专题13三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 13 三角形 三角形是中考数学的重要知识点，也是解几何部分的解答题的基础和关键，中考主要以选择题、填 空题，以及渗透在解答题中，主要考查三角形的有关概念，全等三角形的判定与性质，特殊三角形的判定 与性质，勾股定理等。主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等． 第 1 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、三角形的有关概念与全等三角形 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三 角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边 第 2 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三角形具有稳定性。 2、三角形的分类： 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 3、三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 A 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线 段． 表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线. 1 2.BD=DC= BC. 2 B D C 注意：①三角形的中线是线段； （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线. 1 2.∠1=∠2= ∠BAC. 2 （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 注意：三角形的中线、角平分线、高是均是线段。 4、三角形的三边关系： A 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； B D C (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。 三角形的外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角. 三角形外角的性质 （1）三角形的外角和等于360°（三个外角的和）。 第 3 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （3）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 6、特殊三角形的性质和判定： 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特 殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 7、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1-“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 全等三角形判定2-“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 “ASA”）. 全等三角形判定3-“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角 角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或 “SAS”）. 全等三角形判定5—在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以 简写成“斜边、直角边”或“HL”） 一、单选题 1．下列各组线段能构成三角形的是（ ） A．2cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，2cm，5cm D．2cm，3cm，6cm 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即 第 4 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 可． 【解析】解：根据三角形的三边关系，得 A．224，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意； B．234，能组成三角形，故此选项正确，符合题意； C．225，不能够组成三角形，故此选项错误，不符合题意； D．236，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大 于第三个数． 2．已知，图中的虚线部分是小明作的辅助线，则（ ） A．CD是AB边的高 B．CD是AC边的高 C．BD是CB边的高 D．BD是CD边的高 【答案】A 【分析】根据三角形高线的定义（三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之 间的线段），解答即可． 【解析】解：由图可知，线段CD是AB边上的高． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键． 3．下列说法中正确的是（ ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】根据两个三角形全等的定义即可判断． 【解析】全等三角形的定义是：完全重合的两个三角形全等，根据此定义即知选项C正确，其余选项错 误． 第 5 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，理解定义是判断的关键． 4．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ） A．72° B．60° C．58° D．50° 【答案】A 【分析】根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可． 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴∠α的度数是72°． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对 应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边． 5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件 不正确的是（ ） A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC， 故本选项符合题意； B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符 合题意； 第 6 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C．∵∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， ∵∠B＝∠E，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意； D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符 合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法——SAS ， ASA ，AAS ，SSS ． 6．下列命题：①真命题都是定理；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③三角形的三条高线交于一点； ④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤全等三角形对应边上的高相等；⑥三角形中至少有一个 角不小于60°．是真命题的有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形 内角和定理判断即可． 【解析】解：①真命题都是定理，本说法是真命题； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，本说法是假命题； ③三角形的三条高线交于一点，本说法是真命题； ④有两边和两边夹角对应相等的两个三角形全等，本说法是假命题； ⑤全等三角形对应边上的高相等，本说法是真命题； ⑥三角形中至少有一个角不小于60°，本说法是真命题； 故选：C． 【点睛】本题主要考查真假命题的判断．涉及定理、平行线的判定定理、三角形的高的概念、全等三角形 的判定定理和性质定理、三角形内角和定理等相关知识点． 7．如图，RtABC中，C 90，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BEBD；分别以D，E 1 为圆心、以大于 DE为长的半径作弧，两弧在CBA内交于点F ；作射线BF交AC于点G，若CG1，P 2 第 7 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 为AB上一动点，则GP的最小值为（ ） 1 A．无法确定 B． C．1 D．2 2 【答案】C 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平 分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【解析】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB 是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 8．如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位量为CD，当一端C下滑至C时，另一端D 向右滑到D¢，则下列说法正确的是（ ） A．下滑过程中，始终有CCDD B．下滑过程中，始终有CCDD C．若OCOD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CCDD D．若OC OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CCDD 【答案】D 第 8 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【解析】将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C时，另端D向右 滑到D¢，当△OCD与△ODC全等时，CCDD， A、下过程中，CC与DD不一定相等，说法错误； B、下滑过程中，当△OCD与△ODC全等时，CCDD，说法错误； C、若OC＜OD，则下过程中，不存在某个位置使得CCDD，说法错误； D、若OC＞OD，则下过程中，当△OCD与△ODC全等时，一定存在某个位置使得CCDD，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的对应边相等解答． 9．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝ ∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（ ） A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答． 【解析】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边， ∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等； △EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG， 虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°， ∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法 有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键． 第 9 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝ BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ） A．40° B．50° C．70° D．71° 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和算出CAB，再证明△CDF≌△EDB得到CDDE；再证明 △ACD≌△AED，得到CADEAD，即可算出 【解析】 根据题意： 在Rt ABC中  CAB90B40 在Rt CDF和Rt EDB中   FC BE  DF DB ∴Rt CDF≌Rt EDB（HL）   ∴CDDE 在Rt ACD和Rt AED中   CDDE  AD AD ∴Rt ACD≌Rt AED（HL）   第 10 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴CADEAD CAB20 2 在Rt ADE中  ∴ADE90EAD70 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用． 二、填空题 11．已知三角形三边长分别为2，9，x，若x为偶数，则这样的三角形有___________个． 【答案】2 【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再根据x为偶数，确定x的可能取值即可解答． 【解析】解：∵三角形三边长分别为2，9，x ∴7x11， ∵x为偶数， ∴x可能是8和10， 即这样的三角形有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定x的取值范围成为解答本题的关 键． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，S 12cm2，则S _______cm2． △ABC 阴影 【答案】3 【解析】根据三角形中线的性质，先求得△ADC的面积，再求得△AEC的面积． 【分析】解：∵S 12cm2，D为BC的中点， △ABC 1 1 ∴S S  S  126  cm2 ， ABD ADC 2 △ABC 2 ∵E为AD的中点， 第 11 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴S S  63(cm2)， AEC ADC 2 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，充分运用三角形的中线的性质是解本题的关键 ． 13．在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，从这四个条件中选取三个条件 能判定△ABC△DEF的方法共有___________种. 【答案】2 【分析】列出所有的可能，再根据全等三角形的判定方法进行选择． 【解析】解：从中任意取三个作为已知条件，可能有①②③，①②④，①③④，②③④， 选择①②③，利用SSS能判定△ABC△DEF； 选择①②④，不能利用SSA判定△ABC△DEF； 选择①③④，利用SAS能判定△ABC△DEF； 选择②③④，不能利用SSA判定△ABC△DEF； 综上，只有两种方法． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，对判定方法要灵活掌握．注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，还有HL． 14．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°， CD=5cm，则∠C=____________， BE=______________． 【答案】 20°##20度 5cm 【分析】SAS证△ABE≌△ACD，推出BE=CD，∠B=∠C，代入求出即可． 【解析】解：在△ABE和△ACD中， AB=AC  A=A，  AE=AD ∴△ABE≌△ACD（SAS）， 第 12 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BE=CD，∠B=∠C， ∵∠B=20°，CD=5cm, ∴∠C=20°，BE=5cm. 故答案为20°，5cm 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 15．如图，CD AB，AEBC，垂足分别为D点E，CD与AE交于点F，若BDDF 3，S 6， △ADF 则CF的长是________． 【答案】1 【分析】利用面积求出AD的值，再证明△ADF≌△CDB即可作答． 【解析】解：∵CD⊥AB， 1 ∴S  ADDF，∠A+∠AFD=90°=∠ADF=∠BDC， △ADF 2 ∵S 6，DF 3， △ADF 1 ∴6 AD3，即AD4， 2 ∵AE⊥BC， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠B=∠AFD， ∵∠ADF=∠BDC=90°，BD=DF， ∴△ADF≌△CDB， ∴DC=AD=4， ∵DF=3， ∴CF DCDF 1， 第 13 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16．如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，BC＝ 12，则BF的长为________． 【答案】10 【分析】根据角平分线的性质得到EF＝EG，证明Rt△EFC≌Rt△EGC，根据全等三角形的性质得到CF＝ CG，根据题意列式计算即可． 【解析】解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示： ∵D为AB中点，DE⊥AB， ∴EA＝EB， ∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°， ∴∠ECG＝∠BCE， ∵EF⊥BC，EG⊥AC， ∴EG＝EF， 在Rt△EFC和Rt△EGC中， EF EG  ， EC EC ∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL）， ∴CF＝CG， ∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2， ∴BF＝12﹣2＝10， 故答案为：10． 第 14 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出EF＝EG是 解题的关键． 二、几何证明 1．命题和证明 （1）命题 定义：判断一件事情的句子. 判断为正确的命题，叫做真命题； 判断为错误的命题，叫做假命题. （2）演绎证明（简称证明） 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程. 要点： 命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成 “如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论. 2.公理和定理 （1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原 始依据. （2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真 假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.逆命题与逆定理 （1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个 命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题. （2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的 逆定理. 三、线段的垂直平分线和角的平分线 1.线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. （2）线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 第 15 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司M P 上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A B N 第 16 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 如图：∵MN垂直平分线段AB上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴PA=PB （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 要点： 线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等 的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用. 2.角的平分线 （1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. （2）角的平分线有下面的性质定理： ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 第 17 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司A D 上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiaoP6767 ) O E B 第 18 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 ②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 如图：∵OP平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 3.垂线的性质 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 要点： （1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得 到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系； （2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两 边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平 分线的性质定理及其逆定理来解题. 四、轨迹 1.轨迹的定义 把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹. 要点： 轨迹定义包含以下两层含义： 其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的 纯粹性）； 其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的 完备性）； 所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义. 2.三条基本轨迹 轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆. 3.交轨法作图 利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法. 如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满 足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B. 交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交 轨法. 要点： “尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线； 第 19 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （4）经过一点作已知直线的垂线； （5）作线段的垂直平分线. 五、直角三角形 1. 直角三角形全等的判定 （1）直角三角形全等一般判定定理： 直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、 AAS) （2）直角三角形全等的HL判定定理： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL） 综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL. 2.直角三角形的性质 定理：直角三角形的两个锐角互余； 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 一、单选题 1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A．20 B．120 C．20或120 D．36 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解． 【解析】解：设两内角的度数为x、4x， 当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°； 当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°； 综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为20°或120°，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，D、E为AB边上的两点，且AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为 （ ） 第 20 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．45° B．40° C．35° D．30° 【答案】B 180A 1 【分析】由题意易得∠A+∠B=80°，∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，则有AEC  90 A， 2 2 180B 1 BDC 90 B，然后根据角的和差及三角形内角和定理可求解． 2 2 【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝100°， ∴∠A+∠B=80°，即∠B=80°-∠A， ∵AC＝AE，BC＝BD， ∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD， 180A 1 ∴在△AEC中，AEC  90 A， 2 2 180B 1 1 1 在△BDC中，BDC 90 B90 80A50 A， 2 2 2 2 1 1 ∴AECBDC90 A50 A140， 2 2 ∴在△DEC中，DCE180AECBDC40； 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是 解题的关键． 3．下列命题中，逆命是假命题的是（ ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．直角三角形的两个锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】C 【分析】由题意根据平行线判定和直角三角形判定以及全等三角形判定进行分析即可. 【解析】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； 第 21 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、逆命题为：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题 意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题以及相关的概念． 4．如图，已知  ABC中，ABC=45，F是高AD和BE的交点，FD4,AF 2，则线段BC的长度为 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据高和角的关系得DBF DAC，根据ABC=45得BAD=45，根据等边对等角的性质得 AD=BD，然后利用ASA即可得△ACD≌△BFD，即可得CD的长度，再求出AD的长度，即可得． 【解析】解：∵AD、BE是三角形的高， ∴CDBF 90， CDAC 90， ∴DBF DAC， ∵ABC=45， ∴BAD=45， ∴ABC=BAD， ∴AD=BD， 在 ACD和△BFD中，  DAC DBF   ADBD  CDAFDB ∴△ACD≌△BFD（ASA）， ∴CD=FD， 第 22 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵FD4，AF 2， ∴CD4, BD AD FD+AF=4+2=6 ∴BC 6+4=10， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 5．下列说法错误的是（ ）． A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 B．到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆 C．到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线 D．等腰三角形ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可． 【解析】A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正 确， B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确， C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确； D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解 题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝ 7∠BAE，则∠C的度数为（ ） A．41° B．42° C．43° D．44° 第 23 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】B 【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝ 7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解． 【解析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°， ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝7x°， ∵∠B＝90°， ∴∠C+∠BAC＝90°， ∴7x+7x+x＝90， 解得：x＝6， ∴∠C＝7×6°＝42°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线 段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键． 7．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－6a－8b＋25＝0，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．11 C．10或11 D．12 【答案】C 【分析】先将25改成9+16，运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出a，b的值，最 后根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：∵a2b26a8b250， ∴(a2﹣6a9)(b2﹣8b16)0， ∴(a﹣3)2(b﹣4)2 0， ∴a=3，b=4. 分两种情况讨论： ①当腰为3时，3+3>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为3+3+4=10， ②当腰为4时，3+4>4，能构成三角形，等腰三角形的周长为4+4+3=11． 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11． 第 24 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选C． 【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质．解题的关键是将25改成9+16，运用完全平方公式 将原等式化为平方和为0的形式． 8．如图，已知 ABC中，ACB90，AD是BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点F ，  过点D作DG∥CE交边AB于点G，联结CG交AD于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A．CDDG B．CF DG C．FH DH D．EFEG 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可判断CDDG，根据全等三角形的性质可判断CF DG，FH DH ，进而 可得出答案． 【解析】 CE是AB边上的高，  CE AB， ∵DG∥CE， DG AB， ACB90，AD是BAC的平分线，  CDDG，故A结论正确； AD AD，  ∴Rt ACD≌Rt AGD（HL），   AC  AG， AD垂直平分CG， CH HG， ∵DG∥CE， FCH DGH ，CFH GDH ， 第 25 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  CFH ≌ GDH（AAS），   CF DG，FH DH ，故C结论正确； CDCF，故B结论正确； D结论不一定正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定 和性质，解题的关键是掌握相关判定和性质并灵活运用． 二、填空题 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________． 【答案】60°或120° 【分析】分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【解析】解：如图（1）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=30°， ∴∠A=60°； 如图（2）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∵∠ABD=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BAC=120°； 综上所述，它的顶角度数为：60°或120°． 第 26 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 10．如图，在  ABC中，AB AC，D为BC上一点，且ABBD，ADDC，则C ____度 【答案】36 【分析】先设C x，由AB AC可知，C Bx，由ADDC可知C DAC x，由三角形外角 的性质可知ADBCDAC 2x，根据ABBD可知ADBBAD2x，再在△ABD中，由三角形 内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【解析】设C x， ∵AB AC， ∴C Bx， ∵ADDC， ∴C DAC x， ∴ADBCDAC 2x， ∵ABBD， ∴ADBBAD2x， 在△ABD中，Bx，ADBBAD2x， ∴x2x2x180， 解得x36． ∴C 36． 故答案为：36 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，利用 三角形内角和定理列方程是解题的关键． 11．如图，在等边ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_____度． 第 27 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】60 【解析】试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定 △ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC ∵AD=CE ∴△ADC≌△CEB ∴∠ACD=∠CBE ∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 故答案为60． 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 12．到定点的距离等于定长的点的轨迹是______． 【答案】以定点为圆心，定长为半径的圆 【分析】根据圆的定义即可得答案. 【解析】在平面内,到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆， 故答案为以定点为圆心，定长为半径的圆 【点睛】本题考查了圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹. 13．如图AD，BE分别是 ABC的中线和角平分线，若AB AC，CAD20，则ABE的度数是  _______． 第 28 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】35##35度 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BAC 40，再由三角形内角和定理得出ABC C 70， 再利用角平分线的定义求解即可． 【解析】解：∵AD是 ABC的中线，AB AC，  ∴AD平分BAC， ∵CAD20， ∴BAC 40， 18040 ∴ABC C  70， 2 ∵BE是 ABC的角平分线，  1 ∴ABE ABC 35， 2 故答案为：35． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用等腰三角形的性 质是解题关键． 14．如图，在  ABC中，AB AC，C 30，ABAD，AD3cm，则BC为______cm． 【答案】9 【分析】根据等腰三角形的性质求出BC 30，根据三角形内角和定理求出BAC，求出DAC C， 根据等腰三角形的判定得出ADDC 3cm，根据含30角的直角三角形的性质得出BD2AD6cm，再 求出答案即可． 【解析】解：∵AB AC，C 30， ∴BC 30， ∴BAC 180BC 120， ∵ABAD， ∴BAD90， ∴DAC BACBAD1209030C， 第 29 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ADDC， ∵AD3cm， ∴DC 3cm， 在Rt BAD中，B30，  ∴BD2AD6cm， ∴BC BDDC 639cm， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识 点，能求出B和DAC的度数是解此题的关键． 15．在Rt△ABC中，ÐB=90°，A60，在直线BC上取一点D，使BDBA，E为AC边上的中点，连 接ED，则AED的度数为______． 【答案】45°或135° 【分析】根据题意画出图形，分两种情况：点D在CB延长线上；点D在BC边上．连接BE，可得 ABE  是等边三角形，再由已知可得△BDE是等腰三角形，由三角形内角和可求得DEB，则可求得结果． 【解析】解：如图，当点D在CB延长线上时，连接BE， E为AC边上的中点，ÐB=90°， AEBECE， A60，   ABE是等边三角形，  ABEAEB60，ABBE， BDBA，  BDBE，  BDE是等腰三角形，  BDEBED， ABC 90，ABE60，  DBEABDABE150， 1 BED (180150)15， 2 AEDAEBBED601545； 第 30 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当点D在BC边上时，同理可得 ABE是等边三角形，△BDE是等腰三角形，且  DBEABCABE30， 1 BED (180DBE)75， 2 AEDAEBBED6075135； 故答案为：45或135． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质， 涉及分类讨论思想，由中点想到构造中线是本题的关键． 16．已知，在 ABC中，AB AC，BD AC于点D，AEBC于点E．若BAC 50，则DCO  ___________°． 【答案】40 18050 【分析】先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出ABC ACB 65，再由 2 BD AC于点D可得出ABD的度数，进而得出OBE的度数，由线段垂直平分线的性质可得出 OBEOCE，据此可得出结论． 【解析】解：在 ABC中，  ABAC，BAC 50，  18050 ABCACB 65． 2 BD AC，  ADB90， 第 31 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ABD90BAD905040， OBEABCABD654025． AB AD，ABBC，  AE是线段BC的垂直平分线， OBOC， OBEOCE25， DCOACBOCD652540． 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合是解题的关键． 三、解答题 17．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证： (1)△ABD≌△ACE； (2)试判断△ADE的形状，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)△ADE为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°，再证∠ACE＝∠B，然后由SAS即可得 出结论； （2）由全等三角形的性质得出AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，再证∠DAE＝∠BAC＝60°，然后由等边三角形的 判定即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC， 第 32 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴∠ACD＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABD和△ACE中，  AB AC  BACE，   BDCE ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：△ADE是等边三角形，证明如下： 由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， 即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判 定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，在ΔABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于 点F、G． (1)若BC＝7，求ΔAEG的周长． (2)若∠BAC=110°，求∠EAG的度数． 【答案】(1)7 (2)40° 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得AE=BE、AG=CG，然后根据三角形的周长公式即可求解； （2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质 第 33 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 得到∠EAB=∠B，同理可得∠CAG=∠C,然后运用角的和差即可解答． （1） 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， 同理AG=CG， ∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+EG+CG=BC=7． （2） 解：∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B， 同理可得：∠GAC=∠C， ∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=70°， ∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=110°-70°=40°． 【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌 握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE 与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG， (1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数； (2)判断△CFG的形状并说明理由； (3)求证：OA+OC=OB． 【答案】(1)证明见解析，∠DOE=60° (2)△CFG是等边三角形，理由见解析 第 34 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (3)见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证△BCD≌△ACE（SAS），即得出BD=AE，∠BDC=∠AEC， ∠CBD=∠CAE．再根据∠DGO=∠CGE，即得出∠DOE=∠DCE=60°； （2）由等边三角形的性质可得出∠ACB=∠DCE=60°，即可求出∠BCF=∠ACG=60°，易证△BCF≌△ACG （ASA），即得出CG=CF，即证明△CFG是等边三角形； （3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N．易证 △CDN≌△CEM（AAS），得出EM=DN，CM=CN，即证明OC为∠BOE的角平分线，得出∠BOC=∠EOC．又 易证△CMG≌△CNF（SSS），得出∠MCG=∠NCF，从而得出∠MCN=∠GCF=60°，即可求出∠MON=120°，从 1 而可求出∠BOC=∠EOC= ∠MON=60°，进而可求出∠COD=180°−∠BOC=120°．易证△COP为等边三角形， 2 即得出∠CPO=60°，OP=OC，从而可求出∠CPE=120°=∠COD，进而可证△COD≌△CPE（AAS），得出 OD=PE．最后即可求出BO=BD−OD=AE−PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO； （1） ∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE =60°， ∴∠BCD=∠ACE =180°−60°=120°， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE． 又∵∠DGO=∠CGE， ∴∠DOE=∠DCE=60°； （2） ∵△ACB和△DCE是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD=180°−60°−60°=60°， ∴∠BCF=∠ACG=60°， CBF CAG  在△BCF与△ACG中， BC  AC ，  BCF ACG ∴△BCF≌△ACG（ASA）， 第 35 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴CG=CF． ∵∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形； （3） 如图，在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N． ∵△BCD≌△ACE， ∴∠CDN=∠CEM．  CDN CEM  在△CDN和△CEM中，CNDCME90，   CDCE ∴△CDN≌△CEM（AAS）， ∴EM=DN，CM=CN， ∴OC为∠BOE的角平分线， ∴∠BOC=∠EOC． ∵BD=AE，BF=AG， ∴MG=NF． CM CN  在△CMG和△CNF中，CGCF ，  MGNF ∴△CMG≌△CNF（SSS）， ∴∠MCG=∠NCF， ∴∠MCN=∠GCF=60°， ∴∠MON=360°−∠MCN−90°−90°=120°． 1 ∴∠BOC=∠EOC= ∠MON=60°， 2 ∴∠COD=180°−∠BOC=120°． 第 36 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CP=CO，∠COP=60°， ∴△COP为等边三角形， ∴∠CPO=60°，OP=OC， ∴∠CPE=180°−∠CPO=120°=∠COD． CDOCEP  在△COD和△CPE中，CODCPE，   COCP ∴△COD≌△CPE（AAS）， ∴OD=PE． ∴BO=BD−OD=AE−PE=AO+OP=AO+OC，即AO+OC= BO； 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的判定和定义．在证明 （3）时正确的作出辅助线是解决的关键，较难． 六、勾股定理 ①直角三角形直角边与斜边之间的大小关系 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边. ②勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那 么 a2 b2 c2. ③勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a，b，c，满足 a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意：当 a2 b2 c2时，此三角形为钝角三角形；当 a2 b2 c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三 角形的最大边. 第 37 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．如图，在Rt△ABC中C 90，AC 2，BC5，则AB（ ） A． 21 B． 29 C． 26 D．6 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可直接求出答案． 【解析】∵在Rt△ABC中C 90，AC 2，BC5， ∴AB AC2BC2  2252  29． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． 2．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）  2 A． 6， 8， 10 B．12， 2 ，32 1 1 1 C．12，15，9 D． ， ， 3 4 5 【答案】C 【分析】根据勾股定理的定义：满足a2b2 c2的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【解析】解：A、三边 6， 8， 10，不是正整数，故本选项不符合题意； B、三边为1，2，9，且1222 92，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题 意． C、92122 152，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 1 1 1 D、三边 ， ， ，不是正整数，故本选项不符合题意． 3 4 5 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数问题，满足a2b2 c2的三个正整数，称为勾股数． 3．如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ） 第 38 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．－2 B．1 10 C．1 10 D． 101 【答案】C 【分析】在△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【解析】解：在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝3， 根据勾股定理得：AB＝ 32 12  10， ∴AP＝AB＝ 10， ∴OP＝AP﹣OA＝ 10－1． ∵点P在原点的左边， ∴P表示的实数为﹣（ 10－1）＝1﹣ 10． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端 距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为( ) A．2.7米 B．2.5米 C．2米 D．1.8米 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度. 第 39 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 由题意可得：AD2 0.722.42 6.25， 在Rt ABC中，  ABC 90，BC 1.5米，BC2 AB2  AC2，  AB21.52 6.25，  AB2，  AB0，  AB2， 小巷的宽度为0.722.7（米）. 故选A. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实 际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图. 5．适合下列条件的 ABC中，直角三角形的个数为（ ）  1 1 1 1 1 ①a ,b ,c ；②A B C；③a 2,b 3,c 5；④a7,b24,c25；⑤ 3 4 5 2 3 a2,b2,c4．⑥a:b:c3:4:5 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形的三边关系进行判断即可． 1 2 1 2 1 2 【解析】解：①       ，故①不是直角三角形； 3 4 5 1 1 ②∵A B C，∴6A180，∴C 3A90，故②是直角三角形； 2 3  2  2  2 ③ 2  3  5 ，故③是直角三角形； ④ 72242 252，故④是直角三角形； ⑤∵224，∴由三角形的三边关系可知，⑤不能构成三角形； 第 40 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ⑥令a3x，b=4x ，c5x，可知a2b2 c2，故⑥是直角三角形； 综上，有4个是直角三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．如图，  ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（ ） 15 8 4 13 A． B． 5 C． 5 D． 2 5 5 2 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 1 1 1 【解析】解：  S ABC 34 2 23 2 21 2 24=4， BC  22+42=2 5，  24 4 5 BC边长的高  ， 2 5 5 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 a2b2 c2解答． 7．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c 三个正方形的面积之和为（ ） A．11 B．15 C．10 D．22 第 41 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】B 【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面 积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三 个的面积之和. 【解析】利用勾股定理可得： S S S ，S S S ，S S S a 1 2 b 2 3 c 3 4 ∴S S S S S S S S S a b c 1 2 2 3 3 4 74415 故选B 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 8．如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AD平分BAC，DE垂直平分AC，若AB 3，则DE的值为 （ ） 3 2 3 A． B． 3 C．1 D． 3 3 【答案】C 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得BACC 90，再利用角平分线的定义可得 BADDAE，然后利用线段垂直平分线的性质可得DADC，从而可得DAEC，进而可得 ∠BAD=∠DAE=∠C，最后可得BAD30，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出 BD的长，从而利用角平分线的性质可得DBDE，即可解答． 【解析】解： B90，  BACC 90， AD平分BAC，  BADDAE， DE垂直平分AC，  DADC， 第 42 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DAEC， BADDAEC， BADDAEC 90，  BAD30， ∴AD2BD， 在Rt△ABD中，AB 3， ∴BD2AB2  AD2， ∴3BD2 3， BD1， AD平分BAC，DBBA，DEAC，  DBDE1， 故选：C． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角 三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1和图3可以验证勾股定理；根据图形的总面 积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形 的面积，然后整理可以判断图2可以验证勾股定理． 1 1 1 1 【解析】解：图1和图3：∵S  (ab)(ab)，S  ab ab c2， 梯形 2 梯形 2 2 2 1 1 1 1 ∴ (ab)(ab) ab ab c2， 2 2 2 2 ∴a22abb2 ababc2， 第 43 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴a2b2 c2，故图1和图3都可以验证勾股定理； 1 图2：图形的总面积可以表示为：c22 abc2ab， 2 1 也可以表示为：a2b22 aba2b2ab， 2 ∴c2aba2b2ab， ∴a2b2 c2．故图2可以验证勾股定理； 图4不可以验证勾股定理． 综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，观察图形，利用两种方法表示出图形的面积是解题的关键． 10．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到 9 △AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为 ，则 2 BD的长为（ ） A． 13 B． 11 C． 7 D． 5 【答案】A 【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理 求出BD即可． 【解析】解：由折叠得，AB AE，∠BAF=∠EAF， 在△BAF和△EAF中， AB AE  BAF EAF  AF  AF ∴△BAF≌△EAF(SAS) 第 44 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BF=EF ∴AF⊥BE 又∵AF＝4，AB＝5， ∴BF  AB2AF2 3 在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h， 1 1 1 ∴S  ADEF  DGh EGh ADE 2 2 2 1 即S S  ADEF ADG AEG 2 1 9 ∵S  GEh ，S S AEG 2 2 ADG AEG 9 9 ∴S S   9 ADG AEG 2 2 1 ∴9 AD3 2 ∴AD6 ∴FD ADAF 642 在Rt△BDF中，BF 3，FD2， ∴BD BF2FD2  3222  13 故选：A 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题． 二、填空题 11．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 7 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为： 4232  7； ②长为3、4的边都是直角边时， 第 45 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第三边的长为： 42+32 =5； ∴第三边的长为： 7或5， 故答案为： 7或5． 12．命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是_________________________．这个逆命题是 _________命题．（填真或假） 【答案】 三个角都相等的三角形是等边三角形 真 【分析】由逆命题的定义解答． 【解析】解：“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形．这 个逆命题是真命题． 故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真． 【点睛】本题考查逆命题、真假命题等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13．在直角坐标系内，已知点Am,0，B0,3，且AB5，那么m的值是_______ ． 【答案】4 【分析】结合两点间的距离公式根据AB的长列等式，计算可求解m的值． 【解析】∵Am,0、B0,3， ∴AB m232  m29， ∵AB5， ∴m2925， 解得m4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 14．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________ 【答案】16 第 46 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】延长AB和DC，两线交于O，求出OB= 2BC，OD= 2OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x， 则BO= 2x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可． 【解析】解：延长AB和DC，两线交于O， ∵∠C=90°，∠ABC=135°， ∴∠OBC=45°，∠BCO=90°， ∴∠O=45°， ∵∠A=90°， ∴∠D=45°， 则OB= 2BC，OD= 2OA，OA=AD，BC=OC， 设BC=OC=x，则BO= 2x， ∵CD=6，AB=2， ∴6+x= 2( 2x+2)， 解得：x=6-2 2， ∴OB=6 2-4，BC=OC=6-2 2，OA=AD=2+6 2-4=6 2-2， ∴S ABCD=S△OAD-S△OBC 四边形 1 1 = OA•AD- BC•OC 2 2 1     1     =  6 22  6 22   62 2  62 2 2 2 =16， 故答案为16． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，二次根式的混合运算．正确添加辅助线构建直角三角形、 求出BC的长度是解此题的关键． 15．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的 外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计） 第 47 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】10 【分析】先把圆柱展开，得到其一半的一个矩形的形状，A、B的最短距离就是线段AB的长，再根据勾股 定理解答即可． 【解析】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到 A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离， 在Rt△A′BE中， 1 BE= ×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm， 2 则AB= BE2AE2 =10cm， 答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将侧面展开利用勾股定理求出是解题关键． 16．如图，已知等腰ABC，AB AC，过点A、C分别做AB，AC的垂线交于点D，AD与BC相交于点 E，若BE4 3，AD6，则AB的长为________． 【答案】4 2 【分析】过点B作BM⊥AB，在BM上截取BN=CD，根据全等三角形的判定与性质证得BN=CD， 第 48 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AN=AD=6，再根据等腰三角形的性质等得到DE=CD，最后设BN=x，利用勾股定理建立方程求解即可． 【解析】过点B作BM⊥AB，在BM上截取BN=CD， ∵DC⊥AC，BM⊥AB，AB⊥AD， ∴∠ABN=∠ACD=∠BAD= 90°， 又∵AB= AC，BN=CD， ∴ ABN≌ ACD（SAS），   ∴BN=CD，AN=AD=6， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC+∠AEB=90°，∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠AEB=∠DCE， ∵∠AEB=∠CED， ∴∠CED=∠DCE， ∴CD=DE， 设BN=x，则CD=DE=x，AE=6－x， 在Rt△ABN中，AB2  AN2BN2 36x2， 在Rt ABE中，AB2 BE2AE2   4 3 2 6x2，  ∴36x2   4 3 2 6x2， ∴x2，即BN=2， ∴AB AN2BN2  6222 4 2． 故答案为：4 2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练运用各性质判 定定理，正确构造出全等三角形是解题的关键． 第 49 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（ ） A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合 B．面积相等的两个圆一定能够重合 C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合 【答案】D 【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项 即可． 【解析】解：由题意可知： A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一 个角都为60，故说法正确，不符合题意； B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意； C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为90， 故说法正确，不符合题意； D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个 角对应相等，故说法不正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的 关键是掌握性质，并进行分析． 2．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，在 ABC中，AB AC,A100，点D在边AB的延长线上，根据  图中尺规作图的痕迹，可知DBE的度数为（ ） A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 第 50 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据等边对等角先求解ABC, 再求解CBD, 结合尺规作图可得BE平分CBD, 从而可得答 案． 【解析】解：  AB AC,A100， 1 \ ÐABC =ÐACB= (180°-100°)=40°, 2 由作图可得：ÐCBD=180°- 40° =140°, 由作图可得：BE是CBD的角平分线， 1 \ ÐDBE= ´ 140° =70°. 2 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的作图，掌握“等腰三角形 的等边对等角”是解本题的关键． 3．（2020·上海·统考一模）三角形的外心是三角形的（ ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】根据三角形的外心的定义（三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点）即可得． 【解析】解：三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟记定义是解题关键． 4．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点 P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于 点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ） A．62° B．56° C．52° D．46° 第 51 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】B 【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA， OB的 距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB， 根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解． 【解析】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致， 点P到射线OA， OB的距离相等， ∴OP是∠AOB的角平分线， ∵∠BOP= 28°， ∴∠AOP=∠BOP=28°， ∵MP∥OB ∴∠MPO=∠POB =28° ∴∠AMP=∠AOP+∠MPO= 56° 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件P到射 线OA， OB的距离相等是解题的关键． 5．（2021·上海普陀·统考二模）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得 到△ABC≌△A′B′C′的是（ ） A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′ C．∠C＝∠C′ D．∠B＝∠B′＝90° 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理． 【解析】解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意． B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意． C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意． D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 6．（2022·上海黄浦·统考二模）已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是（ ） A．4 B．5 C．10 D．15 【答案】C 第 52 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据三角形的三边关系定理求出第三边的范围即可选出答案． 【解析】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣4＜x＜4+9, 因此，三角形的第三边应满足5＜x＜13， 只有10符合不等式， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键． 7．（2021·上海崇明·一模）已知点G是 ABC的重心，如果连接AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列  说法中错误的是（ ） A．BDCD B．AGGD C．AG2GD D．BC 2BD 【答案】B 【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可． 【解析】解：∵点G是 ABC的重心，  ∴BDCD，AG2GD，BC 2BD， ∴A、C、D正确，B错误， 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶 点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 8．（2020·上海奉贤·统考二模）若线段AP,AQ分别是 ABC边上的高线和中线，则（ ）  A．APAQ B．APAQ C．APAQ D．APAQ 【答案】D 【分析】画出符合题意的图形，根据点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，逐一判断各 选项可得答案． 【解析】解：如图，AP是  ABC的高，AQ是  ABC的中线， 第 53 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AP AQ, 当 ABC为等腰三角形，且AB AC时，等号成立．  故A,B,C错误，D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短，等腰三角形的三线合一，三角形的高，中线的含义， 掌握以上知识是解题的关键． 9．（2021·上海嘉定·统考一模）在Rt ABC中，ACB90，A30，CD AB，垂足为D．下列四个  选项中，不正确的是（ ） AC 3 BC 3 BD 3 BC 3 A．  B．  C．  D． = AB 2 CD 2 CD 3 AC 3 【答案】B 【分析】由ACB90，A30推出AB=2BC，根据CD AB推出∠BCD=A30，得到BC=2BD， 设BD=x，则BC=2x，AB=4x，利用勾股定理求出AC、CD，再列式计算进行判断． 【解析】∵ACB90，A30， ∴AB=2BC， ∵CD AB， ∴∠BCD+∠B=90， ∵∠A+∠B=90， ∴∠BCD=A30， ∴BC=2BD， 设BD=x，则BC=2x，AB=4x， ∴AC  AB2BC2 2 3x，CD BC2BD2  3x AC 3 CD 3 BC 3 BD 3 ∴  ，  , = ，  ， AB 2 BC 2 AC 3 CD 3 故选：B． 第 54 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ． 【点睛】此题考查直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形，解题中设BD=x，则 BC=2x，AB=4x，用含x的式子表示各线段使计算简便，更易得出答案． 10．（2019·上海奉贤·统考二模）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，ABDACE，下列 条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．AE AD B．BDCE C．ECBDBC D．BEC CDB 【答案】D 【分析】添加AE AD、BDCE、ECBDBC可利用AAS判定ABDACE，进而可得AB AC， 从而可得ABC是等腰三角形；添加BEC CDB不能判定ABDACE，因此也不能证明AB AC， 进而不能证明ABC是等腰三角形． 【解析】解：A、添加AE AD， 在ABD和ACE中， AA  ABDACE，  AE AD ABDACE(AAS)， AB AC， ∴ABC为等腰三角形，故此选项不合题意； B、添加BDCE， 在ABD和ACE中， 第 55 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AA  ABDACE，  BDCE ABDACE(AAS)， AB AC， ∴ABC为等腰三角形，故此选项不合题意； C、添加ECBDBC， 又 ABDACE，  ABC ACB， AB AC， ∴ABC为等腰三角形，故此选项不合题意； D、添加BEC CDB，不能证明ABDACE， 因此也不能证明AB AC，进而得不到ABC为等腰三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法． 二、填空题 11．（2022·上海松江·校考三模）如果一个等腰直角三角形的面积是5，那它的直角边长是___________． 【答案】 10 【分析】可令等腰直角三角形的直角边长为x，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【解析】解：设等腰直角三角形的直角边长为x，依题意得： 1 xx5， 2 解得：x 10或x 1（0 不符合题意，舍去）． 故答案为： 10． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，解答的关键是明确等腰直角三角形的两条直角边相等． 12．（2017·上海杨浦·统考二模）如图，已知：  ABC中，C 90，AC 40，BD平分ABC交AC于D， AD:DC 5:3，则D点到AB的距离是___________． 第 56 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】15 【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【解析】解：∵AC 40，AD:DC 5:3， 3 ∴DC 40 15． 8 ∵BD平分ABC交AC于D， ∴D点到AB的距离是15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关 键． 13．（2022·上海松江·校考三模）如图，直线l ∥l ，点A在直线l 上，点B在直线l 上， 1 2 1 2 AC BC,BDCD,C 30，则1___________． 【答案】45##45度 【分析】由等腰三角形的性质可得CABCBA,CBDC 30，由三角形的内角和可求得 CDB120，再由三角形的外角性质可求得CAB的度数，即可得ABD的度数，再由平行线的性质可 求得1的度数． 【解析】解：  AC BC,BDCD,C 30， CABCBA,CBDC 30， 第 57 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CDB180CCBD120， CDB是△ABD的外角，  CDBCABABD，  ABDCBACBDCAB30， 120CABCAB30，解得：CAB75， CBA75， ABDCBACBD753045， l∥l ， 1 2 1ABD45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解答问题 的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 14．（2022·上海松江·校考三模）如图，在 ABC中，已知ADBC，垂足为D,BD2CD,若E是AD的中  S 点，则 ABC ___________． S ECD 【答案】6 【分析】设 ECD的面积为S，根据三角形面积公式，利用E是AD的中点得到S 2S，再利用BD2CD  ACD S 得到S 4S ，所以S 6S，从而得到 ABC 的值． ABD ABC S ECD 【解析】解：设 ECD的面积为S，  E是AD的中点，  S 2S 2S， ACD ECD BD2CD，  S 2S 22S 4S， ABD ACD 第 58 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) S 2S4S 6S， ABC S 6S  ABC  6． S S ECD 故答案为：6． 1 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S  底高；三角形 2 的中线将三角形分成面积相等的两部分． 15．（2022·上海普陀·统考二模）如图，在 ABC中，AB AC，点D在边BC上，ADBD，如果  DAC 102°，那么BAD___________度． 【答案】26 【分析】根据等腰三角形两个底角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到 BBADC，ADC 2C，再根据三角形内角和等于180建立方程即可得到答案． 【解析】解：设Bx， ∵AB AC， ∴BC x， ∴ADBD， ∴BBADx， ∵ADC BBAD2x，ADCDACC 180， ∴2x102x180， ∴x26， ∴BAD26， 故答案为：26． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三 角形内角和定理、三角形外角的性质． 16．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知AB∥DE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝ _______°． 第 59 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】37 【分析】延长ED交BC于点F，根据两直线平行内错角相等证明∠B=∠BFD，通过邻补角性质求出∠CDF， 再利用三角形外角的性质即可求出∠BCD． 【解析】延长ED，交BC于点F，如图， ∵AB∥DE， ∴BFDB70， ∵∠CDE与∠CDF互为邻补角， ∴CDF 180CDE18014733， ∵BFDBCDCDF， ∴BCDBFDCDF 703337， 故答案为：37． 【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角、三角形外角等知识，熟练掌握相关概念灵活运用是解题关 键． 17．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍AB垂直立于水平的地面上，把 木棍CD斜钉在木棍AB上，点D是木棍AB的中点，再把木棍EF斜钉在木棍CD上，点F是木棍CD的 AC 中点，如果A、C、E在一条直线上，那么 的值为________． AE 第 60 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 51 【答案】 2 【分析】如图，过F 作FH AC于H, 设ADBDx, 则AB=CD=EF =2x,AD=BD=DF =CF =x,再证 明ACD30, 再利用含30的直角三角形的性质与勾股定理求解AC，AE，从而可得答案． 【解析】解：如图，过F 作FH AC于H, 由题意可得：AB=CD=EF,AD=BD,DF =CF, 设ADBDx, 则AB=CD=EF =2x,AD=BD=DF =CF =x,  AB AE, x 1 \ sinÐACD= = , 2x 2 \ ÐACD=30°, æ ö 15 3 3 15 \ AE=AC+CE= 3x+ç x- x÷= x+ x, ç ÷ 2 2 2 2 è ø AC 3x 2 3 2     AE 3 15 3 15 1 5 ， x x 2 2 ( ) 2 5-1 5-1 = = . 4 2 51 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除 法运算，求解ACD30是解本题的关键． 18．（2023·上海静安·统考一模）如图， ABC绕点C逆时针旋转90后得 DEC，如果点B、D、E在一直   线上，且BDC 60,BE3，那么A、D两点间的距离是_________． 第 61 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 6 【分析】过点C作CF BE交于点F，由旋转的性质得出 ACD, BCE是等腰直角三角形，再求出   FCD30，利用含30角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行求解即可． 【解析】过点C作CF BE交于点F， ∴CFD90， ∵ ABC绕点C逆时针旋转90后得 DEC，   ∴ACDBCE90,AC CD,BC CE，即  ACD,  BCE是等腰直角三角形， ∵BE3， 1 3 ∴CF  BE ， 2 2 ∵BDC 60， ∴FCD30， 3 3 3 3 ∴DF  CF    ， 3 3 2 2 ∴CD2DF  3， ∴AD 2CD 2 3 6， 故答案为： 6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点 是解题的关键． 19．（2022·上海·一模）如图，在  ABC中，ACB90，AC  2，BC 2 2，将  ABC绕点C按逆时针 方向旋转得到  DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F ，连接CF，在旋转过程中，线段CF的最 第 62 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 大值为__________． 【答案】 10 【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB= 10， 由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直 1 10 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH= AB= ，在△FCH中，当F、C、H在一条直线 2 2 上时，CF有最大值为 10. 【解析】解：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G， 在△ABC中，∠ACB=90º， ∵AC= 2，BC=2 2， ∴AB= AC2BC2  10， 由旋转可知：△DCE≌△ACB， ∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB， ∴∠DCA=∠BCE， 1 1 ∵∠ADC= (180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)， 2 2 ∴∠ADC=∠BEC， 第 63 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠DGC=∠EGF， ∴∠DCG=∠EFG=90º， ∴∠AFB=90º， ∵H是AB的中点， 1 ∴FH= AB， 2 ∵∠ACB=90º， 1 ∴CH= AB， 2 1 10 ∴FH=CH= AB= ， 2 2 在△FCH中，FH+CH>CF， 10 10 当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值   10， 2 2 ∴线段CF的最大值为 10. 故答案为： 10 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质. 第 64 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 65 页 共 65 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司