专题12相似三角形四种模型（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 12 相似三角形四种模型 通用的解题思路： 题型一：相似三角形基本模型（X字型） 【方法点拨】基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 题型二：相似三角形基本模型（A字型） 【方法点拨】基本模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 题型三：相似基本模型（K字型（一线三等角）） 【方法点拨】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 题型四：相似三角形基本模型（旋转型（手拉手）） 【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 题型一：相似三角形基本模型（X字型） 1．（2024•韶关模拟）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O， 测得AOBO50cm，CODO30cm． （1）若CD40cm，求AB的长； （2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度AOB106，求AB距离地面的高．（结果保留整数）（参考数值 sin370.60，cos370.80) 2．（2024•西安校级模拟）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点 C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F ，点B，E，F ，D在同一水平线上．已知ABEF ， CDEF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE1.6m，FD0.8m，深坑宽度EF 8.8m，请根据以 上数据计算深坑深度多少米？3．（2024•常州模拟）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE 平行于直线AB，经凸透镜MN 折 射后，过焦点F ，并与过凸透镜中心O的光线CO交于点D，从而得到像BD．其中，物距AOu，像距BOv， 焦距OF  f ，四边形AOEC 是矩形，DB AB，MN  AB． （1）如图2，当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即u f ，请用所学的数学知识说明此时“不成 像”； （2）若蜡烛AC的长为5cm，物距u15cm，焦距 f 10cm，求像距v和像BD的长． 4．（2023•浉河区校级三模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片ABC，如图，AB AC 5，BC 6．为了找到重心， 以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点B与点A 重叠对折，得折痕DF，再展开后连接CD，交折痕AE于点O，则点O就是ABC 的重心． 教材重现： 如图415，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线(median)．如图 416，AE是ABC 的BC边上的中线．让我们先看看三角形的中线有什么特点． ? ???? （1）初步观察： 连接AF ，则AF 与BF 的数量关系是： ； （2）初步探究： 请帮助莹莹求出AOC的面积； （3）猜想验证； 莹莹通过测量惊奇地发现OA2OE ，CO2OD．她的发现正确吗？请说明理由； （4）拓展探究： 莹莹把AFC 剪下后得△AFC，发现可以与ABF拼成四边形，且拼的过程中点A不与点A重合， 直接写出拼成四边形时OA的长．5．（2023•南关区四模）如图，AB是 O的直径，OA3．动点P从点A出发，在 O上沿顺时针方向运   动到终点B，速度为每秒个单位．同时动点Q从点B出发，在 O上沿顺时针方向运动，速度为每秒3  个单位．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒． （1） O的周长为 ；  （2）当点P与点Q重合时，求AP所在的扇形的面积； （3）当OPOQ时，求t的值； （4）作半径OP的垂直平分线交 O于点M 、N，连结PQ．当PQ将线段MN 分成1:2的两部分时，直接  写出t的值．6．（2023•海曙区校级三模）如图1，在菱形 ABCD中，AB2 5，点P是对角线BD上的动点， O是  1 PAB的外接圆，tanDBC  ，设 O的半径为r ，BPx．  2 （1）如图2，当PAPB时，求证：BC是 O切线；  （2）延长AP交射线BC于点Q． ①如图3，若BP为 O直径，求CQ的长；  AP ②如图4，若点O、A、D三点共线，求 的值； PQ （3）当0x4时，直接写出r 与x的函数关系式： ．7．（2024•庐江县一模）已知：如图，DAB和EBC 中，DADB，EBEC，ADBBEC，且点A、 B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F ． （1）求证：DFBC BFAB； DF （2）若DF CE ，求 的值． BD 8．（2024•镇海区校级二模）四边形 ABCD内接于 O， AC是 O的直径，连结 BD交 AC于点G，   AF BD，垂足为E． （1）如图1，若AF 交BC于点F ． ①求证：BAF CAD； 4 ②若 O的直径为10，cosBCA ，BF:CG3:5，求AF 的长．  5（2）如图2，若AF 交CD于点F ，连结OD，若OD//AB，AE  5，DF 2CF，求 O的直径．  9．（2023•谷城县模拟）在ABC 和EDB中，C EBD90，BAC BED，点D在线段AC 上． （1）【特例证明】如图（1），当30时，ED AB，证明：AE AC； （2）【类比探究】如图（2），当30，点D是线段AC上任一点时，证明： ①BDF∽EAF ； ②AE AC； AF 3 （3）【拓展运用】如图（3），当45时，  ，AE 12，求BC长． BF 510．（2023•深圳模拟）（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与 端点重合），连接BE ，作点D关于BE 的对称点D，DD的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD， DE． ①小明探究发现：当点E在CD上移动时，BCEDCF ．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完 整． 证明：延长BE 交DF于点G． ②进一步探究发现，当点D与点F 重合时，CDF  ． （2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE ，作点D关于BE 的对称 点D，DD的延长线与BC的延长线交于点F ，连接BD，CD，DE．当CDDF ，AB2，BC 3 时，求CD的长； （3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD 3，AC 2，点F 为线段BD上一动点，将 线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF EF ， 请直接写出此时OF 的长．11．（2023•罗湖区二模）如图 1，已知：ABC 内接于圆O， AB AC，连接 AO并延长，交BC于点 D． （1）求证：ADBC； （2）如图 2，过点 B作 BE  AC于点 E，交圆O于点 F ，交 AD于点G，连接 AF 、CF ，求证： AG AF； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DE，CF 5，AF 3 5 ，求DE的长．题型二：相似三角形基本模型（A字型） 1．（2023•无锡）如图，AB是 O的直径，FD为 O的切线，CD与AB相交于点E．DF //AB，交CA   的延长线于点F ，CF CD． （1）求F 的度数； （2）若DEDC 8，求 O的半径．  2．（2024•武威一模）已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，ADEB，点F 在AD上，且AD2  AFAB． AD AE 求证：（1）  ； AB AC （2）AEF∽ACD． 3．（2024•武汉模拟）如图， O是ABC的外接圆，AB AC，DA，DC是 O的切线，切点分别为A，   C． （1）求证：ABC∽DAC； CD 3 BP （2）连接OD，与AC交于点P，连接BP，BD，若  ，求 的值． BC 4 BD4．（2024•巴彦县一模）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面 墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的 方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为5m的大视力表，可以用使用平面镜成像的原理来解决 硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表 房间小的问题．如图，在相距 ②．通过测量大视力表中“E”的高度(BC 3m的两面墙上分别悬挂视力 的长），即可求出小视力表中相应的“E” 表(AB)与平面镜(MN)，由平 的高度(DF 的长） 面镜成像原理，作出了光路图， 通过调整人的位置，使得视力 表 AB的上、下边沿 A，B发 出的光线经平面镜MN 的上下边沿反射后射入人眼C处，通 过测量视力表的全长(AB)就 可以计算出镜长MN （1）甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？ （2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米． 5．（2024•汝南县一模）某“综合与实践”小组开展测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案， 并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长： 组员：，， 测量 皮尺，标杆 工具 测量 说明：在水平地面上直立一根标杆EF ，观 示意 测者沿着直线BF 后退到点D，使眼睛C、 图 标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一直线上． 测量 观测者与标杆的距离DF 观测者与旗杆的距离DB 标杆EF 的长 观测者的眼睛离地面 数据 的距离CD 1m 18m 2.4m 1.6m 问题 如图，过点C作CH  AB于点H ，交EF 于点G． 解决 请根据以上测量结果及该小组的思路．求学校旗杆AB的高度．6．（2024•雁塔区校级二模）阳光明媚的一天实践课上，亮亮准备用所学知识测量教学楼前一座假山AB的 高度，如图，亮亮在地面上的点F 处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此 时他起身在F 处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得FG2米，亮亮 的身高EF 为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，BF 9 米，点D、B、F 、G在一条直线上，CDDG，ABDG，EF DG，已知教学楼CD的高度为16米， 请你求出假山的高度AB． 7．（2024•锦江区模拟）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶C与坝脚B之间的距离，把一根长为6米的竹 竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为72．求 石坝坝顶 C与坝脚 B之间的距离．（结果精确到 0.1m，参考数据： sin720.95， cos720.31， tan723.08) 8．（2024•西安校级模拟）为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C 处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时 测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F 处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H 、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH 为2.6米，DF为3.5米，已知ABBH ， EDBH ，GF BH ，点B、C、D、F 、H 在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度． 9．（2024•西安校级四模）每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标 志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD， 发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD57米，D、E之间有一个花圃无法 测量，然后在E处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时EG2.4 米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米，求出塔高AB． 10．（2024•盐城模拟）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与 距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地 图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈(30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译 文如下：现在要测量谷的深度AK，拿一个高AG为6尺的“矩尺” (GAH)仰放在岸上，从G处望向谷 底LK(H 在LG上），下股AH 为9.1尺，在KA的延长线上重新放置“矩尺” (EBC)，其中BE  AG6 尺， AB30尺，从 E处望向谷底 LK(C在 LE上），下股 BC为 8.5 尺，求谷 AK的深度．（已知 GAH 90、EBC 90、AKL90) 11．（2024•河南一模）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽 遐诡伏，靡所不入”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距离和高度差． ——刘徽《九章算术注序》 某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，在同一海平面的D处和F 处分别树立标杆CD 和EF ，标杆的高都是5.5米，DF两处相隔80米，从标杆CD向后退11米的G处，可以看到顶峰A和标 杆顶端C在一条直线上；从标杆EF 向后退13米的H 处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求 山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离． 注：图中各点都在一个平面内． 12．（2023•益阳）如图，在RtABC中，ACB90，AC BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按 顺时针方向旋转90得到DA，线段DA交AB于点E，作AF  AB于点F ，与线段AC交于点G，连接 FC，GB．（1）求证：ADE△ADG； （2）求证：AFGB AGFC； 1 （3）若AC 8，tanA ，当AG平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．? 2 13．（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直 角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知ABC 和ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线 段AB，AC上，且C AED90． （1）观察猜想小华将ADE绕点 A逆时针旋转，连接BD，CE ，设BD的延长线交CE 于点F ，如图②， 当点E与点F 重合时： BD ① 的值为 ； CE ②BFC的度数为 度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转ADE，连接BD，CE ，（1）中的两个结论是否仍 然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若 AEDE 2， AC BC  10 ，当CE 所在的直线垂直于 AD时，直接写出BD的 长． 14．（2024•镇海区校级二模）四边形 ABCD内接于 O， AC是 O的直径，连结BD交 AC于点G，   AF BD，垂足为E．（1）如图1，若AF 交BC于点F ． ①求证：BAF CAD； 4 ②若 O的直径为10，cosBCA ，BF:CG3:5，求AF 的长．  5 （2）如图2，若AF 交CD于点F ，连结OD，若OD//AB，AE  5，DF 2CF，求 O的直径．  15．（2024•黄埔区一模）如图，在矩形 ABCD和矩形 AGFE中， AD4， AE2， AB 3AD， AG 3AE．矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF ，AC，AF ． （1）求证：ABG∽ACF ； （2）当CE 的长度最大时， ①求BG的长度； ②在ACF内是否存在一点P，使得CP AP 3PF的值最小？若存在，求CP AP 3PF的最小值；若 不存在，请说明理由．题型三：相似基本模型（K字型（一线三等角）） 1．（2022•郴州）如图1，在矩形ABCD中，AB4，BC 6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A， D重合），连接CE ，过点E作EF CE ，交AB于点F ． （1）求证：AEF∽DCE； （2）如图2，连接CF ，过点B作BGCF ，垂足为G，连接AG．点M 是线段BC的中点，连接GM ． ①求AGGM 的最小值； ②当AGGM 取最小值时，求线段DE的长． 2．（2024•太白县一模）为完成社会实践活动，晓玲打算去测量大雁塔南广场上伫立着的玄奘雕塑．晓玲自 制了一个矩形纸板CDEF ，按如图所示在地面固定纸板，使得雕塑顶端A在DC的延长线上，并在顶点C 处悬挂一个铅锤 M ，恰好交 DE于点 M ，测得点 C到雕塑 AB的距离 CH 为 6m， CD0.5m， DM 0.6m，点C到地面BE 的距离为1m，AB//CM ，ABBE，CH  AB于点H ，所有点都在一个平 面内，请求出玄奘雕塑的高AB．3．（2023•武昌区模拟）【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，BACED，求证： ABC∽CDE； 【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为BD的中点，求证：AC2  ABAE； 【拓展运用】（3）如图2，在ABC 中，BAC 90，点O是ABC 的内心、若OA2 2，OB 2OC， 则BC的长为 ． 4．（2023•灞桥区校级四模）问题提出：（1）如图①，在等边ABC 中， AB9，D为BC三等分点 (BDCD)，连接AD，在AD右侧作ADE60，求AE的长； 问题解决：（2）如图②，在矩形场地ABCD中，AB300米，BC 400米，AC为对角线，现在要在BC 边上设置一个门，在AC上安装一个扫描仪器，该扫描仪的范围为（即BEF )，经过测试将扫描范围 3 设置为sin 时，效果最佳，以A、F 、C、D四点为顶点搭建一个帐篷，则将扫描仪E放置距离C多 5 长距离时，四边形AFCD面积最大，最大面积为多少？5．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两 个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答： 【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形ABCO的一个顶点，OA 交AB 1 1 1 1 于点E，OC 交BC于点F ，则AE与BF 的数量关系为 ； 1 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别 与AD、BC交于点E、F ，直线n分别与AB、CD交于点G、H ，且mn，若正方形ABCD边长为8， 求四边形OEAG的面积； 【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E 在BC的延长线上，且BC 6，CE2．在直线BE 上是否存在点P，使APF为直角三角形？若存在，求 出BP的长度；若不存在，说明理由．6．（2024•滨海县一模）【感知】如图①，在正方形 ABCD中，E为 AB边上一点，连结DE，过点E作 EF DE交BC于点F ．易证：AED∽BFE．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE交BC于点F ． （1）求证：AED∽BFE． （2）若AB10，AD6，E为AB的中点，求BF 的长． 【应用】如图③，在ABC 中，ACB90，AC BC，AB4．E为AB边上一点（点E不与点A、B 重合），连结CE ，过点E作CEF 45交BC于点F ．当CEF为等腰三角形时，BE 的长为 ． 7．（2023•武汉模拟）点C在AB的延长线上，且DABDBE． （1）如图（1），若C A，求证：DAB∽BCE； CE （2）如图（2），若CE//AD，C 45，若AD 2AB，则 的值为 ；（直接写出） BC AB （3）如图（3），连接AE，若DAB∽DBE，  2，求证：AE2BD． AD8．（2023•榆次区一模）问题情境： 在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都 是正方形，边长分别是 12 和 13，将顶点 A与顶点E重合，正方形EFGH绕点 A逆时针方向旋转，连接 BF ，DH ． 初步探究： （1）试猜想线段BF 与DH 的关系，并加以证明； 问题解决： （2）如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F 恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长； （3）在图②中，若FG与DC交于点M ，请直接写出线段MG的长． ?9．（2023•商丘二模）综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB6，AD5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD 重合，折痕为MN ，沿MN 剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M 逆时针旋转， 点N的对应点为N． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN交AD于点E，BC交MN 于点F ，此时两个矩形 重叠部分四边形MEDF的形状是 ，面积是 ； （2）如图③，当点N落在AD边上时，BC恰好经过点N，NC与DN 交于点G，求两个矩形重叠部分四 边形MNGN 的面积； 【引申探究】（3）当点N落在矩形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线NC与直线DN 交于点G， 请直接写出线段DG的长．10．（2023•金山区二模）如图，已知在ABC 中，AB AC，点D是边BC中点，在边AB上取一点E，使 得DE DB，延长ED交AC延长线于点F ． （1）求证：ACDF； （2）设AC的中点为点O， ①如果CD为经过A、C、D三点的圆的一条弦，当弦CD恰好是正十边形的一条边时，求CF:AC的值； 3 ② M 经过C、D两点，联结OM 、MF，当OFM 90，AC 10，tanA 时，求 M 的半径长．   411．（2024•钟楼区校级模拟）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这 两个三角形叫做“共边全等”． （1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ； 1 （2）如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD AB，点E、F 分别在AC、BC 3 边上，满足BDF 和EDF 为“共边全等”，求CF 的长； （3）如图2，在平面直角坐标系中，直线y3x12分别与直线yx、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在AOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与PCB “共边全等”时，请直接写出 点Q的坐标．12．（2023•梁溪区校级二模）如图，以矩形OABC 的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直 线为 y轴，建立平面直角坐标系，已知OA3，OC 4，将矩形OABC 绕点O逆时针方向旋转( 0180 )得到矩形ODEF． （1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标； （2）当点D恰好落在矩形OABC 的对角线上时，求点E的坐标； （3）在旋转过程中，点 M 是直线OD与直线 BC的交点，点 N是直线 EF 与直线 BC的交点，若 1 BM  BN ，请直接写出点N的坐标． 2 题型四：相似三角形基本模型（旋转型（手拉手）） 1．（2024•新都区模拟）如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG， AB AE 且  ． AD AG （1）求证：ABEADG； 1 （2）若AB 3，AD 15 ，BE  BD，求EG的长． 32．（2023•平遥县二模）（1）【问题呈现】如图1，ABC 和ADE都是等边三角形，连接BD，CE ．请判 断BD与CE 的数量关系： ． （2）【类比探究】如图2，ABC 和ADE都是等腰直角三角形，ABC ADE90．连接BD，CE ．请 写出BD与CE 的数量关系： ． AB AD 3 （3）【拓展提升】如图3，ABC 和ADE都是直角三角形，ABC ADE90，且   ．连 BC DE 4 接BD，CE ． BD ①求 的值； CE ②延长CE 交BD于点F ，交AB于点G．求sinBFC的值．3．（2023•山阴县模拟）在学习镜面反射后，小明知道了当入射光线与镜面垂直时，反射光线将与入射光线 重合，沿原路返回．他利用此现象设计了一个测量物体高度的工具． 项目 图例 说明 测量工具横截面图 直角三角形ABC中，ACB90，AB2AC 2米，点O为AB 的中点，在点O处固定一面平面镜，矩形ACED为支架，在支架 底部安装轮子，方便移动，支架的高度（包含轮子的高度） CE 0.5米． 测量示意图 在建筑物MN 的顶端N处安装红外线灯以及一块白色纸板，纸板 大小忽略不计，将测高工具放置在与建筑物同一平面上，在地面 ME上移动工具，当红外线灯照射到点O处，且反射光线落在白 色纸板上(ON  AB)时，停止移动测高工具． 待测数据 DM 的长 在一次实际测量过程中，小明测得测高工具与建筑物的水平距离DM 5.5米，请计算建筑物MN 的高度（结 果精确到0.1米，参考数据 31.73)．4．（2023•海城市校级三模）已知：点C、A、D在同一条直线上，ABC ADE，线段BD、CE 交 于点M ． （1）如图1，若AB AC，AD AE ①问线段BD与CE 有怎样的数量关系？并说明理由； ②求BMC的大小（用表示）； （2）如图 2，若 ABBC kAC， ADEDkAE，则线段 BD与CE 的数量关系为 ，BMC  （用表示）； （3）在（2）的条件下，把ABC绕点A逆时针旋转180，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M ．则BMC  （用表示）．5．（2023•市中区校级四模）[问题提出]如图1，在等边ABC 内部有一点P，PA3，PB4，PC 5， 求APB的度数． [数学思考]当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题． [尝试解决]将APC绕点A逆时针旋转60，得到△APB，连接PP，则APP为等边三角形． PPPA3，又 PB4，PC 5，PP2 PB2 PC2．  △BPP为 三角形， APB的度数为 ． [类比探究]如图 2，在 ABC中， BAC 90， AB AC，其内部有一点 P，若 PA2， PB1， PC 3，求APB的度数． [联想拓展]如图 3，在ABC 中，BAC 90，BCA30，其内部有一点P，若PA3，PB2， PC 4 3，求APB的度数．6 ．（2023 •江汉区校级模拟）如图， ABC 和 ADE都是直角三角形， ABC ADE90， BAC DAE ． （1）如图1，证明：ABD∽ACE； （2）如图2，延长DB，EC交于点G，O是AE的中点，连接GO，证明：OGOE； （3）如图3，若AD2AB4，BAC 60，ADE绕点A旋转，当点B、C、E共线时，直接写出BD 的长 ．7．（2023•亳州二模）如图1，在ABD和ACE中，BADCAE，ABDACE． （1）①求证：ABC∽ADE； ②若AB AC，试判断ADE的形状，并说明理由； （2）如图 2，旋转 ADE，使点 D落在边 BC上，若 BAC DAE90， BADE．求证： CE BC． 8．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE ． ①线段AD，BE 之间的数量关系为 ； ②AEB的度数为 ． （2）拓展探究： 如图2，ACB和AED均为等腰直角三角形，ACBAED90，点B，D，E在同一直线上，连接 BD CE ，求 的值及BEC的度数； CE （3）解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，CD 10，若点P满足PD 2，且BPD90，请直接写出点C到直线BP 的距离．9．（2023•开阳县模拟）【特例感知】 （1）如图①，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD90，点C在OA上，点D在BO的延 长线上，连接AD，BC，写出图中一对你认为全等的三角形 ； 【类比迁移】 （2）如图②，将图1中的COD绕着点O顺时针旋转(0a90)，那么第（1）问的结论是否仍然成立？ 如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图③，若AB6，点C是线段AB外一动点，AC 3，连接BC．若将CB绕点C顺时针旋转90得 到CD，连接AD，AD是否有最小值，若有请求出最小值；若没有，请说明理由．10．（2023•获嘉县模拟）在RtABC中，ABC 90，ABnBC ，P为AB上的一点（不与端点重合）， 过点P作PM  AB交AG于点M ，得到APM ． （1）【问题发现】如图1，当n1时，P为AB的中点时，CM 与BP的数量关系为 ； （2）【类比探究】如图2，当n2时，APM 绕点A顺时针旋转，连接CM ，BP，则在旋转过程中CM 与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB4，AP2，当APM 绕点A顺时针旋转至B，P，M 三 点共线时，请直接写出线段BM 的长． 11．（2023•顺城区三模）如图，ABC 是等边三角形，将线段BC绕点B旋转(0180)，得到线段BD， 连接CD，ABD的角平分线交直线CD于点E，连接AE． （1）如图1，当060时，猜想线段AE，BE ，CD三条线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想； （2）如图2，当60120时，（1）中的结论是否成立？若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确 的结论并说明理由； （3）若AB3 6，ABD30时，请直接写出BE 的长．12．（2023•郴州模拟）如图1，在RtABC中，A90，AB9，AC 12，点D是AB上一点（不与点 A，B重合），作DE//BC，交AC于点E．如图2，把ADE绕点 A顺时针旋转度(090)，连接 BD，BE ，CE ．在ADE旋转过程中，完成以下问题，： （1）如图2，求证：ADB∽AEC； GF （2）如图3，若点F ，H ，G分别是DE，BC，BE 的中点，求 的值； GH （3）如图2，若AD3，求BCE 面积的最小值． 13．（2023•南山区校级二模）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转至线段AE，DAE的平分 线所在直线与直线BE 相交于点F ． 【探索发现】 （1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出DAE的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再 依题意补全图形，求证：EF DF ；【深入探究】 （2）在（1）的条件下， ①DEB的度数为 ； ②连接CF ，猜想线段BE 和CF 之间的数量关系，并证明； 【拓展思考】 （3）若正方形的边长AB6，当以点C，F ，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE 的长度． 14．（2023•静安区校级一模）在等腰直角ABC 中，C 90，AC 4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角ADF ，ADF 90，射线AB与射线FD交 于点E，联结BF ． （1）如图所示，当点D在线段CB上时， ①求证：ACD∽ABF ； ②设CDx，tanBFD y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当AB2BE时，求CD的长． 15．（2023•霍林郭勒市校级三模）已知正方形ABCD，动点P在AB上运动，过点B作BE射线DP于点 E，连接AE． （1）如图1，在DE上取一点F ，使DF BE ，连接AF ，求证：AE AF；（2）如图2，点P在AB延长线上，求证：BEDE  2AE； CD 1 （3）如图3，若把正方形ABCD改为矩形ABCD，且  ，其他条件不变，请猜想DE，BE 和AE的 AD 2 数量关系，直接写出结论，不必证明． 16．（2021•日照）问题背景： 如图1，在矩形ABCD中，AB2 3，ABD30，点E是边AB的中点，过点E作EF  AB交BD于点 F ． 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF绕点B按逆时针方向旋转90，如图2所示，得到结 AE 论：①  ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ． DF （2）小王同学继续将BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是 否仍然成立？并说明理由． 拓展延伸： 在以上探究中，当BEF旋转至D、E、F 三点共线时，则ADE的面积为 ．17．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在ABC 中，AC BC，点E为AB边上一点，连接CE ． （1）如图1，若ACB90，CE  26 ，AE4，求线段BE 的长； （2）如图2，若ACB60，G为BC边上一点且EGBC，F 为EG上一点且EF 2FG，H 为CE 的 中点，连接BF ，AH ，AF ，FH ．猜想AF 与AH 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，当ACB90，BCE 22.5时，将CE 绕着点E沿顺时针方向旋转90得到EG，连接 CG．点P、点Q分别是线段CB、CE 上的两个动点，连接EP、PQ．点H 为EP延长线上一点，连接 BH ，将BEH 沿直线BH 翻折到同一平面内的BRH ，连接ER．在P、Q运动过程中，当EPPQ取得 最小值且EHR45，AC  10 时，请直接写出四边形EQPR的面积． 18．（2023•沈河区校级模拟）如图1，四边形ABCD中，BCD90，AC  AD，AF CD于点F ，交BD 于点E，ABD2BDC． （1）判断线段AE与BC的关系，并说明理由； （2）若BDC 30，求ACD的度数； （3）如图2，在（2）的条件下，线段BD与AC交于点O，点G是BCE内一点，CGE90，GE3， 将CGE绕着点C逆时针旋转60得CMH ，E点对应点为M ，G点的对应点为H ，且点O，G，H 在 一条直线上直接写出OGOH 的值．19．（2024•沙坪坝区校级一模）ABC 和DEC是以点C为公共顶点的等腰三角形，其中BABC， DC DE，ABCCDE180，连接AE． （1）如图 1，当ABC 90，点E在BC的延长线上时，点F 为 AE中点，连接FB．若 AC 3 2， CD 2，求BF 的长； （2）如图2，点F 为AE中点，连接FB，FD，FB交AC于点G．点H 是AC上一点，连接BH ．延长 BH ，DF相交于点K．若K BGA，求证：AH HC； （3）如图3，当ABC 90，点D在BC的延长线上时，延长EC至点N，使得EN  AC．延长AE至点1 M ，使得EM  AE，连接MN ．若AE6，当MN 的长度取最小值时，请直接写出EMN的面积． 2