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重难点 05 利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】
【新高考专用】
从近几年的高考情况来看，恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒
(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一
般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.
【知识点1 不等式恒（能）成立问题的解题策略】
1．不等式恒（能）成立问题的求解方法
解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题
①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等
式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．
② 恒成立 ；恒成立 ；
能成立 ；
能成立 .
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题
分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进
行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一
段内的函数值不满足题意即可.
【知识点2 双变量的恒（能）成立问题的解题策略】
1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等
价变换有：
对于某一区间I，
(1) .
(2) .
(3) .
【题型1 直接法解决不等式恒（能）成立问题】
【例1】（2024·辽宁·一模）已知函数f (x)=e2x−e−2x−ax，若x≥0时，恒有f (x)≥0，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,2] B．(−∞,4] C．[2,+∞) D．[4,+∞)
1
【变式1-1】（2024·河南·三模）若关于x的不等式ex+x+2ln ≥mx2+lnm恒成立，则实数m的最大值
x
为（ ）
1 e2
A． B． C．1 D．e2
2 4
【变式1-2】（2024·四川内江·一模）已知函数f (x)=a(x+a)−ln(x+1)，a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)>1恒成立，求实数a的取值范围．【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
f (x)=ex−2elnx+ax+lna(a>0)
3
(1)若a=1，证明：f (x)> x；
2
(2)若f (x)≥2e+1恒成立，求实数a的取值范围．
【题型2 分离参数法求参数范围】
a
【例2】（2024·陕西·二模）∀x∈[1,2]，有lnx+ −1≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
x2
A．[e,+∞) B．[1,+∞) C．
[e
,+∞ ) D．[2e,+∞)
2
ex
【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数f (x)= −ln(x−1)−lna+1，若f (x)≥0对任意的
a
x∈(1,+∞)恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． (0,√e] B． (0,e] C．(
0,e
3
2
] D．(0,e2]
【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=ex−ax+1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若 ，求实数a的取值范围．
∀x≥0,f(x)≥x2+2
ax
【变式2-3】（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x)= (a≠0)，其中e为自然对数的底数.
ex
(1)讨论f (x)的单调区间；
(2)当a=3时，不等式xf (x)+lnx+1≤mx在区间(0,+∞)上恒成立时，求m的取值范围.【题型3 分类讨论法求参数范围】
n
【例3】（2024·湖南·一模）若不等式ex−1−mx−2n−3≥0对∀x∈R恒成立，其中m≠0，则 的取值
m
范围为（ ）
(
ln3e] [ln3e
)
A． −∞,− B． ,+∞
2 2
(
ln3e] [ln3e
)
C． −e,− D． ,e
2 2
【变式3-1】（2024·陕西西安·一模）若关于x的不等式ex−2+x≥2ax2−x⋅lnx在(0,+∞)上恒成立，则
实数a的取值范围为（ ）
( 1) ( 1] ( √e)
A． −∞, B． −∞, C． −∞, D．(−∞,1]
e 2 3
a
【变式3-2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x)=lnx+ .
x
(1)若曲线 在点 处的切线为 ，求实数 的值；
y=f (x) (1,f (1)) x+ y+b=0 b
(2)已知函数 a2，且对于任意 ， ，求实数 的取值范围.
g(x)=f (x)+ x∈(0,+∞) g(x)>0 a
x2
【变式3-3】（2024·陕西铜川·三模）已知函数f (x)=xex−ax−cosx+1.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=2 y=f (x) (0,f (0))
(2)若∀x∈[0,+∞),f (x)≥0，求实数a的取值范围.【题型4 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】
【例4】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数f (x)=emx+(m−1)x−lnx(m∈R).若对任意x>0，都有
f (x)≥0，则实数m的取值范围为（ ）
A． [1 ,+∞ ) B． [2 ,+∞ ) C． [e ,+∞ ) D．[e,+∞)
e e 2
【变式4-1】（2024·河南·模拟预测）已知λ>0，对任意的x>1，不等式
e2λx−
(
lne2
1
λ
)
lnx≥0
恒成立，则
实数λ的取值范围为（ ）
[1 ) [ 1 )
A． ,+∞ B． ,+∞
e 2e
C．[2e,+∞) D．[e,+∞)
【变式4-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=(ax−1)ex+1+3(a≠0)．
(1)求f (x)的极值；
(2)设a=1，若关于x的不等式f (x)≤(b−1)ex+1−x在区间[−1,+∞)内有解，求b的取值范围．
【变式4-3】（2024·四川雅安·三模）已知函数f (x)=(a−1)x−2sinx.
(1)若函数f (x)有极值，求实数a的取值范围；
[ π]
(2)若关于x的不等式f (x)+x(1+cosx)≤0在x∈ 0, 上恒成立，求实数a的取值范围.
2
【题型5 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】
【例5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)=aex(a≠0),g(x)=x2,g'(x)为g(x)的导函数.
(1)证明：当 时， ；
a=1 ∀x∈(0,+∞),f(x)>g′(x)
(2)若f (x)与g(x)有两条公切线，求a的取值范围.2lnx+x+a
【变式5-1】（2024·安徽·模拟预测）已知函数f (x)= (a∈R)．
x
(1)若对∀x∈(0,+∞),f (x)≤xex恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意正整数
n
，不等式
∑
n
eek+2k>
3n2+7n恒成立．
2
k=1
【变式5-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数f (x)=2lnx−ax2+1(a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若存在正数x，使f (x)≥0成立，求a的取值范围；
(3)若 ，证明：对任意 ，存在唯一的实数 ，使得 f (x )−f (x )成
0−1，证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增；
1
(2)若−1x 2x +f (x )>2x +f (x ) a
1 2 1 2 2 1
A． [ 1 ,+∞ ) B．[1,+∞) C． [1 ,+∞ ) D．[2,+∞)
2e e
lnx
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f (x)= ,g(x)=axe−ax，若存在
x
使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
x ∈(0,1),x ∈(−∞,0) f (x )=g(x ) a
1 2 1 2
A．(−∞,−2) B．(−2,−1) C．(−1,+∞) D．(0,+∞)
1
【变式6-2】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知f (x)=alnx+ x2−2x（a∈R且a≠0），
2
g(x)=cosx+xsinx．
(1)求g(x)在[−π,π]上的最小值；
(2)如果对任意的 ，存在 [1 ]，使得f (x ) 成立，求实数a的取值范围．
x ∈[−π,π] x ∈ ,e 2 −a≤g(x )
1 2 e x 1
2
【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）已知函数f (x)=ax+1−xlnx的图像在x=1处的切线与直线x−y=0
平行．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若 ，且 时， ，求实数m的取值范围．
∀x ,x ∈(0,+∞) x >x f (x )−f (x )>m(x2−x2)
1 2 1 2 1 2 1 2一、单选题
1．（2024·四川达州·二模）当 时，不等式 恒成立，则 取值范围是（ ）
x≥0 ex−ax≥(x−1) 2 a
( 1]
A．(−∞,1] B． −∞,
e
C．(−∞，e] D．(−∞,3]
1
2．（2024·吉林·模拟预测）若关于x不等式ln(ax)≤x+b恒成立，则当 ≤a≤e时，eb+1−lna的最小值为
e
（ ）
1
A． +1 B．e−1 C．1 D．e
e
3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式axex+x>1−lnx有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．( − 1 ,+∞ ) B．( − 1 ,+∞ ) C．( −∞, 1 ) D．( −∞, 1)
e2 e e2 e
4．（2024·陕西安康·模拟预测）若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取
x∈(0,+∞) a2x4+x≥eax2+ln2x a
值范围为（ ）
A． [ 1 ,+∞ ) B． [1 ,+∞ ) C． ( −∞, 1] D． ( −∞, 1 ]
2e e e 2e
lnx
5．（2024·陕西商洛·三模）已知λ>0，对任意的x>1，不等式e2λx− ≥0恒成立，则λ的取值范围为
2λ
（ ）
A．[2e,+∞) B． [ 1 ,+∞ ) C．[e,+∞) D． [1 ,+∞ )
2e e
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若关于x的不等式 恒成立，
f(x)=ex+1−aln(ax)+a(a>0) f(x)>0
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(0,+∞) (0,e) (0,e2) (1,e)
2a
7．（2024·四川乐山·二模）若存在x ∈[−1,2]，使不等式x +(e2−1)lna≥ +e2x −2成立，则a的取
0 0 ex
0
0
值范围是（ ）A．[ 1 ,e2 ] B．[ 1 ,e2 ] C．[ 1 ,e4 ] D．[1 ,e4 ]
2e e2 e2 e
a
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=¿，若不等式f (x)> 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
x
A． B．
(−∞,3) (6e−2,+∞)
C． D．
(6e−2,3) (−∞,6e−2)
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式ex−2+x≥2ax2−xlnx在(0，+∞)上恒成立，则实数a的值
可以是（ ）
1 1 √e
A． B． C． D．2
e 2 3
10．（2024·新疆·一模）设f (x)=(1+x)lnx,g(x)=(a−1)x，若f (x)≤g(x)在x∈[1,2]上恒成立，则实数
a的值可以是（ ）(附:ln2≈0.69)
3−ln2 2+3ln2
A． B．3 C．2 D．
2 2
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若 ，
f(x)=x+ln(x−2),g(x)=xlnx f (x )=2+3lnt,g(x )=t3
1 2
则下列结论中正确的是（ ）
A．∀x∈(2,+∞),f(x)g(x ) D．(x x −2x )lnt≥−
0 0 0 1 2 2 3e
三、填空题
12．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式2x3−ax2+1≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的最大
值为 ．
1
13．（2024·陕西商洛·一模）已知函数f(x)=lnx−aeax，若对任意的x≥ ,f(x)≤0成立，则正数a的取
e
值范围是 .
14．（2024·浙江·三模）已知函数f (x)=(x−2)ex+lnx，g(x)=ax+b，对任意a∈(−∞,1]，存在
x∈(0,1)使得不等式f (x)≥g(x)成立，则满足条件的b的最大整数为 .
四、解答题
15．（2024·广东·模拟预测）已知函数f (x)=x−1−alnx,a∈R.(1)判断函数f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥0恒成立，求a的值.
16．（2024·四川乐山·三模）已知函数f (x)=ax+lnx−ax2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
x ∈(1,+∞) f (x )>0 a
0 0
17．（2024·浙江台州·一模）已知函数 ．
f(x)=x3+4x2−5x
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间；
f(x)
(2)若不等式 −6lnx≤a(x−1) 2对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数a的取值范围．
x
(1 )
18．（2024·四川乐山·三模）已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a −x−1 +1−x
x
(1)讨论f(x)的单调性；
1−x−x2
(2)令H(x)=f(x)+g(x)，若存在x ∈(1,+∞)，使得H(x)< 成立，求整数a的最小值．
0 x19．（2024·浙江宁波·一模）已知函数 .
f (x)=√1+2ax2−axsinx
(1)判断f (x)的奇偶性；
1
(2)若a=− ，求证：f (x)≤1；
2
(3)若存在 ，使得对任意 ，均有 ，求正实数 的取值范围.
x ∈(0,π) x∈(0,x ) f (x)<1 a
0 0
