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专题 14 几何综合六种模型
通用的解题思路：
题型一：两垂一圆构造直角三角形模型
平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC 为直角三角形
分类讨论:
若∠A=90°,则点C在过点A 且垂直于AB 的直线上(除点A外);
若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);
若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).
以上简称“两垂一圆”.
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.
题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型
分类讨论:
若AB=AC,则点C在以点A 为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;
若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”
“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN
以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节题型三：胡不归模型
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
题型四：阿氏圆模型
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连
接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为
圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
A A
Q Q
B P C B P N M C
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始
终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
Q
2
A A
B C
B P C
Q
Q
1
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始
位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为
其他已知轨迹的线段求最值。
题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
P
Q
A Q P O A M O
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
Q M
Q
P
P
A O A O
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径
之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
题型一：两垂一圆构造直角三角形模型
1．（2023•安溪县二模）如图，AB是半圆O的直径，BP AB，PD与半圆O相切于点D，连接AD并延
长，交BP的延长线于点C．
（1）求证：PBPC；
（2）若 O的半径为5，AD8，求BP的长．
2．（2023•平房区二模）如图1，ABC 内接于 O中，AB为直径，点D在弧BC上，连接AD，CD．
（1）求证：CABD90；
（2）如图2，连接OC交AD于点F ，若DAB2CAD90，求证：AC CD；
（3）在（2）的条件下，如图3，点E在线段CF 上，连接AE，BE 交AD于点H ，若EHA2EAH，
AE6，OF 2，求线段BE 的长．
?
3．（2022•蔡甸区校级模拟）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点（点E不与B、C重合），连接DE交
对角线AC于点F ，ADF 的外接圆O交边AB于点G，连接GD、GE．
（1）求EDG的度数；
BE 5
（2）若 ，求tanDEG．
CE 24．（2023•怀化）如图，AB是 O的直径，点P是 O外一点，PA与 O相切于点A，点C为 O上的一
点．连接PC、AC、OC，且PC PA．
（1）求证：PC为 O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PDOC PAOD；
（3）若CAB30，OD8，求阴影部分的面积．
5．（2023•广陵区二模）如图，顶点为A(4,4)的二次函数图象经过原点(0,0)，点P在该图象上，OP交其
对称轴l于点M ，点M 、N关于点A对称，连接PN ，ON．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是(6,3)，求OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：PNM ONM ；
②若OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．6．（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队
计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一
平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2)．
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队
分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪
观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接AO、BO，则AOB ；
（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN ．（结果用四舍五入法取整数， 2 1.41)7．（2022•江北区一模）如图1，四边形ABCD是 O的内接四边形，其中AB AD，对角线AC、BD相交
于点E，在AC上取一点F ，使得AF AB，过点F 作GH AC交 O于点G、H ．
（1）证明：AED~ADC ．
（2）如图2，若AE 1，且GH 恰好经过圆心O，求BCCD的值．
（3）若AE 1，EF 2，设BE 的长为x．
①如图3，用含有x的代数式表示BCD的周长．
②如图4，BC恰好经过圆心O，求BCD内切圆半径与外接圆半径的比值．题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型
1．（2022•开州区模拟）如图，在等腰RtABC中，ABBC，D是BC的中点，E为AC边上任意一点，
连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连接EF ，交AB于点G．
（1）如图1，若AB6，AE 2，求ED的长；
（2）如图2，点G恰好是EF 的中点，连接BF ，求证：CD 2BF ；
5
（3）如图3，若AB4 2，连接CF ，当CF BF 取得最小值时．请直接写出S 的值．
5 CEF2．（2023春•璧山区校级期中）如图，直线ykxb经过点A(8,0)和B(0,4)两点，将AOB沿直线l对折使
点A和点B重合，直线l与x轴交于点C与AB交于点D，点D的纵坐标为2，连接BC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点E在x轴的负半轴上，且BED的面积为10，求BOE的周长；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点
P的坐标．题型三：胡不归模型
1．（2023•湘潭县校级三模）如图，抛物线yax2 bx3(a0)与x轴相交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴
交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为y轴上一个动点，连接BP，求 10CP10BP的最小值；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点P，使得PCOACO45？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．2．（2023•徐州二模）抛物线yx2 bx3与直线yx1相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A
在x轴的负半轴上．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH AB于点H ，求垂线段PH 的最大值；
5
（3）如图2，当点P运动到抛物线对称轴右侧时，连接AP，交抛物线的对称轴于点M ，当AM DM
5
最小时，直接写出此时AP的长度．3．（2023•丘北县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2 bx4与x轴交于A(4,0)、B(2,0)两
点，与y轴交于点C，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AC上方抛物线上一动点，点E是x轴上的动点，连接PA、PC，当PAC 的面积最大时，
2
求PE BE的最小值．
24．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2 2x3与x轴交于点A，B（点A在点B的左
侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点M 是线段BD上一动点（点M 不与端点B，D重合），过点M 作MN BD，交抛物线
于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH x轴，垂足为H ，交BD于点F ，点P是线段OC上一动
1
点，当MN 取得最大值时，求HF FP PC的最小值；
3
1 2
（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF FP PC取得最小值时，把点P向上平移 个单位得到点
3 2
Q，连接AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度(0360)，得到△AOQ，其中边AQ交坐
标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得QQOG？若存在，请直接写出所有满足条件的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•江城区三模）如图，抛物线y 2x2 6 2x7 2 交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y
轴于点C，直线y 2x7 2经过点A、C，点M 是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
6
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM AM 的最小值及此时点M 的坐标；
3
（3）连接BC，当AOM 与ABC 相似时，求出点M 的坐标．6．（2024•宿迁模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2 2ax3与x轴交于点A，B（点A在
点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为(1,0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）填空：a ，点B的坐标是 ；
（2）连接BD，点M 是线段BD上一动点（点M 不与端点B，D重合），过点M 作MN BD，交抛物线
于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH x轴，垂足为H ，交BD于点F ，点P是线段OC上一动
1
点，当MNF的周长取得最大值时，求FP PC的最小值；
2
1 2 3
（3）在（2）中，当MNF的周长取得最大值时，FP PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移
2 3
个单位得到点Q，连接AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度(0360)，得到△AOQ，其
中边AQ交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQOG？若存在，请直接写出所有
满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•南山区三模）如图，在ACE中，CACE，CAE30， O经过点C，且圆的直径AB在线
段AE上．
（1）试说明CE 是 O的切线；
（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示 O的直径AB；
1
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当 CDOD的最小值为6时，求 O的直径
2
AB的长．题型四：阿氏圆模型
1．（2024•长沙模拟）阅读材料，回答下列小题．
阅读材料1:
调和是射影几何重要不变量交比的一种特殊形式，早在古希腊，数学家们便发现了一组具有特殊比例关系
的点列：调和点列．
我们定义：若一直线上依次存在四点A，B，C，D，满足ABCDBCAD，则称A，B，C，D为调
和点列．从直线外一点P引射线PA，PB，PC，PD，则称PA，PB，PC，PD为调和线束．
（1）如图1，过圆Q外一点P作圆Q的切线PA，PB，并引圆的割线PCD，设PD与A交于点E．
①求证：P，C，E，D是调和点列．
②求证：ACBDBCAD．
阅读材料2：阿波罗尼斯圆：对于平面上的两定点A，B和平面上一动点P，若P到A和B的距离之比为
定值，则点P的轨迹是一个圆，我们称该圆是点P关于AB的“阿氏圆”．
（2）根据阅读材料1，2，回答①②小题．（本题图未给出）
①证明阿波罗尼斯圆，并确定该圆圆心的位置．
②若点P关于AB的“阿氏圆”交AB于C，D，求证：A，C，B，D为调和点列．
（3）如图2，ABCD是平行四边形，G是三角形ABD的重心，点P，Q在直线BD上，满足GP与PC垂
直，GQ与QC垂直．求证：AG平分PAQ．2．（2024•莱芜区校级模拟）在ABC 中，CAB90，AC AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD
绕点B顺时针旋转90得到BE ，连接CE ，交AB于点F ．
（1）如图1，若ABE75，BD4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H ．若ABD30，猜想线段DC与线段HG的数
量关系，并写出证明过程；
（3）如图 3，若 AB4， D为 AC的中点，将 ABD绕点 B旋转得△ ABD，连接 AC 、 AD，当
2
AD AC最小时，求S ．
2 ABC3．（2023•万州区模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，C 90，过点C作CD//AB交过点B的直线
于点D，ABD30，直线BD交AC于H ．
（1）如图1，若AB2，求BD的长；
（2）如图2，过点A作AGBD交BD于点G，交BC的延长线于E，取线段AB的中点F ，连接GF ，求
证：GF 3GH BH ．
（3）在（2）的条件下，过点D作DP AB交AB于点P，若点M 是线段GF 上任一点，连接BM ，将BGM
3
沿BM 折叠，折叠后的三角形记为△BGM ，当 AGDG取得最小时，直接写出tanPDG的值．
24．（2022•从化区一模）已知，AB是 O的直径，AB4 2，AC BC．
（1）求弦BC的长；
（2）若点D是AB下方 O上的动点（不与点A，B重合），以CD为边，作正方形CDEF ，如图1所示，
若M 是DF的中点，N是BC的中点，求证：线段MN 的长为定值；
（3）如图2，点P是动点，且AP2，连接CP，PB，一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿
线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，求
点Q的运动时间t的最小值．5．（2022•市中区校级模拟）如图，在ABC 与DEF 中，ACBEDF 90，BC AC，EDFD，
点D在AB上．
（1）如图1，若点F 在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF 、AE、AD之间的数量关系，并证明你
的结论；
（2）如图2，若点D与点A重合，且AC 3 2，DE 4，将DEF 绕点D旋转，连接BF ，点G为BF
3
的中点，连接CG，在旋转的过程中，求 CGBG的最小值；
2
（ 3 ） 如 图 3 ， 若 点 D为 AB的 中 点 ， 连 接 BF 、 CE 交 于 点 M ， CE 交 AB于 点 N， 且
ND
BC:DE:ME7:9:10，请直接写出 的值．
CN题型五：瓜豆原理模型（点在直线上）
1．（2022•沈阳）【特例感知】
（1）如图1，AOB和COD是等腰直角三角形，AOBCOD90，点C在OA上，点D在BO的延
长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的COD绕着点O顺时针旋转(090)，那么第（1）问的结论是否仍然成立？
如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB8，点C是线段AB外一动点，AC 3 3，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ；
② 若 以 BC为 斜 边 作 RtBCD(B， C， D三 点 按 顺 时 针 排 列 ）， CDB90， 连 接 AD， 当
CBDDAB30时，直接写出AD的值．2．（2021•武进区模拟）如图①，二次函数yx2 bxc的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴交
于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若ABQ的面积是BPQ面积的4倍，
求点P的横坐标．
（3）如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M ，以AM 为斜边向ABM 外作等腰直角
三角形AMN ，连接BN ，ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出ABN 的面积；如果变化，请说明理
由．题型六：瓜豆原理模型（点在圆上）
1．（2023•崖州区一模）若AC 4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图 1，取点B，使ABC 为等腰直角三角形，BAC 90，将点P绕点 A顺时针旋转90得到
AP．
①点P的轨迹是 （填“线段”或者“圆” )；
②CP的最小值是 ；
（2）如图2，以AP为边作等边APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ
的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90，得到点M ，连接PM ，则CM 的最小值为 ．2．（2024•昆山市一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x5与x轴，y轴分别交于A、C两点，
抛物线yx2 bxc经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
3
（2）若点M 为x轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，ABM 的面积等于ABC 面积的 ，
5
求此时点M 的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的 B与x轴交于E、F 两点(F在E右侧），若P点是 B上一动点，
连接PA，以PA为腰作等腰RtPAD，使PAD90(P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长
度的取值范围．3．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W 和点P，若图形W 上存在两个点M ，N
满足PM 3PN且MPN 90，则称点P是图形W 的关联点．
已知点A(2 3，0)，B(0,2)．
（1）在点P( 3，1)，P( 3，3)，P(2 3，2)中， 是线段AB的关联点；
1 2 3
（2） T 是以点T(t,0)为圆心，r 为半径的圆．
①当t 0时，若线段AB上任一点均为 O的关联点，求r 的取值范围；
②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t…4，使折线G的关联点都是 T 的关联点，直接写出r 的最
小值．4．（2023•沙坪坝区校级模拟）在ABC中，AC BC，AC 6，ACB，点D是BC边上任意一点，
点E是直线AD上一动点，连接BE ，将BE 绕点B顺时针旋转，旋转角为，得到线段BF ，连接EF ．
（1）如图1，90，BAD15，点F 在射线AD上，求BF 的长；
（2）如图2，BF //AD，CG AE 于点G，2ABF 3EBF 4BAE，猜想线段GE，BE ，AC之间存
在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，60，点F 在射线AD上，点P是BE 上一点且满足AF 3BP，连接AP，直接写出当AP
最小时，点P到AB的距离．
