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专题 12 解答题 25 题（代几综合题）（16 区）
一、解答题
1．（2023·上海杨浦·二模）已知 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，点 在直
径 上（与 、 不重合）， ，连接 并延长与 交于点 ．
(1)如图1，当点 与点 重合时，求 的度数；
(2)连接 交弦 于点 ，如果 ，求 的值；
(3)当四边形 是梯形时，且 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）如图 ，连接 、 、 ， 先证四边形 是菱形，再证 是
等边三角形，即可得解；
（2）先证 （ ），得 ， ，进而证明 ，
，则 ， ，利用相似三角形的性质即可得解；
（3）分 与 两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图 ，连接 、 、 ，∵ ，垂足为点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（2）解：如图，
∵ ， ， ，
∴ （ ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 ，如图，连接 ，由（ ）知， ，
∴ ，
在梯形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 x，则 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
当 时，如下图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
综上 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性质、相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质以及圆周角
定理，熟练掌握菱形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质
是解题的关键．
2．（2023·上海浦东新·统考二模）已知： 的直径 ，C是 的中点，D是
上的一个动点（不与点A、B、C重合），射线 交射线 于点E．
(1)如图1，当 ，求线段 的长；
(2)如图2，当点D在 上运动时，连接 中是否存在度数保持不变的角？如
果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；
(3)连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 与 面积的比值．
【答案】(1) ，详见解析
(2)存在， ，详见解析
(3) ，详见解析
【分析】（1）连 ，构造直角三角形利用勾股定理求出 的长，再利用
，求出 的长，即可得解；
（2）由C为 的中点， 为 直径得出 的度数为 ，再利用圆周角定理即可
得出答案；
（3）分类讨论 ,利用勾股定理和面积公式分别求出它们的面积，然后
求出比值即可得出答案．【详解】（1）连 ，如图1
∵
∴ ,
∵C为 的中点， 为直径
∴
在 中
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴
∴
（2）当D在 上运动时，如图2，在 中， 为度数不变的角，
理由如下：
∵C为 的中点， 为 直径，
∴ 的度数
∴ 的度数为
∴ 所对的圆心角为 ，圆周角为∴
（3）如图3，当 是以 为腰的等腰三角形时，当 时，连
∵
∴
由(1)知
∴
∴
∴
又∵
∴
∴ 为等边三角形
∴
∴
∴
∵D为 中点
∴
又∵
∴
∴
当 时
∴
∵
∴
∴ 与C,D,E三点共线矛盾，所以此情况不存在；
综上所述： ．【点睛】本题考查了三角形相似，圆周角定理，圆心角定理，勾股定理，等腰三角形等知
识的综合应用，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
3．（2023·上海松江·统考二模）如图， 是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点 与
点O关于直线 对称，射线 交半圆O于点D，弦AC交 于点E、交 于点F．
(1)如图，如果点 恰好落在半圆O上，求证： ；
(2)如果 ，求 的值；
(3)如果 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）如图：连接 ，先根据圆的性质和对称的性质说明 是等边三角
形， ，然后再说明 即可证明结论；
（2）设圆 的半径为 ，则 ，如图：作 于N；先根据对称的性质
和等腰三角形的性质可得 ，然后解直角三角形可得
、 ，最后代入计算即可；（3）分 在半圆O内和圆外两种情况，分别利用面积法解答即可．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
∵点 恰好落在半圆O上，
∴ ，
∵点 与点O关于直线 对称
∴ , ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设圆 的半径为 ，则 ，
如图：作 于N
∵ ，
∴ ，
在 中， , ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由轴对称可得： ， ,
, ，
∴ 为等腰直角三角形
∴ ，
∴ ．
（3）解：当 在半圆O内时， 则 ，
由对称性可得： ，
如图：过F作 于N， 于M，
∴
∴ ，
又∵ ，
，即 ，
又∵ ，∴ ；
当 在半圆O外时，由对称性可得： ，
如图：作 于M， 于N，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
，
又∵ ，
∴ ,即 ，
又∵ ，
∴ ．
综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角定理、解直角三角形、对称的性质等知识
点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
4．（2023·上海嘉定·统考二模）在 中， ， 点P在线段 上，
， 交 于点D，过点B作 ，垂足为E，交 的延长线于点
F．(1)如果 ，
①如图1当点P与点C重合时，求证： ；
②如图 ，当点 在线段 上，且不与点 、点 重合时，问： ①中的“ ”仍
成立吗?请说明你的理由；
(2)如果 ，如图11，已知 (n为常数)，当点P在线段 上， 且不
与点B、点C重合时，请探究 的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程．
【答案】(1)①证明见解析；②成立，证明见解析
(2) ，过程见解析
【分析】（1）①由等角对等边可得 ，证明 ，则
，证明 ，则 ，进而可证 ；②如图
1，过 作 交 于 ，交 于 ，则 ，同理①可证，
，则 ，同理①可证， ，则
， ；
（2）如图2，过 作 交 于 ，交 于 ，同理（1）可证：
，则 ，证明 ，则 ，证明，则 ，即 ，可知 ，即 ，进而
可得 ．
【详解】（1）①证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解： 仍成立，理由如下：
如图1，过 作 交 于 ，交 于 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理①可证， ，
∴ ，
同理①可证， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2，过 作 交 于 ，交 于 ，
同理（1）可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，
相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
5．（2023·上海宝山·统考二模）如图，已知半圆O的直径 ，C是圆外一点，
的平分线交半圆O于点D，且 ，联结 交 于点E．
(1)当 时，求 的长；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 为直角三角形时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）作 于M，连接 ，证明四边形 是矩形，求得
，推出 是等腰直角三角形，求得 ，再利用
勾股定理即可求解；
（2）同（1）作 于M，连接 ，可得四边形 是矩形，求得
，由 ，求得 ，再求得 ，根
据相似三角形的判定和性质即可求解；（3）分两种情况讨论，当 时，同（1）可得四边形 是矩形，再证明
，利用相似三角形的性质求得 的长，即可求解；当 时，
求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：作 于M，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，又 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作 于M，连接 ，同理四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作 于M，连接 ，
同理四边形 是矩形，
∴ ，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 (负值已舍)，∴ ，
∴ ；
当 时，
由垂径定理得 ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和
性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
6．（2023·上海徐汇·统考二模）已知：如图1，四边形ABCD中， ，
．
(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)边CD的垂直平分线EF交CD于点E，交对角线AC于点P，交射线AB于点F．
①当 时，设AD长为x，试用x表示AC的长；
②当 时，求 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)① ；② ．
【分析】（1）如图，过 作 于 ，过 作 于 ，证明 ，
再证明 ，从而可得答案；
（2）①如图，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，可得 ，再
证明四边形 为平行四边形， ，可得 ， ，
，即 ，可得 ，即 ， 重合，再建立方程求解即可；
②当 时，则 在线段 的延长线上，如图，延长 交 于 ，连接 ，证
明四边形 是菱形， ，设 ， ， ，则
， 由 ，可得 ，过 作 ，交 的延长线
于 ，证明 ， ，可得 ， ，证
明 ，可得 ， ，再建立方程求解即可．
【详解】（1）证明；如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ， 不平行，
∴四边形 为等腰梯形．
（2）①如图，连接 ，延长 交 于 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ， 重合，∴ 即 ，
解得： （负根舍去）．
②当 时，则 在线段 的延长线上，如图，延长 交 于 ，连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴四边形 是平行四边形，
由线段垂直平分线的性质可得 ，
∴四边形 是菱形， ，
设 ， ， ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过 作 ，交 的延长线于 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，等腰梯形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （使 ，不合题意舍去），
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，
难度大，计算量大，属于压轴题．
7．（2023·上海崇明·统考二模）如图，在 中， ， ， ．
点D是边 上一动点（不与A、C重合），联结 ，过点C作 ，分别交 、
于点E、F．(1)当 时，求 的正切值；
(2)设 ， ，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
(3)联结 并延长，与边 的延长线相交于点G，若 与 相似，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据同角的余角相等分析可得 ，然后根据正切的概念求解；
（2）过点F作 ， ，然后结合角的正切值及三角形的面积比分析求解；
（3）分情况讨论，通过证明 和利用点 四点共圆以及相似三角形
的性质分析求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点F作 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的 边上的高为 ，则 的 边上的高为 ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）如图：①当 时， ,
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 四点共圆，且 为直径，
又∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
②当 时， ，
又∵ ，
∴ ，
过点F作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 （负值舍去），
∴ ，
综上， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查余角的性质，锐角三角函数，相似三角形的性质，理解正切的概念，掌
握相似三角形的性质，准确添加辅助线是解题关键．
8．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在 中， ， ，以 为边
作 （点D、A在直线 的异侧），且满足 ， ．
(1)求证： ；
(2)设点E为边 的中点，连结 并延长交边 于点F，当 为直角三角形时，求
边 的长；
(3)设 ， ，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
【答案】(1)见详解
(2) 或
(3) ，
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可知 ，然后根据三角形内
角和可进行求解；
（2）由题意可分：①当 时，②当 时，然后分别画出图形，进而根
据含30度直角三角形的性质及三角函数可进行求解；
（3）过点D作 于点M，交 于点N，过点N作 于点Q，由题意易得，则有 ， ，然后可得 ，
，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可分：①当 时，
∵点E为边 的中点，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 上取一点G，使得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②当 时，
过点C作 于点H，
∴ ， ，
由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点E为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ;
综上所述：当 为直角三角形时， 或 ；
（3）解：过点D作 于点M，交 于点N，过点N作 于点Q，如图所
示：由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，由（1）知 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是斜边，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定
及三角函数，熟练掌握函数解析式、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定
及三角函数是解题的关键．
9．（2023·上海黄浦·统考二模）如图，在菱形 中， ，E是边 上一点，过
点E作 ，垂足为点H，点G在边 上，且 ，连接 ，分别交
于点M、N．
(1)已知 ，
①当 时，求 的面积；
②以点H为圆心， 为半径作圆H，以点C为圆心，半径为1作圆C，圆H与圆C有且
仅有一个公共点，求 的值；(2)延长 交边 于点P，当设 ，请用含x的代数式表示 的值．
【答案】(1)① ；② 或
(2)
【分析】（1）①联结 交 于点O，根据菱形的性质可得 ，再由锐角三角函
数可得 的长，再由 ，可得 ，即可求解；②先证明四边形
是平行四边形，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，继而得到
，再由 ，可得 ，再由 ，可得 ，
，在 中，根据勾股定理可得 然后分两种情况：当两
圆外切时，当两圆内切时，即可求解；
（2）先证明 ． ．取 中点Q，联结 ，再证明
，可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：①联结 交 于点O，
∵四边形 是菱形，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ．
∴ ；
②在菱形 中， ， ，即 ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
当两圆外切时，
8 ，解得 ；当两圆内切时，
，解得 ；
综上所述， 长是 或 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
取 中点Q，联结 ，
由（1）得： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，
勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，勾股定理是解
题的关键．
10．（2023·上海静安·统考二模）如图，扇形 的半径为 ，圆心角 ，点
是 上的动点（点 不与点 、 重合），点 、 分别在半径 、 上，四边形 为矩形，点 在线段 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图，以 为顶点、 为一边，作 ，射线 交射线 于点 ，联结
，
①当 时，求 与 的面积之比；
②把 沿直线 翻折后记作 ，当 时，求 的正切值．
【答案】(1)见解析；
(2)① ；②
【分析】（1）连接 ，由四边形 为矩形得到 ，由 得到
即可得到 ；
（2）①连接 ，证明 ，再证 ，则
， ，再求得 ，再证 ，
得到 ，求出 ， ，即可得到 与 的面积之
比；②延长 交 于点Q，设 ，利用勾股定理得到 ，利用等积法求出
，勾股定理得到 ，即可得到 ，证明
，则 ，可证得 ，则
， ，由 求得 ，即可得到
，由 ， ，根据正切的定义得到 的正切值．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）①如图，连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，延长 交 于点Q，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
即 的正切值为 ．
【点睛】此题考查了圆的基本知识、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的性
质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转、无理方程等知识，综合性非常强，
难度较大，数形结合和准确计算是解题的关键．
11．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知在 中， ，点 是边 中点，
在边 上取一点 ，使得 ，延长 交 延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)设 的中点为点 ，
①如果 为经过 、 、 三点的圆的一条弦，当弦 恰好是正十边形的一条边时，求
的值；
② 经过 、 两点，联结 、 ，当 ， ， 时，求
的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)① ②【分析】（1）根据等边对等角可得 ，再利用三角形的内角和定理得
到结论；
（2）①连 ，根据正十边形的中心角可得 ，推出 ，根
据对应边成比例解题即可；②由 ，得 ，过点D作 于
点 ，则 ，等量代换得到 的值，然后根据 ，求出
的长，再利用勾股定理求出半径长即可．
【详解】（1）证明： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
（2）①连 ，
∵D是BC的中点，
∴
∴ 为圆的直径，
连接 ，设经过 、 、 三点的圆半径为r，
弦 恰好是正十边形的一条边，
∴ ，
∴ ，
又∵O、D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
则 ，即 ，
解得 （舍），∴ ，
②∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
设 ，
由①可知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
如图，过点D作 于点 ，
在 中，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∵ ，M是 所在圆的半径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
∴ ,∴ ，
∴ ，即
解得 ，
连接 ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，中位线定理
和正多边形，综合性较强，是压轴题，解题的关键是作辅助线构造三角形相似．
12.（2023上海普陀二模） (本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第
(3)小题满分4分)
如图11,半圆0的直径AB=4,点C是 上一点(不与点A、B重合)，点D是 的
中点，分别联结AC、BD .
(1)当AC是圆0的内接正六边形的边时，求BD的长;
(2)设AC=x，BD=y,求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围;
(3)定义:三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一一个小三角
形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中
腰线.分别延长AC、BD相交于点P，联结PO. PO是△PAB的中腰线，求AC的长.13.（2023上海长宁二模）
（本题满分14分，第（1）小题4分；第（2）小题4分；第（3）小题6分）如图1，在 ΔABC 中，∠ACB=90° ，以点A为圆心、 AC 为半径的⊙A交边 AB
于点D，点E在边 BC 上，满足 CE=BD ，过点E作 EF⊥CD 交 AB 于点F，垂足
G
为点 .
（1）求证：
ΔBCD ∽ΔBFE
；
CM DF
+
（2）延长 EF 与 CA 的延长线交于点M ，如图2所示，求 AC AD 的值；
（3）以点B为圆心、 BE 为半径作⊙B，当 BC=8 ， AF=2时，请判断⊙A与⊙
B的位置关系，并说明理由.
C C
E E
G G
A A
B B
F D F D
M
（图1） （图2）
C
E
G
A
B
F D
M
（备用图）14．（2023上海青浦二模）25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）①小
题5分，第（2）②小题4分）
如图9，半圆O的直径AB=10，点C在半圆O上，BC=6，CH⊥AB，垂足为点H，点D
是弧AC上一点．
（1）若点D是弧AB的中点，求tan∠DOC的值；（2）联结BD交半径OC于点E，交CH于点F，设OE=m．
①用含m的代数式表示线段CF的长；
②分别以点O为圆心OE为半径、点C为圆心CF为半径作圆，当这两个圆相交
时，求m取值范围．
C
A B
O H
图9
解：（1）联结DO，∵点D是弧AB的中点，AB是直径，∴OD⊥AB．·····························（1分）
∴∠CHB=∠DOB=90°，OD∥CH，∴∠DOC=∠OCH．····································（1分）
过点O作OM⊥BC，垂足为点M．由垂径定理， ．
在Rt△BOM中，BM=3，OM=4，OB=5， ， ．
在Rt△BCH中， ．··············································（1分）
． ·······································（1分）
∴ ．·······································（1分）
（2）作HG∥OC交BD于点G. ．··········································································（1分）
得 ， ．······························································（1分）
又由HG∥OC得 ，所以 ．·······························（1分）
∴ ．·····················································································（2分）
（3） ， ， ．
①当两圆内切时， ．·····················································（1分）
由于 ， ，所以两圆不可能内切．···················（1分）②当两圆外切时， ．
解得 ．·······················································································（1分）
所以当两圆相交时， ．···································································（1分）
15.（2023上海奉贤二模）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第（2）(3)小题满
分5分）
在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，∠ABC=90°，BD=BC，过点C作对角线BD的垂
线，垂足为E，交射线BA于点F.
（1）如图10，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；
（2）如图11，如果F是AB的中点，求FE:EC的值；
（3）联结DF，如果△BFD是等腰三角形，求BC的长．
A D A D
F
F
E
E
B C B C
图10 图11
解：（1）∵CF⊥BD ，∴∠CEB=90°．···············································································（1分）
∵AD//BC，∠ABC＝90°，∴∠A=90°，∠ADB=∠CBE．··········································（1分）
∴∠CEB=∠A．··············································································································（1分）
∵BD=BC，∴△ABD≌△ECB．·······················································································（1分）
（2）过点F作FG//AD，交BD于点G.
设BC=BD=m，
BF BG FG
= = .
AB BD AD
∵FG//AD，∴ （1分）
BF 1
= .
AB 2
∵点F是AB的中点，AD=4，∴1
m.
2
∴FG=2，BG= ················································································································（1分）
1
m−4
2
∵△ABD≌△ECB，∴BE=AD=4． ∴EG= ．·························································（1分）
FG EG EF
= =
BC BE EC
∵AD//BC，∴FG//BC． ∴ ．······························································（1分）
1
m−4
EF 2 √2−1
2 2
= =
即 m = 4 . 解得m= 4±4√2. ∴ EC 4+4√2 2 ． （1分）
（3）①如图1，当BF=DF时，
∵FC⊥BD，∴∠FEB=∠FED=90°. ∴BE=DE.
∴BC=DC.
∴△BDC是等边三角形.
∴∠DBC=60°.
∴∠ABD=30°.
∴BD=2AD=8. 图1 图2
∴BC=8.··························································································································（2分）
②如图2，当BF=BD时，
∵ BD=BC，∴BF=BC.
∵CF⊥BD，∠FBC=90°，∴∠FBE=∠CBE =45°.
∵∠BAD=90°，∴AD=AB=4．
∴BC=BD= .·············································································································（2分）
③如图3，当DF=BD时，
设AD和EC的交点为点H，BC=BD=a，
∵FD=BD，∠DAB=90°，∴AF=AB.
AH AF 1 1 1
= = . a. 4− a.
BC BF 2 2 2
∵AD//AB，∴ ∴AH= ∴DH=
图3
1
4− a
DH ED 2 a−4
= . = .
∵ BC BE 即 a 41±√17.（负值舍去） 1+√17.
解得a= ∴BC= .·························································（1分）
4√2 1+√17.
综上所述，如果△BFD是等腰三角形，BC=8、 或
16.（2023上海虹口二模）（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第
（3）小题6分）
如图 11，在菱形 ABCD中，AB= ，点 P在对角线 BD上，tan∠DBC= ，⊙O是
△PAB
的外接圆，点B与点P之间的距离记为m．
（1）如图12，当PA=PB时，联结OB，求证：OB⊥BC；
（2）延长AP交射线BC于点Q，如果△ABQ是直角三角形，求PQ的长；
（3）当圆心O在菱形ABCD外部时，用含m的代数式表示⊙O的半径，并直接写出m的取
值范围．
A D A D
A
D O
O
P
B P C B C
备用 B 图 C 图12
图11
解：（1）联结OP，交AB于点H
∵PA=PB， ∴ .
又∵OP过圆心，∴OP⊥AB………………………………………………………（1分）
∵OB=OP， ∴∠OBP=∠OPB
在菱形ABCD中，∠ABD=∠CBD ……………………………………………（1分）
在Rt△BPH中，∠ABP+∠OPB=90°…………………………………………（1分）
∴∠CBD +∠OBP=90°
即∠OBC=90° ∴OB⊥BC. ……………………………………………………（1分）
（2）∵∠ABC≠90°
如果△ABQ是直角三角形，那么只有∠BAQ=90°或∠AQB=90°
①当∠BAQ=90°时，联结AC，由题可得AC=4，BD=8
在Rt△ABP中， ，
∴DP=3
∵AD∥BQ ∴ 即
∴PQ = . …………………………………………………………………（2
分）
②当∠AQB=90°时，
∵ ∴AQ= ，
在菱形ABCD中，AD=AB= ，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC ∴tan∠ADB= tan∠DBC=
在Rt△ADP中，
∴PQ = ………………………………………………………（2
分）
综上所述，PQ= 或 .（3）联结OP，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交BD于点F
过点O作OG⊥BD于点G
∵OG⊥BD， ∴BG = GP = BP = ,
m
同理，BE = AB = .……………………………………………………………（1
分）
∵∠ABD+∠BFE=90°，∠FOG+∠BFE=90°
∵∠ABD=∠CBD ∴∠FOG =∠CBD
∴tan∠FOG= tan∠CBD=
在Rt BEF中， ……………（2分）
△
∴
在Rt OGF中，
在Rt OPG中，
△
△
∴
∴⊙O的半径为 …………………………………………………（2
分）
m的取值范围为 0
