专题12几何图形初步相交线与平行线-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 12 几何图形初步 相交线与平行线 几何图形初步、相交线与平行线是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现， 主要考查基本概念、基本应用以及基本的数学思想方法． 1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的 和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查． 2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查. 线段a、b 线段、 1、度量方法 画一条线段等于已知线段 画一个角等于已知角 2、尺规作图 线段的大小比较 角的大小比较 1、度量法——用刻度尺度量 1、度量法——用量角器度量 2、叠合法 2、叠合法 ab  ab  ab  线段的和、差、倍 角的和、差、倍 1、度量方法 线段的中点 角的平分线 2、尺规作图 角的度量 互余：90 互补：180 第 1 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 邻补角 对顶角 同一 相交直线 斜交 平面 垂直的基本性质 内的 两条 点到直线的距离 垂直 不同 线段的垂直平分线 直线 平行直线 两条直线被第三条直线所截 同位角、内错角、同旁内角 平行线的基本性质 判定方法和性质 平行线间的距离 第 2 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、几何图形初步 1.直线、射线、线段 关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． 相交、交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 直线、射线、线段的表示方法 ①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB． ②射线：直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l，或用两个大些字母表示，如：射线OA．注意： 用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或 线段BA）． 尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。 中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点。三等分点、四等分点…… 关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成： 两点之间，线段最短．比较两条线段长 短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离．（平面上任意两点间的距离指的是连接这两点的线 段的长度，强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段 的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离） 2.角 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成 平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角． 角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯 有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠ β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． 角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．以度、 分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 3.角的比较与运算 比较角的大小：量角器量或叠合 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．度量法、折 叠法、尺规作图法等。三等分线 4.余角和补角 余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中每一个角是另一个角的余角．同 角（等角）的余角相等． 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．同 角（等角）的补角相等．注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系，只要度数之和满足了定义，则 它们就具备相应的关系． 第 3 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．下列关于直线的表示方法，正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】用直线的表示方法解答，通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示． 【解析】∵通常直线用两个大写字母或一个小写字母表示，例直线AB，直线a． 故①用直线A表示错误；②直线AB表示正确；③直线Ab表示错误；④直线ab表示错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何中直线的表示方法，熟记直线的表示方法是解题的关键． 2．下列说法正确的个数是（ ） ①连接两点之间的线段叫两点间的距离； ②线段AB和线段BA表示同一条线段； ③木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点 之间，线段最短； ④若AB2CB，则点C是AB的中点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念判断即可． 【解析】解：连接两点之间的线段的长叫两点间的距离，故①不符合题意； 线段AB和线段BA表示同一条线段，正确，故②符合题意； 木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确 定一条直线，故③不符合题意； 若AB2CB，点C可能在AB外，则点C不一定是AB的中点，故④不符合题意； 故选：A． 第 4 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了直线的性质，两点的距离的概念，线段中点的概念，正确理解定义是解题的关键． 3．若12515，2251330，325.35，则（ ） A．312 B．213 C．132 D．123 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进 行大小比较，即可得到结论． 【解析】∵12515，2251330，325.35=25°21'， ∴312． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关 键． 4．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（ ） A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm 【答案】A 1 【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN=DN= BD， 2 进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可． 【解析】解：∵点M是AB的中点， 1 1 ∴BM=AM= AB= ×6=3（cm）， 2 2 ∵BC=10cm,CD=8cm, ∴BD=BC+CD=10+8=18（cm）， ∵点N是BD的中点， 1 1 ∴BN=DN= BD= ×18=9（cm）， 2 2 ∴MN=MB+BN=3+9=12（cm）． 故选：A． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度 叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度． 第 5 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5．下列关于余角、补角的说法，正确的是（ ） A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余 B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补 C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 【答案】A 【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和为180°，则这两个角互补．根据此定义判断 即可． 【解析】A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意； B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意； C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意； D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质． 2 6．若一个角的余角是它的补角的 ，则这个角的度数是（ ） 5 A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】设这个角为，根据余角与补角的关系列出方程，解之即可． 【解析】解：设这个角为，则 2 90 (180) 5 解得30 故选：A． 【点睛】本题考查余角和补角，解题关键是找到题中等量关系，列出方程． 二、填空题 7．如图，计划把河水引到水池A中，先作ABCD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短， 这样设计的依据是______． 第 6 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 【分析】 过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短． 【解析】 解：∵连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短， 故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【点睛】 本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值． 8．已知在同一个平面内，一个角的度数是70°，另一个角的两边分别与它的两边垂直，则另一个角的度数 是___________． 【答案】70°或110° 【分析】由两个角的两边互相垂直，即可得这两个角互补或相等，又由其中一角度数，即可求另一角的度 数． 【解析】解：  同一平面内的两个角的两边互相垂直（如图所示）， 这两个角互补或相等，  其中一个角为70， 另一角的度数为：70或110． 故答案为：70或110． 【点睛】此题考查了垂线的意义，熟练运用画图分析以及分类讨论是此题的难点，也是解决此题的关键． 第 7 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9．平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为_____个． 【答案】0，1，3，4，5，6 【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可 看出． 【解析】解：（1）当四条直线平行时，无交点； （2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点； （3）当两两直线平行时，有4个交点； （4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点； （5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点； （6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点； （7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点． 故答案为：0，1，3，4，5，6． 【点睛】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线， 然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高， 学会分类讨论思想是解题的关键． 10．如图，OB平分AOC，OD平分COE，AOC 100，EOC 40，则BOD的度数为___°． 【答案】70° 【分析】根据角平分线定义先求出∠BOC的度数，和∠COD，然后根据两角和求解即可． 【解析】解：∵∠AOC=100°，∠COE=40°， ∵OB平分∠AOC， ∴∠BOC=∠AOB=50°， 第 8 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵OD平分∠COE， ∴∠COE=2∠COD=40°． ∴∠COD=20°， ∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+20°=70°． 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义，角的和，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． 三、解答题 11．如图，已知MON ，按下列要求画图． （1）在MON 的内部画射线OP； （2）画MOQ，使ON在MOQ的内部； （3）在完成（1）、（2）后，图中共______个角，并写角的名称． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6；MOP、MON 、MOQ、PON、POQ 、NOQ 【分析】（1）根据射线的定义即可作图OP； （2）根据角的定义即可作图MOQ； （3）根据角的定义，有公共端点的两条射线组成的图形即可求解． 【解析】解：（1）如图，射线OP为所作； （2）如图，MOQ为所作； （3）图中共有6个角，它们为MOP，MON ，MOQ，PON，POQ ，NOQ． 【点睛】此题主要考查角的定义及作图，解题的关键是熟知角的构成及定义． 第 9 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 12．（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接AC，在线段BD上求作线段DE，使DEBDAC； 2 3 （2）如图2，点C是AB的中点，D、E分别是线段AC、CB上的点，且AD AC，DE AB．若 3 5 AB24，求线段CE的长． 52 【答案】（1）作图见解析；（2）线段CE的长为 ，详见解析 5 【分析】（1）根据尺规作图，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求； 1 2 3 72 （2）根据题意，结合图形可求出AC=BC= AB12，AD AC=8，DE AB= ，可求出BE，即可 2 3 5 5 求出CE的长． 【解析】解：（1）如图所示，连接AC，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求， ； 1 （2）由题意可知，AC=BC= AB12， 2 2 2 3 3 72 ∴AD AC= 12=8，DE AB= 24= ， 3 3 5 5 5 72 8 ∴BE=AB-AD-DE=248  ， 5 5 8 52 ∴CE=BC-BE=12  ， 5 5 52 即：线段CE的长为 ． 5 【点睛】本题主要考查的是尺规作图，以及线段求值，数形结合是解题的关键． 13．如图，直线AB、CD相交于点O，将一个直角三角尺的直角顶点放置在点O处，且ON平分BOD． 第 10 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)若AOC 68，求MOB的度数； (2)试说明OM 平分AOD． 【答案】(1)124° (2)证明见解析 1 【分析】（1）由题意知BODAOC，BON DON  BOD，可得BON的值，然后代入 2 MOBMONBON中计算求解即可； （2）由AOM BON 90，MODDON 90，BON DON ，可得到AOM MOD． 1 【解析】（1）解：由题意知BODAOC，BON DON  BOD，MON 90 2 ∴BON 34 ∵MOBMONBON ∴MOB124． （2）证明：∵MON 90 ∴AOM BON 90 ∵MODDON 90，BON DON ∴AOM MOD ∴OM 平分AOD． 【点睛】本题考查了角平分线，角度的计算等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系． 二、相交线与平行线 相交线 1.对顶角、邻补角 第 11 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 第 12 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 1 ∠1与∠2 ∠1的两边与 对顶角相等 对顶角 有公共顶点 ∠2的两边互为 即∠1=∠2 反向延长线 第 13 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∠3与∠4有一 条边公共，另一 邻补角互补即 邻补角 有公共顶点 边互为反向延 ∠3+∠4=180° 长线. 要点： ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为 反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶 角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不 一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 要点： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直， 是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距 离是垂线段PO的长. 要点：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 第 14 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 平行线 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 要点： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共 同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外 一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们 之间不能等同. 一、单选题 第 15 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1．下列图中∠1和∠2是同位角的是( ) A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4） C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（5） 【答案】D 【分析】根据同位角的定义，对每个图进行判断即可． 【解析】（1）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意； （2）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意； （3）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意； （4）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意； （5）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意． 图中是同位角的是（1）、（2）、（5）． 故选D． 【点睛】本题考查了同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且 在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 2．下列说法中不正确的个数为（ ）． ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线 的距离等逐一进行判断即可． 【解析】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 第 16 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确； ∴不正确的有①②④⑤四个． 故选：C． 【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质， 从而完成求解． 3．如图,下列说法正确的是（ ） A．∠1和∠4不是同位角 B．∠2和∠4是同位角 C．∠2和∠4是内错角 D．∠3和∠4是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可． 【解析】A、∠1和∠4是同位角，原说法错误，故本选项错误； B、∠2和∠4不是同位角，原说法错误，故本选项错误； C、∠2和∠4不是内错角，原说法错误，故本选项错误； D、∠3和∠4是同旁内角，原说法正确，故本选项正确； 故选D． 【点睛】考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不 同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 4．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（ ） A．54° B．56° C．44° D．46° 【答案】A 第 17 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】先根据AB⊥BC，即可得到390154 ．再根据a∥b ，即可得出3254． 【解析】由题意可知：如下图所示 ∵AB⊥BC，∠1＝36°， ∴390154 ∵a∥b， ∴3254 故选A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解题关键． 5．如图，直线a，b被直线c，d所截，160，260，3100，则4的大小是（ ） A．120 B．100 C．80 D．60 【答案】B 【分析】根据平行线的判定可以得出a//b，根据平行线的性质即可求出4． 【解析】解： 160，260，  12， a  b， 34， 3100，  4100． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并准确运用是解决本题的关 第 18 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 键． 6．如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，AEGAEG，点A､B分别落在A､B的位置，EA与 BC相交于点F，已知1125，则2的度数是（ ） A．55° B．60° C．70° D．75° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得AEG55，再根据平角的定义可得DEF 70，然后根据平行线的 性质即可得． 【解析】由题意得：AD//BC， 1125，  AEG180155， AEGAEG，  AEG55， DEF 180AEGAEG70， 又 AD//BC，  2DEF 70， 故选：C． 【点睛】本题考查了平角的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 二、填空题 7．如图，与CDE构成内错角的角是______； 第 19 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】∠DEA和∠BCD． 【分析】根据内错角的定义解答即可． 【解析】解：∠CDE与∠DEA可以看成直线AC与直线CD被直线DE所截的内错角; ∠CDE与∠BCD可以看成直线DE与直线BC被直线CD所截的内错角． 故答案为：∠DEA和∠BCD． 【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角的识别，掌握内错角的定义是解答本题的关键． 8．己知a, b, c为平面内三条不同直线，若ab,cb,则a与c的位置关系是 _________ 【答案】a//c 【分析】根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行即可得出结论． 【解析】  ab,cb, a//c 故答案为：a//c． 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 9．如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，第1步：画直线AB，将三角尺的一边紧靠 直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边：第2步：将三角尺沿直尺下移：第3步：沿三角尺原先紧靠直线AB 的那一边画直线CD．这样就得到AB//CD．这种画平行线的依据是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据同位角相等两直线平行即可判断． 【解析】解：如图， 第 20 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由作图可知，FEB＝GFD， ∴CD//AB（同位角相等，两直线平行）， 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本掌握，属于中考 常考题型． 10．将一块三角板按如图所示位置放置，AB//CD,155，则2的度数为_____°． 【答案】25 【分析】由题意易得BEF 155,GEF 30，进而问题可求解． 【解析】解：∵AB//CD,155， ∴BEF 155， ∵GEF 30， ∴2BEFGEF 25， 故答案为25． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2021·上海宝山·统考一模）如果C是线段AB延长线上一点，且AC:BC 3:1，那么AB:BC等于 （ ）． A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4 【答案】A 【分析】先画出图形，设BC为k，然后用k表示出AB，最后求出AB:BC即可． 【解析】解：根据题意可画出下图： ∵AC:BC 3:1，设BC为k， 第 21 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AC=3k， ∴AB=AC-BC=2k， ∴AB:BC=2k∶k=2∶1． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键． 2．（2021·上海宝山·统考一模）已知点M 是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）．    1 A．AM BM B．AM  AB 2  1   C．BM  AB D．AM BM 0 2 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，因为点M是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．   【解析】解：A、AM MB，故本选项错误；  1 B、AM  AB，故本选项正确； 2  1 C、BM  BA，故本选项错误； 2 D、 A  M    B  M  0 ，，故本选项错误． 【点睛】本题考查了线段的中点定义，注意向量的方向及运算法则． 3．（2020·上海徐汇·统考二模）如果从货船A测得小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛 B看货船A的位置，此时货船A在小岛B的（ ） A．南偏西30°方向500米处 B．南偏西60°方向500米处 C．南偏西30°方向250 3米处 D．南偏西60°方向250 3米处 【答案】A 【分析】分别以货船A和小岛B建立方位角，再根据方位角得出答案． 第 22 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 建立如图所示方位角： ∵B在A的北偏东30方向 ∴A在B的南偏西30方向 又∵B与A相距500米 ∴A与B相距500米 故答案选：A 【点睛】本题考查方位角，掌握方位角的描述是解题关键． 4．（2017·上海徐汇·统考二模）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C＝36°，那么∠ABE的大小是（ ） A．18° B．24° C．36° D．54°． 【答案】A 【分析】由“AB∥CD”可知∠C=∠ABC=36°，再根据角平分线的定义，即可求出∠ABE 【解析】∵AB∥CD，∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， 又∵BE平分∠ABC， 1 ∴ÐABE= ÐABC= 18°， 2 故选A． 【点睛】本题的关键是掌握平行线的性质与角平分线的定义 5．（2018·上海·校联考模拟预测）下列说法错误的是( ) A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 第 23 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【分析】分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案． 【解析】A、如果两条直线平行时，被第三条直线所截时，内错角才会是相等，故A选项错误，符合题意； B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意； D、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意； 故选A． 【点睛】考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键． 6．（2011·上海普陀·统考中考模拟）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°， 那么∠2的度数是（ ） A．32° B．58° C．68° D．60° 【答案】B 【解析】根据题意可知∠1+∠2=90°， 所以∠2=90°-∠1=58°． 故选B 7．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点 P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于 点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ） 第 24 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．62° B．56° C．52° D．46° 【答案】B 【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA， OB的 距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB， 根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解． 【解析】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致， 点P到射线OA， OB的距离相等， ∴OP是∠AOB的角平分线， ∵∠BOP= 28°， ∴∠AOP=∠BOP=28°， ∵MP∥OB ∴∠MPO=∠POB =28° ∴∠AMP=∠AOP+∠MPO= 56° 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件P到射 线OA， OB的距离相等是解题的关键． 8．（2020·上海浦东新·统考三模）已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是 （ ） A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF． 第 25 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】A 【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解． 【解析】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH． 故选：A． 【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题． 9．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可． 【解析】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC， ∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF， ∴与棱AD平行的平面共有2个． 故选择：B． 【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是 解题的关键． 10．（2022·上海·校考模拟预测）已知点D、E分别在 ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如  果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【分析】由平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质和求解即可． 【解析】解：∵ED∥BC， ∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴△ABC∽△ADE， 第 26 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BC：ED= AB：AD， ∵AD：DB＝1：4， ∴AB：AD=3：1，又ED＝2， ∴BC：2=3：1， ∴BC=6， 故选：C 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的 关键． 11．（2018·上海·校联考模拟预测）如图，在下列的条件中，能判定DE∥AC的是（ ） A．14 B．1A C．A3 D．A2180 【答案】B 【分析】可以从直线DE，AC的截线所组成的“三线八角"图形入手进行判断. 【解析】解：由∠1=∠4，可判定AB∥DF,不能判定DE//AC，故A选项错误； 由∠1=∠A，可得DE//AC，故B选项正确； 由∠A=∠3，可判定AB∥DF,不能判定DE//AC，故C选项错误； 由A2180可判定AB∥DF,不能判定DE//AC, 故D选项错误; 故选B. 【点睛】本题考查平行线的判定，关键是对平行线的判定方法灵活应用. 12．（2017·上海普陀·校联考中考模拟）如图，已知直线AB//CD，点E、F 分别在AB、CD上，CFE: EFB 3:4，如果B40，那么BEF＝（ ） 第 27 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．20； B．40； C．60； D．80． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得 出∠BEF的度数． 【解析】∵AB∥CD，∠ABF=40°， ∴∠CFB=180°﹣∠B=140°． 又∵∠CFE：∠EFB=3：4， 3 ∴∠CFE= ∠CFB=60°． 7 ∵AB∥CD， ∴∠BEF=∠CFE=60°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相 等． 二、填空题 13．（2022·上海·一模）已知与互余，且3812，则____________． 【答案】5148 【分析】根据互余的定义（和为90的两个角互余）即可得． 【解析】解：因为与互余，且3812， 所以9038125148， 故答案为：5148． 【点睛】本题考查了互余，熟练掌握互余的定义是解题关键． 14．（2022·上海·二模）如图，130，则射线OA表示是南偏东__________的方向． 第 28 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】60 【分析】如图，利用互余的含义，先求解2的大小，再根据方向角的含义可得答案. 【解析】解：如图，  130, \ Ð2=90°-Ð1=60°,  射线OA表示是南偏东60的方向. 故答案为：60 【点睛】本题考查的是互余的含义，方向角的含义，掌握“方向角的含义”是解本题的关键. 15．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线分别为AD和BE， 则AD和BE所夹的角为____度． 【答案】45或135． 1 1 【分析】由∠C＝90°，可求∠ABC+∠BAC＝90°．根据角平分线定义找出∠BAD＝ ∠BAC，∠EBA= ∠ABC．， 2 2 利用三角形外角性质可得∠BMD＝∠BAM+∠ABM=45．再求∠AMB＝135°即可． 【解析】解：设AD与BE交于点M，如图所示. 在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C＝90°． ∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， 1 1 ∴∠BAD＝ ∠BAC，∠EBA= ∠ABC． 2 2 1 1 1 1 ∴∠BMD＝∠BAM+∠ABM＝ ∠BAC+ ∠ABC= （∠BAC+∠ABC）＝ 90=45． 2 2 2 2 第 29 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠AMB＝180°﹣∠BMD＝180°﹣45°＝135°． ∴AD和BE所夹的角为45°或135°． 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线定义，三角形外角性质，平角性质，掌握直角三角形 两锐角互余，角平分线定义，三角形外角性质，平角性质是解题关键． 16．（2019·上海·中考模拟）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于_____． 【答案】130° 【分析】根据如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角计算即可． 【解析】解：180°﹣50°＝130°． 故这个角的补角等于130°． 故答案为130°． 【点睛】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果 两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角． 17．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知AB∥DE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝ _______°． 【答案】37 【分析】延长ED交BC于点F，根据两直线平行内错角相等证明∠B=∠BFD，通过邻补角性质求出∠CDF， 再利用三角形外角的性质即可求出∠BCD． 【解析】延长ED，交BC于点F，如图， 第 30 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AB∥DE， ∴BFDB70， ∵∠CDE与∠CDF互为邻补角， ∴CDF 180CDE18014733， ∵BFDBCDCDF， ∴BCDBFDCDF 703337， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角、三角形外角等知识，熟练掌握相关概念灵活运用是解题关 键． 18．（2022·上海宝山·统考二模）如图，点B、C、D在同一直线上，CEAB，ACB90，如果 ECD35，那么A______． 【答案】55##55度 【分析】由ACB90，∠ECD＝35°，求得ACE的度数，又由CEAB，即可求得A的度数． 【解析】解：∵ACB90， ∴∠ACD＝180°－∠ACB＝90°， ∵∠ECD＝35°， ACEACDECD903555， ∵CEAB， ∴AACE55． 故答案为：55． 【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 第 31 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 19．（2020·上海崇明·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直 线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是____． 【答案】40°． 【分析】根据三角形外角的性质求出∠AED＝115°，再根据平行线的性质求出∠AED＝∠2+∠ACB，即可求出 ∠2的度数． 【解析】∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是熟练运用相关性质准确进行推理计算. 20．（2021·上海普陀·统考二模）如图，两条平行线l 、l 分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果∠1＝ 1 2 20°，那么∠2＝_____． 【答案】92° 第 32 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据正五边形的内角和平行线的性质解答即可． 【解析】解：∵正五边形ABCDE的一个内角是108°， ∴∠3＝108°﹣∠1＝108°﹣20°＝88°， ∵l ∥l ，∠3＝88°， 1 2 ∴∠2＝180°﹣88°＝92°， 故答案为：92°． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和与平行线的性质，准确计算是解题的关键． 补充： 一、概念 1、 长方体的元素：六个面、八个顶点、十二条棱 2、 长方体的三元素的特点： （主要是外观特征和数量关系） ①长方体的每个面都是长方形； ②长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等。 ③长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面形状大小都相同。 3、 正方体是特殊的长方体。 4、 平面是平的，无边无沿，没有厚度和大小，一般用平行四边形来表示。 记作：平面 ABCD 或平面 α 。 5、 将水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线成 45 度角的平行四边形。 6、 斜二侧画法画长方体时要注意：宽画成标注尺寸的一半；看不到的线画成虚线；要标字 母和尺寸，要 写结论。长方体 ABCD-EFGH、平面 ABCD、棱 AB、顶点 A。 7、 空间中两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 ① 如果两条直线在同一平面内，有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是相交； 第 33 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ② 如果两条直线在同一平面内，没有唯一公共点，称这两条直线的位置关系是平行； ③ 如果两条直线既不平行也不相交，称这两条直线的位置关系是异面。 8、直线垂直于平面记作： PQ⊥平面 ABCD； 直线 直线平行于平面记作： 直线 PQ‖平面 ABCD。 9、 计算公式之一： （三条棱长分别是 a、b、c 的长方体） ① 棱长和 = 4( a + b + c ) ； ② 体积 = abc ； ③ 表面积 = 2( ab + bc + ac) ； ④ 无盖表面积 = S - ab 、 S - bc 、 S - bc 10、计算公式之二： （边长是 a 正方体） ① 棱长和= 12 a ； ②体积= a 3 ； ③表面积= 6a ； ④无盖表面积 = 5a2 。 11、长方体不一定是正方体；正方体一定是长方体。 12、长方体中棱与棱的位置关系有 3 种，分别是平行、相交、异面。 13、长方体中棱与面的位置关系有 2 种，分别是：平行、垂直。 14、长方体中面与面的位置关系有 2 种，分别是：平行、垂直。 二、检验垂直或平行的方法： 检验垂直或平行的方法： 1、检验直线与平面垂直的方法： ① 铅垂线法：将铅垂线靠近被测直线，如果铅垂线能够紧贴被测直线，说明直线垂直于水平面。 （可用 于检验细棒是否垂直于水平面、黑板的边沿是否垂直于水平面） ② 三角尺法： 将两把三角尺的一条直角边分别紧贴已知平面并且位置交叉， 将两把三角 尺的另一条直 角边分别靠近被测细棒， 如果两条直角边都能够紧贴被测直线， 说明直线垂直 于已知平面。 （可用于 检验细棒是否垂直于墙面） ③ 合页型折纸法：将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度后直立于已知平面，用折 痕靠近被测直线， 如果折痕能够紧贴被测直线，说明直线垂直于已知平面。 2、检验平面与平面垂直的方法： ① 铅垂线法； 第 34 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ② 三角尺法； ③ 合页型折纸法。 3、检验直线与平面平行的方法： ① 铅垂线法：从被测直线的两个不同的点放下铅垂线，使铅垂线的下端刚好接触地面。 如果从这两个不 同点到铅垂线的下端的线段的长度相等，那么说明被测直线平行于水平面。 （可用于检验黑板的边沿是否 平行于水平面） ② 长方形纸片法：将长方形纸片的一边贴合于已知平面，另一边靠近被测直线，如果另 一边能够紧贴被 测直线，则说明被测直线平行于已知平面。 （可用于检验桌面上的灯管是否平行于桌面） 4、检验平面与平面平行的方法： ① 长方形纸片法： 将长方形纸片的一边贴合于已知平面， 按交叉的方向分两次放在两个平面之中，如果 另一边能够紧贴被测平面，则说明被测平面平行于已知平面。 长方体中的棱与面的位置关系： 长方体中 有现成的合页型折纸、 （ 长方形纸片可供检验） 二、 长方体中的棱与面的位置关系： 长方体中有现成的合页型折纸、 长方形纸片可供检验） 可供检验 1、长方体中与某条棱平行的棱有 3 条，长方体中互相平行的棱共有 18 对； 2、长方体中与某条棱相交的棱有 4 条，长方体中相交的棱共有 24 对； 3、长方体中与某条棱异面的棱有 4 条，长方体中异面的棱共有 24 对； 4、长方体中与某条棱平行的面有 2 个； 5、长方体中与某条棱垂直的面有 2 个； 6、长方体中与某个面平行的棱有 4 条； 7、长方体中与某个面垂直的棱有 4 条； 8、长方体中与某个面平行的面有 1 个，长方体中互相平行的面共有 3 对； 9、长方体中与某个面垂直的面有 4 个，长方体中互相垂直的面共有 12 对。 第 35 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 36 页 共 36 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司