△CDA和△AEB中，
，
∴△CDA≌△AEB（AAS），
∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，
∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，
∵BF＝d，
∴cotα＝ ＝ ＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平
行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
12．（浦东新区）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如
图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴
交于点B，点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是
．【分析】根据直线y＝﹣x+3，可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点B的坐标，再
根据点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，即可得到m、n的值，然后将抛物线与直线
建立平面直角坐标系，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵点B恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n的顶点，
∴m＝0，n＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+3，
，
解得 或 ，
∴抛物线与直线y的交点为（0，3），（1，2），
∴此时抛物线关于直线y的割距是： ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，
解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标．
13．（松江区）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如
图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EF∥BC，
如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么 的值是 ．
【分析】根据相似多边形的性质得出 ＝ ，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根据相似
多边形的性质得出 ＝ ，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似，∴ ＝ ，
∵AD＝1，BC＝2，
∴ ＝ ，
解得：EF＝ ，
∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此
题的关键．
14．（金山区）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的边DE在边AB上，顶点F、G分别在
边BC、AC上，如果△BEF、△ADG、△CFG的面积分别是1、2、3，那么矩形DEFG的面积等于
6 ．
【分析】根据题目的已知条件易证△CGF∽△DAG∽△EFB，然后利用相似三角形面积的比等于
相似比的平方，可得它们的相似比为1： ： ，然后设EF为x，表示出三角形其余的边，
再利用三角形的面积进行解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴GD＝EF，∠GDE＝∠FED＝90°，GF∥AB，
∴∠ADG＝∠FEB＝90°，
∵GF∥AB，
∴∠A＝∠CGF，∠B＝∠CFG，
∵∠C＝∠ADG＝∠FEB＝90°，
∴△CGF∽△DAG，△CGF∽△EFB，
∴△CGF∽△DAG∽△EFB，
∵△BEF、△ADG、△CFG的面积分别是1、2、3，
∴△BEF、△ADG、△CFG的相似比为＝1： ： ，
∴设GD＝EF＝x，则AD＝ EF＝ x，CG＝ EF＝ x，
∵△ADG的面积是2，
∴ AD•GD＝2，
∴ • x•x＝2，∴x2＝2 ，
∴EF2＝2 ，
∵ ＝ ，
∴CF＝ x，
在Rt△CFG中，FG2＝CG2+CF2
＝（ x）2+（ x）2
＝ x2
＝ ×2
＝9 ，
∴FG2•EF2＝9 ×2 ＝36，
∴矩形DEFG的面积＝FG•EF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比
等于相似比的平方，是解题的关键．
15．（崇明区）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”．如
图，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，点A在边BP上，点D在边CP上，如果BC＝11，tan∠PBC
＝ ，AB＝13，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为 1 3 、 1 2 ﹣ 或 12 +
．
【分析】根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD＝AB，此时点D在D的位置，CD＝AB
1 1
＝13；②若AD＝BC＝11，此时点D在D、D的位置，AD＝AD＝BC＝11；利用勾股定理和矩形
2 3 2 3
的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
【解答】解：如图，点D的位置如图所示：①若CD＝AB，此时点D在D的位置，CD＝AB＝13；
1 1
②若AD＝BC＝11，此时点D在D、D的位置，AD＝AD＝BC＝11，
2 3 2 3
过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE＝x，
∵tan∠PBC＝ ，
∴AE＝ ，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即x2+（ x）2＝132，
解得：x＝5，x＝﹣5（舍去），
1 2
∴BE＝5，AE＝12，
∴CE＝BC﹣BE＝6，
由四边形AECF为矩形，可得AF＝CE＝6，CF＝AE＝12，
在Rt△AFD中，FD＝ ＝ ，
2 2
∴CD＝CF﹣FD＝12﹣ ，
2 2
CD＝CF+FD＝12+ ．
3 2
综上所述，CD的长度为13、12﹣ 或12+ ．
故答案为：13、12﹣ 或12+ ．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个
概念．注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．
