不等式——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_新高考版2025届高考数学二轮复习易错重难提升训练（含解析）

（6）不等式 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.不等式的基本性质 性质1 如果ab，那么 ；如果ba，那么 .即 . 性质2 如果ab，bc，那么 .即 . 性质3 如果ab，那么 . 性质4 如果ab，c0，那么 ；如果ab，c0，那么 . 性质5 如果ab，cd ，那么 . 性质6 如果ab0，cd 0，那么 . 性质7 如果ab0，那么 . 2.基本不等式 （1）若 ， ，当且仅当 时，等号成立. 其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. （2）基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题 （1）恒成立问题：若 在区间 D上存在最小值，则不等式 在区间 D上恒成立 . 若 在区间D上存在最大值，则不等式 在区间D上恒成立 . （2）能成立问题：若 在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式成立 . 若 在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 成立 . （3）恰成立问题：不等式 恰在区间D上成立， 的解集为D， 不等式 恰在区间D上成立， 的解集为D. 易错试题提升 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.设 ，则下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. 3.若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知 ， ，则 的最小值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.如果 ，那么下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 6.某批救灾物资随41辆汽车从某市以 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长 ，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于 （车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则 ( ) A.70 B.80 C.90 D.100 7.若 ，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 8.设实数x满足 ，函数 的最小值为( ) A. B. C. D.6 9.（多选）下列说法正确的是( ) A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ， ，则 10.（多选）若正实数a，b满足 ，则下列选项中正确的是( ) A.ab有最大值 B. 有最小值 C. 的最小值是10 D. 11.已知 ， ，且满足 ，则 的最小值为______________. 12.已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围 __________.13.如图，在半径为4（单位： ）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD， 其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为__________（单 位： ）. 14.已知实数x，y，满足 ， ，则 的取值范围是_______. 15.若实数x，y，m满足 ，则称x比y远离m. （1）若x比 远离1，求实数x的取值范围； （2）若 ， ，试问：x与 哪一个更远离m，并说明理由.答案以及解析 1.答案：B 解析：由 ，得 ，或 ，所以 或 . 所以 ，由 ，得 ， 所以 . 故选：B. 2.答案：D 解析：对A：若 ，则由 ，有 ，故错误； 对B：若 ，则有 ，故错误； 对C：若 ，则有 ，故错误； 对D：由 ，则 ， ，故 ，故正确. 故选：D. 3.答案：C 解析：不等式 可化为， ，令 ，由题意可得 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立， ，所以实数a的取值范围为 . 故选：C. 4.答案：D 解析：由于 ， ，所以 ，由 ， (当且仅当 时取等号)，可得 的最小值为3， 故选：D. 5.答案：D 解析：当 ， 时， 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，所以 ，即 ，则 ，故D正确. 故选：D. 6.答案：C 解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为 ，由题意，知最短每隔 到达一辆， 则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为 ，要使这批物资尽快全部到达灾区， 即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短，又 ，当且仅当 ，即 时等号成立.故选C. 7.答案：C 解析：对于A，因为 ，故 ，即 ，故A错误； 对于B， ，无法判断，故B错误； 对于C，因为 ， ，故C正确； 对于D，因为 ，故 ，即 ，故D错误. 故选：C. 8.答案：A 解析：因为 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以函数 的最小值为 . 故选：A. 9.答案：BCD 解析：对A： ， ， 由 不能得出 ，例如 ， ，A错误； 对B： ，，即 ，B正确； 对C： ，则 ， ，C正确； 对D：作差得： ， ， ，则 ， ，即 ，D正确. 故选：BCD. 10.答案：AD 解析：对于A， ， ，且 ， ， 当且仅当 时取到等号， ， ab有最大值 ， 选项A正确； 对于B， ， ， 当且仅当 时取到等号， B错误； 对于C， ， 当且仅当 即 ， 时取到等号，所以C不正确； 对于D， ， ，∴D正确. 故选：AD.11.答案：4 解析：因为 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为4. 故答案为：4. 12.答案： 解析：由 得 ，所以 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立，所以 ， 所以 恒成立，可化为 ，即 ，解得 . 13.答案：16 解析：如图： 连接OC，设 ， 则 ， ，所以矩形ABCD的面积为 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立， 所以矩形ABCD面积的最大值为 . 故答案为：16. 14.答案： 解析：设 ， ，解得 ，所以， ， ， ，所以， ， ， 所以， ，即 . 因此， 取值范围是 . 的 故答案为： . 15.答案：（1） 或 （2） 比x更远离m 解析：（1）若x比 远离1，则 ， 即 ， 或 ，解得 或 ， 因此x的取值范围是 或 . （2）因为 ， 所以 . 因为 ，所以 . 从而 . ①当 时， ， 即 . ②当 时， . 又因为 ，所以 ， x2  y2 m |xm| 所以 ，即 . x2  y2 综上所述， ，即 比x更远离m.