重难点突破06恒成立与能成立问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 06 恒成立与能成立问题 1．恒成立问题的转化： 恒成立 ； 2．能成立问题的转化： 能成立 ； 3 ． 恰 成 立 问 题 的 转 化 ： 在 M 上 恰 成 立 的 解 集 为 M x∈D,f(x)≥A f (x) 另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值 f (x)=A x∈D,f (x)≤B f (x) min ，若 在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 f (x)=B max ． f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≥g(x ) 4．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ， f (x)≥g (x) 则 min min f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≤g(x ) 5．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ， f (x)≤g (x) 则 max max f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≥g(x ) 6．设函数 、 ，存在 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，则 f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≤g(x ) 7．设函数 、 ，存在 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，则f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )=g(x ) 8．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ， f (x) g(x) 设 在区间[a，b]上的值域为A， 在区间[c，d]上的值域为B，则AB． 9．若不等式 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数 和图象 在函数 图象上方． 10．若不等式 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数 和图 象在函数 图象下方． 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立； ②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函 数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等 方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤ 直接根据函数的图象． 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题．等式中的恒成立 问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解 决问题的． （一）两个基本思想解决“恒成立问题” m≥f(x)在x ∈D上恒成立⇔m≥[f(x)] 思路1． maxm≤f(x)在x ∈D上恒成立⇔m≤[f(x)] 思路2． min 如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际,采取合理 有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法 三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 的最值．1．（2023春•海淀区期末）已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求函数 的零点个数； （Ⅲ）若对任意的 ， ，都有 ，求实数 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）已知 ，函数定义域为 ， 当 时， ， 可得 ， 所以 （1） ， 又 （1） ， 所以曲线 在 ， （1） 处的切线方程为 ， 即 ； （Ⅱ）当 时， ， 要求函数 的零点个数， 即求方程 的根， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值也是最小值，最小值 ，此时 ， 所以 与 轴无交点， 即方程 无实数根， 故函数 没有零点； （Ⅲ）若对任意的 ， ，都有 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 可得 ， 当 时， 易知方程 中△ ， 所以该方程有两个实数根，设为 ， ， 因为 ， ， 不妨设 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以当 时，函数 取得极大值，极大值 （1） ，不符合题意； 当 时， 易知方程 中△ ， 即方程 与 轴至多有一个交点， 又函数 为开口向下的二次函数，对称轴 ，当 时，函数 取得最大值， 此时 （1） ， 即 恒成立， 则满足条件的 的取值范围为 ， ， 故实数 的最大值为2． 2．（2023•青羊区校级模拟）已知函数 ，其中 为实数． （1）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围； （2）求证：对任意的实数 ，方程 均有解． 【解答】解：（1） 在区间 上单调递增， 在区间 上恒成立， ， 令 ， 在 上单调递增且恒大于0， 在 上单调递增， 当 时， ，即 不可能取得最大值； 当 时， 且单调递增， 单调递增且恒大于0， 在 上单调递增，即 ， 故 ，即 的取值范围是 ；（2）证明：设 ，由方程 得 ， 即 ， ， 令 ， 当 时，由 得 ， ，故原方程有解； 当 时， ， ， 则 ， 由零点存在定理得 在 上有零点，故原方程有解， 综上所述，对任意的实数 ，方程 均有解． 3．（2023春•通州区期末）已知函数 ， ． （Ⅰ）若 在区间 上恰有一个极值点，求实数 的取值范围； （Ⅱ）求 的零点个数； （Ⅲ）若 ，求证：对于任意 ，恒有 ． 【解答】解：（Ⅰ）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，所以当 时，函数 取得极小值， 若 在区间 上恰有一个极值点， 此时 ， 解得 ， 则实数 的取值范围为 ； （Ⅱ）已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值， 当 时， ， 即 ， 此时函数 在 上无零点； 当 时， 易知 ， （e） ， 所以函数 在 ， 上存在唯一一个零点， 综上， 有1个零点； （Ⅲ）证明：若 ， 此时 ， 若对于任意 ，恒有 ，此时 在 上恒成立， 即证 ， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得极小值也是最小值，最小值 （1） ， 则 ， ， 故对于任意 ，恒有 ． 4．（2023春•渝中区校级期末）（1）不等式 对任意的 恒成立，求 的取 值范围． （2）当 ，求证： （参考数据： ， ． 【解答】解：（1）因为不等式 对任意的 恒成立， 所以 对任意 恒成立， 令 ， ， ， 令 得 ， 所以在 上 ， 单调递增，在 上 ， 单调递减， 所以 （1） ，所以 ， 所以 的取值范围为 ， ． （2）证明：因为 ， 所以 ， 由（1）知当 时， ， 所以只需证明 ， 所以只需证明 ， 令 ， ， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ， （1） ， （2） ， 所以存在 ， ， 当 ， ， 当 ， ， ， 所以 ，其中 ， 则 ， 所以放缩有些过了，需要调整 的取值范围，， 所以需要比较 与 大小， 因为 ， 所以 ， 所以 ，则 ， 所以 成立，得证． 5．（2023•宜章县二模）已知函数 ， 为常数，且 ． （1）判断 的单调性； （2）当 时，如果存在两个不同的正实数 ， 且 ，证明： ． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， ， 设 ， △ ，即 时， 恒成立， 所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增， △ ， 即 时 ， 方 程 有 两 个 不 等 的 实 数 根 ， 且， ， 所以任意 ， ， ， 单调递增， 任意 ， ， ， ， 单调递减， 任意 ， ， ， ， 单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 ， ， 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）证明：因为 （1） ， 所以 （1）， 由（1）可得 时， 在 上单调递增， 不妨设 ， 要证 ，即证 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 设 ， ， ，所以 时， ， 单调递增， 所以 （1） （1） ， 所以 ． 6．（2023•河南开学）已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 时，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）当 时， ， 所以不等式 等价于 或 或 ， 解得 或 ， 即不等式的解集为 ， ， ． （2）当 时， ， 因存在 ，使得 成立， 所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ， ． 7．（2023春•西城区期末）已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 存在两个不同的极值点 ， ，证明： ． 【解答】解：（Ⅰ）当 时， ， ，， 当 时， ， 令 得 或 （舍 ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 上 ， 单调递增， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． （Ⅱ）证明：若函数 存在两个不同的极值点 ， ，则 有两个不等的实数根 ， ， 所以 有两个不等的实数根 ， ， 所以 ， 解得 ，令 （a） ， ， （a） ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 （a） ， 所以 （a）在 ， 上单调递增， 所以 （a） ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 8．（2023春•东城区校级月考）设函数 ， ． （1）当 时，求函数 的单调增区间； （2）若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围； （3）若函数在区间 内存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围．【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 时 ， ， 则 ， 由 得 或 ， 函数 的单调增区间是 ， ； （2）函数 ，则 ， 函数 在区间 上为减函数， ， 成立，即 ， ， 又 在 上单调递减，即 ， ， ， 的取值范围是 ， ； （3）由（2）得 ， 函数 在区间 内存在两个极值点 ， ，则 在区间 内有两个不等根 ， ， 即 ，解得 ，且有 ①， 不妨令 ，则 ， 当 或 时， ，当 时， ， 则 在 处取得极大值 ，在 取得极小值 ，显然， ，由 两边平方得 ， 则 ，即 ， 整理得 ②， 联立①②得 ，解得 ， 综上所述， ， 实数 的取值范围是 ． 9．（2023春•朝阳期末）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调区间； （2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实 数 的取值范围． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， 当 时， ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 上 ， 单调递增， 当 时，令 ，得 ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 ， 上， ， 单调递减， 所以当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）因为 在 处取得极值， 所以 （2） ，即 ， 所以 ， 所以 ， ， ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 上， ， 单调递减， 所以 在 处取得极值，合题意， 因为对 ， 恒成立， 所以对 ， 恒成立， 所以对 ， 恒成立， 令 ， ， ， 令 ，得 ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 ， 上， ， 单调递减， 所以 ，所以 ， 所以 的取值范围为 ， ． 10．（2023春•大连期末）已知函数 ． （1）判断函数 在区间 上零点和极值点的个数，并给出证明； （2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） 在 上只有一个极值点和一个零点． 证明： ， ， 当 时， ， 单调递减， 又 ， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 所以当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 为 的一个极大值点， 因为 ， ， ， 所以 在 ， 上无零点，在 上有唯一零点， 所以 在 上有且只有一个极值点和零点． （2）由 ，得 ， 令 ，则 ，， ， ①若 ，则 ， 当 时， ， 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 又 ，， 所以当 ， 所以 ，即 ， 由 ， 所以 ， 所以当 时， 恒成立， ②若 ，因为 时， 单调递减， 又 ， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 所以当 时， ， 单调递增，不满足 恒成立， ③若 ， 因为 ， 不满足 恒成立，综上所述，实数 的取值范围为 ， ． 11．（2023春•滨海新区校级月考）已知函数 （a R）． （1）a＝0时，求函数f（x）的单调性； ∈ （2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性； （ 3 ） 若 对 任 意 的 a [﹣ 2 ， ﹣ 1 ） ， 当 x ， x [1 ， e] 时 恒 有 1 2 ∈ ∈ 成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵ （a R）， ∈ ∴当a＝0时， ，x （0，+∞）， ∈ ∴ ， 当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 即f（∈x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． （2）当a≠0时，函数 （a R），x （0，+∞）， ∈ ∈ ， ①当a＞0时，2ax+1＞0， ∴当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增， 当x （∈1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减； ∈ ②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或 ， （i）若 ，则 ， ∴当 时，f'（x）＞0，函数f（x）在 上单调递增， 当 时，f'（x）＜0，函数f（x）在 上单调递减，当x （1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增； ∈ （ii）若 时，则 恒成立， ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （iii）若 ，则 ， ∴当x （0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增， ∈ 当 时，f'（x）＜0，函数f（x）在 上单调递减， 当 时，f'（x）＞0，函数f（x）在 上单调递增； 综上可得：当a＞0时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 当 时f（x）在 和（1，+∞）上单调递增，在 上单调递 减； 当 时f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当 时f（x）在（0，1）和 上单调递增，在 上单 调递减． （3）当a [﹣2，﹣1）时，由（2）可知，函数f（x）在[1，e]上单调递增， ∈ ∴ ， ∵ 对任意的a [﹣2，﹣1），当x ，x [1，e]时 1 2 恒成立， ∈ ∈ ∴ 对任意的a [﹣2，﹣1）恒成立， ∈ 即 对任意的a [﹣2，﹣1）恒成立， ∈ ∵当 时 单调递增，所以 ， ∴m≤5， 故实数m的取值范围为（﹣∞，5]；12．（2023春•咸阳期末）已知函数 ，其中 ． （1）若 ，求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程； （2）若对于任意 ， ，都有 成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）函数的定义域为 ． 当 时， ， （2） ， ，则 （2） ． 所以曲线 在点 ， （2） 处的切线方程为 ， 即 ． （2）因为对于任意 ， ，都有 成立， 则 ，等价于 ． 令 ，则当 ， 时， ， ． 因为当 ， 时， ，所以 在 ， 上单调递增． 所以 （e） ． 所以 ． 即 的取值范围是 ． 13．（2023•乌鲁木齐模拟）已知 在 处的切线方程为 ． （1）求函数 的解析式； （2） 是 的导函数，证明：对任意 ， ，都有 ．【解答】解：（1）由题意可得， （1） ，且 ，则 （1） ，即 ， 则 ， ， 所以 ； （2）证明：由（1）可知， ， ， 所以 ， 令 ， 则 ， 所以 时， ， 即 在 ， 上单调递减， 所以 （1），即 ， 所以 ，即 ． 14．（2023 春•朝阳区校级期末）已知函数 ， （其中 ． （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）已知 ，函数定义域为 ， 当 时， ， 可得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 所以 的增区间为 ；减区间为 ； （2）因为对于任意 ，都有 成立， 所以 在 上恒成立， 即 恒成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 因为 时， ， 所以 ， 单调递增， 此时 （e） ， 所以 ， 即 ， 又 ， 则 的取值范围为 ． 15．（2023 春•鼓楼区校级期末）已知定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ． （1）求函数 的值域； （2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）已知定义在 上的奇函数 和偶函数 满足 ，此时 ，使得 ， 即 ， 整理得 ， ， 则函数 ， 解得 ， 所以 ， 故函数 的值域为 ； （2）若存在 ，使得不等式 成立， 即当 ，不等式 成立， 不妨令 ， ， 此时存在 ，使得不等式 成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， ， 令 ，且 ， 此时 ， 易知 ，所以 ， 即 ， 则函数 在定义域上单调递减， 同理得函数 在区间 ， 上单调递增， 又 ， 所以当 时，函数 取得极大值也是最大值，最大值 ， 则实数 的取值范围为 ． 16．（2023春•芗城区校级月考）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调区间； （2）当 ， 时 恒成立，求实数的 的取值范围． 【解答】解：（1） ，函数定义域为 ， ， 若 ，则 ， 在 递增， 若 ， ，解得： ， ，解得： ， 在 单调递减，在 单调递增． （2） 当 ， 时， 恒成立， 当 ， 时， 恒成立，即 ， 设 则 显然当 ， 时， 恒成立， 在 ， 上单调递增， ，则 ，即 ，实数的 的取值范围 ． 17．（2023春•驻马店月考）已知函数 ． （1）求曲线 在点 ， （4） 处的切线方程； （2）若 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1） ， ， （4） ． 则曲线 在点 ， （4） 处的切线方程为 ， 即 ． （2） ， 令函数 ， ． 所以 在 上单调递增． 因为 （1） ，所以当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ． 因为 恒成立，所以 ． 故 的取值范围为 ．18．（2023春•运城期末）已知 ， （1）证明： 关于 对称； （2）若 的最小值为3 （ⅰ）求 ； （ⅱ）不等式 恒成立，求 的取值范围 【解答】解：（1）证明：因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 关于 对称． （2）（ⅰ）任取 ， ，且 ， ， ， ， ， ， ， ，所以 在 ， 上单调递增， 又 关于 对称， 则在 ， 上单调递减． 所以 （1） ， 所以 ． （单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明） （ⅱ）不等式 恒成立等价于 恒成立， 即 恒成立， 即 令 ，则 ， 令 ， ，则 ， 则 ， 因为 ， 取等号， 则 ， 所以 ， 所以 ， 即 ．19．（2023春•湖北期末）已知函数 ． （1）讨论 的单调区间； （2）若曲线 在 处的切线方程为 ． （ⅰ）求实数 的值； （ⅱ）关于 的不等式 对任意的 恒成立，求正实数 的值． 【解答】解：（1） 的定义域为 ， ， 当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 当 时， ， ， 的单调递增区间为 ， ， ， 的单调递减区间为 ． 综上：当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ． （2）由题意 ，所以 ， 记 ，且 （1） ， 所以 ， ① ， ，则 ， （1） ，不合题意； ② ，令 ，则 ， 当 ， ， ， ，所以 ， 所以 ，令 ， ，则 ， 记 ，则 ， 又 ，所以当 时， ，当 时， ，所以 （1） ， 所以 ，所以 ，所以 ． 20．（2023春•肥西县期中）已知函数 ， ． （Ⅰ）求 的极小值； （Ⅱ）若对任意的 ， ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ） ， ， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ， 故 在 递增，在 递减，在 递增， 故 （2） ． （Ⅱ）若对任意的 ， ， ，不等式 恒成立， 则 在 ， 恒成立， 结合（Ⅰ） ， 时， 在 ， 递减，在 ， 递增， 故 （2） ，由 ，得 ， ① 时， ， 在 ， 递增， 故 （e） ， 则 ，解得 （舍 ， ② 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在 递增，在 ， 递减， ，即 时， 在 ， 递减， （1） ， 则 ，则 ； ，即 时， 在 ， 递增，在 ， 递减， 故 ， 则 ，解得 （舍 ； ，即 时， 在 ， 递增， 故 （e） ， 故 ，解得 （舍； 综上： 的取值范围是 ， ． 21．（2023•福建模拟）已知函数 ， ． （1）讨论 在 的单调性； （2）是否存在 ， ， ，且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切 线？证明你的结论．【解答】解：（1） ， 故 时， ； 时， ， 当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增； 当 ，即 时， 在 单调递增． 综上，当 时， 在 单调递减，在 单调递增； 当 时， 在 单调递增． （2）解法一：不存在 ， ， ，且 ，使得曲线 在 和 处有相 同的切线． 证明如下：假设存在满足条件的 ， ， ， 因为 在 ， 处的切线方程为 ， 即 ， 同理 在 ， 处的切线方程为 ， 且它们重合，所以 ， ， 整理得 ， 即 ， ， 所以 ， 由 两边同乘以 ， 得 ， 令 ， ，则 ，且 ，由 得 ，代入 得 ，两边取对数得 ， 令 ， 当 时， ， ， 所以 在 上单调递增，又 （1） ，所以 ，从而 ，与 矛盾； 当 时， ， ， 所以 在 上单调递增，又 ，所以 ，从而 ，与 矛盾； 综上，不存在 ， ，使得 ，且 ． 故不存在 ， ， 且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切线． 解法二：不存在 ， ， 且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切线． 证明如下：假设存在满足条件的 ， ， ， 因为 在 ， 处的切线方程为 ， 即 ， 同理 在 ， 处的切线方程为 ， 且 它 们 重 合 ， 所 以 ， ， 整理得 ， 令 ， ，可得 ， 由 两边同乘以 ，得 ，则 ，且 ， 令 ，则 ，且 ． 由（1）知，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 又当 时， ，当 时， ， 所以若 ， 存在，不妨设 ， 设 ， ，又 ，所以 ，则 ， 由 ，得 ，即 ， 则 ，所以 ， 所以 ，即 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，所以当 时， （1） ， 即 ，取 ，即 ， 所以 在 时无解， 综上，不存在 ， ，使得 ，且 ． 故不存在 ， ， 且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切线． 解法三：不存在 ， ， 且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切线． 证明如下：假设存在满足条件的 ， ， ，因为 在 ， 处的切线方程为 ， 即 ， 同理 在 ， 处的切线方程为 ， 且它们重合，所以 ， ， 整理得 ， 即 ， ， 所以 ， 由 两边同乘以 ， 得 ， 令 ， ，则 ．，且 ， 令 ，则 ，且 ． 由（1）知，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 又当 时， ，当 时， ， 所以若 ， 存在，不妨设 ， 则 ， ， 所以 ， 以下证明 ． 令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，所以当 时， （1） ， 因为 ，所以 ， ， 整理得 ． 因为 ，所以 ，与 矛盾； 所以不存在 ， ，使得 ，且 ． 故不存在 ， ， 且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切线． 22．（2023春•昆明期末）已知函数 在 处取得极值0． （1）求 ， ； （2）若过点 存在三条直线与曲线 相切，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知 ， 所以 （1） ， （1） ， 所以 ， ； （2）由（1）可知， ， 过点 存在3条直线与曲线 相切，等价于 关于 的方程 有三个不同的根， 设切点坐标为 ， 所以切线方程为 ，因为切线过点 ， 所以 ，即 ，令 ，则 ， 令 ，解得 ，或 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表所示， 1 0 0 单调递减 单调递增 0 单调递减 因此，当 时， 有极大值 （1） ， 当 时， 有极小值 ； 则 ， 故实数 的取值范围是 ． 23．（2023春•大余县校级期末）已知函数 ， ． （1）设 ，求函数 的极大值点； （2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【解答】解：（1）函数 ，求导得 ，由 ，得 ， 当 时， ，即 ，函数 单调递增； 当 时， ，即 ，函数 单调递减， 因此函数 在 处有极大值，所以函数 的极大值点为 ． （2）依题意， ， ，不等式 ， 当 时， 成立，则 ， 当 时， ， ， 令 ， ， 求 导 得 ， 令 ， ， 求 导 得 ， 因 此 在 上 单 调 递 增 ， 即 有 ， 而 ， 又函数 在 上的值域是 ， ，则函数 ，即 在 上的值域 是 ， ， 当 时， ，当且仅当 ， 时取等号，于是函数 在 上单调 递增， 对 ， ，因此 ， 当 时，存在 ，使得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，不符合题意，所以 的取值范围为 ， ． 24．（2023春•日照期末）已知函数 ， 为自然对数的底数． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的值； （3）若关于 的方程 有两个实根 ， ，求证： ． 【解答】解：（1）对函数 求导得 ， ， 又 ， 曲线 在 处的切线方程为 ， 即 ； （2）记 ，其中 ， 由题意知 在 上恒成立， 下面求函数 的最小值， 对 求导得 ， 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： ， 0 递减 极小值 递增， ， 记 ，则 ， 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： 1 0 递增 极大值 递减 （1） ， 故 当且仅当 时取等号， 又 ，从而得到 ； （3）证明：先证 ， 记 ，则 ， 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况列表如下： ， 0 递减 极小值 递增 ， 恒成立，即 ，记直线 ， 分别与 交于 ， ， ， ， 不妨设 ，则 ， 从而 ，当且仅当 时取等号， 由（2）知， ，则 ， 从而 ，当且仅当 时取等号， 故 ， 因等号成立的条件不能同时满足，故 ． 25．（2023春•高台县校级月考）已知函数 ， 为 的导数． （1）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2） ，若对任意 ， ，均存在 ， ，使得 ，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ，所以 ， ， 从而曲线 在点 ， 处的切线方程为 ． （2）由已知，转化为 ，且 （1） ． 设 ，则 ， ． 当 时， ； 当 时， ， 所以 在 单调递增，在 单调递减．又 ， ， ， 故 在 存在唯一零点． 所以 在 存在唯一零点． 设为 ，且当 时， ； 当 ， 时， ， 所以 在 单调递增，在 ， 单调递减． 又 ， ， 所以当 ， 时， ． 所以 ，即 ， 因此， 的取值范围是 ． 26．（2023春•朝阳区期末）已知函数 ， ． （Ⅰ）当 时，证明 ； （Ⅱ）若直线 是曲线 的切线，设 ，求证：对任意的 ，都有 ． 【解答】证明：（Ⅰ）当 时，设 ， 则 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 故 ，故 成立． （Ⅱ）由已知得 ，设切点为 ，则 且 ，解得： ， ， 所以 ， ， 要证 ， 即证 ， 即证 ，即证 ， 令 ， ，原不等式等价于 ，即 ， 设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增， 所以 ，所以 成立， 所以对任意 ，都有 ． 27．（2023春•平度市期末）已知函数 ． （1）若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围； （2）若函数 在 上存在零点，求 的取值范围． 【解答】解：（1）由题得 ， 在 ， 上单调递增， 在 ， 上恒成立， 即 在 ， 上恒成立， ，，即 的取值范围是 ， ． （2） ， ， 注意到： ， 若 ，则 ， 在 上单调递增， ， 在 上不存在零点； 若 ，则 ， 在 上单调递减， ， 在 上不存在零点； 若 ，显然 ，在 上不存在零点； 若 ，显然存在 ，使得 ，且 在 上单调递增， ， ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 注意到： ， ，且 ， 存在唯一 使得 ， 综上， ，即实数 的取值范围是 ． 28．（2023春•滨海新区期末）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m R）． （1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函数f（x）的极值； ∈ （2）讨论函数f（x）的单调性； （3）若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， 因为f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，f（1）＝﹣1，则f（1）＝﹣3m+2＝﹣1， 解得m＝1．当m＝1时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x+1， ． 当 时，f′（x）＞0，则f（x）在 上单调递增； 当 时，f′（x）＜0，则f（x）在 上单调递减； 所以f（x）在 时取得极大值且极大值为 ，无极小值． （ 2 ） 因 为 ， 当m≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当m＞0时， 当 时，f′（x）＞0，则f（x）在 上单调递增； 当 时，f′（x）＜0，则f（x）在 上单调递减； 综上：当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当m＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减． （3）解法一：若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立， 所以lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1≤0，即lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立， 即 在（0，+∞）上恒成立， 设 ，则 ． 设 （x）＝﹣（x+2lnx），则 ， 所以φ （x）在（0，+∞）上单调递减， φ 因为 （1）＝﹣1＜0， ， φ所以 ，使得 （x ）＝0，即x +2lnx ＝0． 0 0 0 当x （0，x ）时， （x）＞0，φ 0 当x∈（x 0 ，+∞）时φ， （x）＜0． 所以∈F（x）在﹣（0，φx 0 ）上单调递增，在（x 0 ，+∞）上单调递减， 所以 ． 因为 ，所以 ， 故整数m的最小值为1． 解法二：若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立， 由（2）可知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为f（1）＝﹣3m+2＞0，显然不符合对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立 由（2）可知，当m＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递 减， 所以f（x）有最大值 ． 若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，只需要 即可． 设 ，显然 在（0，+∞）上单调递减， 因为g（x） ＞h（x） ， ， ， min max 所以要使 ，只需要整数m≥1， 故整数m的最小值为1． 29．（2023春•台江区校级期末）已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围．【解答】解：（1） ， 当 时， ， 单调递增， 当 时，令 ，得 ， 所以在 上， ， 单调递增， 在 ， 上， ， 单调递减， 综上所述，当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减． （2）对任意的 ，都有 恒成立， 即任意的 ，都有 恒成立， 所以任意的 ，都有 对 恒成立， 令 ， 则 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 又 （1） ， ， 所以存在 ， ，使得 ，即 ， 所以在 上 ， 单调递减， 在 ， 上 ， 单调递增，由 ，得 ， 设 ， ， ， 所以 在 上为增函数， 所以由 ，得 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 的取值范围为 ． 30．（2023春•天津期末）已知函数 ． （1）证明：当 时， 恒成立； （ 2 ） 若 且 ， 证 明 ： ， ， ． 【解答】证明：（1）当 时， ， ， 令 ，可得 ，令 ，可得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 时取得极大值，也是最大值为 （1） ，所以 恒成立． （2） ， ， 令 ，解得 或 ， 所以当 ， ， 时， ，当 时， ， 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 因为 （1） ， ， 所以 ，所以 ， ， 由（1）可知 ， 所以 ， 所以要证 ，即证 ， 即证 ， 即证 ， 令 ， ， ， 所以 单调递增，又因为 （1） ， 所以 ，所以 单调递增，又因为 （1） ， 所以 （1） ，所以 得证， 即 得证．